1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Chuyên đề hình học không gian ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán 2015

17 1K 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 1,2 MB

Nội dung

và khoảng cách Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chópS ABC... Tính thể tích khối chóp0.. Bài giải tham khảo  SAB ABCD SAB SAD SA ïï íï ïïî.. Tính thể tích khối chóp0.

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

1

A

C

B

b c

a

A

b c

a – nửa chu vi

– bán kính đường tròn nội tiếp

A

b c

a

2 cos cos

2

2 cos cos

2

2 cos cos

2

bc

ac

ab

+

+

+

A

BC2 =AB2 +AC2 (Pitago)

AH BC =AB AC.

AB2=BH BC AC , 2=CH CB.

, AH HB HC.

AH =AB +AC =

2

BC

AM =

Trang 2

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2

AB AC BC

2

BA BC AC

2

CA CB AB

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông.

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

3 4

SD =

 Chiều cao tam giác đều:

3 2

hD =

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2.

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

2

A

N K

M

2 2

/ /

AMN ABC

AB AC BC

k

D D

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

A

N M

B

1 2

ABC

A

B

C

a

h

4 3 2

ABC

a S

a h

D

ìïï = ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

C D

2

2

HV

ïïï

Þ íï

ïïî

(cạnh)2

đều

(cạnh)

đều

Trang 3

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

S Hình Thang

1 2

=

.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản

dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích

đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng // d mp a với ( ) (dË ( )a )

 Chứng minh: d d // ' và d' ( )Ì a

 Chứng minh: dÌ ( )b và ( )b // ( )a

b/ Chứng minh mp( )a // mp( )b

 Chứng minh mp a( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b( ).

 Chứng minh mp a( ) và mp b( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc

với 1 đường thẳng.

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp a b( ),( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

( ) // //

( )a Ç b =Sx a b.

( ) ( )

//

//

( )

( )

a mp

b a

a mp

a

b

íï Ì

ïïî

.

2 Quan Hệ Vuông Góc

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp a( ).

3

A

D

2

AD BC AH

A

B

D

2

H Thoi

Trang 4

 Chứng minh:

( )

// ' '

d d

d mp a

íï ^

( ) // ( )

d mp

b

ìï ^

íï

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng

vuông góc với mặt phẳng thứ 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P

d

a b

ïï

íï

ïïî

 Chứng minh d^( )a và ( )a É d'.

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

 Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900

 Chứng minh ( )

( ) ( ) ( )

d

d

a

b

íï ^

vuông góc với mp kia)

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

3/ Góc Và Khoảng Cách.

a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

' ( , ) ( ', ') '

a a

a b a b

íï

b/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng mp a( )

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

( )

·, ( , ')·

d a d d f

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp a( )).

c/ Góc giữa hai mp a và ( ) mp b( )

4

d

a

b

'

a

'

b

Trang 5

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

( )

·

(( );a b ) =( , )a b¶ =f

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

( , )

d M D =MH

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a( )

chứa d' và song song với d.

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( )a , b

lần lượt chứa dvà d'.

5

M

d

'

d

M

M

D H

'

d

Trang 6

A

B

C H O

A

D S

O H

4/ Hinh Chóp Đều

a/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo

với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó:

 ĐáyABClà tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO =SBO· =SCO· .

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

AB

AO= AH OH = AH AH =

 Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCDlà hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO=SBO· =SCO· =SDO· .

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

6

Trang 7

B

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc

với đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh

bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên

( )

SA ^ ABC thì chiều cao làSA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc

với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của

tam giác chứa trong mặt bên vuông góc

với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên

(SAB vuông góc với mặt đáy) (ABCD thì chiều cao của hình chóp)

là chiều cao củaDSAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc

với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến

của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên

(SAB và) (SAD cùng vuông góc )

với mặt đáy(ABCD thì chiều cao )

là SA

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng

nối đỉnh và tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCD

thì có đường cao làSO 6/ Thể Tích Khối Đa Diện

1/ Thể tích khối chóp: 1

3

V = B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng trụ: V =B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng

là cạnh bên

7

C D S

O

C A

B

B’

A

B

C

A’

B’

C’

a

b

c

a

S

A

B

’ C

C

Trang 8

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:

V =abc

Þ Thể tích khối lập phương: V =a3

4/ Tỉ số thể tích:

' ' '

.

'. '. '

S A B C

S ABC

V = SA SB SC

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

( ' ')

3

h

V = B +B + BB

Với , ',B B h là diện tích hai đáy và chiều

cao

B BÀI TẬP MẪU

Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

B BAC = SA=AC = và a SA vuông góc với mp ABC( )

.Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABC

3

S ABC ABC

V = SD SA

* Trong đó: SA=a ( )2

* Tìm SDABC?

TrongDABCvuông tạiB, ta có:

0 0

.sin30 sin30

2 3

2

a

AC

AB AC AC

ì

( )

2

ABC

SD AB BC

S ABC

8

S

B

3

0 0

a

Trang 9

Tính khoảng cách từAđếnmp SBC ( )

.

3

1

3

S ABC

SBC

V

S

D

D

* Tìm DSBC ?

BC SA

SBC

SD BC BS AC AB SA AB a æçç ö÷÷ a æçç ö÷÷

( )

6

* Thế( ) ( )4 , 6 vào( )5 ,( ) 3 3 3 28 21

d A SBC

a

Thí dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có

AB =a BC = a Hai mp SAB và ( ) mp SAD cùng vuông góc với mặt ( )

phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp0

S ABCD theo a .

Bài giải tham khảo

SAB ABCD

SAB SAD SA

ïï

íï

ïïî

Þ Hình chiếu củaSClênmp ABCD là( )

AC

SC ABCD SCA

3

S ABCD ACBD

 TìmSA ?

9

S

6

0 0

Trang 10

TrongDSAC vuông tạiA: tanSCA· SA SA AC.tanSCA·

AC

( )

 Ta lại có: S ABCD =AB BC =a a.2 =2a2 ( )3 .

 Thay( ) ( )2 , 3 vào( )1 1 15 2 2 2 3 15

ABCD

a

Thí dụ 3 Hình chóp S ABC có BC =2a , đáy ABC là tam giác vuông tại , C SAB là

tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

Gọi I là trung điểm cạnh AB .

a/ Chứng minh rằng, đường thẳng SI ^mp ABC( ) .

b/ Biết mp SAC hợp với( ) mp ABC một góc( ) 60 Tính thể tích khối chóp0

S ABC .

Bài giải tham khảo

a/ CM: SI ^mp ABC( )

 DoDSABvuông cân tại cóSI là trung tuyếnÞ SI cũng

đồng thời là đường caoÞ SI ^AB

SAB ABC

AB SAB ABC SI mp ABC

AB SI SAB

ïï

íï

ïïî

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chópS ABC

 GọiK là trung điểm của đoạnAC

SK

Þ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong

SAC SK AC

 TrongDABCvuông tạiC có KI là đường trung bình

//

KI BC

KI AC

BC AC

ìïï

 Mặt khác:

mp ABC mp SAC AC

KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI

SK AC mp SAC

ï

ïïî

3

S ABC ABC

V = SD SI

 TìmSI ?

10

S

C

I K

6

0 0

2 a

Trang 11

TrongDSK I vuông tạiI , ta có:

2

SI

IK

 TìmSDABC ?

( )2

ABC

SD = BC AC = BC AB - BC = BC SI - BC

( ) ( ) ( )

Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) 2 3

.

S ABC

a

Thí dụ 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a

Hình chiếu vuông góc của A'xuống mp ABC là trung điểm của( ) AB Mặt

bên(AA C C tạo với đáy một góc bằng 45' ' ) o Tính thể tích của khối lăng

trụ này.

Bài giải tham khảo

 Gọi , ,H M I lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AB AC AM , ,

V ABC A B C ' ' ' =B h =SDABC 'A H ( )1

ABC

 TìmA H' ?

DoIH là đường trung bình trong đều DAMB,

đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường

cao

Do đó: IH // MB

IH AC

MB AC

( )

'

AC A H

AC A HI AC A I

AC IH

ïî

ABC ACC A AC

AC A I ACC A

ïïî

Trong DA HI' vuông tạiH , ta có:

( )

o

HI

11

A

C

C

M I

H

a

Trang 12

 Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) ' ' ' 2 3

ABC A B C

V

Thí dụ 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại

A AC =a ACB = Đường chéo BC'của mặt bên (BC C C tạo với ' ' )

mặt phẳng mp AA C C một góc ( ' ' ) 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo

a .

Bài giải tham khảo

AB AA

vuông góc của BC ¢ lên ( ACC A¢ ¢ )

Từ đó, góc giữaBC ¢và ( ACC A¢ ¢là ) BC A· ¢ =300.

 Trong tam giác vuôngABC : AB =AC.tan600=a 3.

 Trong tam giác vuôngABC': AC¢=AB.cot 300=a 3 3=3a.

 Trong tam giác vuông ACC':

CC = AC - AC = a - a = a

V =B h= AB AC CC = a a a =a

(đvdt)

Thí dụ 6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy

bằng 60 Tính thể tích của hình chóp0 S ABCD.

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABCD

 GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO ^mp ABCD( )

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là

trung điểm đoạnCD

CD SM SCD

CD SCD ABCD

ïï

íï

ïïî

(góc giữa mặt(SCD)và mặt đáy)

3

S ABCD ABCD

 TìmSO ?

12

B

B

A

0 0

3

0 o

S

A

D

O

2 a

M

6

0 0

Trang 13

TrongDSMOvuông tạiO, ta có: tanSMO· SO

OM

=

2

BC

 Mặt khác: S ABCD =BC2=( )2a 2=4a2 ( )3

 Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) 1 2 4 3 3

ABCD

a

C BÀI TẬP

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại

( )

B AB =a SA ^ ABC , góc giữa mp SBC và( ) mp ABC bằng( ) 30 Gọi0 M

là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp S ABM theo a.

3

S ABM M SAB SAB

V =V = SD MN

3 2

36

S ABM M SAB

a

Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD Gọi , ,M N P lần

lượt là trung điểm củaSB BC CD Tính thể tích khối tứ diện, , CMNP

HD: GọiH là trung điểm củaADthì

SH ^AD

SH ABCD

//

MK SH K Î HB Þ MK ^(ABCD)

3

CMNP CNP

V = SD MK

13

S

H

A

B M

N

P

K

Trang 14

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật

vớiAB =a AD, =a 2,SA = và a SA vuông góc với

mặt phẳng đáy Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

,

AD SC và I là giao điểm của BM vàAC Tính thể tích

khối tứ diệnANIB

HD: GọiOlà tâm của của đáyABCD

 TrongDSAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:

//

NO SA

NO ABCD

SA ABCD

ïïî

.

3

ANIB N AIB AIB

V =V = SD NO

 Tìm SDAIB =?

DoI là trọng tâmDABDnên

2

ïïï

ïî

AB =a =æçççç ö÷÷÷÷+æçççç ö÷÷÷÷=AI +BI Þ DAIB

.

N AIB

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng

'

BB và mp ABC bằng ( ) 60 , tam giác0 ABCvuông tạiC và góc

BAC = Hình chiếu vuông góc của điểmB' lên mp ABC trùng với ( )

trọng tâm củaDABC Tính thể tích của khối tứ diệnA ABC' theo a.

HD:

Gọi ,M N là trung điểm của AB AC Khi đó,, Glà trọng tâm củaDABC

Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC là( ) G nênB G' ^(ABC)

( )

BB ABC B BG

14

C D

M I

S

A

B M

N

I O

A

B

C

A

B

C G

N M

Trang 15

Ta có: ' 1. ' 1. . ' ( )1

A ABC ABC

V = SD B G = AC BC B G

TìmB G' ?

Trong DB BG' vuông tạiG và có ·B BG =' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh là

'

BB =a ; ' 3 ( )2

a

 TìmAB BC ?,

ĐặtAB =2x TrongDABCvuông tạiC có ·BAC =600nên nó

cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC

2

AB

a

TrongDBNCvuông tạiC : BN2=NC2+BC2

( )

3

2 13

a AC

a BC

ïï ïï

ïï ïïî

 Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) ' 3

A ABC

V

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách

đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp

S.ABC

HD:

15

6

0 0

B

M

G

Trang 16

Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng

3

a và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’ ABC

HD:

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,

ACB  Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một

góc 300

a) Chứng minh tam giác ABC' vuông tại A

b) Tính độ dài đoạn AC’

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC

HD:

Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng 1 Gọi ,M N lần lượt là

trung điểm củaABvà CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngA C' và

MN

HD: PP tọa độ ĐS: ( , ') 2

4

d MN AC =

Bài 9 Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông tạiB SA, ^mp ABC( )

Biết rằng: AB = a, AC =2a, góc giữa hai mặt phẳng(SBC và) (ABC bằng)

0

60 Tính thể tích khối chópS ABC theoa

ĐS: V = a32.

Bài 10 Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông cân tạiB SA, ^(ABC)

Cho AC =a 2, SB =3a Tính thể tích của khối chóp S ABC. .

16

Ngày đăng: 26/04/2015, 18:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w