chinh phục điểm 8910 trong đề thi đại học

cuốn sách này trình bày chi tiết về các cách giải các dạng bài hay gặp trong đề thi đại học mỗi dạng bài dều có hương dẫn chi tiết để giúp các bạn hiểu và nắm chắc các kiến thức,phần cuối của cuốn sách là tuyển chọn các đề thi của các trường nổi tiếng.

TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI

TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015

Diễn đàn toán học VMF Ngày 6 tháng 8 năm 2015

Kí hiệu dùng trong sách

BĐT : Bất đẳng thứcBPT : Bất phương trìnhCMR : Chứng minh rằng

ĐH : Đại họcGDĐT : Giáo dục và đào tạoGTLN : Giá trị lớn nhấtGTNN : Giá trị nhỏ nhất

PT : Phương trìnhTHPT : Trung học phổ thôngTHTT : Tạp chí Toán học Tuổi trẻ

TP HCM : Thành phố Hồ Chí MinhVMF : Vietnam Mathematics Forum

VP : Vế phải

VT : Vế tráiVTCP : Vectơ chỉ phươngVTPT : Vectơ pháp tuyến

LỜI NÓI ĐẦU

Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán đểxét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại Bộ ba câu này thường

rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng,

Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.

Nhằm mục đích cung cấp thêm cho các bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016một tài liệu tham khảo hữu ích, các thành viên của Diễn đàn toán học VMF đã cùng nhau biênsoạn tài liệu này Tài liệu bố cục gồm ba phần chính Phần đầu, chúng tôi tóm tắt một vài lýthuyết cơ bản tương ứng với 3 chủ đề đã nói ở trên để bạn đọc có thể tra cứu dễ dàng khi cầnthiết Phần hai, cũng là nội dung chính của tài liệu, chúng tôi tổng hợp lại bộ ba câu phân loạitrong các đề thi thử năm học 2014 - 2015 Phần hướng dẫn, đáp số chúng tôi chủ yếu dựa trênđáp án của đơn vị ra đề, tuy nhiên trong một số bài toán chúng tôi có đưa ra cách tiếp cận kháchoặc chỉ hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động hơn trong quá trình đọc tàiliệu Chúng tôi nhấn mạnh rằng, cách làm trong tài liệu này chưa hẳn là tốt nhất, bạn đọc cũngkhông nên quá coi trọng các lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên

Nhóm biên soạn tài liệu này gồm có

• Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP.HCM (Katyusha);

• Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99);

• Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng);

• Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13);

• Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois);

• Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp);

• Bạn Trần Trung Kiên - TP HCM (Ispectorgadget)

Mặc dù chúng tôi đã cùng nhau biên soạn tài liệu này với tất cả sự tận tâm, tinh thần vìcộng đồng vô tư Nhưng sự tỉ mỉ và cố gắng của chúng tôi chắc chắn chưa thể kiểm soát đượchết các sai sót Vì vậy sự nhiệt tâm từ phía bạn đọc cũng sẽ giúp tài liệu hoàn thiện hơn Mọitrao đổi hãy chia sẻ với chúng tôi tại Diễn đàn toán học VMF (http://diendantoanhoc.net)

Sau cùng, chúng tôi hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến sẽ dành cho chúng tôi sự tôn trọng tốithiểu bằng cách ghi rõ nguồn tài liệu khi chia sẻ Không dùng tài liệu này để trục lợi cá nhân.Chúng tôi xin cảm ơn!

Nhóm biên tập

Mục lục

I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 14

1.1 Hệ tọa độ 14

1.2 Phương trình đường thẳng 14

1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: 14

1.2.2 Phương trình đường thẳng 14

1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng 15

1.3 Góc và khoảng cách 15

1.4 Phương trình đường tròn 16

1.5 Phương trình Elip 16

2 Một số kĩ thuật cơ bản 17 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 17

2.1.1 Dựa vào hệ điểm 17

2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường 17

2.1.3 Điểm thuộc đường 18

2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng 19

2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng 19

2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng cho trước 20

2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một góc cho trước 21

2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc 21

2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 23

2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn 23

3 Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung 24

3.2 Một số hướng khai thác giả thiết 24

3.3 Ví dụ 25

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 1 Trục căn thức 29 1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 29

1.1.1 Phương pháp 29

1.1.2 Ví dụ 29

1.2 Đưa về “hệ tạm” 30

1.2.1 Phương pháp 30

1.2.2 Ví dụ 30

2 Biến đổi về phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng 31

2.2 Ví dụ 31

3 Phương pháp đặt ẩn phụ 33

3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 33

3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến 35

3.2.1 Phương trình dạng:a.A (x) + bB (x) = cpA (x) B (x) 36

3.2.2 Phương trình dạng:αu + βv =pmu2+ nv2 37

3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 38

4 Phương pháp đưa về hệ phương trình 39 4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 39

4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II 41

4.2.1 Hệ đối xứng 41

4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng 42

5 Phương pháp lượng giác hóa 44 5.1 Một số kiến thức cơ bản 44

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa 44

5.3 Một số ví dụ 45

6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 7 Phương pháp hàm số 48 III MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 1 Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến 51

1.2 BĐT ba biến 51

2 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 51 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng 51

2.2 Kĩ thuật tách ghép 53

2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản 55

2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số 58

2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 60

2.6 BĐT thuần nhất 62

2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số 65

IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA

6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69

33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78

7 THPT Chuyên Hà Tĩnh

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình bình hànhABC DcóNlà trung điểmC DvàB N

có phương trình13x−10y +13 = 0; điểm M (−1;2)thuộc đoạn thẳngACsao choAC = 4AM Gọi

H là điểm đối xứng củaNquaC Tìm tọa độA, B,C , Dbiết3AC = 2AB vàH ∈ ∆ : 2x − 3y = 0

Để ý rằngM , H nằm khác phía so vớiB N nên ta chỉ ra đượcH (3; 2)

Mặt khác với giả thiết3AC = 2AB = 2C D = 2N H ta chỉ ra đượcMC =1

¶,Bµ 7

3;

133

¶

Thayy2= x2+ 2vào phương trình(b), với điều kiện x ≥p32, ta được:

Do đó phương trình(c)vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất(3;p

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình bình hànhABC Dcó ABC nhọn,A(−2;−1) Gọi

H , K , E lần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrên các đường thẳngBC , B D,C D Đường tròn

(C ) : x2+ y2+ x + 4y + 3 = 0ngoại tiếp tam giácH K E Tìm tọa độB,C , D biết H có hoành độ

âm,C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳngx − y − 3 = 0

Bài 1

Hướng dẫn

Gọi I = AC ∩ BD, ta sẽ chứng minh I ∈ (C ) bằngcách chỉ ra H K I E là tứ giác nội tiếp Thật vậy,

AHC Enội tiếp đường tròn tâmI nênH I E = 2ƒ H AE

(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung).Lại có AB H K , AK E D là các tứ giác nội tiếp và

¶,E (0; −3)(DoHcó hoành độ âm)

q

y3(2x − y) +

q

x2(5y2− 4x2) = 4y2 (1)p

Thế vào(2)ta được p

2 − x +px + 1 + 2 = x + x2.Suy rax2+ x − 2 > 0 =⇒ x > 1 Bằng phương pháp nhân liên hợp ta sẽ phân tích phương trình trở

Choa, b, c > 0thỏa mãn4(a3+ b3) + c3= 2(a + b + c)(ac + bc − 2) Tìm GTLN

Đây là một hệ phương trình khá đơn giản

Với(1), đặtpx + 2y + 1 = t, ta sẽ giải được t = 2

Thế vào(2)ta tìm được nghiệm của hệ là(1; 1)và

µ1;12

¶

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB:

2x + y − 1 = 0, phương trình AC :, 3x + 4y + 6 = 0 và điểm M (1; −3) nằm trên BC thỏa mãn

3M B = 2MC Tìm tọa độ trọng tâmGcủa tam giácABC

¶

• TH2:3−−→

M B = −2−−→MC ta cũng xác định đượcG

µ1; −83

¶

Tìm tất cả các giá trị củamđể bất phương trình sau có nghiệm trên[0; 2]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuôngABC D có A(−1;2) GọiM , N lần lượt làtrung điểm của ADvàDC;K = B N ∩C M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

B M K, biếtB N có phương trình2x + y − 8 = 0và điểmB có hoành độ lớn hơn2

Bài 1

Hướng dẫn

Một lần nữa, chúng ta lại bắt gặp tính chất hình học ở Đề 2, tuy

nhiên cần phải tận dụng nó một cách khéo léo kết hợp với các giảthiết khác

Tương tự như ở Đề 2, ta chứng minh được C M ⊥B N và AP ⊥B N

vớiP là trung điểmBC Và do đó,I = AP ∩ B M là tâm của đườngtròn ngoại tiếp∆BK Mcó đường kínhB M

Mặt khác, gọiF = AP ∩ B N ta cóAF = d(A,B N ) =p8

5.GọiE = AD ∩ B N, dễ thấyDlà trung điểmAE Lại có

¶(Hình chiếu của A lênB N) nên ta cũngtính đượcI (1; 3) Và phương trình cần tìm là(x − 1)2+ (y − 3)2= 5

Nhận xét: Cách làm trong đáp án chính thức cần tìm tọa độ điểm B từ giả thiết AB = 4vàB ∈ B N

nên cầnx B> 2để loại nghiệm Nhưng với cách làm này ta thấy giả thiếtx B> 2bị thừa

!

3

= f (t ) Xét f (t )ta suy ra đượcP ≤ 16.VậyPmax= 16khix =1

3;y = z = 1

12

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho hình thang ABC D có đáy lớn C D = 2AB, điểm

C (−1;−1), trung điểm của AD là M (1; −2) Tìm tọa độ B, biết diện tích tam giác BC D bằng

8,AB = 4vàDcó hoành độ nguyên dương

2.d (B,C D).BC = 2d(M,C D).AB Từ đó tìm

đượcd (M ,C D) = 1.Khi đó ta sẽ viết được phương trình đường thẳngC D(làđường thẳng quaCcáchM một khoảng không đổi)

Cụ thể, gọi VTPT củaC D là→−n = (a,b) 6=−→0, phương trình củaC D làa(x + 1) + b(y + 1) = 0, suy ra

này không có điểmDnào thỏa mãn điều kiệnx D nguyên dương

Đk:y − x + 2 ≥ 0 Với(1)đặtt = x2− 2y ta biến đổi thành

¶

Một bài tập cơ bản minh họa cho phương pháp dựnghình Các yếu tố cho trước:d,d0,H.

Từ đó, ta sẽ "dựng" đượcH0(tức là tìm được tọa độ) đốixứng vớiH quad Dod là đường phân giác trongB ACnênH0∈ AC Từ đó ta sẽ dựng được đường thẳngACqua

H0vuông góc vớid0

A = AC ∩ d, ta dựng được đường thẳngAH,B = AH ∩ d0

Ta cũng dựng được đường thẳngC H quaH vuông góc

AB vàC = C H ∩ AC.Với phân tích như thế, ta sẽ tìm đượcB

µ0;13

¶,C

µ

−10

3 ;

34

¶

Vớiy = x thế vào(2)ta được

3x(2 +p9x2+ 3) + (4x + 2)(p1 + x + x2+ 1) = 0

⇐⇒ 3x(2 +p9x2+ 3) = (−2x − 1)(p3 + (−2x − 1)2+ 2) ⇐⇒ f (3x) = f (−2x − 1)

Vớif (t ) = t(pt2+ 2)là một hàm đồng biến nên ta được3x = −2x − 1 ⇐⇒ x = −1

5.Nghiệm hệ là

µ

−1

5; −15

¶

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, choA(2; 1),B (−1;−3)và hai đường thẳngd1:x + y +3 = 0,

d2:x − 5y − 16 = 0 Tìm tọa độC ∈ d1vàD ∈ d2sao choABC Dlà hình bình hành

14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuôngABC D.Fµ 11

p17

p2

2 , màE ∈ EF,x E < 3nên ta tìm đượcE

µ2;52

¶.GọiIµ 15

¶, hơn nữa−→IC =9

c

¶+µ 1

c +1

a

¶#

≥14

µ4

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình thang ABC D vuông tại A, D; diện tích hìnhthang bằng6;C D = 2AB,B (0; 4) Biết I (3; −1),K (2; 2) lần lượt nằm trên đường thẳng AD và

DC Viết phương trình đường thẳngADbiết ADkhông song song với trục tọa độ

Vớif (t ) = t +pt3+ 1,t ≥ −1là hàm đồng biến nên ta cóx − 1 = p y + 2 Thế vào3 (b)ta được

¶

y−12

³

x

y2

´2+ 1

q17 16

Trong mặt phẳng hệ tọa độOx y, cho đường thẳngd : x − y + 1 −p2 = 0và điểm A(−1;1) Viếtphương trình đường tròn(C )quaA, gốc tọa độOvà tiếp xúc đường thẳngd.

¯

¯

¯p

Phương trình này có∆ = −3y2≤ 0

Nếuy 6= 0thì∆ < 0dẫn đến hệ phương trình vô nghiệm

Nếuy = 0thìx = −1, cũng không thỏa hệ phương trình

Vớix + y − 2 = 0, thay y = 2 − xvào phương trình thứ hai ta được:

So điều kiện hệ đã cho có nghiệm(−1;3),(−3;1)

Giả sửxvà ykhông đồng thời bằng 0 Chứng minh

17 THPT Minh Châu (Hưng Yên)

Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho tam giác ABC nhọn có đỉnhA(−1;4), trực tâmH ĐườngthẳngAH cắt cạnhBC tạiM, đường thẳngC H cắtAB tạiN Tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiácH M N là I (2; 0), đường thẳngBC đi qua điểmP (1; −2) Tìm tọa độ các đỉnhB,C của tamgiác biết đỉnhB thuộc đường thẳngx + 2y − 2 = 0

x +py)2+ 1

x + p y(2x − y)=

2

y + px(2x − y) 2(y − 4)p2x − y − 3 − (x − 6)px + y + 1 = 3(y − 2)

Nếuy = 0thi phương trình đầu trở thành:

x

Dẫn đến hệ vô nghiệm

Tương tựx = 0cũng không là nghiệm của hệ

Xétx, y > 0 Đặtt = x

y, thế thìt > 0 Phương trình đầu trở thành

2(p

Bổ đề được chứng minh Đẳng thức xảy ra khia = b Tức là khix = y

Thayy = xvào phương trình thứ hai ta được:

Cho ba số thựca, b, c thỏa mãna > 2,b > 0,c > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

18

0

Từ bảng biến thiên ta cóf (t ) ≤ f (4) =1

8∀t > 1 Vậy P ≤1

8.Đẳng thức xảy ra khia = 3,b = c = 1 Vậymax P =1

8

18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx y Viết phương trình các cạnh của hình vuôngABC D,biết rằng các đường thẳng AB,C D, BC , AD lần lượt đi qua các điểmM (2; 4),N (2; −4),P (2; 2),

Với9a = −9b, chọn a = 1 =⇒ b = −1

Phương trìnhAB : x − y + 2 = 0, phương trìnhBC : x + y − 4 = 0

Đường thẳngC Dđi quaN (2; −4)và song song với AB nên có phương trìnhx − y − 6 = 0

Đường thẳngADđi quaQ(3; −7)và song song vớiBC nên có phương trìnhx + y + 4 = 0

Cho các số thực không âma, b, c thỏa mãna2+ b2+ c2− 3b ≤ 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

3BC = 2a

3 Suy raD N =pC D2+C N2=a

p133

3 =p2 Lại doA ∈ AD =⇒ A(t; t + 3)(t > −2) TừAP =p2suy rat = −1

Vớit = −1thìA(−1;2) Khi đó do−−→P D = 2−→AP nênD(−4;−1) Từ đó tìm đượcB (2; −1),C (−1;−4)

Trường hợp7a = 23b Giải tương tự ta được 2 giá trị hoành độ A không phải số nguyên Vậy taloại trường hợp này

Nếux2= x + y + 1, từ phương trình đầu suy ra:

Nếux2> x + y + 1 Phương trình đầu tương đương

x <−1 −

p52Nếux <−1 −

p5

2 , khi đó từ2x + y ≥ 0 =⇒ y ≥ −2x ≥ 1 +p5 =⇒ x + y + 1 > 0, do đó(∗)vô nghiệm.Trường hợpx > −1 +

p5

2 =⇒ x > 0 Giả sử y + 1 ≤ 0 =⇒ x − (y + 1) > 0 =⇒ V T (1) > 0 ≥ V P(1), dẫnđến hệ vô nghiệm Suy ray + 1 > 0, từ đây thì pt(∗)vô nghiệm

Suy ray = x − 2 Thay vào phương trình sau ta được:

2x − 1 +p3x − 2 =p8x2− 2x − 2 ⇐⇒ 2x − 1 +p3x − 2 =p2(2x − 1)2+ 2(3x − 2)

Điều kiện:x ≥2

3Đặt

Vớix =3

4 =⇒ y = −5

4 Thử lại không thỏa

Cho ba số thực không âmx, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

8

Trong mặt phẳngOx y, cho hình chữ nhật ABC D có AB = 2BC Gọi H là hình chiếu của A

lên đường thẳngB D.E , F lần lượt là trung điểm cạnhC D và B H Biết A(1; 1), phương trìnhđường thẳngE F là3x − y − 10 = 0và điểmEcó tung độ âm Tìm tọa độ các đỉnhB,C , D

Bài 1

Lời giải

Gọi E , F,G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng

C D, B H , AB Ta chứng minh AF ⊥ EF

Ta thấy các tứ giác ADEG và ADF G nội tiếp đường tròn

đường kính DG nên tứ giác ADE F cũng nội tiếp đường

tròn này, do đóAF ⊥ EF

Đường thẳngAF có phương trìnhx + 3y − 4 = 0

C D

G

E

F H

Tọa độ điểmF là nghiệm của hệ:

¶ VìE có tung độ âm nênE (3; −1).Phương trìnhAE : x + y − 2 = 0 Vì4ADE vuông cân tạiDnên:

Khi đó2px + y + 6 ≥ 2p−1 + 0 + 6 = 2p5mà1 − y ≤ 1 Dẫn đến phương trình đầu vô nghiệm.

Vậyy < 0, để phương trình sau có nghiệm thìx > 0 Ta có

x

!vuu

9 +

Ã3p

Xét hàm sốf (t ) = t 9 + t2vớit > 0

f0(t ) = 9 + 2t

2p

9 + t2> 0 ∀t > 0 Vậy f (t )đồng biến trên miền(0; +∞)

x = −y ⇐⇒ x = 9

y2Thế vào phương trình sau ta được2

s9

y2+ y + 6 = 1 − y (∗)

Hàm sốg (y) = 2

s9

y2+ y + 6đồng biến trên(−∞;0), hàm sốh(y) = 1 − y nghịch biến trên(−∞;0)nên phương trình(∗)nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

Nhận thấyy = −3là nghiệm của(∗), vậyy = −3là nghiệm duy nhất của(∗)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất(x, y) = (1;−3).

Cho các số thực dươngab ≥ 1vàc(a + b + c) ≥ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

t2 + 6 ln t vớit > 0

f0(t ) = 6t

2− 16t − 32

t3 ; f0(t ) = 0 ⇐⇒ t = 4 (dot > 0)Lập bảng biến thiên ta được f (t ) ≥ f (4) = 5 + 6ln4

VậyP ≥ 3 + 6ln4 Đẳng thức xảy ra khia = b = c = 1

Kết luận:max P = 3 + 6ln4.