10 bài toán lấy điểm hình học phẳng

CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY A KIẾN THỨC CƠ BẢN http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, B CÁC BÀI TOÁN BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM ðể hiểu rõ cho hướng tư tương ứng với TH Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ðiểm” thầy dùng thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho  11  ;  ñường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa ñộ ñiểm A  2 CN = 2ND Giả sử M  2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có ñộ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông 3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C1 ) : x + y = , (C2 ) : x + y − 12 x + 18 = ñường thẳng d : x − y − = Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M (− ;1) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình chữ nhật ABCD 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : x − y + = Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho  11  ;  ñường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa ñộ ñiểm A  2 CN = 2ND Giả sử M  Cách Phân tích: : +) Ta có { A} = AN ∩ AM nên Theo hướng tư (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM +) Biết M chưa biết A (chính ñáp số ta cần tìm) nên ta phải ñi tìm thêm vtpt vtcp +) Bài toán yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng ( uuuur uuur +) Yếu tố ñịnh lượng: cos ∠MAN = cos nAM , nAN uuuur ) ⇒n AM ⇒ phương trình AM → tọa ñộ ñiểm A Giải: ðặt AB = a ⇒ ND = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vuông CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = AM + AN − MN 2 = AM AN uuuur uuur uuuur uuur Gọi nAM = (a; b) vtpt AM ta có nAN = (2; −1) ⇒ cos ∠MAN = cos nAM , nAN Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = ( ) 2a − b 3a = −b = ⇔ 2(2a − b) = 5(a + b ) ⇔ 3a − 8ab − 3b = ⇔ (3a + b)(a − 3b) = ⇔  2 2 a + b +1  a = 3b uuuur 11   1  +) Với 3a = −b chọn a = 1; b = −3 ⇒ nAM = (1; −3) ⇒ phương trình AM :  x −  −  y −  = 2  2  2 x − y − =  x = ⇔ ⇒ A(1; −1) hay AM : x − y − = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta giải hệ:   x − y − =  y = −1 uuuur 11   1  +) Với a = 3b chọn a = 3; b = ⇒ nAM = (3;1) ⇒ phương trình AM :  x −  +  y −  = 2  2  ⇔ 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ A(4;5) 3x + y − 17 =  y = hay AM : x + y − 17 = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta giải hệ:  Vậy A(1; −1) A(4;5) http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, Cách 2: Phân tích: A ∈ AN nên Theo hướng tư (TH2) ta gọi A(t ) ∈ AN ta cần thiết lập phương trình f (t ) = A  11  ;  trung ñiểm BC ta chưa sử dụng – giúp ta làm ñiều này) → t = ? →  2 (còn kiện M  Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = 11 − −3 2 +1 2 = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vuông CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = MH = +) Gọi A(t ; 2t − 3) ∈ AN AM = 10 (*) = 2 45 (theo (*)) t =  A(1; −1)  45  11   ⇔ t − 5t + = ⇔  ⇒ ⇔  t −  +  2t −  = 2  2  t =  A(4;5) Vậy A(1; −1) A(4;5) 2 Cách 3:  11  ;  cố ñịnh Nếu AM = h = const ( ta tìm cách ñi tính AM )  2 Phân tích: A ∈ AN M  Nên Theo hướng tư (TH3) : { A} = AN ∩ (C ) với (C ) ñường tròn tâm M bán kính R = h http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 2 Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = 11 − −3 2 a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vuông CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = MH = 10 = 2 Vậy AM = = +1 2  45 10  11   ⇒ A nằm ñường tròn có phương trình:  x −  +  y −  = 2  2   11 2   45 x = x =  x−  + y−  = Mà A ∈ AN : x − y − = Nên ta xét hệ :   2  2 ⇔  y = −1 y = 2 x − y − =  Vậy A(1; −1) A(4;5) Cách 4: (Các em tham khảo thêm cách giải Bộ Giáo Dục cách giải theo thầy không ñược “tự nhiên” nên thầy không trình bày ñây) 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có ñộ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông Phân tích: x2 y +) (E) có ñộ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = + = ta cần tìm a; b a b2 +) Theo Hướng tư (TH4) ta gọi A( x; y ) ( x > ) giao ñiểm (E) (C ) : A ∈ (C ) ⇒ x + y = kiện (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông giúp ta thiết lập thêm phương trình: y = x (4 ñỉnh nằm hai ñường phân giác thuộc góc phần tư thứ thứ hai – ta chọn ñiểm +) Phương trình ( E ) : A( x; y ) ( x > ) thuộc góc phần tư thứ nhất) ⇒ tọa ñộ ñiểm A Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) có dạng: +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ b → phương trình (E) x2 y + =1 a b2 +) (E) có ñộ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = +) Gọi A( x; y ) ( x > ) giao ñiểm (E) (C ) Ta có: A ∈ (C ) ⇒ x + y = (1) Mặt khác: (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông ⇒ y = x (2) Từ (1) (2) ⇒ x = ⇒ x = (vì x > ) ⇒ y = ⇒ A(2; 2) +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ 22 22 16 x2 y2 Vậy phương trình tắc elip (E) là: + = ⇒ b = + =1 42 b 16 16 http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C1 ) : x + y = , (C ) : x + y − 12 x + 18 = ñường thẳng d : x − y − = Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d Phân tích: Muốn viết phương trình ñường tròn ta cần: +) Xác ñịnh tâm I (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) Khi ñó theo Hướng tư (TH2) ta gọi I (t ) ∈ II1 (Trước ñó ta ñi lập phương trình II1 ñi qua I1 vuông góc với AB (tính chất ñường nối tâm) hay song song với d ) Và kiện I ∈ (C2 ) giúp ta thiết lập ñược phương trình : f (t ) = → t = ? → tọa ñộ ñiểm I ( Ta làm theo Hướng tư (TH3) với { I } = II1 ∩ (C2 ) → tọa ñộ I - cách trình bày khác TH2) +) Xác ñịnh bán kính: R nhờ R = d ( I , d ) Giải: Gọi I tâm ñường tròn (C ) cần viết phương trình Ta có (C1 ) : x + y = ⇒ tâm (C1 ) I1 (0;0)  II1 ⊥ AB ⇒ II1 // d ⇒ phương trình II1 : x − y =  AB ⊥ d Vì  Gọi I (t ; t ) ∈ II1 mà I ∈ (C2 ) ⇒ t + t − 12t + 18 = ⇔ t − 6t + = ⇔ t = ⇒ I (3;3) Mà (C ) tiếp xúc với d ⇒ R = d ( I , d ) = 3−3+ +1 2 = 2 Vậy phương trình (C ) là: ( x − 3) + ( y − 3) = 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox x2 y + = (a > b > 0) ta cần tìm a; b a b2 +) Theo Hướng tư (TH2) (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D A ∈ Ox nên gọi A( a; 0) ∈ Ox B (0; b) ∈ Oy Phân tích: +) Phương trình ( E ) : +) Khai thác kiện: AC = 2BD → f1 (a, b) = (1) +) Khai thác kiện: ñường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi → f ( a, b) = (2) Từ (1) (2) → a = ? b = ? → phương trình (E) http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) : x2 y2 + = ( với a > b > ) a b2 Vì (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D A ∈ Ox nên không tính tổng quát giả sử: A( a; 0) B (0; b) Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2OA = 4OB ⇔ OA = 2OB ⇔ a = 2b (vì a > b > ) hay A(2b;0) , B (0; b) Gọi H hình chiếu O lên AB ⇒ OH = R = ( ñường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi) 1 1 1 Xét tam giác OAB ta có: hay = + ⇔ b = ⇒ a = 4b = 20 = + 2 OH OA OB 4b b x y2 Vậy phương trình tắc elip ( E ) là: + =1 20 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( − ;1) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình chữ nhật ABCD Cách 1: Phân tích: +) Theo Hướng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A +) Theo Hướng tư (TH2) : D ∈ AD , B ∈ AB nên ta gọi D (t1 ), B(t2 ) (trước ñó ta ñi lập pt AB ) +) Gọi { I } = AC ∩ BD ( I trung ñiểm AC BD ) ⇒ I (t1 , t2 ) mà I ∈ AC ⇒ f1 (t1 , t2 ) = (1) uuur uuuur Vì MB, MD phương ⇒ f (t1 , t2 ) = (2) t1 = ? ⇒ tọa ñộ B, D, I C t2 = ? +) Từ (1) (2) ⇒  x + 3y =  x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Giải: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét hệ:  x + y −1 = ⇔ x+ y+2=0 −1  t +t t −t +2 Gọi B (t1 ; −t1 − 2) ∈ AB D (t2 ; t2 + 4) ∈ AD ( t1 ; t2 ≠ −3 ) ⇒ I  ;  : trung ñiểm BD   AB ñi qua A vuông góc với AD nên AB có phương trình: t2 + t1 t −t + + = ⇔ 2t2 − t1 + = ⇔ t1 = 2t2 + (*) 2 uuur  uuuur  10     Có: MB =  t1 + ; −t1 −  =  2t2 + ; −2t2 −  (theo (*)) MD =  t2 + ; t2 +  3       uuur uuuur 6t + 10 −2t2 − Mặt khác B, D , M thẳng hàng ⇒ MB , MD phương ⇒ = = −2 ⇔ t2 = −1 ⇒ t1 = 3t2 + t2 + Mà I ∈ AC ⇒ ⇒ B (1; −3), D(−1;3) I (0;0) ⇒ C (3; −1) ( I trung ñiểm AC ) http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( − ;1) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình chữ nhật ABCD Cách 2: Phân tích: +) Theo Hướng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A +) Do toán có nhiều tính chất ñối xứng nên ta nghĩ tới việc tìm ñiểm phụ liên quan Cụ thể: +) Ta tìm ñiểm N ñối xứng với M qua ñường trung trực d AD cách viết pt d ' ñi qua M song song với AD { N } = d '∩ AC ⇒ pt trung trực d AD ⇒ tọa ñộ trung ñiểm I , J AC AD ⇒ tọa ñộ C , D, B x + 3y =  x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Giải: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét hệ:  − ( y − 1) = ⇔ 3x − y + =  x = −1 x + 3y =  1 Gọi { N } = d '∩ AC nên ta xét hệ:  ⇔ ⇒ N  −1;  3  3 x − y + =  y = Gọi d ñường trung trực AD cắt MN , AC , AD H , I , J Phương trình d ' ñi qua M song song AD có dạng: x + 5  5  5  ⇒ H , I , J trung ñiểm MN , AC , AD ⇒ H  − ;  ⇒ pt d :  x +  +  y −  = ⇔ x + y = 4  4  4  x + y = x = Ta có: { I } = d ∩ AC nên ta xét hệ:  ⇔ ⇒ I ( 0;0 ) ⇒ C (3; −1) ( I trung ñiểm AC ) x + 3y =  y = x + y =  x = −2 { J } = d ∩ AD nên ta xét hệ:  ⇔ ⇒ J ( −2; ) ⇒ D( −1;3) ( J trung ñiểm AD ) x − y + =  y = ⇒ B (1; −3) ( I trung ñiểm BD ) 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : x − y + = Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = 10 http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, Phân tích: Muốn viết phương trình ñường tròn ta cần: +) Xác ñịnh tâm I (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) Khi ñó theo Hướng tư (TH2) ta gọi I (t ) ∈ d Và kiện AB = CD giúp ta thiết lập ñược phương trình : f (t ) = → t = ? → tọa ñộ ñiểm I +) Xác ñịnh bán kính: R nhờ R = IA2 = IH + HA2 với IH = d ( I , Ox) HA = AB =1 Giải: +) Gọi I tâm ñường tròn cần lập gọi I (t ; 2t + 3) ∈ d 2t + = t t = −3  I (−3; −3) ⇔ ⇒ 2t + = −t t = −1  I (−1;1) +) Ta có AB = CD ⇔ d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) ⇔ 2t + = t ⇔  +) Với I ( −3; −3) ⇒ IH = d ( I , Ox) = −3 = ta có: AH = AB = = ⇒ R = IA2 = IH + HA2 = 10 2 Vậy phương trình ñường tròn: ( x + 3) + ( y + 3) = 10 +) Với I ( −1;1) ⇒ IH = d ( I , Ox) = = ta có: AH = AB = = ⇒ R = IA2 = IH + HA2 = 2 Vậy phương trình ñường tròn: ( x + 1) + ( y − 1) = CHÚ Ý: Trước vào phần BÀI TOÁN có số quy ước sau: +) M (t ) ∈ ∆ : ta ràng buộc ñiểm M theo ẩn t +) M (t1 , t2 ) : ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn t1 t  xM = t1  yM = t +) M (t1 ; t2 ) : ñiểm M có tọa ñộ :  BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN BÀI TOÁN Dạng 1: Các toán tam giác, tứ giác Loại 1: Các toán ðịnh Tính Loại 1.1: Các toán ñường trung tuyến, ñường cao, trung trực Bài 1: Biết ñỉnh A tam giác ABC trung tuyến BM, CN Viết phương trình cạnh ∆ABC Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) phương trình hai ñường trung tuyến BM: 8x – y – = 0, CN: 14x – 13y – = Tìm tọa ñộ ñỉnh B, C (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5)) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) phương trình hai ñường trung tuyến BM CN x – 6y + = 5x – 6y – = Tính diện tích tam giác ABC (ðs: S∆ABC = 16 (ñvdt)) http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 11 Ví dụ (B – 2010): Cho tam giác ABC vuông A có ñỉnh C(– 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình ñường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 ñỉnh A có hoành ñộ dương Bài 18: Tam giác ABC cân A, biết AB BC nằm ñường thẳng d1 , d Biết M ( x0 ; y0 ) ∈ AC Tìm tọa ñộ ñỉnh Cách giải: C2: +) Tìm {B} = d1 I d +) Viết phương trình d qua M song song với d +) Tìm {N } = d1 I d ⇒ phương trình trung trực d MN ⇒ {A} = d I d1 +) Viết phương trình AM ⇒ {C} = AM I d NHẬN XÉT: C2 hay C1 Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài 18 ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có phương trình hai cạnh BC, AB là: x – 3y – = x – y – = ðường thẳng AC ñi qua M(–4; 1) Tìm tọa ñộ ñỉnh C 8 1 5 5 (ðs: C  ;  ) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm ñường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, ñiểm N(7; 7) thuộc ñường thẳng AC, ñiểm M(2; –3) thuộc AB nằm ñoạn AB (ðs: A( −1;1), B (−4;5), C (3; 4) ) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A có phương trình AB, BC y + = x + y – = Tính diện tích http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 23 (ðs: S ∆ABC = ) tam giác ABC biết AC ñi qua ñiểm M(–1; 2) Ví dụ (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân A có ñỉnh A(6; 6); ñường thẳng ñi qua trung ñiểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa ñộ ñỉnh B C, biết ñiểm E(1; - 3) nằm ñường cao ñi qua ñỉnh C tam giác ñã cho (ðs: B (0; −4), C ( −4;0) B ( −6; 2), C (2; −6) ) Ví dụ (B – 2007): Cho ñiểm A(2; 2) ñường thẳng d1 : x + y – = 0, d : x + y – = Tìm tọa ñộ ñiểm B C thuộc d1 d cho tam giác ABC vuông cân A (ðs: B (−1;3), C (3;5) B (3; −1), C (5;3) ) 1  2  Ví dụ (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có ñỉnh B  ;1 ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng ñiểm D, E, F Cho D(3; 1) ñường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa  13  )  3 ( ðs: A  3; ñộ ñỉnh A, biết A có tung ñộ dương Bài 19: Các ñiểm liên hệ với ẩn ñiều kiện ñịnh lượng Cách giải: +) Khai thác kiện toán ñể chuyển ñiểm ẩn t (nhờ thuật toán tìm ñiểm) +) Thiết lập phương trình: f (t ) = ⇒ t = ? ⇒ ñiểm cần tìm CHÚ Ý: Bài trường hợp ñặc biệt Bài 19 ñiều kiện ñịnh lượng ñiều kiện góc 900 (vuông góc) Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài 19 ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A Hai ñiểm A, B thuộc trục hoành Phương trình cạnh BC 4x + 3y – 16 = Xác ñịnh tọa ñộ trọng tâm G tam giác ABC, biết bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC   4 3   4 3 (ðs: G  2;  G  6; −  ) Ví dụ (A – 2002): Cho tam giác ABC vuông A, phương trình ñường thẳng BC 3x − y − = , ñỉnh A B thuộc trục hoành bán kính ñường tròn nội tiếp Tìm tọa ñộ trọng tâm G tam giác ABC 7+4 6+2   −4 − −6 −  ; ;  G  ) 3  3    (ðs: G  Ví dụ (D – 2008): Cho (P): y = 16 x ñiểm A(1; 4) Hai ñiểm phân biệt B, C (B C khác A) di ñộng (P) cho góc ∠BAC = 900 Chứng minh ñường thẳng BC ñi qua ñiểm cố ñịnh (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4)) Ví dụ (A – 2006): Cho ñường thẳng: d1 : x + y + = 0, d : x – y – = 0, d : x – 2y = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm ñường thẳng d cho khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d (ðs: M ( −22; −11) M (2;1) ) Ví dụ (B – 2005): Cho hai ñiểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành ñiểm A khoảng cách từ tâm (C) ñến ñiểm B (ðs: (C ) : ( x − 2) + ( y − 1) = (C ) : ( x − 2) + ( y − 7) = 49 ) Ví dụ (A – 2005): Cho hai ñường thẳng d1 : x – y = d2 : 2x + y – = tìm tọa ñộ ñỉnh hình vuông ABCD biết ñỉnh A thuộc d1 , ñỉnh C thuộc d2 ñỉnh B, D thuộc trục hoành (ðs: A(1;1), B (0;0), C (1; −1), D (2;0) A(1;1), B (2;0), C (1; −1), D (0;0) ) Ví dụ (D – 2006): Cho ñường tròn (C ) : x + y − x − y + = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm d cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc với ñường tròn (C) ( ðs: M (1; 4) M (−2;1) ) Ví dụ (D – 2004): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m ≠ Tìm tọa ñộ trọng tâm G http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 24 http://megabook.vn/ tam giác ABC theo m Xác ñịnh m ñể tam giác GAB vuông G 1 2 (ðs: G (1; m ), m = ±3 )   Ví dụ (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình ñường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa ñộ ñiểm A, B, C, D biết A có hoành ñộ âm (ðs: A( −2;0), B (2; 2), C (3;0), D (−1; −2) ) Dạng 2: Các toán ñường thẳng Loại 1: ði qua ñiểm thỏa mãn yếu tố ñịnh lượng Cách giải chung: C1: +) Gọi phương trình ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 hay kx − y + y0 − kx0 = ( ∆ ) +) Sau ñó “cắt nghĩa” kiện ñịnh lượng ñể thiết lập phương trình: f ( k ) = ⇒ k = ? ⇒ phương trình ∆ C2: r +) Gọi phương trình ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = ( a; b ) ( a + b ≠ ) có dạng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 = ( ∆ ) +) Sau ñó “cắt nghĩa” kiện ñịnh lượng ñể thiết lập phương trình: f (a, b) = → a = kb (*) a = ? ⇒ phương trình ∆ b = ? +) Từ (*) chọn  CHÚ Ý: Chúng ta ñã sử dụng cách Bài 18 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm M(1; 4) N(6; 2) Lập phương trình ñường thẳng ∆ qua M cho khoảng cách từ N tới ∆ (ðs: 21x − 20 y + 59 = x = 1) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm A(1; 2) B(5; –1) Viết phương trình ñường thẳng qua M(3; 5) cách ñều A B (ðs: 3x + 4y – 29 = x = 3) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(1; 2) Viết phương trình ñường thẳng qua M cắt Ox, Oy hai ñiêm A, B cho OAB tam giác vuông cân (ðs: x + y – = x – y + = 0) Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(4; 3) Viết phương trình ñường thẳng qua M cho tạo với hai trục tọa ñộ tam giác có diện tích (ðs: x − y − = 3x – 8y + 12 = 0) Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 1), B(1; 7) C(-1; 0) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua C chia tam giác thành hai phần nhau, phần chứa ñiểm A có diện tích gấp ñôi phần chứa ñiểm B (ðs: 6x – 5y + = 0) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba ñiểm A( - 1; 2), B(5; 4) M(2; 5) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M cách ñều hai ñiểm A B (ðs: 5x – 3y + 13 = x = 2) Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(9; 4) Viết phương trình ñường thẳng qua M, cắt hai tia Ox tia Oy A B cho: 1) tam giác OAB có diện tích nhỏ (ðs: 4x + 9y – 72 = 0) 2) OB + OC nhỏ (ðs: 4x + 9y – 72 = 0) Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh AB nằm ñường thẳng x – 2y + = ba ñiểm M(–1; 4), N(1; 1), P(–3; 3) thuộc cạnh BC, CD AD Viết phương trình cạnh AD (ðs: x + y − = 11x − y + 39 = ) http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, http://megabook.vn/ 25 CHÚ Ý: +) Nếu toán ñề cập tới ñiểm A(a; 0) B(0; b) giao ñiểm với hai trục tọa ñộ em viết phương trình ñường thẳng theo ñoạn chắn ñi qua AB: x y + =1 a b +) Nếu A(a; 0) , B(0; b) OA = a OB = b Loại 2: Cắt ñường tròn, Elip (xem Dạng 3, Dạng 4) Dạng 3: Các toán ñường tròn Loại 1: Viết phương trình ñường tròn xác ñịnh yếu tố ñường tròn Bài 1: Thiết lập phương trình ñường tròn Cách giải chung: C2: +) Gọi phương trình ñường tròn có dạng x + y + ax + by + c = +) Tìm a, b, c nhờ “cắt nghĩa” kiện toán Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Viết phương trình ñường tròn: 1) ñường kính AB với A(3; 1) (B(2; – 2) 2) Có tâm I(1; – 2) tiếp xúc với ñường thẳng d: x + y – = 3) Có bán kính 5, tâm thuộc trục hoành ñi qua A(2; 4) 4) Có tâm I(2; – 1) tiếp xúc với ñường tròn: ( x − 5) + ( y − 3) = 5) có tâm nằm ñường thẳng ∆ tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy 6) qua A(–2; –1), B(–1; 4) C(4; 3) (ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 7) qua A(0; 2), B(–1; 1) có tâm nằm ñường thẳng 2x + 3y = 8) qua A(5; 3) tiếp xúc với ñường thẳng d: x + 3y + = ñiểm T(1; –1) 9) Nội tiếp tam giác OAB biết A(3; 0) B(0; 4) Ví dụ 2(A – 2007): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2; – 2) C(4; – 2) Gọi H chân ñường cao kẻ từ B; M N trung ñiểm cạnh AB BC Viết phương trình ñường tròn ñi ( ðs: x + y + z − x + y − = ) qua ñiểm H, M, N x2 y2 + = Gọi F1 F2 tiêu ñiểm (E) ( F1 có hoành ñộ âm); M giao ñiểm có tung ñộ dương ñương thẳng AF1 với (E); N ñiểm ñối Ví dụ 3(B – 2010 – NC): Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(2; ) (E):  3 xứng F2 qua M Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 (ðs: ( x − 1) +  y −  = )   http://megabook.vn/ 26 http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, Bài 2: Xác ñịnh tâm bán kính Lập phương trình tiếp tuyến ñường tròn Cách giải chung: *) Xác ñịnh tâm bán kính 2 a b ñó   +   − c > : ðiều kiện tồn ñường tròn 2 2 C2: Sử dụng ñẳng thức (tách ghép) ñưa ñường tròn dạng: ñó h > : ðiều kiện tồn ñường tròn *) Lập phương trình tiếp tuyến ñường tròn uuur C1: Nếu biết tiếp ñiểm M ⇒ phương trình tiếp tuyến d (C) M nhận IM làm véc tơ pháp tuyến C2: Nếu tiếp ñiểm dùng ñiều kiện : ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho ñường tròn (C): x + y − x + y − = 1) Tìm tâm bán kính (C) 2) Cho A(3; – 1) Chứng minh A ñiểm nằm ñường tròn Viết phương trình ñường thẳng qua A cắt (C) theo dây cung có ñộ dài nhỏ 3) Cho d: 3x – 4y = Chứng minh d cắt (C) hai ñiểm phân biệt M, N sau ñó tính MN Ví dụ 2(Các toán bản: Viết phương trình tiếp tuyến ñiểm cho trước, có phương cho trước qua ñiểm cho trước) Viết phương trình tiếp tuyến ñường tròn: 1) ( x − 3) + ( y + 1) = 25 ñiểm có hoành ñộ – 2) x + y + x − y − = ñiểm ñường tròn cắt trục Ox 3) x + y = có hệ số góc 4) x + y − y − 24 = biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 3x – 4y + 2012 = 5) có tâm I(2; 1), bán kính R = ñi qua ñiểm A(–1; 2) Loại 2: Sự tương giao Loại 2.1: Sự tương giao ñường thẳng ñường tròn http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, http://megabook.vn/ 27 Bài 1: Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M ( x0 ; y0 ) cắt ñường tròn (C) A, B cho AB = l Cách giải uur +) Gọi n∆ = (a; b) ⇒ phương trình ∆ : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = ⇔ ∆ : ax + by − ( ax0 + by0 ) = a = ? ⇒ phương trình ∆ b = ? ∆ ) (C ) +) Từ (*) ta chọn :  ( Nếu muốn tìm cụ thể A, B ta giải hệ :  Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho ñường tròn (C ) : x + y − x + y − 12 = Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(1; 3) cắt (C) theo dây cung AB có ñộ dài (ðs: x – y + = x + 41y – 124 = 0) Ví dụ (A – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : x + y + x + y + = ñường thẳng ∆ : x + my − 2m + = , 2 với m tham số thực Gọi I tâm ñường tròn (C) Tìm m ñể ∆ cắt (C) hai ñiểm phân biệt A B cho (ðs: m = m = diện tích tam giác IAB lớn ) 15 Ví dụ (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân A có ñỉnh A(–1;4) ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng ∆: x – y – = Xác ñịnh toạ ñộ ñiểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18  11       11  ;  , C  ; −  B  ; −  , C  ;  )  2 2 2 2 2  2 ( ðs: B  Ví dụ 4(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : ( x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc (C) cho ∠IOM = 900 3 3 3 3  M  ; − )  2  2 ( ðs: M  ; Ví dụ 5: Cho ñường tròn (C ) : x + y − x + y − 15 = Gọi I tâm ñường tròn (C) Viết phương trình ñường thăng ∆ qua M(1; –3) cắt (C) A, B cho tam giác IAB có diện tích cạnh AB cạnh lớn (ðs: 4x + 3y + = y + = 0) Ví dụ 6: Cho ñường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y − 2) = ñiểm M(2; 1) Viết phương trình ñường thẳng ∆ qua M cắt (C) ñiểm A, B cho 1) Dây cung AB lớn 2) Dây cung AB ngắn (ðs: x + y – = 0) (ðs: x – y – = 0) Ví dụ 7: Cho ñường tròn (C) : x + y = ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB = Viết phương trình ñường thẳng AB http://megabook.vn/ ( ðs: x + y + = x + y − = ) 28 http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, uur Bài 2: Viết phương trình ñường thẳng ∆ biết n∆ = (a0 ; b0 ) (hoặc phải tìm nhờ quan hệ song song vuông góc) cắt ñường tròn (C) ñiểm phân biệt A, B thỏa mãn ñiều kiện ñịnh lượng Cách giải: uur +) Phương trình ∆ có n∆ = (a0 ; b0 ) : a0 x + b0 y + m = ⇒ y = − a0 x − m −m (*) (nếu b0 = ⇒ x = ) b0 a0 +) Thay (*) vào phương trình ñường tròn (C) ⇒ ax + bx + c = (2*) (phương trình chứa tham số m) +) Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ⇒ x1 , x2 nghiệm phương trình (2*) Nếu x1 , x2 biểu diễn theo m : Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1(D – 2011 – NC): Cho ñiểm A(1; 0) ñường tròn (C): x + y − x + y − = Viết phương trình ñường thẳng ∆ cắt (C) hai ñiểm M N cho tam giác AMN vuông cân A (ðs: y = y = −3 ) Ví dụ 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm ñường tròn ngoại tiếp I(–2; 0) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết C có hoành ñộ dương (ðs: C (−2 + 65;3) ) Ví dụ 3: Cho ñường tròn (C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = 10 Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh hình vuông ngoại tiếp ñường tròn, biết cạnh AB ñi qua ñiểm M ( −3; −2) ñỉnh A có hoành ñộ dương ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7)) Bài 3: Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng ∆ cách ñiểm cố ñịnh I khoảng không ñổi (MI = R) Cách giải : Có thể hiều toán theo cách (bản chất một) ∆ (C ) C2: Tọa ñộ ñiểm M nghiệm hệ :  ( ñây (C) ñường tròn tâm I bán kính R) CHÚ Ý: +)Với C1 không cần quan tâm tới toán tương giao ñường thẳng ñường tròn (ñề cập C2) giải theo phương pháp ñại số thông thường +) Với C2 ta thấy rõ chất toán +) C1 C2 hai cách trình bày khác phương pháp giải hệ phương trình +) Có thể chưa nhìn thấy ñiểm I Khi ñó ñề thường cho biết ñiểm M nhìn ñoạn AB cố ñịnh góc vuông (I lúc trung ñiểm AB), phải thông qua vài khâu cắt nghĩa yếu tố ñịnh lượng ta có ñược MI = R = const… +) Ý tưởng Bài toán xuất nhiều kì thi ðại Học năm qua http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 29 Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD  11  ;  ñường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa ñộ ñiểm A  2 (ðs : A(1; −1) A(4;5) ) cho CN = 2ND Giả sử M  Ví dụ (A – 2011 – CB ): Cho ñường thẳng ∆ : x + y + = ñường tròn (C): x + y − x − y = Gọi I tâm (C), M ñiểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ ñiểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; −4) M (−3;1) ) Ví dụ (A – 2010 – CB): Cho hai ñường thẳng d1 : 3x + y = d : 3x − y = Gọi (T) ñường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d hai ñiểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác 2   3  (ðs :  x +  +  y +  =1) 3    ABC có diện tích ñiểm A có hoành ñộ dương Ví dụ (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm ñường tròn ngoại tiếp (ðs : C (−2 + 65;3) ) I(–2; 0) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết C có hoành ñộ dương Ví dụ (D – 2010 – NC): Cho ñiểm A(0; 2) ∆ ñường thẳng ñi qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A ∆ Viết phương trình ñường thẳng ∆ , biết khoảng cách từ H ñến trục hoành AH (ðs : ( − 1) x − Ví dụ (B – 2009 – CB ): Cho ñường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = − y = ( − 1) x + − 2y = ) hai ñường thẳng ∆1: x – y = ∆2: x – 7y = Xác ñịnh toạ ñộ tâm K bán kính ñường tròn (C1); biết ñường tròn (C1) tiếp xúc với ñường thẳng ∆1, ∆2 8 4 5 5 (ðs : K  ;  bán kính R = tâm K thuộc ñường tròn (C) 2 ) Ví dụ (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân A có ñỉnh A(–1;4) ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng ∆: x – y – = Xác ñịnh toạ ñộ ñiểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18  11       11  ;  , C  ; −  B  ; −  , C  ;  )  2 2 2 2 2  2 (ðs : B  Ví dụ (D – 2007): Cho ñường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y + 2) = ñường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m ñể d có ñiểm P mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp ñiểm) cho tam giác PAB ñều (ðs : m = 19 m = −41 ) Ví dụ (D – 2006): Cho ñường tròn (C ) : x + y − x − y + = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm d cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc với ñường tròn (C) (ðs : M (1; 4) M (−2;1) ) Ví dụ 10 (B – 2005): Cho hai ñiểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành ñiểm A khoảng cách từ tâm (C) ñến ñiểm B (ðs : ( x − 2) + ( y − 1) = ( x − 2) + ( y − 7) = 49 ) 2 3 (ðs : A(0; 2), B (4; 0), C ( −2; −2) )   Ví dụ 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC = 900 Biết M(1; -1) trung ñiểm cạnh BC G  ;0  trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa ñộ ñỉnh A, B, C 1 2   Ví dụ 12 (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình ñường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa ñộ ñiểm A, B, C, D biết A có hoành ñộ âm (ðs : A( −2;0), B (2; 2), C (3;0), D (−1; −2) ) Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có trực tâm H(–1; 4), tâm ñường tròn ngoại tiếp I(–3; 0) trung ñiểm cạnh http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, , la, doc,(ðs: 3x + 7y – 49 = 0) BC M(0; 3) Viết phương trình ñường thẳng AB, biết B có hoành ñộkho dương http://megabook.vn/ 30 Ví dụ 14: Cho ba ñiểm I(1; 1), M(–2; 2) N(2; –2) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình vuông ABCD cho I tâm hình vuông, M thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD A có hoành ñộ dương (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1)) 1 1 2 4 3 3 5 5 cạnh BC M(–1; 2) Viết phương trình ñường thẳng AC, biết B có hoành ñộ âm (ðs: 3x + y – = 0) Ví dụ 16: Cho ñường tròn ( C ) : x + y − x + y + 21 = ñường thẳng d : x + y – = 0.Xác ñịnh tọa ñộ Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm G  ;  , tâm ñường tròn ngoại tiếp I  ; −  trung ñiểm ñỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d hoành ñộ ñiểm B lớn hoành ñộ ñiểm D) (ðs : A(6;5), B (6; −1), C (2;1), D (2; −5) A(2;1), B (6; −1), C (6;5), D (2; −5) ) Bài 4: Qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) nằm ñường tròn (C) có tâm I bán kính R 1) Viết phương trình tiếp tuyến MT1 , MT2 ñến ñường tròn 2) Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua T1 , T2 3) Tính diện tích tứ giác MT1 IT2 Cách giải: Cách viết tổng quát phương trình tiếp tuyến: uur TH1: Nếu biết tiếp ñiểm T ⇒ tiếp tuyến ∆ (C) ñi qua T nhận IT làm vtpt ⇒ phương trình ∆ TH2: Nếu tiếp ñiểm dùng ñiều kiện : ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R 1) Như với toán ta làm theo TH2 : r +) Gọi ∆ ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = ( a; b ) ( a + b ≠ ) có dạng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 = ( ∆ ) a = ? ⇒ phương trình ∆1 , ∆ hay phương trình MT1 , MT2 b = ? +) Từ (*) chọn  ( hai phương trình (*) có: a = b = 0) ∆ (C ) CHÚ Ý: Có thể tìm cụ thể tọa ñộ T1 , T2 nhờ giải hệ:  2) T ∈ (C ) (*)  MT IT = +) Gọi T ( x0 ; y0 ) tiếp ñiểm tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) ⇒  uuur uur 3) S MT1IT2 = 2S MT1I = MT1.IT1 = MT1.R với MT1 = MI − R http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, http://megabook.vn/ 31 Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1(B – 2006): Cho ñường tròn: (C ) : x + y − x − y + = ñiểm M(– 3; 1) Gọi T1 T2 tiếp ñiểm (ðs: x + y − = ) tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) Viết phương trình ñường thẳng T1 T2 Ví dụ 2: (A – 2011 – CB): Cho ñường thẳng ∆ : x + y + = ñường tròn (C): x + y − x − y = Gọi I tâm (C), M ñiểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ ñiểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; −4) M (−3;1) ) Bài 5:Cho ñường thẳng ∆ , ñường tròn (C) có tâm I hai ñiểm M , N nằm ñường tròn 1) Tìm ñiều kiện ñể ∆ cắt (C) hai ñiểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn 2) Tìm K thuộc (C) cho diện tích tam giác KMN lớn nhất, nhỏ 3) Tìm P thuộc ∆ cho qua P kẻ hai tiếp tuyến PT1 , PT2 cho diện tích tam giác IT1T2 lớn TH1 TH2 TH3 Cách giải : Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ : Cho ñường tròn (C ) : x − x + y − = Gọi B, C giao ñiểm ñường thẳng ∆ : x + y − = Hãy tìm ñiểm A ñường tròn (C) cho tam giác ABC có chu vi lớn (ðs : A(1 − 2; − 2) ) Ví dụ : Cho ñường tròn (C ) : x + y − x − y + 12 = có tâm I ñường thẳng ∆ : x + y − = Tìm 2 ñường thẳng ∆ ñiểm M cho tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với (C) A, B mà tam giác IAB có diện tích lớn (ðs : M ( 3+ 5− 3− 5+ ; ), M ( ; )) 2 2 Ví dụ : Cho ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, http://megabook.vn/ − ) ñường thẳng 32 ∆ : x + y − = Tìm ñường thẳng ∆ ñiểm M cho tiếp tuyến (C) qua M tiếp xúc với C N cho 5 (ðs : M (2; −4), M ( ; − ) ) diện tích tam giác NAB lớn Bài 6: Viết phương trình ∆ qua M ( x0 ; y0 ) cắt ñường tròn (C) có tâm I, bán kính R A, B cho MA = kMB Cách giải : MH = IM − h C1 : +) ðặt IH = h →   HA = HB = R − h (*) CHÚ Ý: +) Cách giải thầy sử dụng trường hợp k > ( với k < em làm tương tự) +) Cách giải thầy sử dụng M ( x0 ; y0 ) nằm ñường tròn (C) ( M ( x0 ; y0 ) nằm (C) em làm tương tự) C2 : +) Xét phương trình ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng : y = k ( x − x0 ) + y0 +) Xác ñịnh phương trình hoành ñộ giao ñiểm ∆ (C) : f ( x , x, k ) = (*) +) Dùng vi – et cho (*) kết hợp MA = kMB ⇒ k = ? ⇒ phương trình ∆ Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ : Cho ñường tròn (C): x + y − x + y − 23 = , ñiểm M(7; 3) Viết phương trình ñường thẳng ∆ qua M cắt ñường tròn (C) A, B cho MA = 3MB ( ðs : y = 12 x − y − 69 = ) Ví dụ : Cho ñiểm A(-1 ; 14) ñường tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính 13 Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A cắt (C) M, N mà khoảng cách từ M ñến AI nửa khoảng cách từ N ñến AI (ðs : x + y – 13 = 433x – 281y +4367 = 0) http://megabook.vn/ 33 http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, Loại 2.2: Sự tương giao hai ñương tròn TH1: R + r > II ' TH2: R + r = II ' Ngoài Tiếp xúc TH3: R + r < II ' Cắt hai ñiểm TH4: R − r = II ' Tiếp xúc CHÚ Ý: Còn trường hợp ñựng Nhưng trường hợp ñược khai thác nên thầy không ñề cập ñây Bài tập áp dụng Ví dụ 1(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : ( x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc 3 3 3 3  M  ; − )  2  2 (C) cho ∠IOM = 300 (ðs: M  ; Ví dụ 2(D – 2003): Cho ñường tròn (C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = ñường thẳng d : x – y – = 0.Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với ñường tròn (C) qua ñường thẳng d Tìm tọa ñộ giao ñiểm (C) (C’) (ðs: ( x − 3) + y = A(1;0), B(3; 2) ) Ví dụ (D – 2006): Cho ñường tròn (C ) : x + y − x − y + = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm d cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc với ñường tròn (C) (ðs: M (1; 4) M (−2;1) ) Ví dụ 4: Cho ñường tròn (C1 ) : x + y − x + y − = cắt ñường tròn (C2 ) : ( x + 6) + ( y − 1) = 50 hai ñiểm M, N biết M có hoành ñộ dương Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M cắt (C1 ), (C2 ) ñiểm thứ hai A, B cho M trung ñiểm AB (ðs: 5x – 7y + = 0) Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm I(6; 6) ngoại tiếp ñường tròn tâm K(4; 5), biêt ñỉnh A(2; 3) Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x + 4y – 42 = 0) Ví dụ 6: Cho ñường tròn (C) : x + y = ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB = ( ðs: x + y + = x + y − = ) Viết phương trình ñường thẳng AB Dạng 4: Các toán Elip Loại 1: Viết phương trình Elip xác ñịnh yếu tố Elip Cách giải chung: +) Giả sử phương trình tắc elip có dạng: x2 y + = (E) a b2 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Lập phương trình tắc elip (E) biết: 1) Có ñộ dài hai trục 6, 2) Có ñỉnh (5; 0) tiêu cự 3) Có ñỉnh (0; 3) ñi qua ñiểm M(4; 1) http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, http://megabook.vn/ 34     3 2 − 2;       5 5) Có tiêu ñiểm F2 (2; 0) qua ñiểm  2;   3 4) ði qua hai ñiểm 1; 6) Có tiêu ñiểm F2 (5;0) khoảng cách hai ñỉnh 7) Tiêu cự khoảng cách từ ñỉnh trục nhỏ ñến tiêu ñiểm x2 y + =1 x2 y2 6) + =1 181 81 4 ( ðs: 1) 2) x2 y + =1 25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y 4) 5) + =1 + =1 + =1 18 9 x2 y x2 y2 x2 y2 7) + = + = + =1 ) 25 21 49 45 3) Ví dụ 2(A – 2008): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 (ðs: x2 y2 + = 1) Ví dụ 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox (ðs: x2 y + = 1) 20 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có ñộ dài trục lớn ,các ñỉnh nằm trục nhỏ tiêu ñiểm (E) nằm ñường tròn Lập phương trình tắc (E) Ví dụ 4: Cho elip (E) có ñộ dài trục lớn 6, tâm sai phần hai khoảng cách từ ñiểm M (E) ñến tiêu ñiểm F1 (có hoành ñộ âm) 1) Tìm khoảng cách từ M ñến tiêu ñiểm F2 2) Viết phương trình tắc elip (E) tìm tọa ñộ ñiểm M Loại 2: Tìm ñiểm thuộc Elip  x0 = ? ⇒M  y0 = ? +) Từ (1) (2) ⇒  c   MF1 = a + a x0 CHÚ Ý : Nếu M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ta khai thác thêm kiện:   MF = a − c x  a Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho elip (E): x2 y2 + =1 1) Tìm tọa ñộ giao ñiểm (E) ñường thẳng y = x − 2)Tìm (E) ñiểm M cho góc ∠F1MF2 = 900 3) Tìm (E) ñiểm N cho F1 N − F2 N =  7 3 5 3 5 ; −  2) M ( 3;1), M ( 3; −1), M (− 3;1), M (− 3; −1) 3) N  ;  N  ; −  5   2  2 1) A( 3;1), B  http://megabook.vn/ 35 http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, Ví dụ 2: Cho (E): x2 y + = có tiêu ñiểm F1 , F2 a b2 1) Cho a = 2, b = Tìm ñiểm M cho F1M = F2 M   23  23  ; ;−  M  ) 27   3 27  3 (ðs: M  2) Chứng minh với ñiểm M ta có: F1M F2 M + OM = a + b Ví dụ 3(D – 2005): Cho ñiểm C(2;0) elíp (E): x2 y2 + = Tìm toạ ñộ ñiểm A, B thuộc (E), biết hai ñiểm A, B ñối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác ñều (ðs: A Ví dụ (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) : 2 3 2 3 2 3 2 3 A ; − ) ; , ; ,B ; B − 7  7 7    7      x2 y2 + = Tìm ñiểm A B thuộc (E), có hoành ñộ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn (ðs: A   2  2 2  2 or A 2; − ) 2; , 2; , 2; B − B         2 2         Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho elip (E) : x + 25 y = 225 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (E) cho tam giác M F1 F2 vuông M Ví dụ 6: Cho elip (E) : x + y = 45 có tiêu ñiểm F1 , F2 M ñiểm (E) biểu thức f = F1 M + F2 M + 1 + F1M F2 M 1) Chứng minh chu vi tam giác F1MF2 không ñổi Tìm M ñể diện tích tam giác F1 MF2 2) Tìm M cho giá trị f lớn Ví dụ 7: Cho ñiểm M di ñộng elip: x + 16 y = 144 H, K hình chiếu M lên hai trục tọa ñộ Tìm M ñể diện tích OHMK lớn Loại 3: Sự tương giao ñường thẳng Elip Cách giải chung : Sự tương giao ñường thẳng ∆ : Ax + By + C = (E): x2 y + =1 a b2  Ax + By + C =  +) Giải hệ  x y (I) phương pháp  + =1 b a ( ðiều kiện ñể ∆ tiếp tuyến (E) : A2 a + B 2b = C (ñược sinh từ (II) )) Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho elip (E): x + y = 36 ñiểm M(1; 1) Lập phương trình ñường thẳng qua M cắt (E) hai ñiểm M , M cho MM = MM (ðs: 4x + 9y – 13 = 0) Ví dụ 2:Cho hai ñiểm A (− 3; 0) , B ( 3; 0) ñường thẳng d: hoành ñộ âm cho chu vi tam giác MAB + http://megabook.vn/ x − 2( − 1) y + = Tìm d ñiểm M có  (ðs: M  −1;  http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 3 )  36 Ví dụ (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình x2 y + = Xét ñiểm M chuyển ñộng tia Ox ñiểm N 16 chuyển ñộng tia Oy cho ñường thẳng MN tiếp xúc với (E) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M, N ñể ñoạn MN có (ðs: M (2 7;0), N (0; 21) GTNN MN 7) ñộ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ ñó x y2 + = Gọi F1 F2 tiêu ñiểm (E) ( F1 có hoành ñộ âm); M giao ñiểm có tung ñộ dương ñương thẳng AF1 với (E); N ñiểm ñối xứng F2 qua M Viết Ví dụ (B – 2010 – NC): Cho ñiểm A(2; ) (E): phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 Ví dụ 5: Cho Elip (E) :  3 (ðs: ( x − 1) +  y −  = )   x2 y2 + = Viết phương trình tiếp tuyến d (E) biết d cắt trục tọa ñộ Ox,Oy 64 A,B cho AO = 2BO CHÚ Ý: Khi toán ñường tròn Elip có yếu tố min, max hay sử dụng bất ñẳng thức Cauchy Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…) Biên soạn: Thanh Tùng 37 http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, [...]... ñộ dương Bài 19: Các ñiểm liên hệ với nhau bởi một ẩn và một ñiều kiện về ñịnh lượng Cách giải: +) Khai thác dữ kiện bài toán ñể chuyển các ñiểm về 1 ẩn t (nhờ thuật toán tìm ñiểm) +) Thiết lập phương trình: f (t ) = 0 ⇒ t = ? ⇒ các ñiểm cần tìm CHÚ Ý: Bài 8 là trường hợp ñặc biệt của Bài 19 khi ñiều kiện ñịnh lượng là ñiều kiện góc 900 (vuông góc) Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 19 ñể... Loại 1.2: Các bài toán về ñường phân giác trong Bài 9: Biết ñỉnh A và hai ñường phân giác trong BB’ và CC’ Lập phương trình BC Cách giải: +) Tìm A1 ñối xứng với A qua BB’ ⇒ A1 ∈ BC (1) +) Tìm A2 ñối xứng với A qua CC’ ⇒ A2 ∈ BC (2) +) Từ (1) và (2) ⇒ phương trình BC (chính là phương trình A1 A2 ) Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 9 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ... b Loại 2: Cắt ñường tròn, Elip (xem Dạng 3, Dạng 4) Dạng 3: Các bài toán về ñường tròn Loại 1: Viết phương trình ñường tròn và xác ñịnh các yếu tố của ñường tròn Bài 1: Thiết lập phương trình ñường tròn Cách giải chung: C2: +) Gọi phương trình ñường tròn có dạng x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 +) Tìm a, b, c nhờ “cắt nghĩa” dữ kiện bài toán Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Viết phương trình ñường tròn: 1) ñường... nghĩa về yếu tố ñịnh lượng thì ta mới có ñược MI = R = const… +) Ý tưởng của Bài toán này xuất hiện rất nhiều trong các kì thi ðại Học các năm qua http://megabook.vn/ http://hocmaivn.com - Tai lieu hay, kho , la, doc, 29 Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 3 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1 (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao... B(4; 0), C(–2; – 2)) Ví dụ 5 (A – 2009): Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm I(6; 2) là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD ðiểm M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng ∆ : x + y – 5 = 0 Viết phương trình ñường thẳng AB (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0) Bài 8: Sử dụng ñiều kiện vuông góc (trường hợp riêng của Bài 19) ñể giải bài toán Cách giải: *) Gọi tọa ñộ các ñiểm (nếu... này trong Bài 18 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm M(1; 4) và N(6; 2) Lập phương trình ñường thẳng ∆ qua M sao cho khoảng cách từ N tới ∆ bằng 5 (ðs: 21x − 20 y + 59 = 0 và x = 1) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm A(1; 2) và B(5; –1) Viết phương trình ñường thẳng qua M(3; 5) và cách ñều A và B (ðs: 3x + 4y – 29 = 0 và x = 3) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy,... từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0  10 3  ; )  3 4 (ðs: C  − CHÚ Ý: Như vậy qua các bài toán liên quan ñến ñường phân giác trong của tam giác các em sẽ nhận thấy ta luôn tìm thêm ñiểm ñối xứng với ñiểm ñã biết tọa ñộ trên cạnh kề của góc chứa phân giác qua phân giác ñó , và ñiềm ñó sẽ thuộc cạnh kề còn lại (ñây là ñặc ñiểm luôn ñược khai thác khi có bài toán chứa phân giác) http://megabook.vn/... 3: Cho ñường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 10 Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông ngoại tiếp ñường tròn, biết cạnh AB ñi qua ñiểm M ( −3; −2) và ñỉnh A có hoành ñộ dương ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7)) Bài 3: Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng ∆ và cách một ñiểm cố ñịnh I một khoảng không ñổi (MI = R) Cách giải : Có thể hiều bài toán này theo 2 cách (bản chất là một) ∆ (C ) C2:... +)Với C1 chúng ta không cần quan tâm tới bài toán về sự tương giao giữa ñường thẳng và ñường tròn (ñề cập ở C2) và giải theo phương pháp ñại số thông thường +) Với C2 ta thấy rõ hơn bản chất của bài toán +) C1 và C2 là hai cách trình bày khác nhau của cùng một phương pháp thế trong giải hệ phương trình +) Có thể chúng ta chưa nhìn thấy luôn ñiểm I Khi ñó ñề bài thường cho biết ñiểm M nhìn ñoạn AB cố... kho , la, doc, uuur uuur Bài 15: Biết ñỉnh A và phương trình ñường thẳng BC và hình chiếu H của A xuống BC chia theo BH = k HC và biết diện tích tam giác ABC (hoặc biết ñộ dài ñoạn BC) Tìm tọa ñộ B, C Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 15 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; – 2) và phương trình ñường thẳng BC là 3x – 4y + 1 = 0 và hình chiếu H của uuur