10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY Nguyễn thanh tùng

tọa độ OXY là nội dung thường gặp trong đề thi đại học .những năm gần đây OXY là câu phân loại học sinh đòi hỏi học sinh phải có tư duy cao trong khi làm bài nhưng với tài liệu này thì chúng ta cần nhìn hình và xác định xem nó được phát triển từ bài toán nào thì chắn chắn chúng ta có thể công phá OXY 1 cách dễ dàng

CH TNG KHễNG BN https://web.facebook.com/groups/1619471068314151 NGUYN THANH TNG (Giỏo viờn chuyờn luyn thi THPT Quc Gia) BIấN SON THEO CU TRC MI NHT CA B GD&T * Dnh cho hc sinh lp 10, 11, 12 v luyn thi Quc Gia * Sỏch tham kho b ớch cho giỏo viờn NHà XUấT BảN TổNG HợP THàNH PHố Hồ CHí MINH Vieọt Nakata MC LC Phn 1: Tng hp cỏc kin thc c bn Phn 2: Nhng bi toỏn c bn 12 Bi toỏn 12 Bi toỏn 14 Bi toỏn 15 Bi toỏn 16 Bi toỏn 17 Bi toỏn 18 Bi toỏn 19 Phn 3: 10 bi toỏn hỡnh hc OXY 21 Bi toỏn 21 Bi toỏn 108 Bi toỏn 117 Bi toỏn 139 Bi toỏn 152 Bi toỏn 184 Bi toỏn 253 Bi toỏn 269 Bi toỏn 297 Bi toỏn 10 317 Phn 4: Sỏng to v phỏt trin t cỏc bi toỏn hỡnh hc phng thun tỳy 331 Phn 5: Bi tng hp 362 Vieọt Nakata PHN 1: TNG HP KIN THC C BN I H TRC TA O(0;0) A H trc ta Oxy hay (O; i; j ) cú i = (1;0) j = (0;1) Ox : Trc honh ; Oy : Trc tung Chỳ ý: Nu núi ti tia Ox hay tia Oy c hiu l phn honh v tung khụng õm ca cỏc trc Ox, Oy tng ng B Vect : u = xi + y j u = ( x; y ) Cho hai vect a = ( x1 ; y1 ) v b = ( x2 ; y2 ) Khi ú: x1 = x2 y1 = y2 Hai vect cựng phng : a v b cựng phng a =kb x1 y2 =x2 y1 Tng, hiu hai vect: a b = ( x1 x2 ; y1 y2 ) Tớch mt s vi mt vect: k a = (kx1 ; ky1 ) Tớch vụ hng ca hai vect : a.b = a b cos a,= b x1 x2 + y1 y2 Mụun ca vect:= a x12 + y12 x1 x2 + y1 y2 a.b Gúc gia hai vect: cos = a, b = a.b x1 + y12 x22 + y22 Hai vect vuụng gúc: a b a.b = x1 x2 + y1 y2 = im: OM =xi + y j M ( x; y ) Hai vect bng nhau: a= b C ( ) ( ) * Cho ba im A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) Khi ú : ( x2 x1 ; y2 y1 ) AB = Vieọt Nakata AB = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) x1 + x2 y1 + y2 ; x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 Trng tõm G ca tam giỏc ABC : G ; 3 Trung im I ca AB cú ta : I Sau õy l s cho phn tng hp kin thc trờn: II CC H THC LNG TRONG TAM GIC A TRONG TAM GIC VUễNG : H thc Pitago: a= b2 + c2 Mi quan h gia cnh, ng cao: b = ab ' c = ac ' 1 + = + h b2 c2 + h2 = b ' c ' + bc = ah + Vieọt Nakata Mi quan h gia cnh v gúc: = b a= sin B a= cos C c= tan B c cot C B TRONG TAM GIC BT Kè : Cỏc nh lý * nh lý cụsin: a = b + c 2bc cos A H qu: + Tớnh gúc: cos A = b2 + c2 a 2bc b2 + c2 a + Tớnh di ng trung tuyn: = m a b c * nh lý sin: = = = R sin A sin B sin C a Cỏc cụng thc tớnh din tớch tam giỏc a.ha + Hai cnh v sin gúc xen gia: S = ab sin C + ng cao v cnh i din: S = abc 4R + Na chu vi v bỏn kớnh ng trũn ni tip: S = pr + Ba cnh v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip: S = + Hờ rụng: S = p ( p a )( p b)( p c) Trong ú: R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ; r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC ; p= a+b+c l na chu vi tam giỏc ABC Vieọt Nakata Sau õy l s cho phn tng hp kin thc trờn: CC H THC LNG TRONG TAM GIC III IM, NG THNG, NG TRềN V ELIP A IM Cỏc im c bit ca tam giỏc: + Trc tõm : L giao ng cao ca tam giỏc + Trng tõm: L giao ng trung tuyn ca tam giỏc + Tõm ng trũn ngoi tip: L giao ng trung trc ca tam giỏc + Tõm ng trũn ni tip: L giao ca ng phõn giỏc Chỳ ý: + Do giao ca cỏc ng (cựng tờn) ng quy, nờn v hỡnh ta ch cn xỏc nh giao ca hai ng, thm l mt ng nu ú l trung tuyn (da vo t l trng tõm) + Tõm ng trũn bng tip : L giao ca ng phõn giỏc ngoi ca hai gúc hoc mt phõn giỏc ngoi ca mt gúc v mt phõn giỏc ca mt gúc Nh vy mt tam giỏc cú ng trũn bng tip Nu cho im phõn bit A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ), ta cú : AB = ( x2 x1 ; y2 y1 ) v AB = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) Vieọt Nakata x1 + x2 xI = I l trung im ca AB y = y1 + y2 I x1 + x2 + x3 xG = G l trng tõm ca ABC + y y y = + y3 G A, B, C thng hng k : AB =k AC B NG THNG ng thng * i qua im M ( x0 ; y0 ) v cú : + h s gúc k cú phng trỡnh: y = k ( x x0 ) + y0 + vect phỏp tuyn (vtpt) n = (a; b) cú phng trỡnh: a ( x x0 ) + b( y y0 ) = + vect ch phng (vtcp) n = (a, b) cú phng trỡnh dng tham s l: x x0 + at = x x0 y y0 hoc phng trỡnh dng chớnh tc l: (vi = y y0 + bt a b = ab ) Vieọt Nakata Ct hai trc Ox, Oy ln lt ti hai im A(a;0), B (0; b) cú phng trỡnh dng on chn: x y (vi ab ) + = a b V trớ tng i ca hai ng thng Xột hai ng thng : a1 x + b1 y + c1 = v : a2 x + b2 y + c2 = Ta giao im ca v l nghim ca h phng trỡnh : a1 x + b1 y + c1 = (I) a2 x + b2 y + c2 = * H (I) cú mt nghim ( x0 ; y0 ) , ú ct ti im M ( x0 ; y0 ) * H (I) cú vụ s nghim, ú * H (I) vụ nghim, ú // Mt vi chỳ ý * Trc honh ( Ox ) cú phng trỡnh: y = ; Trc tung (Oy ) cú phng trỡnh: x =0 * ng thng i qua hai im phõn bit: + A(a; y1 ), B (a; y2 ) cú phng trỡnh: x = a (song song vi trc Oy nu a 0) + A( x1 ; b), B ( x2 ; b) cú phng trỡnh: y = b (song song vi trc Ox nu b ) * Phng trỡnh ng thng cú dng tng quỏt n = (a; b) ax + by + c = (b; a) hoaở c u = (b; a) u = Vieọt Nakata C NG TRềN * ng trũn cú ta tõm I ( x0 ; y0 ) v bỏn kớnh R cú phng trỡnh: ( x x0 ) + ( y y0 ) = R2 * Nu ng trũn (C ) cú phng trỡnh dng: x + y + ax + by + c = 2 vi a + b > 4c thỡ (C ) cú: a b kớnh R ; v bỏn= 2 tõm I a + b2 c = R a2 + b2 = c x2 y 2 Phng trỡnh chớnh tc ca elip ( E ) : + = ú a b a , b, c > 2 a= b + c * ( E ) nhn Ox, Oy lm cỏc trc i xng v cú tõm i xng l gc ta O x02 y02 = + * Nu M ( x0 ; y0 ) ( E ) a b 2a MF1 + MF2 = * Elip ( E ) cú: + Tiờu im trỏi F1 (c;0) , tiờu im phi F2 (c;0) + Cỏc nh: A1 ( a;0), A2 ( a;0), B1 (0; b), B2 (0; b) + Trc ln: A1 A2 = 2a , nm trờn trc Ox Trc nh: B1 B2 = 2b , nm trờn trc Oy + Tõm sai: e= c < a Vieọt Nakata + ng chun: x = a a ng vi tiờu im F1 (c;0) v x = ng vi tiờu e e im F2 (c;0) x = a cú chiu di 2a , chiu y = b + Hỡnh ch nht c s to bi cỏc ng rng 2b + Bỏn kớnh qua tiờu ca im M ( x0 ; y0 ) ( E ) l: c a + ex0 = a + x0 MF1 = a MF =a ex =a c x 0 a IV CC CễNG THC NH LNG KHONG CCH * Khong cỏch gia hai im A( x1 ; y1 ) v B ( x2 ; y2 ) l AB = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) * Khong cỏch t im M ( x0 ; y0 ) n ng thng : ax + by + c = l: ax + by0 + c d ( M , ) = a + b2 * Nu ' // v M ' thỡ khong cỏch gia hai ng thng ' v l: d ( ',= ) d ( M , ) GểC * Gúc gia hai vect a = ( x1 ; y1 ) v b = ( x2 ; y2 ) xỏc nh bi: cos = a, b ( ) * a.b = a.b x1 x2 + y1 y2 x + y12 x22 + y22 l gúc to bi hai ng thng : a1 x + b1 y + c1 = v : a2 x + b2 y + c2 = xỏc nh bi cos cos n1 , n2 = = ( 10 ) a1a2 + b1b2 = cos u1 , u2 a12 + b12 a22 + b22 ( ) Vieọt Nakata a 2(3m 1) = a = A(1;5) AG =2GM 11 11 m = M (1;3) (9 4a )= m BC i qua M v vuụng gúc vi ng x y + = nờn cú phng trỡnh: x + y = + Suy ta im B l nghim ca h : = 3x + y= x B(3; 3) C (1;9) (do M l trung im ca BC) x + y =0 y =3 Vy A(1;5), B (3; 3), C ( 1;9) Bi 80 + ng trũn (C ) cú tõm I (4;0) v bỏn kớnh R = + Gi M (0; m) Oy IM = m + 16 MA2 = MB = MI R = m + 12 Suy A, B thuc ng trũn tõm M bỏn kớnh MA cú phng trỡnh: x + ( y m) = m + 12 + Khi ú ta A, B l nghim ca h: x + ( y m) = m + 12 x + y 2my 12 = 0 x my 12 = 2 4)2 + y x + 12 ( x= x + y= Suy phng trỡnh AB : x my 12 = + Mt khỏc E (4;1) AB 16 m 12 =0 m =4 M (0; 4) Vy M (0; 4) Bi 81 + Ta im B l nghim ca h x y + =0 x =2 B(2; 1) x + y + =0 y =1 + Gi D l im i xng vi A qua BN D BC AD i qua A v vuụng gúc vi BN nờn cú phng trỡnh: x y = 432 Vieọt Nakata Suy ta giao im K ca AD v BN l nghim ca h : x y =0 x =1 K (1; 3) D(3; 4) (vỡ K l trung im ca AD) x + y + =0 y =3 Suy BC i qua B, D nờn cú phng trỡnh: x y + = + AC i qua A v vuụng gúc vi BH nờn cú phng trỡnh: x + y + = Suy ta im C l nghim ca h: x = x + y + = C ; 2 3x y + = y = Vy B(2; 1), C ; 2 Bi 82 + Gi N l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn AB N 5; MN = CI i qua I v vuụng gúc vi AB nờn cú phng trỡnh: x + y 10 = + C (c;10 2c) CI Gi vi a yB A(2a; a) AB B(8 2a; a) CI = (c 4) + (8 2c) = c Suy AI = BI = (2a 4) + (a 2) = a = 5 BN= (2a 3) 2= (3 2a) 5(2 a) + Ta cú S ABC = 10 CI AI = 10 c 5(2 a) = 10 c = 2a (1) Mt khỏc MN // CI nờn ta cú: 5(3 2a) 2(a 2) MN BN = = c 4= 2a CI BI c 5(2 a) (2) 433 Vieọt Nakata Thay (1) vo (2) ta c: c = 2(a 2) = a 2a + = a = c = 2a 2a c = Vy A(1; 2), B (6,3), C (6; 2) hoc A(1; 2), B (6,3), C (2;6) Bi 83 + Gi vecto phỏp tuyn ca AB l n = (a; b) vi a + b > Khi ú phng trỡnh AB : a ( x 2) + b( y 3) = phng trỡnh BC : b( x 5) ay = + Do ABCD l hỡnh vuụng nờn: d (T , AB) = d (T , BC ) a 4b a + b2 = a 4b a = a + 4b = a 4b a + b2 b = 0 B(5;3) + Vi a = , chn b = , ú AB : y = v BC : x = Do T l trung im ca BD nờn D (3; 5) Suy phng trỡnh AD := x + 0, DC := y + A(3;3), C (5; 5) v BC : y = B (2;0) + Vi b = , chn a = , ú AB : x = Do T l trung im ca BD nờn D (0; 2) Suy phng trỡnh AD : y = 2, DC : x = A(2; 2), C (0;0) Vy A(3;3), B(5;3), C (5; 5), D(3; 5) hoc A(2; 2), B (2;0), C (0;0), D(0; 2) Bi 84 x = x y = + Ta im I l nghim ca h I ; + = x y 2 y = Khụng mt tớnh tng quỏt gi s M l trung im ca AD vi = {M } d1 Ox M (3;0) Ta cú AB = IM = AD = S ABCD 12 = = 2 MA = MD = AB ( ) Suy A, D thuc ng trũn M , cú phng trỡnh: ( x 3) + y = + Vỡ I , M cựng thuc d1 nờn d1 AD phng trỡnh AD : x + y = 434 Vieọt Nakata Khi ú ta im A, D l nghim ca h : = y x + y = x 2;= yA >0 A(2;1) 2 4; y = x = D(4; 1) ( x 3) + y = + Do I l trung im ca AC , BD C (7; 2), D(4; 1) Vy A(2;1), B (5; 4), C (7; 2), D (4; 1) Bi 85 + Theo gi thit ta cú C l nh nm trờn trc ln ca elip ( E ) Do CA = CB , suy A, B i xng qua trc honh x02 + y0 = Gi A( x0 ; y0 ) ( E ) vi x0 (2; 2) B( x ; y ) 0 1 Khi ú S ABC = d (C , AB) AB = x0 y0 = (2 x0 ) y0 2 x (2 x0 )3 (2 + x0 ) (2 x0 ) y02 = (2 x0 ) = S ABC = 4 (1) Mt khỏc ỏp dng BT Cauchy ta cú: 4= x0 x0 x0 (2 x0 )3 (2 + x0 ) + + + + x0 4 3 27 (2) (2 x0 )3 (2 + x0 ) 27 T (1) v (2) suy ra: S ABC 27 3 S ABC Du = xy khi: A 1; , B 1; x0 =2 + x0 =1 x0 =1 y0 = A 1; , B 1; Vy A 1; 3 , B 1; hoc A 1; , B 1; 2 435 Vieọt Nakata Bi 86 + Gi vecto phỏp tuyn ca AB l nAB = (a; b) vi a + b , AB i qua M (2; 3) cú phng trỡnh: a ( x 2) + b( y + 3) =0 ax + by 2a + 3b =0 Ta cú nBC = (1;7) , ú: ABC =450 cos ABC =cos 450 a + 7b a +b +7 2 2 = (a + 7b) = 25(a + b ) 3a = 4b 12a ab 12b = (3a 4b)(4a + 3b) = 4a = 3b a = suy phng trỡnh AB : x + y + = + Vi 3a = 4b , chn b = Khi ú AC i qua N 1; vuụng gúc vi AB nờn AC cú phng trỡnh: 3x y + = x + y + =0 x =1 A(1;1) y+7 = x = y Ta im A l nghim ca h x + y + =0 x =4 B(4;5) 31 = x + y = y Ta im B l nghim ca h +7 = x y= x C (3; 4) = 31 = x + y y Ta im C l nghim ca h a = suy phng trỡnh AB : x y 18 = v b = + Vi 4a = 3b , chn AC : x + y 49 = Khi ú ta cú A(10;3) B (10;3) (loi) Vy A(1;1), B (4;5), C (3; 4) 436 Vieọt Nakata Bi 87 + ng trũn (T ) cú tõm I (4; 3) v bỏn kớnh R = Gi AB, AD tip xỳc vi (T ) ln lt ti M , N AMIN l hỡnh vuụng cnh bng R = Suy AI = 2 + Gi A(t ;1 t ) vi t < , ú: t = t R A nm ngoi ng trũn (T ) = HC = AC Gi H l hỡnh chiu ca I lờn BC , ú: HB Khi ú: IH = IB HB IB HB = IA2 HA2 R AC = IA2 AC 2 IH= IA HA AI R 52 25 AC = = = AC = HB = IH = 3 + Gi n = (a; b) l vecto phỏp tuyn ca vi a + b Suy phng trỡnh : ax + by a 3b = 437 Vieọt Nakata Khi ú d ( I , ) = IH 6a + 4b a = = 5a + 12ab = a +b 5a = 12b 2 + Vi a = , chn b = , suy phng trỡnh : y = + Vi 5a = 12b , chn a = 12, b = , suy phng trỡnh : 12 x y 69 = Vy : y = hoc :12 x y 69 = Bi 89 + ng trũn (C ) cú tõm I (2; 3) v bỏn kớnh R = Khi ú phng trỡnh IM l : x = , suy AB vuụng gúc vi IM nờn cú phng trỡnh y = m + Suy honh giao im A, B l nghim ca phng trỡnh: (*) x x + m + 6m 12 = Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit khi: (2*) ' = m 6m + 16 > < m < A( x1 ; m) Ta cú ú x1 , x2 l nghim ca (*) v tha món: B( x2 ; m) x1 + x2 = x1 x2 = m + 6m 12 x1 + x2 = = xH + Gi H l trung im ca AB , suy H (2; m) yH = m Do tam giỏc ABC u nờn ta cú: m = AB 3 2 MH = MH = AB 2m + (9 3)m =0 m = Vy phng trỡnh cn lp l y = hoc y = Bi 90 438 Vieọt Nakata + Ta cú nAB = (1; 2), nBD = (1; 7), nAC = (a; b) ln lt l cỏc vecto phỏp tuyn ca cỏc ng thng AB, BD, AC Khi ú ABCD l hỡnh ch nht nờn ta cú: cos nAC , nBD = cos nAB , nBD ( ) ( ) a 2b a +b 2 = 15 50 7a = b 2(a 2b) =9(a + b ) 7a + 8ab + b =1 a = b + Vi 7a = b , chn a = 1, b = nAC =(1; 7) cựng phng vi nBD (loi) + Vi a = b , chn a = 1, b = nAC =(1; 1) Khi ú AC i qua M (2;1) cú phng trỡnh : x y = Suy ta giao im I ca AC v BD l nghim ca h : x = x y + 14 = I ; 2 x y = y = + Do A, C khỏc phớa so vi ng thng BD NA + NC AC Du = xy khi= { N } AC BD N I hay N ; 2 Bi 91 + Gi P, K ln lt l trung im ca DA, AC v G l trng tõm tam giỏc ABC , ú : CE CG = = EG // PD hay EG // AB CP CD Do I l tõm ng trũn ngoi tip nờn DI AB DI EG (1) DK / / BC DE / / BC Mt khỏc GI DE (2) AG BC GI BC T (1) v (2) , suy I l trc tõm ca tam giỏc DEG EI DG + Khi ú CD i qua M(3; -1) v vuụng gúc vi IE nờn cú phng trỡnh x = 439 Vieọt Nakata Gi D (3; d ) CD, suy D(3;3) d = DN DI DN DI =0 D 3; d = 3 + Vi D (3;3) , suy phng trỡnh AB : x y + = v AI i qua I v vuụng gúc vi DE nờn cú phng trỡnh x y = y2 = x = x Suy ta im A l nghim ca h A(7;5) y+3 = x 2= y Do D l trung im ca AB B (1;1) Ta cú BC i qua B v vuụng gúc vi AI nờn cú phng trỡnh : x + y = +y = x= x Khi ú ta im C l nghim ca h C (3; 3) x = y = 107 125 + Vi D 3; lm tng t nh trờn ta c A ; (loi) 27 Vy A(7;5), B ( 1;1), C (3; 3) Bi 92 + Gi phng trỡnh chớnh tc ca ( E ) cú dng: + Phng trỡnh ng chun l x + = Vỡ M ( E ) x2 y + = vi a > b > a b2 a2 = a = 8c c 9 + = + = 2 a b a a c2 c = 2c 17c + 26 =0 13 + = Thay (1) vo (2) ta c: c = 8c 8c c 2 a = 16 x2 y + Vi c =2 ( ) : + = E 2 16 12 b = a c = 12 a = 52 x2 y 13 E + =1 ( ) : + Vi c = 39 2 52 39 b = a c = 4 Vy phng trỡnh ( E ) cn lp l : 440 2 x2 y + = hoc x + y = 16 12 52 39 (1) (2) Vieọt Nakata Bi 93 ng trũn (C ) cú tõm I (1; 2) v bỏn kớnh R = Gi H l hỡnh chiu ca I AB trờn AB AH = =2 IH = R AH = 52 (2 5)2 = Khi ú d ( I , AB) = Do ABOI l hỡnh thang ỏy AB AB // OI Vi OI= (1; 2) , suy phng trỡnh ng thng AB cú vộct phỏp tuyn nAB = (2;1) Khi ú phng trỡnh AB cú dng: 0) 2x + y + m = ( m OI cú phng trỡnh x + y = d ( I , AB) = IH 2.1 + m = m = m= ( tha m ) Vy phng trỡnh AB l x + y + = hoc x + y = Bi 94 Ta cú: S CDM = S ABCD S CDM S ADM = S = S ADM ABCD d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) = 3+3 2 = Gi A(t ; 3t + 2) thuc ng thng x + y = (vi t < ) Khi ú d ( A, DM ) = t (3t + 2) 2 = t = t= (loi) hoc t = A(1;5) AD =(a + 1; a 7) + Gi D (a; a 2) DM CD =(a 3; a + 1) 441 Vieọt Nakata Do ABCD l hỡnh vuụng nờn : AD.CD = 0 (a + 1)(a 3) + (a 7)(a + 1) = 2 2 2 (a + 1) + (a 7) = (a 3) + (a + 1) AD = CD a = (a + 1)(2a 10) = D(5;3) a = a = 12a + 50 =10 4a a = Mt khỏc AB =DC =(2; 6) B (3; 1) Vy A(1;5) , B (3; 1) , D (5;3) Bi 95 + ng trũn (C ) x + y x y = cú tõm I (2;1) v bỏn kớnh R = 13 A thuc tia Oy nờn gi A(0; a ) vi a A (C ) a 2a = a = hoc a = (loi) + Gi C (5c; c) ( vi c ) thuc ng thng d : x + y = C (C ) 25c + c 20c + 2c = 13c 9c = c = hoc c = (loi) Vy C (5; 1) 13 = u= (5; 1) + Vỡ AB d nờn AB cú vộct phỏp tuyn nAB d Khi ú AB cú phng trỡnh : 5( x 0) ( y 4) = hay x y + = Gi B (b;5b + 4) AB Ta cú : b = IB = R IB = R (b 2) + (5b + 3) =13 b + b = b = Vi b = B (0; 4) A (loi) ; Vi b = B (1; 1) Vy A(0; 4) , B (1; 1) v C (5; 1) Bi 96 ng trũn (C ) cú tõm I (1;1) v bỏn kớnh R = 2 Vỡ AC song song vi x y + 2015 = 442 Vieọt Nakata nờn AC i qua I cú vộct ch phng x = + 3t u AC= u= (3; 4) cú phng trỡnh: d y = + 4t 2 Ta cú: IA = IB = R + R = + = 2 Gi A(1 + 3a;1 + 4a ) AC nờn IA = IA2 = 25 (3a ) + (4a ) = 25 a = hoc a = Vi a = A(4;5) v a = A(2; 3) (loi) Vỡ I l trung im ca AC nờn C ( 2; 3) x = + 4t y = 3t Ta cú BD i qua I v vuụng gúc vi AC nờn cú phng trỡnh: Gi B (1 + 4b;1 3b) BD nờn IB = IB = 25 (4b) + (3b) = 25 b = hoc b = Vi b = B(5; 2) D(3; 4) (Vỡ I l trung im ca BD ) v b = B(3; 4) (loi) Vy A(4;5) , B (5; 2) , C ( 2; 3) v D (3; 4) Bi 97 Ta cú BC i qua B (2; 1) nhn u AH = (1;3) lm vộct phỏp tuyn nờn cú phng trỡnh: x + 3( y + 1) = hay x + y + = Khi ú ta im C l nghim ca h: x + y + =0 x =1 C (1;0) y +1 = x = y Gi E ( x; y ) l im i xng ca B qua phõn giỏc d : x y + = ca gúc ACB Suy E AC 443 Vieọt Nakata BE =( x 2; y + 1) Ta cú v I x + ; y l trung im ca EB ud = (1;1) Khi ú: 1.( x 2) + 1.( y + 1) = BE ud x + y = x = E (2;3) x + y = = x y y + = I d 2 Khi ú ng thng EC i qua C ( 1;0) v cú vộct ch phng x +1 y EC= (1; 3) nờn cú phng trỡnh: = x + y + 3= Vỡ EC AH = {A} nờn ta im A l nghim ca h: y+3 = x + = x A(1; 6) x y =0 y =6 AD =(a 1; b + 6) Gi D (a; b) , ú BC = (3;1) a =3 a =2 BC ABCD l hỡnh bỡnh hnh nờn suy AD = b + = b =5 Vy D (2; 5) Bi 98 Ta cú BC ={H } nờn ta im H l nghim ca h: y +1 = x 4= x H (1;1) y4 = x + 3= y Ta cú: d= ( A, BC ) Khi ú S ABC =15 +1 = 32 + 42 1 d ( A, BC ).BC =15 2.BC =15 BC =15 2 BC Mt khỏc H thuc on BC v HC = HB nờn BH = = 3b + Gi B b; BC (vi b > ) 444 Vieọt Nakata 3b + Khi ú BH =5 BH =25 (b 1) + =25 2 (b 1) + 25 (b 1) = 25 (b 1) = 25 16 16 (b 1) = 16 b = hoc b = (loi) , suy B (5; 4) HC =( x 1; y 1) , Gi C ( x; y ) ú BH =(4; 3) x =8 x =7 C (7; 5) y =6 y =5 ú: HC = BH Vy B (5; 4) v C ( 7; 5) Bi 99 T phng trỡnh Elip ( E ) : a = x2 y c= + = 25 16 b = F1 (3;0) a b 2= F2 (3;0) M (E ) MF1 + MF2 =2a =10 MF2 = MF22 = 10 2= 5MF2 = Maởt khaực MF1 = MF2 Gi M ( x0 ; y0 ) , ú x02 y02 x02 y02 M E ( ) = = 1 (1) + + 25 16 25 16 2 MF2 = ( x 3) + y = y2 = x0 + x0 (2) Thay (2) vo (1) ta c : x02 x02 x0 + = 25 16 x0 =5 y0 =0 x 50 x0 + 175 = 35 640 x0 = y02 = ) Suy = AI Cú AI = AB = 18 (t + 2) + (t + 2) = 18 (t + 2) = t = hoc t = (loi) Vy I (1; 1) , suy C (4; 4) ( Vỡ I l trung im ca AC ) x= 1+ t y =1 + t Khi ú BD i qua I (1; 1) vuụng gúc vi AC cú dng : Gi B (1 + b; + b) BD Khi ú AB = AB = 24 (b + 3) + (b 3) = 24 b = b = B(1 + 3; + 3) D(1 3; 3) (Vỡ I l trung im ca BD) Suy ra: B(1 3; 3) D(1 + 3; + 3) B (1 3; 3) B(1 + 3; + 3) Vy C (4; 4) hoc C (4; 4) D(1 + 3; + 3) D(1 3; 3) 446 [...]... đoạn BI ta sẽ chuyển được về Bài toán 1 Lúc này ta sẽ cắt nghĩa dữ kiện của bài toán để làm điều này (các bạn xem việc cắt nghĩa ở lời giải) Khi đã tìm được điểm B ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B đã biết tọa độ và cách điểm I cho trước một khoảng không đổi R nghĩa là ta chuyển bài toán về Bài toán 6 (Các bạn sẽ được tìm hiểu kĩ bài Bài toán 6 ở phần sau) * 34 Vieät... hai đường trung  2 2 trực của hai cạnh và giao điểm của hai đường trung trực này chính là tâm I + Với J: Viết phương trình hai đường phân giác trong và tìm giao điểm hai đường này 20 Vieät Nakata CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT: PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY 1 BÀI TOÁN 1 A NỘI DUNG BÀI TOÁN 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ đã biết phương trình và cách điểm I cho trước một khoảng không đổi R ( MI= R=... về Bài toán 1 Song bài toán này việc tìm NI sẽ khá phức tạp Vì vậy sẽ cần một điểm khác mà việc tính khoảng cách từ N tới điểm đó đơn giản Trong bài toán có chứa yếu tố đối xứng ( M và N đối xứng nhau qua ∆ 2 ), điều đó khiến ta nghĩ tới điểm I ' đối xứng với I qua ∆ 2 Và điểm này hoàn toàn xác định được, từ đây suy ra được NI =' IM= R= 5 Như vậy lúc này ta đã nhìn thấy Bài toán 1 để tìm tọa độ điểm. .. một điểm nghĩa là bài toán đang chứa hai ẩn (tung độ và hoành độ của điểm đó), vì vậy việc giải những lớp bài toán như thế này thực chất là việc chúng ta đi cắt nghĩa số liệu của bài toán để được hai phương trình (hai dấu “=”) Dữ kiện điểm thuộc đường luôn giúp ta có được một phương trình và các dữ kiện chưa khai thác sẽ giúp ta cắt nghĩa để tìm thêm một dấu “=” còn lại Kinh nghiệm làm những bài toán. .. toán tìm điểm cho ta biết được xác suất rơi vào Bài toán 1 thường khá cao (có lẽ đó cũng là ý đồ và lí do để tác giả giới thiệu Bài toán 1 đầu tiên tới các bạn) Vì vậy trong các ví dụ cụ thể, nếu điểm đã thuộc một đường thẳng cho trước thì hướng tư duy đầu tiên ta ưu tiên nghĩ đến là chỉ ra một điểm cố định và khoảng cách từ điểm cần tìm tới điểm đó xác định được Ví dụ 9 Trong mặt phẳng Oxy , cho... 2 Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương trình x + y − 3 = 0 , điểm M (−1; 2) thuộc đường thẳng AB , điểm N (2; −2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương Phân tích hướng giải: * Trong các dữ kiện của bài toán ta nhận thấy điểm có “lợi” để ta khai thác đầu tiên chính là điểm B , bởi B thuộc... tìm điểm về Bài toán 1 mà yếu tố độ dài MI chưa biết (trong bài toán này AM chưa biết) thì thường ta hay “cắt nghĩa” thông qua dữ kiện về định lượng Nếu không có điều này thì trong đề bài thường ẩn chứa những yếu tố  ta luôn tính được), khoảng bất biến như góc (ví như trong bài toán này góc MAH cách (trong ví dụ này d ( M , AN ) cũng là một đại lượng không đổi)… Từ đây việc tìm độ dài MI (trong bài toán. .. ) sẽ khá đơn giản và bài toán gốc sẽ xuất hiện đúng như nội dung của Bài toán 1 * Ngoài cách tìm ra được AM = 3 10 như ở ví dụ trên, các bạn có thể tham khảo 2 việc tìm AM theo cách sau: 5a 2 a 10 Đặt AB = a ⇒ S AMN = S ABCD − ( S ADN + SCNM + S BAM ) = và AN = 12 3 5a 2 2 S AMN 3 5 12 ⇒ a= 3 2 ⇒ AM= a 5= 3 10 Khi đó: d ( M , AN = ) ⇔ = 2 2 2 AN a 10 3 2 Ví dụ 8 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng... ) Mặt khác I là trung điểm của AC và BD nên suy ra C (3;0), D(−1; −2) Vậy A(−2;0), B(2, 2), C (3;0), D(−1; −2) 26 Vieät Nakata Nhận xét : Khi bài toán yêu cầu tìm từ hai điểm trở lên, mà các điểm có vai trò như nhau (trong bài trên A, B có vài trò như nhau ) thì các bạn nên trình bày theo C2 để từ điểm này ta suy ra được điểm kia Ví dụ 4 (B – 2009 – NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC... một điểm cho trước (đã biết tọa độ ) một khoảng bằng bao nhiêu ? Cắt nghĩa dữ kiện của bài toán như thế nào để tính được khoảng cách đó? Và các hỏi trên được “thiết kế ” qua các cách ra đề sau: 1 CÁCH RA ĐỀ 1: Cho biết M thuộc đường thẳng ∆ và điểm I cho trước, độ dài IM đề bài không cho Cần “cắt nghĩa” các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đoạn IM Ví dụ 1 (D – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,