cuốn sách này trình bày chi tiết về các cách giải các dạng bài hay gặp trong đề thi đại học mỗi dạng bài dều có hương dẫn chi tiết để giúp các bạn hiểu và nắm chắc các kiến thức,phần cuối của cuốn sách là tuyển chọn các đề thi của các trường nổi tiếng.
TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015 Diễn đàn toán học VMF Ngày tháng năm 2015 Kí hiệu dùng sách BĐT BPT CMR ĐH GDĐT GTLN GTNN PT THPT THTT TP HCM VMF VP VT VTCP VTPT Trang : : : : : : : : : : : : : : : : Bất đẳng thức Bất phương trình Chứng minh Đại học Giáo dục đào tạo Giá trị lớn Giá trị nhỏ Phương trình Trung học phổ thông Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Thành phố Hồ Chí Minh Vietnam Mathematics Forum Vế phải Vế trái Vectơ phương Vectơ pháp tuyến http://diendantoanhoc.net LỜI NÓI ĐẦU Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với bạn sử dụng kết môn Toán để xét tuyển đại học, cạnh tranh chủ yếu diễn ba câu phân loại Bộ ba câu thường rơi vào chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng, Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN Nhằm mục đích cung cấp thêm cho bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016 tài liệu tham khảo hữu ích, thành viên Diễn đàn toán học VMF biên soạn tài liệu Tài liệu bố cục gồm ba phần Phần đầu, tóm tắt vài lý thuyết tương ứng với chủ đề nói để bạn đọc tra cứu dễ dàng cần thiết Phần hai, nội dung tài liệu, tổng hợp lại ba câu phân loại đề thi thử năm học 2014 - 2015 Phần hướng dẫn, đáp số chủ yếu dựa đáp án đơn vị đề, nhiên số toán có đưa cách tiếp cận khác hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động trình đọc tài liệu Chúng nhấn mạnh rằng, cách làm tài liệu chưa tốt nhất, bạn đọc không nên coi trọng lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên Nhóm biên soạn tài liệu gồm có • Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP HCM (Katyusha); • Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99); • Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng); • Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13); • Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois); • Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp); • Bạn Trần Trung Kiên - TP HCM (Ispectorgadget) Mặc dù biên soạn tài liệu với tất tận tâm, tinh thần cộng đồng vô tư Nhưng tỉ mỉ cố gắng chắn chưa thể kiểm soát hết sai sót Vì nhiệt tâm từ phía bạn đọc giúp tài liệu hoàn thiện Mọi trao đổi chia sẻ với Diễn đàn toán học VMF (http://diendantoanhoc.net) Sau cùng, hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến dành cho tôn trọng tối thiểu cách ghi rõ nguồn tài liệu chia sẻ Không dùng tài liệu để trục lợi cá nhân Chúng xin cảm ơn! Nhóm biên tập http://diendantoanhoc.net Trang Mục lục I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 14 Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: 1.2.2 Phương trình đường thẳng 1.2.3 Vị trí tương đối điểm đường thẳng 1.3 Góc khoảng cách 1.4 Phương trình đường tròn 1.5 Phương trình Elip Một số kĩ thuật 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 2.1.1 Dựa vào hệ điểm 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm hai đường 2.1.3 Điểm thuộc đường 2.2 Tìm tọa độ hình chiếu điểm lên đường thẳng 2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm qua đường thẳng 2.4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cách điểm cho trước khoảng cho trước 2.5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, tạo với đường thẳng khác góc cho trước 2.6 Viết phương trình đường phân giác góc 2.7 Viết phương trình đường tròn qua ba điểm 2.8 Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm đường tròn 14 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 17 17 18 19 19 20 21 21 23 23 Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung 24 3.2 Một số hướng khai thác giả thiết 24 3.3 Ví dụ 25 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 29 29 29 29 30 30 30 Trục thức 1.1 Trục thức để xuất nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp 1.1.2 Ví dụ 1.2 Đưa “hệ tạm” 1.2.1 Phương pháp 1.2.2 Ví dụ Biến đổi phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng 31 2.2 Ví dụ 31 Trang http://diendantoanhoc.net Phương pháp đặt ẩn phụ 3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến 3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x) + bB (x) = c A (x) B (x) 3.2.2 Phương trình dạng: αu + βv = mu + nv 3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 33 33 35 36 37 38 39 39 41 41 42 Phương pháp lượng giác hóa 5.1 Một số kiến thức 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ phương pháp lượng giác hóa 5.3 Một số ví dụ 44 44 44 45 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 Phương pháp hàm số 48 III MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 Phương pháp đưa hệ phương trình 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường 4.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II 4.2.1 Hệ đối xứng 4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến 51 1.2 BĐT ba biến 51 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng 2.2 Kĩ thuật tách ghép 2.3 Kỹ thuật dùng BĐT 2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định biến số 2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 2.6 BĐT 2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số 51 51 53 55 58 60 62 65 IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 68 Đề minh hoạ THPT 2015 68 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 THTT số 453 tháng 04 năm 2015 68 THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) 69 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 69 http://diendantoanhoc.net Trang THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69 THPT chuyên Hà Tĩnh 69 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 70 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 70 10 THPT chuyên Hưng Yên 70 11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) 71 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 71 13 THPT Lục Ngạn số (Bắc Giang) 71 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 71 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 72 16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 72 17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 72 18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 73 19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 73 20 THPT Quỳnh Lưu (Nghệ An) 73 21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 74 22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 74 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 75 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 75 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 75 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 76 27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 76 28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 76 29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 77 30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) 77 31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 77 32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 78 Trang http://diendantoanhoc.net 33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78 34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 78 35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 79 36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 79 37 THPT Thường Xuân (Thanh Hóa) 79 38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 80 39 THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) 80 40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) 80 41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 81 42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 81 43 THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa) 81 44 Đề 44 82 45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1) 82 46 Sở GDĐT Vĩnh Long 82 47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh 83 48 Sở GDĐT Thanh hóa 83 49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 83 50 Sở GDĐT Quảng Nam 84 51 Sở GDĐT Lào Cai 84 52 Sở GDĐT Lâm Đồng 84 53 Sở GDĐT Bình Dương 85 54 THPT Nguyễn Văn Trỗi 85 55 THPT Chuyên ĐH Vinh 85 56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 86 57 THPT Nông Cống (Thanh Hóa) lần 86 58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 86 59 THPT Lam Kinh 87 http://diendantoanhoc.net Trang u=3 x2 − y = ⇐⇒ ⇐⇒ x+y =9 v =9 • x =5 y =4 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (5; 3), (5; 4) Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = Chứng minh rằng: a 2=b a + b 2+c b + c 2+a c ≥1 Lời giải Ta có: a 2+b a Tương tự: = a a + ba ≥ a + a + ba b 2+c b c 2+a c (do + a ≥ a) ≥ b + b + bc ≥ c + c + ac Cộng theo vế BĐT trên, ta có: a 2=b a + b 2+c b + c a b c + + + a c + a + ba + b + cb + c + ac abc b cb = + bc + bca + babc + b + cb b + bc + abc b cb + =1 = bc + + b + b + cb b + bc + ≥ Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần Bài Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y − 2x − 4y + = P (2; 1) Một đường thẳng d qua P cắt đường tròn A B Tiếp tuyến A B đường tròn cắt M Tìm tọa độ M biết M thuộc đường tròn (C ) : x + y − 6x − 4y + 11 = Lời giải Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2), bán kính R = Gọi M (a; b) Vì M ∈ (C ) nên a + b − 6a − 4b + 11 = Gọi K trung điểm I M , suy K Trang 216 (a) a +1 b +2 ; 2 http://diendantoanhoc.net Phương trình đường tròn đường kính I M : a +1 x− 2 b +2 + y− 2 = (a − 1)2 (b − 2)2 + 4 ⇐⇒ x + y − (a + 1)x − (b + 2)y − a − 2b = Vì A, B thuộc (C ) (I M ) nên suy phương trình đường thẳng AB : (a −1)x +(b −2)y +1−a −2b = Do P ∈ AB =⇒ a − b − = Từ (a) (b) suy (b) a =4 =⇒ M (4; 1) b=1 Bài Giải hệ phương trình x + y + 2y − + x − y = (x, y ∈ R) y2 + = x y + y Lời giải Điều kiện Đặt a = 2y − ≥ y≥ ⇐⇒ x ≥ y2 x−y ≥0 2y − 1, b = a2 + x − y (a, b ≥ 0) Khi x − y = b2 Khi hệ cho trở thành Đặt y= =⇒ x + y = a + + b a2 + b2 + a + b − = a2b2 + a2 + b2 − = S + S − 2P = S = a +b (S, P ≥ 0, S ≥ 4P ) ta P + S − 2P = P = ab (a) (b) Trừ (a) cho (b) ta S − P = =⇒ S = P + Thay S = P + vào (b) ta P + P + 2P + − 2P = ⇐⇒ P + 3P − 2P − = ⇐⇒ (P − 1)(P + P + 4P + 2) = ⇐⇒ P =1 P + P + 4P + = Vì P ≥ nên (∗) ⇐⇒ P = =⇒ S = Từ a = b = =⇒ x =2 y =1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) http://diendantoanhoc.net Trang 217 Bài Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c + 3(ab + bc + ca) Hướng dẫn Kí hiệu P = P (a, b, c) = a + b + c + 3(ab + bc + c a) Dễ thấy cần xét a, b, c ≥ Giả sử a = max{a, b, c} đặt s = b2 + c , p = bc Ta chứng minh: (81) P (a, b, c) ≤ P (a, s, s) Khi đó, để ý a + s + s = 3, toán đưa trường hợp có hai số Viết lại biểu thức theo s p , ta có: P (a, b, c) = 4s − 2p + 3p + 3a 2s + 2p = f (p) Xem f (p) hàm số biến p : 3a f (p) = −4p + + Vì ≤ p ≤ s ≤ ≤ a nên: f (p) ≥ −4 + + 2s + 2p 2+2 = >0 Do f (p) đồng biến [0, s] Suy ra: f (p) ≤ f (s) = P (a, s, s) (81) chứng minh xong Bây cần xét toán có hai số (cụ thể trường hợp a ≥ ≥ b = c ) Bài toán trở thành biến, tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta dễ dàng tìm max a = b = c = a = 2b = 2c = 69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường cao AH có phương trình 13x − 6y − = 0, x − 2y − 14 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I (−6; 0) Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ: x − 2y − 14 = =⇒ 13x − 6y − = Kẻ đường kính A A đường tròn ngoại tiếp Trang 218 x = −4 =⇒ A(−4; −9) y = −9 ABC http://diendantoanhoc.net A Khi A (−8; 9) Gọi K trực tâm ABC Dễ thấy B K C A có cặp cạnh đối song song nên B K C A hình bình hành Do M trung điểm A K Vì K M nằm đường thẳng AH AM nên tọa độ K (2k + 14, k) M m, M làtrung điểm A K , suy ra: 2k + 14 − = 2m 13m − =⇒ k + = I 13m − K H k = −1 =⇒ m=2 B K (12; −1) M (2; 4) C M A −−→ Đường thẳng BC qua M nhận AK làm vtpt nên BC : 2x + y − = Giả sử B (b; − 2b) Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên I A = I B ⇐⇒ + 81 = (b + 6)2 + (2b − 8)2 ⇐⇒ b=3 b=1 Với b = ta có B (3; 2) Do C đối xứng với B qua M nên C (1; 6) Với b = ta có B (1; 6) Do C đối xứng với B qua M nên C (3; 2) Bài Giải bất phương trình 2x + x > 11 + x −2 Lời giải Điều kiện x ≥ 0, x = Bất phương trình cho tương đương: 2(x − 2) + x > + 7x ⇐⇒ 2(x − 2) + x > x −2 x −2 Dễ thấy x = không làm nghiệm bất phương trình Xét < x = 2, chia vế BPT cho Đặt t = x −2 x x ta 2(x − 2) x +5 > x x −2 , BPT trở thành t >1 2t + 5t − 2t + > ⇐⇒ > ⇐⇒ t (2t + 7)(t − 1) > ⇐⇒ − hay x ( x + 1)( x − 2) > ⇐⇒ x > x 7 x −2 Với − < t < ta có − < < hay 2 x 0 0, x, y ∈ R a b a +b Áp dụng đánh giá ta có: (a + b)2 − (a + b) (a + b)2 + = + −1 P≥ 2+a +b a +b a +b +2 a +b (a + b)2 Đặt t = a + b , = a + b + ab ≤ a + b + =⇒ a + b ≥ nên t ≥ Khảo sát hàm số f (t ) = t2 3 + − với t ≥ ta thu f (t ) ≥ f (2) = t +2 t Vậy P ≥ Đẳng thức xảy a = b = Vậy P = t2 3 Nhận xét Để tìm GTNN biểu thức + ta sử dụng kĩ thuật túy BĐT t +2 t sau: t2 t +2 1 t2 t (t + 2).2 + = + + − ≥3 − = t +2 t t +2 2t t (t + 2).2t t 2 Đẳng thức xảy t = hay a = b = 71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho hình thang cân ABC D ( AD ∥ BC ) có phương trình đường thẳng AB : x −2y +3 = đường thẳng AC : y −2 = Gọi I giao điểm AC B D Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABC D , biết I B = I A 2, hoành độ I lớn −3 M (−1; 3) nằm đường thẳng B D Trang 222 http://diendantoanhoc.net Lời giải A A = AB ∩ AC =⇒ A(1; 2) D E Lấy E (0; 2) ∈ AC Suy E A = Qua E kẻ đường thẳng song song B D cắt AB F Theo I M F EA IA = =⇒ E F = E A = EF IB B C −→ Vì F ∈ AB =⇒ F (2t − 3; t ) Do E F = (2t − 3; t − 2) t =1 11 Suy (2t − 3)2 + (t − 2)2 = ⇐⇒ t= −→ −→ Với t = F (−1; 1) =⇒ E F = (−1; −1) Vì E F ∥ B D nên E F vtcp B D , M ∈ B D nên phương trình B D : x − y + = Và I = B D ∩ AC =⇒ I (−2; 2) định lý Thales Vì B = B D ∩ AB =⇒ B (−5; −1) Bởi ABC D hình thang cân nên IB IB = =⇒ I B = I A ID −→ −→ 2.I D =⇒ I B = − I D =⇒ D − 2; +2 −→ −→ IA=− IC =⇒ C (−3 − 2; 2) Với t = 11 −→ E F = ; vtcp B D , từ phương trình B D : x − 7y + 22 = 5 I = B D ∩ AC =⇒ I (−8; 2) (loại x I > −3) Bài (1 − y)(x − 3y + 3) − x = (y − 1)3 x (x, y ∈ R) Giải hệ phương trình x − y + x − = 2(y − 2) Lời giải y ≥1 Điều kiện x ≥ y x ≥0 x2 ≥ y x ≥ 1, y ≥ ⇐⇒ Đánh số phương trình đầu (a), phương trình sau (b) (a) ⇐⇒ 3(y − 1)2 − x(y − 1) − x = (y − 1) y −1 x Nhận xét y = không nghiệm hệ Xét y > 1, chia vế (a) cho (y − 1)2 ta được: x x 3− − y −1 y −1 Đặt t = = x y −1 x (t > 0), ta có: y −1 t + t + t − = ⇐⇒ http://diendantoanhoc.net t =1 ⇐⇒ t = t + t + 2t + = (do t > 0) Trang 223 Với t = y = x + 1, thay vào phương trình (b) ta x2 − x − + x − = 2(x − 1) ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − 1 + x − − (x − 1)3 3 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 6(x − x − 1) =0 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 x2 − x − (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 =0 =0 ⇐⇒ x − x − = ⇐⇒ x = Với x = 1+ (x ≥ 1) 1+ 3+ =⇒ y = 2 So điều kiện hệ có nghiệm (x, y) = 1+ 3+ , 2 Bài Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x + 3y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x y + y + 5(x + y ) − 24 8(x + y) − (x + y + 3) Lời giải Ta có 5(x + y ) = (4 + 1)(x + y ) ≥ 2x + y Và (x + y − 3)2 = x + y + + 2x y − 6(x + y) ≥ nên 2(x y + x + y + 3) ≥ 8(x + y) − (x + y + 3) Từ suy P ≥ 2(x y + x + y) − 24 2(x y + x + y + 3) Mặt khác từ giả thiết suy (2x + 3y + 5)2 x + y + x y = (x + 1)(y + 1) − = (2x + 2)(3y + 3) − ≤ −1 ≤ 24 Đặt t = 3 2(x + y + x y + 3) < t ≤ 2 3 Xét hàm số f (t ) = t − − 24t với < t ≤ 2 Ta có f (t ) = 3t − 24 < ∀t ∈ (0; 2] 3 Vậy f (t ) nghịch biến (0; 2] Do f (t ) ≥ f (2 2) = 10 − 48 3 Vậy P ≥ 10 − 48 Đẳng thức xảy a = 2, b = Vậy P = 10 − 48 Trang 224 http://diendantoanhoc.net 72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần Bài ; có đường tròn ngoại tiếp (C ) tâm I Biết điểm M (0; 1), N (4; 1) đối xứng I qua đường thẳng AB, AC , đường thẳng BC qua điểm K (2; −1) Viết phương trình đường tròn (C ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trọng tâm G Lời giải A Gọi H , E trung điểm M N , BC =⇒ H (2; 1) Từ giả thiết ta suy I AM B, I ANC hình thoi Suy AM N , I BC tam giác cân =⇒ N Hc AH ⊥ M N I E ⊥ BC =⇒ AH E I hình bình hành =⇒ G trọng tâm tam giác H E I =⇒ HG cắt I E F trung điểm I E Từ BC ∥ M N K (2; −1) ∈ BC Ta viết được: BC : y + = M G I F K C E B Mặt khác: −−→ −−→ H F = HG =⇒ F 3; − 2 E F ⊥ BC =⇒ E F : x = =⇒ E (3; −1) Vì F trung điểm I E nên I (3; 0) R = I A = H E = Suy phương trình (C ) (x − 3)2 + y = Bài Giải bất phương trình: 3(x − 1) 2x + < 2(x − x ) (82) Lời giải Điều kiện: x ≥ − Với điều kiện trên, ta có: (82) ⇐⇒ (x − 1)[2x − 3(x + 1) 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)[2(x + 1)2 − 3(x + 1) 2x + − 2(2x + 1)] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1)[2(x + 1) + 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1) > http://diendantoanhoc.net (a) Trang 225 ∀x ≥ − , ta xét hai trường hợp sau: Do 2(x + 1) + 2x + > 0, +) − ≤ x < Khi đó: (a) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) < ⇐⇒ x − 6x − < ⇐⇒ − < x < + Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm − < x < +) x > Khi đó: (1 ) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) > ⇐⇒ x − 6x − > ⇐⇒ x > 3+2 x < 3−2 Kết hợp điều kiện, ta nghiệm x > + Vậy ta nghiệm bất phương trình − < x < x > + Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x + z ≤ 2y x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy yz + − y + + z2 + x2 x3 z3 Lời giải Từ giả thiết ta có: xz ≤ y Chú ý rằng, với x, y ≥ a, b ta có: (x + y)2 x y ≤ + a +b a b (83) Thật vậy, (83) tương đương với (a y − bx)2 ≥ Khi đó: (z + y)2 yz (x + y)2 xy + − y3 + + − y + ≤ 2 3 2 1+z 1+x x z 4(1 + z ) 4(1 + x ) x z 2 (z + y) (x + y) + − y3 + = 2 2 2 4(x + y + 2z ) 4(2x + y + z ) x z P= ≤ x2 y2 z2 y2 − y + + + + x2 + z2 z2 + y x2 + z2 x2 + y x3 z3 = 1 y2 y2 1 + + − y3 + 2 2 4 z +y x +y x z ≤ 1 y2 y2 1 + + − y3 + 4 2y z 2x y x z = 1 y y y3 y3 + + − 3+ z x x z 1 + 1 ≤ + 1 = + ≤ Trang 226 y y y y y2 y y − +3 + + + z x x z xz x z y y y y 3 y y y y + − + + + + z x x z x z x z y y y y + − + z x z x http://diendantoanhoc.net Đặt t = y2 1 ≥ Khi P ≤ − t + t + zx y y + , t ≥2 z x Xét hàm số f (t ) = − t + t + Suy max f (t ) = f (2) = − [2;+∞) với t ≥ Ta có f (t ) = − t + < 0, ∀t ≥ 4 3 Suy P ≤ − , dấu đẳng thức xảy x = y = z = 3 Vậy giá trị lớn P − , dấu" = "xảy x = y = z = 73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình chữ nhật ABC D có diện tích 16, đường thẳng AB, BC ,C D, D A qua điểm M (4; 5), N (6; 5), P (5; 2),Q(2; 1) Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải AB qua M (4; 5) nên phương trình AB có dạng: ax + b y − 4a − 5b = (a + b = 0) BC ⊥ AB BC qua N (6; 5) =⇒ phương trình BC có dạng bx − a y − 6b + 5a = Ta có diện tích hình chữ nhật: S = d (P,AB ) d (Q,BC ) = 16 |a − 3b| |4a − 4b| = 16 a2 + b2 a2 + b2 ⇐⇒ a − 4ab + 3b = ±4(a + b ) ⇐⇒ ⇐⇒ 3a + 4ab + b = 5a − 4ab + 7b = ⇐⇒ a +b = 3a + b = (vô nghiệm) +Với a + b = 0, chọn a = 1, b = −1 ta phương trình AB là: x − y + = +Với 3a + b = 0, chọn a = 1, b = −3 ta phương trình AB : x − 3y + 11 = Bài Giải hệ phương trình: x − x y − y = 2x − x + (1) (x, y ∈ R) 2 y + x + + 16 − 3y = 2x − 4x + 12 (2) Lời giải http://diendantoanhoc.net Trang 227 x ≥ −2 16 ĐK: y≤ Phương trình (1) =⇒ (x − y − 2).(x + 1) = ⇐⇒ y = x − Thay vào phương trình (2) ta được: 16 − 3(x − 2) = 2x − 4x + 12 (x − 2)2 + x + + ⇐⇒ x + + 22 − 3x = x + ⇐⇒ (x − 4) + 4(2 − x + 2) + (4 − 22 − 3x) = ⇐⇒ (x − 2) (x + 2) − ⇐⇒ 2+ x +2 + + 22 − 3x =0 x − = =⇒ y = (x + 2) − + =0 + x + + 22 − 3x Giải (*), ta xét hàm số: f (x) = (x + 2) − f (x) = + x + 2(2 + 2+ x +2 x + 2)2 + + + 22 − 3x 22 − 3x(4 + =⇒ f (x) liên tục đồng biến đoạn −2; (∗) đoạn −2; 22 − 3x)2 ≥0 22 ∀x ∈ −2; 22 22 22 , mà −1 ∈ −2; f (−1) = 3 Từ đó: (∗) =⇒ f (x) = f (−1) ⇐⇒ x = −1 ⇐⇒ y = −3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) (x; y) = (−1; −3) Bài Cho x; y; z số thực thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= (x + y)2 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z Lời giải Ta có P= (x + y)2 (x + y)2 (x + y)2 = = 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z z + 4(x y + y z + zx) z + 4(x + y)z + 4x y Ta có 4x y ≤ (x + y)2 nên P≥ Đặt t = (x + y) x y + z z z + (x + y)z + (x + y)2 = 1+4 x y x y + + + z z z z x y + , x, y, z ∈ [1; 2] nên t ∈ [1; 4] z z Trang 228 http://diendantoanhoc.net Ta có f (t ) = t 4t + 2t , f (t ) = >0 + 4t + t (1 + 4t + t )2 t ∈ [1; 4] Hàm số f (t ) đồng biến [1; 4] nên f (t ) đạt GTNN x=y ⇐⇒ Dấu " = " xảy z = x + y x, y, z ∈ [1; 2] Vậy P = t = x =y =1 z =2 x = y = 1; z = http://diendantoanhoc.net Trang 229 Tài liệu [1] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo Bất đẳng thức [2] Võ Quốc Bá Cẩn, Một số kỹ thuật nhỏ để sử dụng Cauchy - Schwarz [3] Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Chinh phục Hình học Giải tích mặt phẳng [4] Lê Minh An, Tuyển tập toán Elip ôn thi Đại học [5] Hoàng Ngọc Thế, Khám phá cách giải số toán hình học giải tích mặt phẳng [6] Hoàng Ngọc Thế, Bài toán phụ toán khảo sát hàm số [7] Các topic thảo luận http://diendantoanhoc.net Trang 230 http://diendantoanhoc.net