Chuyên đề tích phân nhiều dạng, có bài tập kèm lời giải ôn thi tốt nghiệp
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC Thuộc nguyên hàm : β β β a/ ∫ sin ( ax+b ) dx = − cos ( ax+b ) α a α β c / ∫ cos ( ax+b ) dx = α b/ sin ( ax+b ) ∫ cos ( ax+b ) dx = − ln cos ( ax+b ) α β α β cos ( ax+b ) dx = ln sin ax+b ( ) ∫ α α sin ( ax+b ) β β sin ( ax+b ) α a d/ β Đối với : I = ∫ f ( x)dx α a/ Nếu f(x)= R ( sin x; cos x ) ta ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt lẻ cos ) - Nếu m,n lẻ : đặt cosx=t sinx =t ( gọi tắt lẻ sin lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc công thức lượng giác công thức biến đổi lượng giác , đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi Nói chung để tính tích phân chứa hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thục - Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng biết nguyên hàm II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính tích phân sau : m n π a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I = ∫ sin 2x + sin x dx b ĐH, CĐ Khối B – 2005 I= + cos x π sin 2x cos x dx + cos x ∫ KQ: ln − Giải π π a I = ∫ sin x + sin x dx = ∫ ( cos x + 1) s inx dx ( 1) + 3cos x + 3cos x t2 −1 c osx= ;s inxdx=- tdt 3 Đặt : t = + 3cos x ⇒ x = → t = 2; x = π → t = Sưu tầm biên soạn : Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC t −1 + 1÷ 2 Khi : I = − tdt = 2t + dt = t + t = 34 ÷ ∫ ∫2 t 9 27 π π 2 π + cos x b I = ∫ sin x cos x dx = ∫ 2sin x cos x dx = ∫ cos x s inxdx ( 1) + cos x cosx+1 π dt=-sinxdx, x=0 → t=2;x= → t = Đặt : t = + cosx ⇒ f ( x)dx = ( t − 1) dt = t − + dt ÷ t t π 2 Do : I = ∫ f ( x)dx = −2∫ t − + ÷dt = t − 2t + ln t ÷ = ln − t 1 2 Ví dụ Tính tích phân sau π a ĐH- CĐ Khối A – 2006 I=∫ sin 2x cos2 x + 4sin x π b CĐ Bến Tre – 2005 I = ∫ cos 3x dx dx KQ: KQ: − 3ln sin x + Giải π sin 2x a I = ∫ 2 2 dx Đặt : t = cos x + 4sin x ⇒ t = cos x + 4sin x cos x + 4sin x 2tdt = ( −2sin x cos x + 8sin x cos x ) dx = 3sin xdx → sin xdx = tdt Do : x = → t = 1; x = π → t = 2 π 2 Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ tdt = ∫ dt = t = 31 t 31 3 π b I = ∫ cos 3x dx sin x + 2 Ta có : cos3x=4cos x − 3cos x = ( cos x − 3) cosx= ( 4-4sin x − 3) cosx= ( 1-4sin x ) cosx − 4sin x ) ( cos3x Cho nên : f ( x)dx = dx = cosxdx ( 1) 1+sinx + s inx π dt=cosxdx,x=0 → t=1;x= → t = Đặt : t = + s inx ⇒ 1 − ( t − 1) dt = − 4t − dt ÷ f ( x)dx = t t Trang TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π 2 Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ − 4t − ÷dt = ( 8t − 2t − 3ln t ) = − 3ln t Ví dụ Tính tích phân sau π a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I = ∫ π I=∫ b CĐ Y Tế – 2006 π sin xdx sin x + cos x.cos sin x − cos x dx + sin 2x x KQ: ln Giải π π π π sin xdx s inx = = dx = − ln + cosx = ln a I = ∫ x ∫0 sin x + cos x ( + cosx ) ∫0 1+cosx sin x + cos x.cos 2 π b I = ∫ π sin xdx π π 4 sin x − cos x sin x − cos x sin x − cos x dx = ∫ dx = ∫ dx s inx+cosx + sin 2x π π ( s inx+cosx ) ( 1) π π π π π π π Vì : s inx+cosx= sin x + ÷; ≤ x ≤ ⇒ ≤ x + ≤ ⇔ sin x + ÷ > 4 Do : s inx+cosx = s inx+cosx Mặt khác : d ( s inx+cosx ) = ( cosx-sinx ) dx 4 π d ( s inx+cosx ) = − ln s inx+cosx = − ln1 − ln = ln Cho nên : I = ∫ − π sinx+cosx π 4 π Ví dụ Tính tích phân sau π I=∫ a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 b CĐ KTKT Đông Du – 2006 cos 2x ( sin x − cos x + 3) π cos 2x dx + 2sin 2x I=∫ dx KQ: KQ: ln 32 Giải π a I = ∫ cos 2x ( sin x − cos x + 3) Cho nên : f ( x)dx = 2 dx Vì : cos x = cos x − sin x = ( cosx+sinx ) ( cosx-sinx ) cos2x ( sinx-cosx+3) dx = ( cosx-sinx ) ( sinx-cosx+3) ( cosx+sinx ) dx π dt= ( cosx+sinx ) dx; x = → t = 2, x = → t = Đặt : t = s inx-cosx+3 ⇒ f ( x)dx = t − dt = − ÷dt t3 t3 t Trang TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ 12 − 13 ÷dt = − + 12 ÷ = t t t t 32 2 dt = cos xdx → cos2xdx= dt b I = ∫ cos 2x dx Đặt : t = + 2sin x ⇒ x = → t = 1; x = π → t = + 2sin 2x π π Vậy : I = ∫ cos 2x dx = ∫ dt = ln t = ln + 2sin 2x 41 t 4 Ví dụ Tính tích phân sau : π 4sin3 x dx + cos x a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 KQ: I=∫ π b CĐ Bến Tre – 2006 I = sin 3x − sin 3x dx ∫ + cos3x Giải π π π π − cos2 x 4sin3 x dx = ∫ s inxdx=4 ∫ ( − cosx ) s inxdx=4 ( − cosx ) = a I = ∫ + cos x + cosx 0 0 ( ) π b I = sin 3x − sin 3x dx ∫ + cos3x 2 Ta có : sin x − sin x = sin x ( − sin x ) = sin x.cos x dt=-3sin3xdx → sin3xdx=- dt Đặt : t = + cos3x ⇒ x = → t = 2; x = π → t = Vậy : π ∫ ( t − 1) 1 11 f ( x )dx = − ∫ dt = ∫ t − + ÷dt = t − 2t + ln 32 t 31 t 3 2 Ví dụ Tính tích phân sau π a I = ∫ π c I = sin x − sin x cot gx dx sin x π ∫ sin x dx π − x) dx b I = ∫ − πsin( π +x) π π sin( d I = cos x( sin x + cos x )dx ∫ Giải Trang 1 2 t ÷ = − + ln 1 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π π s inx 3 a I = ∫ sin x − sin x cot gx dx = ∫ sin x π π π 1 − ÷ sin x cot xdx s inx π = ∫ 1 − ÷cot xdx = ∫ − cot x cot xdx sin x π π 3 π π sin( −x) cosx-sinx dx = dx b I = ∫ ∫ cosx+sinx − πsin( π π +x) − 2 π π d ( cosx+sinx ) = ∫ = ln cosx+sinx = π π cosx+sinx − − 2 π π π − cos2x + cos4x ÷ dx = ∫ 1 − 2cos 2x + ÷dx 0 0 ∫ sin x dx = ∫ c I = π 2 π π 1 3π 3 3 = ∫ − cos2x+ cos4x ÷dx = x − sin 2x + sin 4x ÷ = 32 8 16 08 π d I = cos x( sin x + cos x )dx Vì : sin x + cos x = − sin 2 x ∫ Cho nên : π π π π π 1 I = ∫ 1 − sin x ÷cos2xdx= ∫ cos2xdx- ∫ sin x cos xdx = sin x − sin x = 20 0 0 Ví dụ Tính tích phân sau π a I = sin xdx ∫ π π sin x cot gx π dx π 2 c I = ∫ tg x + cot g x − 2dx b I = ∫ π d */I = ( cos x − sin x )dx ∫ Giải Trang TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π a I = sin xdx = ∫ π π 2 ∫ ( − cos x ) sinxdx=- ∫ 1 − 2cos x + cos x d ( cosx ) 0 π 2 = −cosx+ cos x − cos x ÷ = 15 π b I = ∫ π sin x cot gx dx 1 2tdt = − dx → dx = −2tdt sin x sin x Đặt : t = cot x ⇒ t = cot x ↔ x = π → t = 3; x = π → t = 2tdt = ∫ dt = 2t =2 t 1 Vậy : I = − ∫ ( ) −1 π π π π π π 2 c I = ∫ tg x + cot g x − 2dx = ∫ ( t anx-cotx ) dx = ∫ t anx-cotx dx sinx cosx sin x − cos x cos2x − = = −2 = −2 cot x Vì : tanx-cotx= cosx sinx s inxcosx sin2x π π t anx-cotx0;x ∈ ; 4 3 π π π π 6 cos2x cos2x I = − t anx-cotx dx + t anx-cotx dx = − dx + ( ) ( ) Vậy : ∫π ∫π ∫π sin2x π∫ sin2x dx = π ( ln sin x ) π4 − 12 ( ln sin x ) π = ln π π d I = ( cos x − sin x )dx (1) ∫ Đặt : x = Trang π π π − t → dx = − dt , x = → t = ; x = → t = 2 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Do : π π π I = ∫ cos − t ÷ − sin t ÷÷( − dt ) = ∫ 2 ÷ π ( π ) sin t − cost dt = ∫ ( ) sin x − cosx dx ( 2) Lấy (1) +(2) vế với vế : I = ⇒ I = Ví dụ Tính tích phân sau π a ∫ tan xdx (Y-HN-2000) b π π cos2x ∫0 ( sinx+cosx+2 ) dx (NT-2000) c π d ∫ sin x dx ( GTVT-2000) e cos x π π cos x ∫ dx (NNI-2001) π sin x π f ∫ − 2sin x dx (KB-03) sin x ∫0 − cos x dx + sin x Giải π − cos x ) 1 a ∫ tan xdx Ta có : f ( x) = tan x = sin x = ( = −2 +1 4 π cos x cos x cos x cos x 4 π dx Do : I = ∫ f ( x)dx = ∫ − 2 + 1÷dx = ∫ ( + tan x ) − [ tan x + x ] π cos x cos x π π cos x π 4 4 π π 4 π π = t anx+ tan x ÷ − − + ÷ = − ÷− − + ÷ = + 12 3 12 12 π π π π * Chú ý : Ta có cách phân tích khác : f ( x) = tan x = tan x ( tan x + − 1) = tan x ( + tan x ) − tan x = tan x ( + tan x ) − ( tan x + 1) + π π π π 2 2 Vậy : I = ∫ tan x ( + tan x ) − ( tan x + 1) + 1 dx = ∫ tan x π π 4 dx dx −∫ + dx cos x π cos x π∫ π π 1 π π 1 1 I = tan x − t anx+x ÷ = 3 − + ÷− − + ÷ = + 3 12 3 π 3 b π cos2x ∫ ( sinx+cosx+2 ) dx Ta có : f ( x) = ( sinx+cosx+9 ) π π 0 ( cos x − sin x ) = ( cosx-sinx ) ( cosx+sinx ) = cos2x ( sinx+cosx+9 ) ( sinx+cosx+9 ) cosx+sinx ) Do : I = ∫ f ( x)dx = ∫ ( ÷ cosx-sinx ) dx ( 1) ( ÷ ( sinx+cosx+2 ) Trang TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π cosx+sinx=t-2.x=0 → t=3;x= → t = + 2, Đặt : t = s inx+cosx+2 ⇒ dt = ( cosx-sinx ) dx ⇒ f ( x)dx = t − dt = − ÷dt t3 t3 t Vậy : 1 1 1 1 2+2 ÷− − + = − + I = ∫ − ÷dt = − + ÷ = − + ÷ ÷ t t t t 3 2+ 2+ ÷ 9 2+ ( sin t + cost ) sin t − cost −dt = ( sin t + cost ) cost − sin t dt = f ( x) = ( )( ) ( ) ( sin t + cost+9 ) ( sin t + cost+9 ) +2 ( ) ( ) π cos x c ∫ dx = π sin x − sin x ) − 3sin x + 3sin x − sin x 1 Ta có : f ( x) = cos4 x = ( = = − + − sin x 4 sin x sin x sin x sin x sin x π 2 Vậy : I = ∫ ( + cot x ) π π π π 4 dx dx − cos2x − 3∫ + 3∫ dx − ∫ ÷dx sin x π sin x π π π 1 5π 23 = − cot x + 3cot x + x − x + sin x ÷ = + 12 π π π π π π 0 d ∫ sin x dx = ∫ − cos6 x dx = ∫ 16 − 14 ÷dx = ∫ 14 12 dx − ∫ ( + tan x ) dx2 cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x π = ∫ ( + tan x ) 2 π π π 1 dx − ∫ ( + tan x ) dx = ∫ ( + tan x + tan x ) d ( tan x ) − ∫ ( + tan x ) d ( t anx ) 2 cos x c os x 0 π π 1 = t anx+ tan x + tan x − t anx- tan x ÷ = tan x + tan x ÷ = 5 3 15 π π π π π d ( − cos2x ) sin x sin x 2sin x e ∫ − cos x dx = ∫ + cos2x dx = ∫ − cos2x dx = − ∫ − cos2x = − ln − cos2x = ln 0 4− 0 π π π π 4 − 2sin x cos2 x d ( + sin x ) 1 dx = ∫ dx = ∫ = ln + sin x = ln f ∫ + sin x + sin x + sin x 2 0 Ví dụ Tính tích phân sau : π a ∫ sin x cos xdx Trang b π sin x ∫ + 2cos3x dx TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π π π sin x cos x cos2x dx ∨ J = ∫ dx ⇒ K = ∫ dx π cosx- s inx s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx c I = ∫ Giải π π π 0 a ∫ sin x cos xdx = ∫ ( − cos x ) cos x.s inxdx = ∫ ( cos x − cos x ) d ( cosx ) π 1 = cos x − cos x ÷ = 7 35 π π π π sin x −3sin x d ( + cos x ) 1 dx = − ∫ dx = − ∫ = − ( ln + cos 3x ) = ln b ∫ + 2cos3x + cos x + cos x 6 0 π sin x + cos x 2 π c Ta có : I + J = ∫ s inx+ 3cosx dx = ∫ 0 dx = π ∫0 dx π sin x + ÷ 3 x π d tan + ÷÷ 1 1 = = = Do : π x π π x π x π x π sin x + ÷ 2sin + ÷cos x+ ÷ tan + ÷ 2cos + ÷ tan + ÷ 3 6 2 6 2 6 2 6 2 6 x π π d tan + ÷÷ π 1 x π = ln tan + ÷ = ln = ln (1) Vậy : I = ∫ 20 x π 2 6 tan + ÷ 2 6 s inx+ cosx 2 ( sin x − 3cosx ) ( sin x + 3cosx ) dx - Mặt khác : I − 3J = ∫ sin x − 3cos x dx = ∫ π π Do : I − 3J = ∫ ( π s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx π s inx- 3cosx dx = −cosx- s inx = − (2) ) ( ) 3 −1 I = ln − I + J = ln 16 4 ⇔ ( 3) Từ (1) (2) ta có hệ : − I − 3J = − J = ln + 16 π π π π Để tính K ta đặt t = x − → dt = dx ⇔ x = ; t = 0.x = → t = 2 π π cos ( 2t+3π ) cos2t −1 dt = − ∫ dt = I − J = ln − π π cos t+3 sint+ 3cost ÷− sin t+3 ÷ 2 2 Vậy : K = ∫ Ví dụ 10 Tính tích phân sau Trang TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a π ∫ + sin x dx ( CĐ-99) b π π dx ∫ + s inx+cosx (ĐH-LN-2000) π dx c ∫ ( sin x + cos x − sin x cos x ) dx (SPII-2000)d π π (MĐC-2000) s inxsin x+ ÷ 6 10 10 ∫ Giải π π π 1 a ∫ + sin x dx = ∫ ( s inx+cosx ) dx = ∫ 0 b π dx ∫ + s inx+cosx π π dx = tan x − ÷ = π 4 2 cos x − ÷ 4 x 1 x 2dt π ⇔ dt = dx = 1 + tan ÷dx; ⇔ dx = ; x = → t = 0, x = → t = x Đặt : 2 2 1+ t 2 cos 2 1 1 2dt 2dt I =∫ dt = ∫ =∫ = ( 2) 2 Vậy : 2t 1− t ( 1+ t ) t + 2t + ( t + 1) + 0 2+ + 1+ t2 1+ t2 du; t = → tan u = ; t = → tan u = dt = 2 cos u Đặt : t + = tan u ⇒ 2dt 2 f (t ) dt = = du = 2du 2 cos 2u + tan u t + + ( ) ( ) t = tan Vậy : I = u2 ∫ u1 c π ∫ ( sin 10 2du = 2u u2 = ( u2 − u1 ) = arxtan − arctan ÷ ÷ u1 x + cos10 x − sin x cos x ) dx 10 10 4 2 4 6 Ta có : sin x + cos x − sin x cos x ( sin x + cos x ) = ( cos x − sin x ) ( cos x − sin x ) = ( cos x − sin x ) ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x + cos x sin x ) 1 + cos4x − cos8x 15 1 = cos 2 x 1 − sin 2 x ÷ = cos 2 x − sin x = − = + cos4x+ cos8x 16 32 32 32 π π π 15 π 1 15π 15 + sin x + sin x = Vậy : I = ∫ + cos4x+ cos8x ÷dx = 32 32 32 32.8 64 0 0 π dx π π s inxsin x+ ÷ 6 π π π π π Ta có : x + ÷− x = ⇒ sin x + ÷− x = sin x + ÷cosx-sinxco x + ÷= ( *) 6 6 6 6 d ∫ Trang 10 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC • Vậy : 3 1 1 1 1 3 dx = + − dx = ln x − x + − ln x ( ) ( ) ( ) ÷ ÷ ∫2 x ( x − 1) ∫2 x − x + x = ln − ln Cách 2: ( Phương pháp nhẩy lầu ) x − ( x − 1) x 1 2x = = − = − Ta có : 2 x −1 x x −1 x x ( x − 1) x ( x − 1) 3 1 xdx 1 3 Do : ∫ x x − dx = ∫ x − − ∫ x dx = ln ( x − 1) − ln x ÷ = ln − ln ( ) 2 x +1 Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I= ∫ x x − dx ( ) Cách 1: A ( x − ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − ) x +1 x +1 A B C = = + + = Ta có : x ( x2 − 4) x ( x − 2) ( x + 2) x x − x + x ( x2 − 4) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Khi x=0 : 1= -4A suy : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy : B=3/8 Do : f(x) = − ÷− ÷+ ÷ 4 x 8 x−2 8 x+2 Vậy : 1 1 3 x +1 1 1 1 3 dx = − dx − dx + dx = − ln x − ln x − + ln x + ÷ = ∫3 x ( x − ) ∫ ∫ ∫ 42x x−2 x+2 8 2 = ln − ln − ln 8 Cách 2: Ta có : 2 x +1 1 1 1 x − ( x − 4) = + = − ÷+ x ( x − ) ( x − ) x ( x − ) x − x + x ( x − ) 1 1 2x 1 ÷= − + − ÷ ÷ 4 x−2 x+2 x −4 x 4 x +1 1 2x 1 1 x − 4 Do : ∫ x x − dx = ∫ x − − x + + x − − x ÷dx = ln x + + ln ( x − ) − ln x ( ) 3 x2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau : ∫ x − x + dx )( ) ( Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 1) ( x + ) + B ( x − 1) ( x + ) + C ( x − 1) x2 x2 A B C = = + + = ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x − x + x + ( x − 1) ( x + ) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy : A=1/2 Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy : B=-1/2 Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy : C=-5/4 Trang 28 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Do : 3 x2 1 x −1 3 1 dx = − − − ln x + = ln ÷dx = ln I= ∫ x − x + ∫ x −1 x +1 x + )( ) x +1 2 2 ( 2 Cách 2.( Nhẩy tầng lầu ) Ta có : x2 x2 −1 + 1 1 x ( x + 1) − ( x − 1) ( x + ) = = + = + 2 ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) x + ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x + 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) 1 x 1 1 1 + − + 1 + − = ÷− x + 2 ( x − 1) ( x + ) x + x + 2 x − x + x + = Từ suy kết β D DẠNG ∫ ax α R ( x) dx + bx + c Những dạng , gần đề thi đại học cho ( Nhưng không không cho ) , đưa số đề thi thi năm trường đề thi riêng , mong em học sinh ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho thân Sau lấy số ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân sau : a ∫ (x 1 + 3x + ) 2 + x2 b ∫1 + x3 dx dx Giải a ∫ (x + 3x + ) 2 dx Ta có : 1 x + x + = ( x + 1) ( x + ) ⇒ f ( x) = = = − 2 ( x + 3x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) 1 1 = + − = + − 2 − ÷ Vậy : 2 2 x +1 x + ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ∫ (x + 3x + ) 2 1 1 x +1 dx = ∫ + − − − − ln ÷ dx = − 2 x+2 x + x + x +1 x + ( x + 2) ( x + 1) 1 1 ÷0 = + ln 1 + x2 b ∫1 + x3 dx + x2 − x + x2 + x − x + x2 x Ta có : f ( x) = + x3 = + x − x + x = + x − x + x + + x − x + x ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⇔ f ( x) = x 2x + ⇒ ∫ + ÷dx 1+ x 1+ x + x3 x +1 Ví dụ Tính tích phân sau Trang 29 a ∫ TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x +1 b ∫ x + dx x2 −1 dx x4 − x2 + Giải a ∫ x2 −1 dx Chia tử mẫu cho x ≠ , ta có : x4 − x2 + 1 x2 ⇒ f ( x) = x2 + −1 x 1− ∫ f ( x)dx = ∫ 1 1 − ÷dx x x + ÷− x ( 1) x =1 → t = 1 2 Đặt : t = x + ⇒ x + = t − 2, dt = 1 − ÷dx ↔ x = → t = x x x Vậy : 3 ∫ ∫t f ( x)dx = ∫ ( t − 3) ( t + 3) dt = ∫ t− − ÷dt t+ 3 7−4 = ln + ) 3= ln − ln ÷ ÷ 3 t− I= ln t+ ( 1 dt = −3 x4 + b ∫ x + dx Vì : ) x − = ( x ) − = ( x − 1) ( x + x + 1) 2 x − = ( x ) − = t − 1( t = x ) Cho nên : f ( x) = 1 x4 + x4 − x2 + x2 − 3x = − ⇒ f ( x ) dx = ∫0 x + x3 + 1dx x + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x ) + ∫0 ( ) 1 1 Vậy : I = arctan x − arctan ( 3x ) = arctan1- arctan3 = π − arctan3 Ví dụ Tính tích phân sau 1 x2 + x2 −1 dx ∨ dx a ∫ x + ∫ x + 0 b ∫x 1 dx +1 Giải x +1 x −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx Ta có : 0 1 1+ 1− 2 x2 + x − x , g ( x) = x f ( x) = = = Cho nên x + x2 + x + x2 + x2 x2 1 2 t = x + x ⇒ dt = − x ÷dx, x + x = t − 2, x = → t = 2, x = → t = Đặt : 1 2 t = x − ⇒ dt = + ÷dx, x + = t + 2, x = → t = 0, x = → t = x x x Trang 30 Vậy : TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5 5 1 1 t− dt f ( x) dx = ∫ dt = − ln ÷= ∫ ÷dt = ∫ t − 2 t − t + 2 t+ 2 t − t + 2 2 ⇔∫ ( 2 dt t + ⇔ ∫ g ( x)dx = ∫ )( ) ( 1) 3 du ↔ t = → u = 0, t = → u = arctan = u1 cos u u1 u1 2du 2 u1 ⇔ = Do (1) ∫ cos 2u + tan u ∫ du = u = u1 ( ) 0 Đặt : t = tan u → dt = 2 1 b ∫ dx Ta có : F ( x) = = x +1 x +1 1 + x2 + − x2 ÷= 2 x4 +1 x2 + x2 −1 − ÷ = ( f ( x) − g ( x) ) x4 +1 x4 +1 Đã tính ( phần a) Ví dụ Tính tích phân sau 2 x2 −1 a ∫ x − x + x − 3x + dx )( ) ( c 1− b dx − 4x2 + x7 dx d I = ∫ + x − 2x x2 + dx x4 − x2 + ∫ ∫x Giải a ∫(x x −1 dx Ta có : − x + 1) ( x − x + 1) 2 1 − 2 ÷dx x −1 x2 x f ( x) = = ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫ 1 ( x − 5x + 1) ( x − 3x + 1) x + − 1 x+ − ÷ x + − ÷ ÷ x + ÷ x x −3 x x 1 Đặt : t = x + → dt = 1 − ÷dx , x = → t = 2, x = → t = x x 1− ( 1) Vậy (1) trở thành : 5 1 t −5 1 ∫2 ( t − 5) ( t − 3) = ∫2 t − − t − ÷ dt = ln t − = ( ln − ln 3) = ln dt b 1 1 1 dx f ( x ) = = = − ÷ 2 Ta có : 2 ∫3 x − x + x − x + ( x − 1) ( x − 3) x − x − Do : 5 I =∫ ∫ f ( x)dx = ∫ x dx = ∫ x −3 2 1 − ÷dx = I − J − x −1 ( 1) Với : 1 1 x− 37 − 20 dx = − ln = ln ÷dx = ∫ 3 3 x− x+ 3 x+ 3 65 − x− x+ 2 ( )( ) ( ) Trang 31 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5 1 1 1 x −1 15 J =∫ dx = ∫ dx = ∫ − = ln − ln ÷ = ln ÷dx = ln x −1 x − 1) ( x + 1) x −1 x +1 x +1 5 0 ( 2 c 1− ∫ x2 + dx x4 − x2 + 1 x Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a Chỉ khác đặt : t = x − , kết x7 x4 x 3dx d I = ∫ + x − 2x dx = ∫ 2 x −1 ( ) ( 1) dt = 3x dx, x = → t = 15; x = → t = 80 Đặt : t = x − ⇒ f ( x)dx = x 3x3dx = ( t + 1) dt = + dt ÷ ( x − 1) t2 t t2 80 1 1 80 16 13 Vậy : I = ∫ t + t ÷dt = ln t − t ÷ 15 = ln + 720 15 β E TRƯỜNG HỢP : R ( x) ∫ Q( x) dx ( Với Q(x) có bậc cao ) α Ở lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp bậc mẫu tới hai bậc tinh ý nhận tính chất đặc biệt hàm số dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn Phương pháp chung , khéo léo cách giải hay Sau đay minh họa số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x x + ( ) b x2 + ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Giải dx a ∫ x x + Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có : ( ) A Bx + Cx + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E ) f ( x) = = + = = x4 + x ( x + 1) x x ( x + 1) A + B = A =1 ( A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A ⇒ C = 0, D = ⇔ B = −1 x3 ⇔ f ( x) = ⇒ f ( x ) = − x x4 + x ( x + 1) E = C = 0, D = 0, A = E = Nhưng ta tinh ý cách làm sau hay Vì x x3 cách bậc , mặt khác x ∈ [ 1; 2] ⇒ x ≠ Cho nên ta nhân tử mẫu với x ≠ Khi f ( x ) = Trang 32 x3 3 Mặt khác d ( x ) = x dx ⇔ dt = x dx x ( x + 1) ( t = x ) , : TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x dx dt 1 f ( x) dx = = = − ÷ = f (t ) Bài toán trở nên đơn giản 4 x ( x + 1) t ( t + 1) t t + nhiều ( Các em giải tiếp ) b x2 ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Nhận xét : * Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm sau : - f ( x) = x2 + A = ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) 3 + B ( x − 1) + C D + x −1 x + 3 - Sau quy đồng mẫu số , đồng hệ số hai tử số , ta có : A = , B = , C = − D = Do : I = ∫ ( x − 1) + ( x − 1) + 5 − 32 ( x − 1) 32 ( x + 3) 32 ÷dx ÷ 1 5 = − − + ln x − − ln x + = ln ( x − 1) 32 32 ( x − 1) 32 28 Ví dụ Tính tích phân sau : d ∫ x2 + b ∫ dx x +1 1 x3 (1+ x ) 2 x4 − a ∫ dx x −1 dx e ∫ x + 3x + ( 1+ x ) dx c ∫ x + x ( ) 1 dx f ∫ ( x − x3 ) x4 dx Giải a 3 x4 − x4 + x2 + x2 + ÷ x2 1 ÷ ∫1 x6 − dx = ∫1 ( x − 1) ( x + x + 1) − ÷dx = ∫2 x − dx + ∫2 + x3 − − x3 + ÷dx ( x ) − 1 ÷ ( x ) − 1 ÷ Tính J : J= artanx = artan3-artan2 2 dt = x dx, x = → t = 8; x = → t = 27 Tính K Đặt t = x ⇒ g ( x)dx = x dx = dt = 1 − dt ÷ x3 − ( t − 1) t − t + 27 27 t − 27 117 1 g ( x ) dx = − = ln Do : K= ∫ ÷dt = ( ln t − − ln t + ) = ln ∫ t −1 t +1 6 t + 98 3 1 Tính E= ∫ x3 − dx = ∫ x − x + x + dx )( ) 2 ( x − ( x − 1) x2 x2 − = = − Ta có : h( x) = ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − ( x − 1) ( x + x + 1) Trang 33 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ( x − 1) ( x + 1) = x − x + = x − x + + x = − ÷ x − ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − x + x + x3 − x + x + x + x + 3x ( x + 1) dx − ∫ dx − ∫ dx ∫ x −1 2 x + x +1 Vậy : 1 3 ÷ x+ ÷ + 2 3 1 28 13 = ln ( x − 1) − ln ( x + x + 1) − F = ln − ln − F ( ) 2 3 3 I= dx = dt cos 2t x + = tan t ⇒ Tính F : Đặt : 2 x = → tan t = → t = a; x = → tan t = 10 → t = b 3 b Do F= ∫ a dt b b 5 10 cos 2t = ∫ dt = t = b − a t ant= → t = a = artan ; b = artan ÷ a 3 3 a ( + tan t ) Thay vào (2) ta có kết 2 x2 + x2 + 1 dx = dx = ∫ dx = ∫ dx ∫ 2 b ∫ x + 2 ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − 1) − x ( x + x + 1) ( x − x + 1) Ax+B Cx + D Ta có : ( x + x + 1) ( x − x + 1) = x + x + + x − x + A + C ) x3 + ( B − A + C + D ) x + ( A − B + C + D ) x + ( B + D ) ( = x4 − x2 + 1 A = − A + C = A = −C C = B − A + C + D = 1 − 2C = ⇔ ⇔ Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : A − B + C + D = − B + D = D = B + D = B + D = B = 2 1 1− x x +1 dx + ∫ dx ÷ = ( J + K ) ( 1) Vậy : I = ∫ 2 x + x +1 x − x +1 Tính J= 2 2 −x +1 2x +1− 2x +1 1 dx = − dx = − dx + dx = − ln x + x + + E 2 ∫1 x + x + ∫ ∫ ∫ 2 x + x +1 x + x +1 21 1 3 ÷ x+ ÷ + 2 dx ∫ Tính E = , học sinh tự tính cách đặt : x + = tan t ÷ 2 x+ ÷ + 2 Tính K Trang 34 ( 2) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC K =∫ 2 x +1 2x −1+ 2x −1 1 dx = dx = dx + dx = ln x − x + + F 2 2 ∫ ∫ ∫ x − x +1 x − x +1 x − x +1 20 1 3 ÷ x− ÷ + 2 ( 2) dx ∫ Tính F= , học sinh tự tính cách đặt : x − = tan t ÷ 2 x− ÷ + 2 4 2 dx 3x d ( x ) d ( x ) x 32 ÷ = ln = ∫ dx = ∫ − = ln c ∫ 4 4 ÷ + x4 ÷ 17 3 x + x x + x x + x ( ) ( ) 1 1 x x x = t − 1; dt = xdx dx = xdx ( ) t = + x ⇒ d ∫ Đặt : ∫0 ( + x ) (1+ x ) x = → t = 1, x = → t = 2 t −1 1 1 1 13 I = dt = Do ∫1 t ∫1 t − t ÷ dt = − t + 4t ÷ = 16 ( + x2 ) 1 x2 ÷ x2 dx = + dx = dx + e ∫ ∫0 + x + x ÷ ∫0 + x ∫0 + x dx = J + K ( 1) (1+ x ) ) ( ) ( ) ( π Tính J : Bằng cách đặt x = tan t ⇒ J = 1 1 ÷dx = E + F ( ) − Tính K= ∫ 2 ÷ ( 1+ x ) (1+ x ) 1 x + 3x2 + 1 dx = cos 2t dt x = tan t ↔ Tính E : Bằng cách đặt x = → t = 0; x = → t = π π π π Vậy : E = ∫ + x ÷ dx = ∫ + tan t ÷ cos 2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt 0 0 0 1 1 1 1 cos 4t π 14 = ∫ ( + cos2t ) dt = 40 π 1 1π 1 π +2 t + sin 2t ÷ = + ÷ = 4 16 4 2 Tính F Tương tự tính E ; dx = cos 2t dt x = tan t ↔ Bằng cách đặt x = → t = 0; x = → t = π π π 14 14 F = dx = dt = ÷ ÷ Vậy : ∫0 + x ∫0 + tan t cos 2t ∫0 π 1 14 dt = cos 4tdt ∫ cos 2t 20 cos 6t Trang 35 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π 1 + cos4t = ∫ ( + cos2t ) dt = ∫ + 2cos2t + ÷dt = 80 0 π π π π 1 1 π 3π + ( + cos 2t + cos4t ) dt = 3t + 2sin 2t + sin 4t ÷ = + ÷ = ∫ 16 16 64 16 1 f ∫ ( x − x3 ) x4 1 x − x3 dx dx = ∫ ÷ dx = ∫ − 1÷ x x x x 1 1 x 3 dx dt = − x Đặt : t = − 1÷⇒ t + = ⇔ x x x = → t = 8; x = → t = 3 73 34 24 468 Khi I = − ∫ t ( t + 1) dt = ∫ t + t ÷dt = t + t ÷ = + = 16 + ÷ = 0 7 4 7 0 * Chú ý : Còn có cách khác 1 3 − 3÷ 1 1 Vì : x ∈ ;1 → x ≠ Đặt x = ⇒ dx = − dt; f ( x)dx = t t 3 t t 1 ÷ t = −t ( t − t ) 1 − ÷dt = − t t2 ( t3 − t ) t 1 1 3 dt = dt = −t − ÷ dt (2) Đặt : u = − ⇔ = − u; du = dt t t t t Ví dụ Tính tích phân sau a e p +2 ∫ 1 x x a p p+2 +1 ∫ b dx x dx (x +a 2 ) 2a x+e c ∫ e dx x d ∫x 2ax − x dx Giải a e p +2 ∫ x x p p+2 +1 - Đặt : t = x dx ( ĐHTNguyên-98) : Ta có : p+2 =x p +1 f ( x )dx = p x dx x p+2 p dt = x dx ⇒ ⇔I= p + x = → t = 1; x = e → t = e e ÷ +1 ∫t dt +1 du u1 u1 dt = cos 2u du π ⇔I=∫ = ∫ du = − u1 - Đặt : t = tan u ⇒ 2 π π cos u ( + tan u ) π 4 t = → u = , t = e → u = u1 π - Từ : tan u = e ⇒ u = u1 = artan e ⇔ I = − artan e Trang 36 dt a b ∫ x dx ( x2 + a2 ) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC dt π dx=a cos 2t ; x = → t = 0, x = a → t = 3 x = atant ⇒ Đặt : f ( x) = x dx = a tan t a dt = a cos t.tan tdt 3 2 ( x + a ) a3 ÷2 cos t cos t π π π π Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ a cos t.tan tdt = ∫ a cos t sin 3t dt = ∫ a sin 2t dt =a ∫ ( a 0 cos t cos t − cos 2t ) sin t cos 2t dt = π du = − s intdt;t= → u = ; t = → u = - Đặt : cost=u ⇒ f (t )dt = ( − u ) − du = 1 − du ( ) 2÷ u2 u Vậy : I = 2 ∫ 1 2 3 −4 + −2= −2= −2= − ÷du = u + ÷ = u 2 2 u dt = e x dx; x = → t = 1; x = → t = e c ∫ e dx = ∫ e e dx Đặt : t = e ⇒ x ex t 0 f ( x)dx = e e dx = e dt e t t e e Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ e dt = e = e − e 1 x+ex x ex x 2a d ∫ 2a x 2ax − x dx = ∫x a − ( x − a ) dx π π dx = a.costdt,x=0 → t=- ;x=2a → t= Đặt : x − a = a.sin t ⇒ f ( x)dx = ( a + a.sin t ) a 2cos 2t a.costdt Vậy : π π π2 π2 2 + cos2t 3 2 I = a ∫ ( + sin t ) cos tdt = a ∫ cos tdt + ∫ cos t sin tdt = a ∫ dt − ∫ cos td ( cost ) π π π − − − − π2 − π2 2 π π 1 π π π = a t + sin 2t ÷ − cos3t = a + ÷ = a π 2 −π 2 − 2 π Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x −x c ∫ b x3 − x (x + 1) ∫ dx d ∫ x dx (1+ x ) + x3 dx x4 Giải Trang 37 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC dx a ∫ x5 − x = ∫ x x − x + x + dx ( 1) ( )( ) 2 3 A B Cx + D E Xét : f ( x) = x ( x − 1) ( x + x + 1) = x + x + x + x + + x − = A ( x + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x + x + 1) + ( Cx + D ) x ( x − 1) + E ( x + x + 1) x x ( x − 1) ( x + x + 1) B + C + E ) x + ( A + D − C + E ) x + ( E − D ) x − Bx − A ( = x ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : D = B + C + E = C = − E A + D −C + E = E + E + E = C = − 1 − x+ 3+ ⇔ B = ⇔ B = ⇒ f ( x) = − + 23 E − D = x x + x + x −1 B = E = D E = A = −1 A = −1 A = −1 1 3 −3x+3 ÷dx = − − x − + 1 dx I = − + + Vậy : ∫2 x x2 + x + x − ÷ ∫2 x x + x + ÷ ( x − 1) ÷÷ ÷ 1 x − 1) ( dx 2x+1 1 3 = − ln x + x + + ln x − ÷ − ∫ = + ln + arctan ÷ 2 x x + x +1 ÷2 3 x 2 2 1 x + + ÷ ÷ 2 1 + arctan − arctan ÷ 3 3 1 x dx x4 = 3x dx ( 1) ∫ b ∫ 4 ( 1+ x ) (1+ x ) = dt = 3x dx, x = → t = 1; x = → t = Đặt : t = + x ⇒ t −1 1 f ( x) dx = t ÷dt = t − t ÷dt 1 1 1 1 Vậy : I = ∫ t − t ÷dt = ln t + t ÷ = ln − ÷ 1 ( x − 2) c ∫ 2 dx = ∫ 2 xdx ( x + 1) ( x + 1) x3 − x ( 1) dt = xdx; x = → t = 1; x = → t = Đặt : t = + x ⇔ x − = t − ⇒ f ( x)dx = t − dt = − dt ÷ ÷ t2 t t2 Trang 38 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 1 3 1 3 Vậy : I = ∫ − ÷dt = ln t + ÷ = ln − ÷ 2t t 2 t 2 2 2 d ∫ + x3 + x3 dx = ∫ x dx x4 x6 ( 1) 2tdt = x dx; x = → t = 2, x = → t = 3 Đặt : t = + x ↔ t = + x ↔ f ( x)dx = 1 + x3 3x dx = t 2tdt = t dt x6 ( t − 1) ( t − 1) Vậy : I= = 2 1 1 2 1 1 ∫ t + + t − − t + ÷ ÷ dt = ∫ t + − t − ÷ = 1 + − − ∫ ( t + 1) ( t − 1) t − t + ÷÷÷dt 2 1 1 t − −2t t −1 − ÷ − − − ln = − ln = + ln 2 − t + t − t + ( t − 1) t +1 ÷ 24 ( Ví dụ Tính tích phân sau : ∫x a ∫ c dx b x2 + x5 − x3 x2 + 1 ∫ d dx (x ) − x ) dx x2 + ∫ (1− x ) dx Giải a ∫x dx x +9 = ∫x xdx x2 + ( 1) 5 t = x + ↔ tdt = xdx, x = t − dt dt I = = Đặt : t = x + ⇒ Do : ∫ ∫ t t − 3) ( t + 3) t ( t − 9) ( x = → t = 4, x = → t = A ( t − ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t A B C = + + = Ta có : f (t ) = t ( t − 3) ( t + 3) t t − t + t ( t − 9) Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm vào hai tử số ta có : - Với x=0 : -9A=1 → A = − 9 - Với x=3 : 9B=1 → B = 5 t − 144 1 1 I = − + + dt = ln t − − ln t ( ) = ln t = ln 35 Vậy : ÷ ∫4 t t − t + - Với x=-3 : 9C=1 → C = * Chú ý : Nếu theo phương pháp chung đặt : x = 3sin t → dx = 3cos tdt Trang 39 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x = → = 3sin t ↔ sin t = Khi : Như ta không sử dụng phương pháp x = → = 3sin t ↔ sin t = > b ∫ (x − x ) dx x2 + 1 =∫ x2 x2 + dx − ∫ x x2 + dx = J − K ( 1) * Để tính J : π dx = cos 2t dt , x = → t = 0; x = → t = Đặt : x = tan t ⇒ Tính tích phân không đơn tan t dt tan t c os t = dt f ( x)dx = c ost + tan t giản , ta phải có cách khác - Từ : g ( x) = x2 x +1 = x2 + −1 x +1 = x +1 − 1 1 ⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x + 1dx − ∫ x +1 0 x2 + - Hai tích phân tính 1 1 1 x2 2 E = x + dx = x x + − dx = − x + dx − dx ÷ +/ Tính : ∫0 ∫ ∫ ∫ 0 x2 + x2 + 0 = − E + ln x + x + ⇒ E = + ln + ⇔ E = + ln + 2 1 1 x 2 * Tính K= ∫ dx = x + = − ; ∫ dx = ln x + x + = ln + x +1 x +1 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2 + ln + + ln + = + ln + 2 2 3 x − x3 x5 x3 c ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = J − K ( 1) x +1 x +1 x +1 0 2 x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t = 2 - Tính J: Đặt t = x + ⇒ x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 2t + 1) dt f ( x)dx = t x +1 38 Suy : J= ∫ ( t − 2t + 1) dt = t − t + t ÷ = 5 15 Do : I= x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t = 2 - Tính K: Đặt t = x + ⇒ x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 1) dt f ( x)dx = t x +1 1 Suy : K= ∫ ( t − 1) dt = t − t ÷ = 3 1 28 48 16 Vậy : I= + = = 15 15 Trang 40 ) dx d ∫ TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π dx = costdt x=0 → t=0;x=1 → t= ( − x ) dx Đặt : x = sin t → f ( x )dx = ( − x ) dx = cos 6tcostdt=cos 4tdt π 2 π π Do I= ∫ − cos2t ÷ dt = ∫ 1 − cos 2t + + cos4t ÷dt = ∫ − cos2t+ cos4t ÷dt 0 4 π 3π 3 = t − sin 2t + sin 4t ÷ = 32 4 Trang 41 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trang 42 [...]... x)dx ( Bất đẳng thức trong tích phân ) 8 Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] và với hai số M,N ta luôn có : M ≤ f ( x) ≤ N Thì : b M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ N ( b − a ) ( Tính chất giá trị trung bình của tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp này , chúng ta cẩn : • Kỹ năng : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương của nhiều hàm số khác , mà ta... Từ đó suy ra kết quả β D DẠNG ∫ ax 4 α R ( x) dx + bx 2 + c Những dạng này , gần đây trong các đề thi đại học ít cho ( Nhưng không hẳn là không cho ) , nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các trường ra đề thi riêng , mong các em học sinh khá ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho bản thân Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa Ví dụ 1 Tính các tích phân sau : 1 a ∫ 0 (x 1 1... x)dx + ∫ f ( x)dx c b b b a a a 4 ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ( Tích phân củ một tổng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) Trang 17 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b b a a ∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngoài dấu 5 tích phân được ) Ngoài 5 tính chất trên , người ta còn chứng minh được một số tính chất khác... cos x + 3sin x dx; Trang 16 f ( x) = TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π 2 1 ( 3cos x − 4sin x ) 1 π 1 4 2 2 Vậy : I = ∫ − ÷dx = x − ln 4 cos x + 3sin x ÷ 4 = + ln 5 5 4 cos x + 3sin x 5 7 5 0 10 5 0 π 4 TÍCH PHÂN I Khái niệm tích phân 1 Diện tích hình thang cong • Giới thi u cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong • Từ đó suy ra công thức : xlim →x 0 S ( x ) − S (... tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt v (b ) b • Bước 4: Tính ∫ a f ( x)dx = ∫ g (t )dt = G (t ) v (a) v(b) v(a ) v (b) • Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(a) 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông... số dạng 2 1 Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt u (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = ∫ a g (t ) dt = G (t ) u(a) u (b) u (a ) u (b) • Kết luận : I= G (t ) u (a) 2 Nhận dạng. .. a : là cận trên , b là cận dưới - f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân - dx : gọi là vi phân của đối số -f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân II Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó ta có : a 1 ∫ f ( x)dx = 0 a b 2 ∫ a 3 a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ( Gọi là tích chất đổi cận ) b b c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f (... Ý QUAN TRỌNG 1 Trong phương pháp đổi biến số dạng 2 b * Sử dụng công thức : ∫ 0 b f ( x)dx = ∫ f (b − x)dx 0 Chứng minh : x = 0 → t = b • Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , ⇒ x = b → t = 0 b • Do đó : ∫ 0 0 b b b 0 0 f ( x)dx = ∫ f (b − t )(−dt ) = ∫ f (b − t ) dt = ∫ f (b − x )dx Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau a/ π 2 π 2 b/ ∫ 5cos x − 4sin 3x dx 4sin... (b) • Kết luận : I= G (t ) u (a) 2 Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ β A DẠNG : I= ∫ α P ( x) dx ax+b ( a ≠ 0) β * Chú ý đến công thức : m β m ∫ ax+b dx = a ln ax+b α Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc α bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến β β β β P ( x) m 1 ∫α ax+b dx = α∫ Q( x) + ax+b dx = α∫ Q( x)dx + mα∫ ax+b dx 2 x3 dx Ví dụ 1 : Tính tích phân : I= ∫ 2x + 3 1 Giải Ta có : f ( x) = Do... ln 35 Trang 22 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3 x2 − 5 Ví dụ 2: Tính tích phân : I= ∫ x + 1 dx 5 Giải x −5 4 = x −1− x +1 x +1 3 5 +1 x2 − 5 4 1 2 3 dx = ∫ x − 1 − = 5 − 1 + 4 ln ÷ ÷dx = x − x − 4 ln x + 1 ÷ ÷ x +1 x +1 2 5 4 5 2 Ta có : f(x)= 3 Do đó : ∫ 5 β B DẠNG : ∫ ax α 2 P( x) dx + bx + c 1 Tam thức : f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt β Công thức cần lưu