SKKN sử DỤNG các TÍNH CHẤT TRONG HÌNH học PHẲNG để GIẢI một số bài TOÁN TRONG đề THI TN THPT QUỐC GIA và THI HSG image marked

“SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA VÀ THI HSG TỈNH THANH HÓA” MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong cấu trúc đề thi TN THPT quốc gia thi HSG cấp tỉnh, toán phương pháp tọa độ mặt phẳng tốn khó, u cầu phải học sinh khá, giỏi nắm vững kiến thức hình học phẳng có kỹ vận dụng kiến thức linh hoạt làm tốn Những năm gần đây, việc khai thác tính chất hình học phẳng để đưa vào tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng thường người đề quan tâm Do đó, học sinh muốn giải tốn giáo viên phải u cầu học sinh nắm vững kiến thức hình học phẳng, đặc biệt tính chất hình Việc quan trọng trình tiếp cận giải toán phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi chọn đề tài nhằm mục đích giúp học sinh có định hướng rõ ràng đứng trước toán phương pháp tọa độ mặt phẳng Giúp em học sinh biết phân tich, liên hệ tích chất số hình u cầu đề bài, từ xây dựng lời giải 1.3 Đối tượng nghiên cứu Tính chất hình phẳng nhiều, khn khổ đề tài lại có hạn, nên tơi xin trình bày hai tính chất quan trọng điểm đặc biệt tam giác, là: Đường thẳng Ơ-le đường tròn Ơ-le Ở chương trình hình học phổ thơng, sách giáo khoa khơng trực tiếp giới thiệu tính chất định lý thơng dụng, sử dụng vào giải mình, bắt buộc học sinh phải chứng minh Đương nhiên , việc chứng minh tính chất khơng qua phức tạp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Dựa phân tích phân loại tốn, đối chiếu với tính chất hình phẳng, từ tìm liên quan Kết hợp với phương pháp quy nạp có chun đề hữu ích, chìa khóa quan trọng giải tốn khó Từ hình thành lối tư khoa học sáng tạo, nảy sinh nhiều ý tưởng phong phú, xây dựng nhiều toán hay giúp ích cho q trình học ơn tập kiến thức để có kết cao kỳ thi NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tơi xin nhắc lại hai tính chất có liên quan tới viết này, đồng thời đề xuất cách chứng minh tương ứng (Đương nhiên có cách khác để chứng minh hai tính chất này) Đường thẳng Ơ-le:Trong tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp I, trực tâm H, trọng tâm G thẳng hàng Đường thẳng qua điểm thẳng hàng nói gọi đường thẳng Ơ-le Chứng minh: Cách 1: Sử dụng tam giác đồng dạng Hình vẽ Các điểm đặt hình vẽ Dễ dàng ra: Lại có : ∆HAB đồng dạng với ∆OMN (g.g)  OM  AH GM GM OM   GMO  ,    ,mặt khác : HAG GA GA AH  nên H, G, O thẳng hàng suy ∆AHG đồng dạng với ∆MOG   AGH  MGO Cách 2: Vẽ đường kính AD ( Cách chứng minh đơn giản, xin phép cho tơi khơng trình bày đây) A F E N H I G B K C M D Hình vẽ Qua chứng minh ta dễ dàng suy được: 1, Tứ giác BHCD hình bình hành     2, AH  IM 3, IH  3IG Đường tròn Ơ-le: Trong tam giác, chân đường cao, trung điểm cạnh trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh nằm đường tròn Chứng minh: Đặt tên điểm hình vẽ Hình vẽ Để ý thấy hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm Tương tự: hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm trung điểm Từ (1), (2), (3), (4) suy điểm D, E, F, G, I, J, L, K, P nằm đường tròn (đường tròn điểm - đường tròn Ơ-le) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tơi xin nêu tốn mà giải theo cách khơng sử dụng hai tính chất nêu tốn trở nên dài dòng, phức tạp (điều kiểm tra thực tế tiết dạy bồi dưỡng kiến thức lớp học) Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1;4), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3;0) trung điểm cạnh BC điểm M(0;-3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 3 I(2;1), trọng tâm G ( ; ) Phương trình cạnh AB: x-y+1=0 Xác định tọa độ ba đỉnh tam giác ABC, biết xA < xB Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3;-2), tâm đường tròn ngoại tiếp I(8;11), chân đường cao vẽ từ đỉnh A K(4;-1) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(-1;4) Gọi D, E(1;2), N chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung 2 điểm cạnh AB Biết I ( ; ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH: 3x  y   , Trung điểm cạnh BC M(3;0), Gọi E, F chân đường cao hạ từ B, C tới AC, AB Biết phương trình EF là: x  y   Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ dương 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải tốn 1:  Phân tích tốn: Đề cho trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I trung điểm M cạnh BC, ta nghĩ tới hai hệ thức quan trọng   *) AH  IM   *) IH  3IG Từ hệ thức ta xây dựng cách giải cho toán Cách 1:    AH  IM Sử dụng   ta tìm A(-7;10)  IM  (3; 3), Ta có IA  (3  7)  102  116 Đường thẳng BC qua M(0;-3) vng góc với IM nên phương trình BC là: 1( x  0)  1( y  3)   x  y   Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình : ( x  3)  y  116 Tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình: ( x  3)  y  116  B (7; 10), C (7;4)   x  y   C(7; 10), B(7;4)  Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC là: A(7;10), B(7; 10), C (7;4) A(7;10), B(7;4), C(7; 10) Cách 2:   Sử dụng IH  3IG ta tìm G ( ; ) trọng tâm tam giác ABC 3   Lại có GA  MG  A(7;10) làm tương tự cách dẫn đến kết Giải tốn 2:  Phân tích tốn: Đề cho tâm đường tròn ngoại tiếp I , trọng tâm G phương trình cạnh AB, ta nghĩ tới hai hệ thức quan trọng:   IH  3IG    IH  3IG  Gọi H trực tâm tam giác ABC, ta có   1  H (3;2)  IG  ( ; ) 3  Gọi M trung điểm cạnh AB, M hình chiếu vng góc cùa I đường thẳng AB Đường thẳng IM qua I(2;1) vng góc với AB có phương trình là: IM :1( x  2)  1( y  1)   x  y   Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x  y   x    M (1;2)  x  y   y      IM  (1;1)   C (5;0)  IC  10 Ta có:   CH  IM Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (C) : (x  2)  ( y  1)  10 Tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình: ( x  2)  ( y  1)  10  x  1, y    A(1;0), B(3;4) (do x A  xB )  x  3, y  x  y     Vậy tam giác ABC có đỉnh: A(-1;0), B(3,4), C(5;0) Giải tốn 3:  Phân tích tốn: Đề cho trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I chân đường cao K hạ từ A tới cạnh BC, trước hết ta phải nghĩ cách tìm M, tìm A, sau tìm B, C  Theo đề bài: đường thẳng BC qua K(4;-1) có vtpt HK  (1;1) , pt BC là: 1( x  4)  1( y  1)   x  y   Gọi M trung điểm cạnh BC, suy IM  BC , đường thẳng IM qua   I(8;11) , vtcp HK  (1;1)  vtpt n1  (1; 1) Phưng trình IM: 1( x  8)  ( y  11)   x  y   Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: A N H(3;-2) I(8;11) B x  y   x    M (0;3)   x  y   y     HA  MI  x   16  A  A(19;14) Sử dụng   y   16 MI  (8;8) A   K(4;-1) M C Hình vẽ Ta có IA  (19  8)  (14  11)  130 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình : ( x  8)  ( y  11)  130 Tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình: ( x  8)  ( y  11)  130  B (1;2), C (1;4)   x  y   C(1;4), B(1;2)  Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC là: A(19;14), B(1;2), C (1;4) A(19;14), B(1;4),C(1;2) Giải toán 4:  Phân tích tốn: Đề cho tam giác ABC có D, E(-1;2), N chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB 2 Biết I ( ; ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN Nếu gọi M 2 trung điểm cạnh BC M thuộc đường tròn tâm I ( ; ) Mặt khác ta lập phương trình đường thẳng AC, tham số hóa điểm C, suy tham số hóa điểm M Cho M thuộc đường tròn ta tìm tham số, từ tim C A E(-1;2) N B(-1;4) D M C(?) Hình vẽ Trước hết yêu cầu học sinh phải chứng minh tứ giác ENDM nội tiếp Việc sử dụng cách chứng minh đường tròn Ơ-le chứng minh theo cách sau ( Nhưng đường tròn Ơ-le gợi ý định hướng quan trọng)   NEA  ( Vì EN trung tuyến tam giác vng AEB) NAE   NEA  (do MN / / AC ) MNE   MNE  (1)  NAE Mặt khác, E, D nhìn AB góc vuông nêm ABDE nội tiếp đường   EDM  (2) (cùng bù với BDE ) tròn, đó: NAE   EDM  , suy MEND nội tiếp đường tròn Từ (1) (2) ta có: MNE  Theo đề bài: đường thẳng AC qua E(-1;2) có vtpt EB  (0;2) , pt AC là: 0( x  1)  2( y  2)   y   C (c;2)  AC  M ( c 1 ;3) ( M trung điểm cạnh BC) Do MEND nội tiếp đường tròn c  C (1;2) c2 2 I ( ; )  IM  IE  IM  IE  ( ) ( ) ( ) ( )    2 2 2 c  5 C (5;2) Vậy C(1;2) C(-5;2) Giải toán 5:  Phân tích tốn: Ý tưởng thực hướng giải tốn dựa vào đường tròn Ơ-le, cần ý tam giác ABC nhọn tù, ta có hai hình vẽ cho tốn A H E I F H E I F J J A B M C B Hình vẽ M C Hình vẽ Gọi I trung điểm AH Tứ giác AEHF tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm I, tâm M nên ta có IM  EF (Vì EF dây cung chung, IM đường nối hai tâm) Ta có   IHE  , IEA   IAE   IE  IH  IA  IEH   MEB   IE  IH  IA  , EBM   IAE  EBM   MEB   IEM   900  IEH   900 tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, Tương tự IFM tâm la ftrung điểm J đoạn IM.(Đường tròn Ơ-le) Đường thẳng IM qua vng góc với EF nên có phương trình: 3x  y   I giao điểm AH IM nên tọa độ I nghiệm hệ phương trình: 3 x  y    I (1;6)  x  y    Đường tròn đường kính IM có tâm J(2;3) bán kính r  JM  10 nên phương trình (J): ( x  2)  ( y  3)  10 Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình:  x   x  3y   x  3y    y   E (5;4); E(1;2)     2  ( x  2)  ( y  3)  10 ( y  3)    x  1    y  Vì A  AH  A(a;3a  3) Ta có: IA  IE  IA2  IE  (a  1)  (3a  3)  20  a   Vì A có hồnh độ dương nên A(1  2;6  2) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Dưới xin giới thiệu tập mà xử dụng tính chất đường thẳng Ơ-le đường tròn Ơ-le việc giải chúng trở nên dễ dàng nhiều Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Đáp số: C (2  65; 3) Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;2) 5 2 tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;2) trung điểm cạnh BC M( ; ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết xB > xC Đáp số: A(1;1), B(3;1),C(2;4) Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1;3) tâm đường tròn ngoại tiếp I(3;-3) đỉnh A(1;1) Tìm tọa độ đỉnh B, C biết xB < xC Đáp số: B(1; 5),C(5;1) 10 Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H (3;  ) tâm đường tròn ngoại tiếp I(0; 29 ) trung điểm cạnh BC M( ;3) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Đáp số: A(2;1), B(2;1),C(3;5) A(2;1), B(3;5), C (2;1) Bài tập 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không vuông Giả sử D(4;1), E(2;-1), N(1;2) theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng d : x  y   xM < Đáp số: A(4;3), B(2;1), C(3;1) Bản thân sau giới thiệu chuyên đề với học sinh em hưởng ứng nhiệt tình, hăng hái Sử dụng thành thạo hiệu vào tập thuộc dạng tương ứng Đối với đồng nghiệp tổ toán tán thưởng trao đổi kinh nghiệm để bổ xung vào tài liệu chuyên đề giảng dạy KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Khai thác toán quen thuộc, ứng dụng toán đơn giản vào việc giải tốn phức tạp cách dạy học tích cực nhằm phát huy tư toán học học sinh, giúp học sinh có khả vận dụng linh hoạt kiến thức để giải dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức học sinh, từ làm cho học sinh u thích hăng say học tập mơn tốn Bằng cách thời gian qua nhà trường phân công giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10, 11 bước đầu thu kết đáng khích lệ Q trình vận dụng chuyên đề với chuyên đề khác với cách tư tương tự giúp bồi dưỡng lượng học sinh khá, giỏi 11 làm nòng cốt cho kỳ thi học sinh giỏi đồng thời em đạt điểm số môn toán cao kỳ thi tuyển sinh Đại học Đặc biệt, chuyên đề triển khai cho học sinh lớp 10, 11, 12 năm học 2015-2016 buổi bồi dưỡng HSG em tiếp thu tốt với tinh thần hứng thú sáng tạo cao Trên số kinh nghiệm thân chúng tơi rút q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân thấy chuyên đề với cách dạy thiết thực công việc dạy học, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Mặc dù tơi cố gắng hồn thiện viết cách cẩn thận nhất, song không tránh khỏi sai sót, mong cấp chun mơn đóng góp ý kiến bổ sung để chuyên đề ngày hồn thiện hữu ích Cũng mong góp ý quý đồng nghiệp để chúng tơi có dịp trau dồi tích lũy kiến thức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục giao Xác nhận Hiệu trưởng Thanh Hóa,ngày 22 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết, không chép từ nguồn Lê Văn Hà 12 d: x+2y=0 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao- NXB Giáo dục 2007 Đề thi tuyển sinh Đại học đáp án từ năm 2000 đến 2015 Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam 10 toán trọng điểm hình học phẳng Oxy – Nguyễn Thanh Tùng 13 ... kinh nghiệm để bổ xung vào tài liệu chuyên đề giảng dạy KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Khai thác toán quen thuộc, ứng dụng toán đơn giản vào việc giải tốn phức tạp cách dạy học tích cực... giới thi u tập mà xử dụng tính chất đường thẳng Ơ-le đường tròn Ơ-le việc giải chúng trở nên dễ dàng nhiều Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ;-7 ), trực tâm H(3 ;-1 ),... tư toán học học sinh, giúp học sinh có khả vận dụng linh hoạt kiến thức để giải dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức học sinh, từ làm cho học sinh u thích hăng say học tập mơn tốn Bằng cách