và khoảng cách Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chópS ABC... Tính thể tích khối chóp0.. Bài giải tham khảo SAB ABCD SAB SAD SA ïï íï ïïî.. Tính thể tích khối chóp0.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A LÝ THUYẾT
I HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:
2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường
a) Định lí hàm số cosin
b) Định lí hàm số sin
c) Công thức tính diện tích của tam giác
1
A
C
B
b c
a
A
b c
a – nửa chu vi
– bán kính đường tròn nội tiếp
A
b c
a
2 cos cos
2
2 cos cos
2
2 cos cos
2
bc
ac
ab
+
+
+
A
BC2 =AB2 +AC2 (Pitago)
AH BC =AB AC.
AB2=BH BC AC , 2=CH CB.
, AH HB HC.
AH =AB +AC =
2
BC
AM =
Trang 2d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
2
AB AC BC
2
BA BC AC
2
CA CB AB
3/ Định lí Talet
4/ Diện tích của đa giác
a/ Diện tích tam giác vuông
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh
góc vuông.
b/ Diện tích tam giác đều
Diện tích tam giác đều:
3 4
SD =
Chiều cao tam giác đều:
3 2
hD =
c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật
Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2.
Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
2
A
N K
M
2 2
/ /
AMN ABC
AB AC BC
k
D D
(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
A
N M
B
1 2
ABC
A
B
C
a
h
4 3 2
ABC
a S
a h
D
ìïï = ïïï
Þ í
ïï = ïï ïî
C D
2
2
HV
ïïï
Þ íï
ïïî
(cạnh)2
đều
(cạnh)
đều
Trang 3d/ Diện tích hình thang
Diện tích hình thang:
S Hình Thang
1 2
=
.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau
tại trung điểm của mỗi đường.
Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản
dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích
đa giác
II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Quan Hệ Song Song
a/ Chứng minh đường thẳng // d mp a với ( ) (dË ( )a )
Chứng minh: d d // ' và d' ( )Ì a
Chứng minh: dÌ ( )b và ( )b // ( )a
b/ Chứng minh mp( )a // mp( )b
Chứng minh mp a( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b( ).
Chứng minh mp a( ) và mp b( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc
với 1 đường thẳng.
c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
Hai mp a b( ),( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì
( ) // //
( )a Ç b =Sx a b.
( ) ( )
//
//
( )
( )
a mp
b a
a mp
a
b
íï Ì
ïïî
.
2 Quan Hệ Vuông Góc
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp a( ).
3
A
D
2
AD BC AH
A
B
D
2
H Thoi
Trang 4 Chứng minh:
( )
// ' '
d d
d mp a
íï ^
( ) // ( )
d mp
b
ìï ^
íï
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng thứ 3:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P
d
a b
ïï
íï
ïïî
Chứng minh d^( )a và ( )a É d'.
Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900
Chứng minh ( )
( ) ( ) ( )
d
d
a
b
íï ^
vuông góc với mp kia)
Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900
3/ Góc Và Khoảng Cách.
a/ Góc giữa hai đường thẳng
Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương
với hai đường thẳng đó:
//
//
' ( , ) ( ', ') '
a a
a b a b
íï
b/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng mp a( )
Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
( )
·, ( , ')·
d a d d f
(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp a( )).
c/ Góc giữa hai mp a và ( ) mp b( )
4
d
a
b
'
a
'
b
Trang 5 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
( )
·
(( );a b ) =( , )a b¶ =f
d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng
( , )
d M D =MH
e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.
f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a( )
chứa d' và song song với d.
Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( )a , b
lần lượt chứa dvà d'.
5
M
d
'
d
M
M
D H
'
d
Trang 6A
B
C H O
A
D S
O H
4/ Hinh Chóp Đều
a/ Định nghĩa.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo
với đáy các góc bằng nhau
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
b/ Hai hình chóp đều thường gặp
* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó:
ĐáyABClà tam giác đều
Các mặt bên là các tam giác cân tạiS
Chiều cao: SO
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO =SBO· =SCO· .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO
AB
AO= AH OH = AH AH =
Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy
* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD
ĐáyABCDlà hình vuông
Các mặt bên là các tam giác cân tạiS
Chiều cao: SO
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO=SBO· =SCO· =SDO· .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO
6
Trang 7B
5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp
a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh
bên vuông góc với đáy
Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên
( )
SA ^ ABC thì chiều cao làSA
b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc
với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của
tam giác chứa trong mặt bên vuông góc
với đáy
Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên
(SAB vuông góc với mặt đáy) (ABCD thì chiều cao của hình chóp)
là chiều cao củaDSAB
c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến
của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy
Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên
(SAB và) (SAD cùng vuông góc )
với mặt đáy(ABCD thì chiều cao )
là SA
d/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng
nối đỉnh và tâm của đáy
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCD
thì có đường cao làSO 6/ Thể Tích Khối Đa Diện
1/ Thể tích khối chóp: 1
3
V = B h
:
B Diện tích mặt đáy
:
h Chiều cao của khối chóp
2/ Thể tích khối lăng trụ: V =B h
:
B Diện tích mặt đáy
:
h Chiều cao của khối chóp
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng
là cạnh bên
7
C D S
O
C A
B
B’
A
B
C
A’
B’
C’
a
b
c
a
S
A
’
B
’ C
’
C
Trang 83/ Thể tích hình hộp chữ nhật:
V =abc
Þ Thể tích khối lập phương: V =a3
4/ Tỉ số thể tích:
' ' '
.
'. '. '
S A B C
S ABC
V = SA SB SC
5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
( ' ')
3
h
V = B +B + BB
Với , ',B B h là diện tích hai đáy và chiều
cao
B BÀI TẬP MẪU
Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại
B BAC = SA=AC = và a SA vuông góc với mp ABC( )
.Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chópS ABC
3
S ABC ABC
V = SD SA
* Trong đó: SA=a ( )2
* Tìm SDABC?
TrongDABCvuông tạiB, ta có:
0 0
.sin30 sin30
2 3
2
a
AC
AB AC AC
ì
( )
2
ABC
SD AB BC
S ABC
8
S
B
3
0 0
a
Trang 9Tính khoảng cách từAđếnmp SBC ( )
.
3
1
3
S ABC
SBC
V
S
D
D
* Tìm DSBC ?
BC SA
SBC
SD BC BS AC AB SA AB a æçç ö÷÷ a æçç ö÷÷
( )
6
* Thế( ) ( )4 , 6 vào( )5 ,( ) 3 3 3 28 21
d A SBC
a
Thí dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB =a BC = a Hai mp SAB và ( ) mp SAD cùng vuông góc với mặt ( )
phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp0
S ABCD theo a .
Bài giải tham khảo
SAB ABCD
SAB SAD SA
ïï
íï
ïïî
Þ Hình chiếu củaSClênmp ABCD là( )
AC
SC ABCD SCA
3
S ABCD ACBD
TìmSA ?
9
S
6
0 0
Trang 10TrongDSAC vuông tạiA: tanSCA· SA SA AC.tanSCA·
AC
( )
Ta lại có: S ABCD =AB BC =a a.2 =2a2 ( )3 .
Thay( ) ( )2 , 3 vào( )1 1 15 2 2 2 3 15
ABCD
a
Thí dụ 3 Hình chóp S ABC có BC =2a , đáy ABC là tam giác vuông tại , C SAB là
tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
Gọi I là trung điểm cạnh AB .
a/ Chứng minh rằng, đường thẳng SI ^mp ABC( ) .
b/ Biết mp SAC hợp với( ) mp ABC một góc( ) 60 Tính thể tích khối chóp0
S ABC .
Bài giải tham khảo
a/ CM: SI ^mp ABC( )
DoDSABvuông cân tại cóSI là trung tuyếnÞ SI cũng
đồng thời là đường caoÞ SI ^AB
SAB ABC
AB SAB ABC SI mp ABC
AB SI SAB
ïï
íï
ïïî
(đpcm)
b/ Tính thể tích khối chópS ABC
GọiK là trung điểm của đoạnAC
SK
Þ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong
SAC SK AC
TrongDABCvuông tạiC có KI là đường trung bình
//
KI BC
KI AC
BC AC
ìïï
Mặt khác:
mp ABC mp SAC AC
KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC
ï
ïïî
3
S ABC ABC
V = SD SI
TìmSI ?
10
S
C
I K
6
0 0
2 a
Trang 11TrongDSK I vuông tạiI , ta có:
2
SI
IK
TìmSDABC ?
( )2
ABC
SD = BC AC = BC AB - BC = BC SI - BC
( ) ( ) ( )
Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) 2 3
.
S ABC
a
Thí dụ 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a
Hình chiếu vuông góc của A'xuống mp ABC là trung điểm của( ) AB Mặt
bên(AA C C tạo với đáy một góc bằng 45' ' ) o Tính thể tích của khối lăng
trụ này.
Bài giải tham khảo
Gọi , ,H M I lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AB AC AM , ,
V ABC A B C ' ' ' =B h =SDABC 'A H ( )1
ABC
TìmA H' ?
DoIH là đường trung bình trong đều DAMB,
đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường
cao
Do đó: IH // MB
IH AC
MB AC
( )
'
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH
ïî
ABC ACC A AC
AC A I ACC A
ïïî
Trong DA HI' vuông tạiH , ta có:
( )
o
HI
11
A
C
’
C
M I
H
a
Trang 12 Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) ' ' ' 2 3
ABC A B C
V
Thí dụ 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại
A AC =a ACB = Đường chéo BC'của mặt bên (BC C C tạo với ' ' )
mặt phẳng mp AA C C một góc ( ' ' ) 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo
a .
Bài giải tham khảo
AB AA
vuông góc của BC ¢ lên ( ACC A¢ ¢ )
Từ đó, góc giữaBC ¢và ( ACC A¢ ¢là ) BC A· ¢ =300.
Trong tam giác vuôngABC : AB =AC.tan600=a 3.
Trong tam giác vuôngABC': AC¢=AB.cot 300=a 3 3=3a.
Trong tam giác vuông ACC':
CC = AC - AC = a - a = a
V =B h= AB AC CC = a a a =a
(đvdt)
Thí dụ 6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng 60 Tính thể tích của hình chóp0 S ABCD.
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chópS ABCD
GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO ^mp ABCD( )
nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là
trung điểm đoạnCD
CD SM SCD
CD SCD ABCD
ïï
íï
ïïî
(góc giữa mặt(SCD)và mặt đáy)
3
S ABCD ABCD
TìmSO ?
12
B
’
B
’
A
0 0
3
0 o
S
A
D
O
2 a
M
6
0 0
Trang 13TrongDSMOvuông tạiO, ta có: tanSMO· SO
OM
=
2
BC
Mặt khác: S ABCD =BC2=( )2a 2=4a2 ( )3
Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) 1 2 4 3 3
ABCD
a
C BÀI TẬP
Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại
( )
B AB =a SA ^ ABC , góc giữa mp SBC và( ) mp ABC bằng( ) 30 Gọi0 M
là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp S ABM theo a.
3
S ABM M SAB SAB
V =V = SD MN
3 2
36
S ABM M SAB
a
Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)
Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD Gọi , ,M N P lần
lượt là trung điểm củaSB BC CD Tính thể tích khối tứ diện, , CMNP
HD: GọiH là trung điểm củaADthì
SH ^AD
SH ABCD
//
MK SH K Î HB Þ MK ^(ABCD)
3
CMNP CNP
V = SD MK
13
S
H
A
B M
N
P
K
Trang 14Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)
Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật
vớiAB =a AD, =a 2,SA = và a SA vuông góc với
mặt phẳng đáy Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của
,
AD SC và I là giao điểm của BM vàAC Tính thể tích
khối tứ diệnANIB
HD: GọiOlà tâm của của đáyABCD
TrongDSAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:
//
NO SA
NO ABCD
SA ABCD
ïïî
.
3
ANIB N AIB AIB
V =V = SD NO
Tìm SDAIB =?
DoI là trọng tâmDABDnên
2
ïïï
ïî
AB =a =æçççç ö÷÷÷÷+æçççç ö÷÷÷÷=AI +BI Þ DAIB
.
N AIB
Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)
Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng
'
BB và mp ABC bằng ( ) 60 , tam giác0 ABCvuông tạiC và góc
BAC = Hình chiếu vuông góc của điểmB' lên mp ABC trùng với ( )
trọng tâm củaDABC Tính thể tích của khối tứ diệnA ABC' theo a.
HD:
Gọi ,M N là trung điểm của AB AC Khi đó,, Glà trọng tâm củaDABC
Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC là( ) G nênB G' ^(ABC)
( )
BB ABC B BG
14
C D
M I
S
A
B M
N
I O
A
’
B
’
C
’
A
B
C G
N M
Trang 15Ta có: ' 1. ' 1. . ' ( )1
A ABC ABC
V = SD B G = AC BC B G
TìmB G' ?
Trong DB BG' vuông tạiG và có ·B BG =' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh là
'
BB =a ; ' 3 ( )2
a
TìmAB BC ?,
ĐặtAB =2x TrongDABCvuông tạiC có ·BAC =600nên nó
cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC
2
AB
a
TrongDBNCvuông tạiC : BN2=NC2+BC2
( )
3
2 13
a AC
a BC
ïï ïï
ïï ïïî
Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) ' 3
A ABC
V
Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách
đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp
S.ABC
HD:
15
6
0 0
B
M
G
Trang 16Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng
3
a và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’ ABC
HD:
Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,
ACB Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một
góc 300
a) Chứng minh tam giác ABC' vuông tại A
b) Tính độ dài đoạn AC’
c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC
HD:
Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)
Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng 1 Gọi ,M N lần lượt là
trung điểm củaABvà CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngA C' và
MN
HD: PP tọa độ ĐS: ( , ') 2
4
d MN AC =
Bài 9 Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông tạiB SA, ^mp ABC( )
Biết rằng: AB = a, AC =2a, góc giữa hai mặt phẳng(SBC và) (ABC bằng)
0
60 Tính thể tích khối chópS ABC theoa
ĐS: V = a32.
Bài 10 Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông cân tạiB SA, ^(ABC)
Cho AC =a 2, SB =3a Tính thể tích của khối chóp S ABC. .
16