chuyen de toan GTTĐ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
A Đặt vấn đề: Giá trị tuyệt đối số phạm trù kiến thức hẹp, tơng đối trừu tợng Đây vấn đề mà học sinh đợc học chơng trình lớp (đối với số nguyên) tiếp tục đợc học lớp (đối với số thực) nhng vấn đề đơn giản học sinh Khi gặp toán có giá trị tuyệt đối không học sinh lúng túng phải đâu đặc biệt xoay sở Điều dễ hiểu đợc học phần lý thuết song số tập để củng cố để khắc sâu, để bao quát hết dạng lại không nhiều, sức thuyết phục để lôi kéo hăng say học tập học sinh Qua giảng dạy phần Giá trị tuyệt đối số tự rút số vấn đề trọng tâm sau: Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải toán có chứa giá trị tuyệt đối Một số dạng toán giá trị tuyệt đối Một số toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối Để học sinh nắm bắt đợc kiến thức cách chặt chẽ lô gíc, giúp học sinh có khiếu nâng cao kiến thức cách có hệ thống theo chơng trình đợc tiếp thu lớp học hàng ngày B Nội dung: I Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối Trớc đa dạng toán giá trị tuyệt phơng pháp giải giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc nhớ đợc định nghĩa giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy số tính chất để vận dụng vào làm tập Định nghĩa: Với a R |a| = a a - a a Tính chất: Từ định nghĩa suy tính chất sau: * |a| = < = > a = * |a| = |- a| với a R * |a| với a R Dấu = xảy < = > a = * |a| a với a R Dấu = xảy < = > a * |a| - a với a R Dấu = xảy < = > a * |a +b| |a| +|b| với a,b R Dấu = xảy < = > ab II Phng phỏp gii bi toỏn ú cú cha giỏ tr tuyt i Cần cho học sinh vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối (chủ yếu định nghĩa giá trị tuyệt đối số, biểu thức) để đa toán toán không chứa dấu giá trị tuyệt đối để tiến hành phép tính đại số quen thuộc III Mt s dng toỏn v giỏ tr tuyt i ca mt s Dạng 1: Tính giá trị biểu thức: Đối với dạng toán giáo viên phải cho học sinh thấy đợc giống khác toán tính giá trị biểu thức đơn với toán tính giá trị biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối a Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = 3x2 - 2x + với |x| = x = x = -2 từ có giá trị biểu thức A tơng ứng Bài giải: Vì |x| = => x = x = -2 * Với x = ta có : A = 3.22 - 2.2 + = * Với x = -2 ta có : A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + = 17 Vậy với |x| = : A = 9; A = 17 b Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức B = |x - 2| - |1- x| x = Đối với toán học sinh phải biết thay x = vào biểu thức B sau bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị biểu thức B Bài giải: Với x = ta có: B = |4 - 2| - |1 - 4| = 2.2 - 3.3 = - Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Đối với dạng toán giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối biểu thức (nếu biểu thức không âm) biểu thức đối (nếu biểu thức âm) Vì bỏ dấu giá trị tuyệt đối biểu thức cần xét giá trị biến làm cho biểu thức dơng hay âm Dấu biểu thức thờng đợc viết bảng xét dấu a Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - |x - 8| toán bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét trờng hợp biến x làm cho x - 0; x - < |x - 8| = x - với x - 0; x - (x -8) = - x + với x - < x A = (x - 3) - (x - 4) = x - - x + = Vậy: A = -1 x < 2x - x x > Hoặc cho học sinh lập biểu biến đổi sau: x |x - 3| |x - 4| A = |x - 3| - |x - 4| Vậy: A = -1 3-x 4-x -1 x-3 4-x 2x - x-3 x-4 x < 2x - x x > Dạng 3: Tìm giá trị biến đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng giáo viên cần lu ý cho học sinh dạng sau: 3.1 |f(x) | = a (a 0) < => f(x) = a f(x) = - a 3.2 |f (x) | = | g(x) | f(x) = g(x) f(x) = - g(x) 3.3 |f(x) + g(x) = a Phải xét trờng hợp: * f(x) |f(x)| = f(x) * f (x) < |f(x)| = - f(x) 3.4 |f(x)| + |g(x)| = a dạng phải lập bảng xét dấu để xét hết trờng hợp xảy (lu ý học sinh số trờng hợp xảy số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1) |2x - 1| = a Ví dụ 1: Tìm x biết: Bài toán thuộc dạng 3.1 Cách giải: |2x - 1| = => 2x - = => 2x - = - Vậy x 2x = => 2x = - x=2 x = -1 - 1; |x - 3,5| = |4,5 - x| b Ví dụ 2: Tìm x biết: Bài toán thuộc dạng 3.2 Cách giải: |x - 3,5| = |4,5 - x| => x - 3,5 = 4,5 - x => x - 3,5 = x - 4,5 => 2x = x + x = 4,5 +3,5 x - x = - 4,5 + 3,5 => x = ox = -1,5 vô lý Vậy x = c Ví dụ 3: Tìm x biết: | x-7| + x - = Bài toán thuộc dạng 3.3 Cách giải |x - 7| + x - = (1) Xét trờng hợp * Nếu x - < => x |x - 7| = x - Từ (1) => x - + x - = = > 2x - 12 = => 2x = 15 => x = 7,5 > Thoả mãn điều kiện * Nếu x - < < => x < |x - 7| = - x Từ (1) = > - x + x - = => ox + = => ox = vô lý Vậy: x = 7,5 |x - 3| + |4 - x| = d Ví dụ 4: Tìm x biết: Bài toán thuộc dạng 3.4 Cách giải: |x - 3| + |4 - x| = (2) * Lập bảng xét dấu: x x -3 4-x + + + + - * Nếu x < |x - 3| = - x; |4 - x| = - x Từ (2) => - x +4 - x = = > - 2x + = = > - 2x = -1 = > x = 0,5 < TMĐK * Nếu x |x - 3| = x - |4 - x| = - x Từ (2) => x - + - x = => 0x = + - => 0x = vô lý * Nếu x > Thì |x - 3| = x - ; |4 - x| = x - Từ (2) => x - + x - = = > x = 6+3+4 => 2x = 13 => x = 6,5 > TMĐK Vậy x 6,5; 0,5 e Ví dụ 5: Tìm x biết |x - 3| + |5 - x| = Dạng phải vận dụng |f(x)| Cách giải Vì |x-3| |5-x| với x R Do đó: |x - 3| + |5-x| = x = x = Điều đồng thời xảy Vậy không tồn x thoả mãn yêu cầu đề Dạng 4: Tìm giá trị biến bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối dạng giáo viên lu ý quy tắc sau: |f(x) | = f(x) f(x) - f(x) f(x) < Sau lần lợt giải tìm giá trị biến bất đẳng thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối cuối tổng hợp kết đạt đợc để có toàn giá trị biến a Ví dụ 1: Tìm x biết: |3x - 2| < (1) dạng cần vận dụng với a số dơng Nếu |f(x)| < a - a < f(x) < a; (f(x) (Nằm khoảng) Cách giải: Cách 1: |3x - 2| < - < 3x - < < - < 3x < < => - < x < Cách 2: |3x - 2| = 3x - x Error! Not a valid link - 3x + x < * Nếu x (*) (1) trở thành 3x - < => x < (**) Từ (*) (**) => * Nếu x < 3 (3) x < (2) (1) trở thành - 3x + < x > - Từ (3) (4) => Từ (2), (5) => - (4) 2 < x < (5) 3 < x < Cách 3: Lập bảng biến đổi |3x - 2| < |3x - 2| - < x |3x - 2| - - - 3x 3x - Nghiệm thích hợp 2 7; x > (Thoả mãn điều kiện xét) * Với x < - (1) trở thành - x - > x < 12 (Thoả mãn điều kiện xét) Vậy: x < -12 x > Qua cách làm giáo viên cho học sinh vấn đề sau: Với a số dơng Nếu |f(x) | > a f(x) > a f(x) < - a (f(x) nằm khoảng) Cách 2: |x + 5| > x+5>7 x + < -7 x>2 x < - 12 Vậy x < - 12 x > Cách 3: Lập bảng biến đổi |x + 5| > < => |x +5| - > x |x + 5| - Nghiệm thích hợp - x - 12 x < - 12 x-2 x>2 Vậy x < - 12 x > Giáo viên chốt lại: Qua ví dụ nên vận dụng với a số dơng * Nếu |f(x) | < a - a < f(x) < a * Nếu |f(x) | > a f(x) > a f(x) < - a Hoặc chuyển hết vế biểu thức, vế O sau lập bảng xét dấu Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biến thức: A = 5|3x - 2| - học sinh phải biết vận dụng đợc kiến thức | a| với a R để giải Cách giải Ta có |3x - 2| với x R = > 5|3x - 2| với x R = > A = |3x - 2| - = - với x R Dấu = xảy < = > 3x - = < => hay x = Min A = - x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = |x - 5| + |x - 7| Dạng giáo viên giới thiệu cho học sinh cách giải sau: Cách 1: Bài toán phụ: Chứng minh rằng: |a|+|b| |a + b| Dấu = xảy < = > ab Giáo viên hớng dấn cho học sinh chứng minh dựa vào | a | > a ; | a | > - a CM ta có: |a|>a => | a | + | b | > a+b (1) |a|>b 10 |a|>-a => | a | + | b | > - (a+b) => - (| a | + | b |) a+b (2) |b|>-b Từ (1) (2) => - (| a | + | b |) < a + b < | a | + | b | => | a + b | < | a | + | b | Dấu = xảy ab > áp dụng toán phụ, ta có: B = | x - | + | x - | = | x - | + | - x | > | x - + - x| B > | | = Dấu = xảy ra: (x - 5) (7 - x) > < => < x < (Lập bảng xét dấu) Vậy Min B = < x < Cách 2: Ta có trờng hợp sau (dựa vào bảng xét dấu) * Nếu x < B = - x + - x + = - 2x + 12 Vì: x < -2x > -10 -2x + 12 > Ta có: | x - | + | x - | > * Nếu < x < 7, ta có: B=x-5-x+7=2 * Nếu x > 7, ta có: B = x - + x -7 = 2x - 12 Vì x > 2x >14 nên 2x - 12 > Do đó: | x - | + | x - | > Vậy Min B = < x < Cách 3: 11 B = | x - | + | x - | tổng khoảng cách từ điểm x đến điểm điểm Tổng nhỏ x trùng với 5, trùng với Khi đó: | x - | + | x - | = - = Vậy Min B = < x < Cách 4: | x - | > x - Dấu = xảy x - > x > | x - | = | - x | > -x Dấu = xảy - x > x < Do đó: B = | x - | + | x - | > x - + - x = Dấu = xảy x > x < < x < Vậy Min B = < x < c Ví dụ 3: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ C = | x + | + | x + 13 | + | x + 20 | + | x + 77 | + | x + 2005 | Để giải toán giáo viên cần lu ý học sinh vận dụng định nghĩa tính chất sau: * |A|= A A > - A A < * | B | > B dấu = xảy B > * | C | > - C dấu = xảy C < * | D | > dấu = xảy D = Cách giải: | x + 5| > - ( x + 5) = - x - | x + 13 | > - ( x + 13) = - x - 13 | x + 20 | > | x + 77 | > x + 77 | x + 2005 | > x + 2005 12 Do C > - x - - x - 13 + + x + 77 + x + 2005 = 2064 Dấu = xảy x + < 0; x + 13 < 0; x + 20 = 0; x + 77 > 0; x + 2005 > Từ ta có x = - 20 Vậy với x = - 20 Min C = 2064 13 Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Vẽ đồ hàm số y = | x | Giải: x x > y=|x| = A -Ax x < + Với x > đồ thị hàm số y = x tia phân giác góc phần t thứ I + Với x < đồ thị hàm số y = -x tia phân giác góc phần t thứ II Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = (x + |x|) Giải: + Với x > y = x + Với x < y = Đồ thị hàm số gồm tia phân giác gốc phần t thứ I tia Ox Qua ví dụ giáo viên cho học sinh thấy đợc vẽ đồ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối phải khử dấu giá trị tuyệt đối để đa dạng đồ thị hàm số học IV Một số toán liên quan đến giá trị tuyệt đối: Bài 1: Tìm số nguyên x, y cho | x | + | y | = Giải: x y có vai trò bình đẳng Ta xét x chẳng hạn ta có: < | x | < x Z nên | x | N Do đó: | x | {0; 1; 2} + Nếu | x | = | y | = => x = 0; y = + + Nếu | x | = | y | = => x = + 1; y = + + Nếu | x | = | y | = => x = + 2; y = Vậy có tất cặp số thoả mãn đề là: ( x = 0; y = 2); ( x = 0; y = -2); 14 ( x = 1; y = 1) ( x = 1; y = -1); ( x = -1; y = 1); ( x = 2; y = 0); ( x = -2; y = 0); ( x = -1; y = -1) Bài 2: Trong số nguyên a, b, c có số âm, số dơng, số có thêm | a | = b2 (b - c) Hỏi số dơng, số âm, số 0? Giải: + Nếu b = | a| = 02 ( - C) => | a | = => a = tức a = b trái với đề + Nếu a = => b2 ( b - c) = => b2 = => b = => a = b trái với đề b - c = => b = c trái với đề Vậy c = => | a | = b2 ( b - 0) => | a | = b3 mà | a | > a => b3 > => b > => a < Vậy a < 0; b > 0; c = thoả mãn đề Bài 3: Cho đẳng thức | a | - = b2007 (a, b Z) a Xác định dấu a b biết chúng số nguyên khác trái dấu b Tính a b = c Tính b a = Giải: a Giả sử a > b < (vì a, b trái dấu) => b2007 < mà | a | - = b2007 => | a | - < => | a | < => -1 < a < mà a Z => a = trái vớu đề a, b Vậy a < 0; b > b Khi b = có | a | - = 02007 => | a | - = 15 => | a | = => a - 1; c Khi a = có | | - = b2007 => b2007 = -1 => b = - III Kết quả: Với cách đặt vấn đề giải vấn đề nh truyền thụ cho học sinh Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học sinh phân biệt nhận dạng đợc dạng toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối từ giải đợc hầu hết tập phần này, xoá cảm giác khó phức tạp ban đầu quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề qua thấy đợc dạng toán thật phong phú không đơn điệu Kết cụ thể: Với tập giáo viên đa học sinh giải đợc 90% cách tự lập tự giác VI Bài học kinh nghiệm: - Hầu hết học sinh nắm đợc cách trình bày, số tỏ lúng túng số làm tắt, bỏ qua bớc lập luận (nhất dễ) - Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm đợc dạng để nhận đợc dạng trớc toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Cần rèn luyện cách lập luận trình bày học sinh - Với bài, giáo viên phải để lại cho học sinh ấn tợng, bớc để gặp toán tơng tự học sinh liên hệ đợc Trên số vấn đề kiến thức phơng pháp mà rút đợc dạy phần giá trị tuyệt đối Trong trình thực đề tài chắn cha đợc hoàn hảo, tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ hình thức khoa học Tôi mong đợc góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới đợc tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi giáo dục Xin chân thành cảm ơn! 16 17 [...]... > 7, ta có: B = x - 5 + x -7 = 2x - 12 Vì x > 7 2x >14 nên 2x - 12 > 2 Do đó: | x - 5 | + | x - 7 | > 2 Vậy Min B = 2 5 < x < 7 Cách 3: 0 5 7 11 B = | x - 5 | + | x - 7 | là tổng các khoảng cách từ điểm x đến điểm 5 và điểm 7 Tổng này nhỏ nhất khi x ở giữa 5 và 7 hoặc trùng với 5, hoặc trùng với 7 Khi đó: | x - 5 | + | x - 7 | = 7 - 5 = 2 Vậy Min B = 2 5 < x < 7 Cách 4: | x - 5 | > x - 5... 5 | > x - 5 Dấu = xảy ra x - 5 > 0 x > 5 | x - 7 | = | 7 - x | > 7 -x Dấu = xảy ra 7 - x > 0 x < 7 Do đó: B = | x - 5 | + | x - 7 | > x - 5 + 7 - x = 2 Dấu = xảy ra x > 5 và x < 7 5 < x < 7 Vậy Min B = 2 5 < x < 7 c Ví dụ 3: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất C = | x + 5 | + | x + 13 | + | x + 20 | + | x + 77 | + | x + 2005 | Để giải bài toán này giáo viên cần lu... | + | x - 7 | = | x - 5 | + | 7 - x | > | x - 5 + 7 - x| B > | 2 | = 2 Dấu = xảy ra: (x - 5) (7 - x) > 0 < => 5 < x < 7 (Lập bảng xét dấu) Vậy Min B = 2 5 < x < 7 Cách 2: Ta có 3 trờng hợp sau (dựa vào bảng xét dấu) * Nếu x < 5 thì B = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12 Vì: x < 5 -2x > -10 -2x + 12 > 2 Ta có: | x - 5 | + | x - 7 | > 2 * Nếu 5 < x < 7, ta có: B=x-5-x +7= 2 * Nếu x > 7, ta có:... dấu = xảy ra D = 0 Cách giải: | x + 5| > - ( x + 5) = - x - 5 | x + 13 | > - ( x + 13) = - x - 13 | x + 20 | > 0 | x + 77 | > x + 77 | x + 2005 | > x + 2005 12 Do đó C > - x - 5 - x - 13 + 0 + x + 77 + x + 2005 = 2064 Dấu = xảy ra x + 5 < 0; x + 13 < 0; x + 20 = 0; x + 77 > 0; x + 2005 > 0 Từ đó ta có x = - 20 Vậy với x = - 20 thì Min C = 2064 13 6 Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví... đẳng thức | a | - 1 = b20 07 (a, b Z) a Xác định dấu của a và b biết rằng chúng là 2 số nguyên khác 0 và trái dấu nhau b Tính a nếu b = 0 c Tính b nếu a = 0 Giải: a Giả sử a > 0 thì b < 0 (vì a, b trái dấu) => b20 07 < 0 mà | a | - 1 = b20 07 => | a | - 1 < 0 => | a | < 1 => -1 < a < 1 mà a Z => a = 0 trái vớu đề bài là a, b 0 Vậy a < 0; b > 0 b Khi b = 0 có | a | - 1 = 020 07 => | a | - 1 = 0 15 =>... => | a | < 1 => -1 < a < 1 mà a Z => a = 0 trái vớu đề bài là a, b 0 Vậy a < 0; b > 0 b Khi b = 0 có | a | - 1 = 020 07 => | a | - 1 = 0 15 => | a | = 1 => a - 1; 1 c Khi a = 0 có | 0 | - 1 = b20 07 => b20 07 = -1 => b = - 1 III Kết quả: Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề nh trên trong khi truyền thụ cho học sinh Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học... trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học Tôi rất mong đợc sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới đợc tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục Xin chân thành cảm ơn! 16 17