các dạng bài tập,các cách làm bài liên quan đến phương trình tiếp tuyến,cực trị hàm số, giá trị max min,....giúp cho bạn có được cái nhìn khách quan và có được kiến thức thật vững chắc về phần câu hỏi phụ
Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Dạng 1: Bài toán gốc - tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số Đây toán mà học sinh phải biết làm làm cách thành thạo, sở để làm toán liên quan đến tiếp tuyến - Bài toán: Cho hàm số y = f(x), viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đồ thị hàm số điểm M0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số - Bài làm: PTTT đồ thị hàm số M0 có dạng: y = k.(x - x0) + y0 = 𝑓′(𝑥0) (x - x0) + 𝑓(𝑥0) Trong k = 𝑓′(𝑥0) gọi hệ số góc tiếp tuyến Để viết PTTT ta phải tìm x0 Như toán viết PTTT quy toán tìm tiếp điểm tiếp tuyến Ví dụ: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + Viết PTTT với đồ thị hàm số điểm M(1;4)? Giải: Ta có: y’ = 6x2 – 6x => hệ số góc tiếp tuyến M: k = y’(1) = PTTT M là: y = 0.(x - 1) + =4 Vậy PTTT M là: y = Bài tập đề nghị: Viết PTTT đồ thị hàm số sau: Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 1) y = 𝑥+1 𝑥−1 2015 A(2;3) 2) y = x3 + 4x2 – điểm có hoành độ -1 3) y = x2 – 4x + điểm có tung độ 4) y = 3𝑥−2 𝑥−1 B(2;4) Dạng 2: Viết PTTT qua điểm cho trước Các em cần phân biệt rõ tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm khác Tiếp tuyến M có nghĩa M tiếp điểm (M thuộc đồ thị hàm số), tiếp tuyến qua M M chưa thuộc đồ thị hàm số - Bài toán: Cho hàm số y = f(x) Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm A(x1;y1) - Bài làm: Gọi M0(x0;y0) tọa độ tiếp tuyến cần tìm PTTT có dạng: y = k.(x - x0) + y0 = 𝑓′(𝑥0) (x - x0) + 𝑓(𝑥0) Do tiếp tuyến qua A(x1;y1) nên tọa độ A phải thỏa mãn PTTT, tức là: y1 = k.(x1 - x0) + y0 = 𝑓′(𝑥0) (x1 - x0) + 𝑓(𝑥0 ) Như ta phương trình với ẩn x0, giải phương trình ta tìm x0, toán trở thành dạng Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – x – Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(2;0)? Giải: Gọi M0(x0;y0) tọa độ tiếp tuyến cần tìm PTTT có dạng: y = (3𝑥02 – 1)(x-𝑥0 ) + y0 = (3𝑥02 – 1)(x-𝑥0 )+ 𝑥03 − 𝑥0 − Do tiếp tuyến qua A(2;0) nên ta có: = (3𝑥02 – 1)(2-𝑥0 ) + 𝑥03 − 𝑥0 − 2𝑥03 - 6𝑥02 + = [ 𝑥𝑥0 ==−1 + Với x0 = -1, PTTT là: y = (3 – 1)(x + 1) + (-1) + – = 2x – + Với x0 = 2, PTTT là: y = (12 - 1)(x – 2) + – – = 11x -22 Bài tập đề nghị: Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 1) Cho hàm số y = x3 – 3x + Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm A( ; −1) 2) Cho hàm số y = -x3 + 3x2 -2 Tìm đường thẳng y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 3) Cho hàm số: y x3 x 3x viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua 4 A( , ) 4) Cho hàm số y x2 x2 ; viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A(6,5) 5) Cho hàm số y x3 12 x 12 (C ) Tìm đường thẳng y = - điểm mà từ vẽ tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị ( C) 6) Cho hàm số: y x3 3x (C ) , tìm đường thẳng y 2 điểm mà từ kẻ đến đồ thị hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với Dạng 3: Viết PTTT biết trước hệ số góc điều kiện - Bài toán: Cho hàm số y = f(x) Viết PTTT biết hệ số góc k ? - Bài làm: Gọi M0(x0;y0) tọa độ tiếp tuyến cần tìm Giải phương trình: k = f’(x0) tìm x0, từ viết PTTT dạng Ở dạng toán này, chủ yếu hệ số góc k cho trước cách gián tiếp (Ví dụ cho tiếp tuyến song song, vuông góc tạo với đường thẳng góc ∝, khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến … ) Xin nhắc lại số kiến thức cần nhớ làm dạng toán này: + Cho đường thẳng: (d1):ax + by + c = 0, (d2): a’x + b’y + c’ = Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông ̂ Góc đường thẳng: cos(𝑑1; 𝑑2) = 2015 |𝑎𝑎′ +𝑏𝑏′ | √𝑎2 +𝑏2 √(𝑎′)2 +(𝑏′)2 + Cho đường thẳng: (d1): y = k1x + b1, (d2): y = k2x + b2 (d1) // (d2) => k1 = k2 (d1)vuông góc với (d2) => k1.k2 = -1 𝑘1 −𝑘2 ̂ Góc đường thẳng: tan(𝑑1; 𝑑2) = | | 1+𝑘1 𝑘2 + Cho đường thẳng: (d): ax + by + c = điểm M(x0 ;y0) Khoảng cách từ M đến (d) là: d(M ;(d)) = |𝑎𝑥0 +𝑏𝑦0 +𝑐| √𝑎2 +𝑏2 +𝑐 + Một đường thẳng cắt trục tọa độ điểm phân biệt A,B mà gốc tọa độ O tạo thành tam giác cân đường thẳng song song với phân giác góc phần tư thứ góc phần tư thứ (II) Hai đường phân giác có phương trình: y = ±𝑥, đường thẳng có hệ số góc k = ±1 không qua gốc tọa độ + Tìm giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với: Trục Ox: Cho y = 0, giải phương trình f(x) = => x Trục Oy: Cho x = => y = f(0) Ví dụ 1: Cho hàm số: y x3 x đường thẳng: y x , viết PTTT biết tiếp tuyến vuông góc với (d ) Giải: Gọi k hệ số góc M0(x0;y0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến phải tìm −1 Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) => k.( ) = -1 => k = 3 Ta có: y’ = x2 – => k = y’(x0) = 𝑥02 – = x0 = ± +) Với x0 = => y0 = => PTTT: y = 3(x – 2)+ = 3x - Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan 14 Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 +) Với x0 = -2 => y0 = => PTTT: y = 3(x + 2)+ = 3x + Ví dụ 2: Cho hàm số: y = 2𝑥−1 𝑥−1 , viết PTTT với đồ thị hàm số biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến √2 Giải: Gọi M0(x0;y0),( x0≠ 0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến phải tìm PTTT có dạng: y = (𝑥 −1) −1 (𝑥0 −1)2 (x – x0) + x+y2 2𝑥0 −1 𝑥0 −1 2𝑥02 −2𝑥0 +1 (𝑥0 −1)2 =0 x + (𝑥0 − 1)2 y - 2𝑥02 + 2𝑥0 – = Khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến √2 |1+2 (𝑥0 −1)2 − 2𝑥02 + 2𝑥0 – 1| √1+(𝑥0 −1)4 |2−2𝑥0 | √1+(𝑥0 −1) = √2 𝑥 =0 = √2 [ 𝑥0 = +) Với x0 = => PTTT: x+ y – = +) Với x0 = => PTTT: x + y – = Bài tập luyện tập: Bài 1: Cho hàm số: y x3 3x x (C ) , tất tiếp tuyến (C ), tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ? Giải: Gọi M0(x0;y0) tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số Ta có: y’ = 3x2 + 6x – => hệ số góc tiếp tuyến x0: k = 3𝑥02 + 6𝑥0 − Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Xét hàm số: g(x0) = 3𝑥02 + 6𝑥0 − g’(x0) = 6x0 + = x0 = -1 BBT: x0 g’(x0) g(x0) -∞ -1 - +∞ + Từ bảng biến thiên ta thấy k đạt giá trị nhỏ x0 = -1 kmin = g(-1) = -12 x0 = -1=> y0 = 16 PTTT điểm có x0 = -1 là: y = -12(x + 1) + 16 = -12x + Nhận xét: tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ Bài 2: Cho hàm số y 3x3 , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y x góc 300 Giải: Gọi M0(x0;y0) tiếp điểm k hệ số góc tiếp tuyến phải tìm Ta có: y’ = 3√3x2 => k = 3√3𝑥02 (d): y = √3 x - √3 Vì tiếp tuyến tạo với (d) góc 30° nên ta có: tan 30° = | √3 1+𝑘 √3 𝑘− |=| 𝑘 √3−1 √3+𝑘 |= √3 3(𝑘√3 − 1)2 = (√3 + 𝑘)2 8k2 - 8√3𝑘 = Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 [ 𝑘=0 𝑘= √ +) Với k = 0: 3√3𝑥02 = x0 = => y0 = PTTT: y = +) Với k = √3: 3√3𝑥02 = √3 x0 = ± Với x0 = √3 => y0 = PTTT: y = √3(x Với x0 = −1 √3 √3 => y0 = Bài 3: Cho hàm số y √3 13 PTTT: y = √3(x + )+ 13 = √3 x + 10 11 √3 )+ 11 = √3 x + 14 2x (C ) tìm điểm M (C ) cho tiếp tuyến đồ thị x 1 hàm số M cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác OAB có diện tích Giải: Gọi M ( x0 , y0 ) (C ) y0 x0 , x0 x0 ≠ −1, y ' ( x 1) Tiếp tuyến M có dạng : y y '( x0 )( x x0 ) y0 y x0 x02 2 ( x x ) y x (d ) ( x0 1) x0 ( x0 1) ( x0 1) Gọi A (d ) ox tọa độ điểm A nghiệm hệ : x02 y x ( x0 1)2 ( x0 1) y x x02 A( x02 , 0) y Gọi B (d ) oy tọa độ điểm B nghiệm hệ : Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông x02 y x ( x0 1)2 ( x0 1) x 2015 x x02 x02 B (0, ) ( x0 1) y ( x0 1) Tam giác OAB vuông O ; OA = x02 x02 ; OB = Diện tích tam giác OAB : S = x02 x02 ( x0 1)2 ( x0 1)2 OA.OB = x02 x0 x02 x0 x0 y0 2 x04 x0 ( x0 1) ( x0 1) x0 x0 x0 1x0 (vn) x0 y0 1 Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M ( ; 2) ; M (1,1) Bài 4: Cho hàm số y x2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ Giải: Gọi M0(x0;y0), x0 ≠ => y0 = 𝑥0 +2 2𝑥0 +3 −3 , tiếp điểm k hệ số góc tiếp tuyến phải tìm , k = y’(x0) = −1 (2𝑥0 +3)2 Tiếp tuyến cắt trục tọa độ A,B tạo thành tam giác OAB cân O => tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ (I) (II), tiếp tuyến không qua gốc tọa độ => k = ± k = -1 (do k = −1 (2𝑥0 +3)2 −1 (2𝑥0 +3)2 < ∀𝑥) −1 = -1 (2𝑥0 + 3)2 = [𝑥𝑥0 = = −2 Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 +) x0 = -1 => y0 = => PTTT: y = -1(x + 1) + = -x (loại qua gốc tọa độ) +) x0 = -2 => y0 = => PTTT: y = -1(x + 2) + = -x – Bài 5: Cho hàm số: y x 1 (C ) Tìm m để đường thẳng (d ) : y x m cắt đồ thị x 1 hàm số (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến A, B song song với Giải: ĐK: x ≠ Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): 𝑥+1 𝑥−1 = 2x + m 2x2 +(m-3)x – m – = = f(x) (*) Để (C) cắt (d) điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt khác ∆ = (𝑚 − 3)2 + 8(𝑚 + 1) > { 𝑓(1) = + 𝑚 − − 𝑚 − ≠ {𝑚 + 2𝑚 + 17 > ∀𝑚 −2 ≠ Vậy ∀𝑚 (C) cắt (d) điểm phân biệt A,B có hoành độ nghiệm phương trình (*) Gọi A(x1;y1), B(x2;y2), x1 ≠ x2, với x1, x2 nghiệm (*) Tiếp tuyến A có hệ sô góc là: k1 = y’(x1) = Tiếp tuyến B có hệ số góc là: k2 = y’(x2) = −2 (𝑥1 −1)2 −2 (𝑥2 −1)2 Để tiếp tuyến A B song song ta phải có: k1 = k2 (𝑥1 − 1)2 = (𝑥2 − 1)2 𝑥1 − = −𝑥2 + (vì x1 ≠ x2) x1 + x2 = 3−𝑚 Theo Vi-et: x1 + x2 = = – m = m = -1 Vậy với m = -1 (C) cắt (d) điểm phân biệt A,B mà tiếp tuyến điểm song song với Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +1 Tìm điểm A,B thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến A B song song với độ dài AB = 4√2 Giải: 2 3 Giả sử A(a;a -3𝑎 +1), B(b; b -3𝑏 +1) điểm thỏa mãn đề bài, a ≠ b Tiếp tuyến A B song song với nên ta có: y’(a) = y’(b) 3𝑎2 – 6a = 3𝑏 – 6b (a – b)(a + b – 2) = b = – a Vì a ≠ b nên a ≠ – a a ≠ Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Lại có: AB = √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 3𝑏 + − 𝑎3 + 3𝑎2 − 1)2 = √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 𝑎)2 [𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎2 − 3(𝑏 + 𝑎)]2 = √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 𝑎)2 [(𝑏 + 𝑎)2 − 𝑎𝑏 − 3(𝑏 + 𝑎)]2 Thay a + b = ta được: AB = √(𝑏 − 𝑎)2 + (𝑏 − 𝑎)2 (−2 − 𝑎𝑏)2 = 4√2 (𝑏 − 𝑎)2 [1 + (−2 − 𝑎𝑏)2 ] = 32 (2 − 2𝑎)2 [1 + (𝑎2 − 2𝑎 − 2)2 ] = 32 (𝑎 − 1)2 {1 + [(𝑎 − 1)2 − 3]2 } = (𝑎 − 1)2 [(𝑎 − 1)4 - 6(𝑎 − 1)2 + 10] = (𝑎 − 1)6 - 6(𝑎 − 1)4 + 10(𝑎 − 1)2 – = Đặt (𝑎 − 1)2 = t, t > Ta có phương trình: t3 – 6t2 + 10t – = t = [ 𝑎=3=>𝑏= −1 (𝑎 − 1)2 = 𝑎= −1=>𝑏=3 Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu toán là: A(3;1), B(-1;-3) A(-1;-3), B(3;1) 7) Cho hàm số: y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): x + y + = góc ∝, biết cos ∝ = √26 2𝑥−1 8) Cho hàm số y = , lập PTTT đồ thị hàm số cho tiếp tuyến cắt 𝑥−1 trục Ox, Oy điểm A,B thảo mãn OA = 4OB Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 10 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 y’ = 3x2 + 2(1-2m)x + – m y’ = 3x2 + 2(1-2m)x + – m = (*) Để hàm số có cực trị phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt ∆′ = (1 − 2𝑚)2 − + 3𝑚 > 4𝑚2 − 𝑚 − > 𝑚 Ta có: |x1 – x2| > 1 (𝑥1 − 𝑥2 )2 > (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 4𝑥1 𝑥2 − > 𝑥1 , 𝑥2 nghiệm phương trình (*) Theo Vi-et ta có: 2(2𝑚−1) 𝑥1 + 𝑥2 = { 2−𝑚 𝑥1 𝑥2 = => (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 4𝑥1 𝑥2 − > [ 2(2𝑚−1) ] −4 2−𝑚 - >0 16𝑚2 − 4𝑚 − 21 > 1+√85 (2) 1−√85 𝑚< 𝑚> [ Kết hợp (1) (2) ta được: 𝑚 𝜖 (−∞; 1−√85 )𝑈 ( 1+√85 ; +∞) 1 3 Bài 13: Cho hàm số y = x3 – (m-1)x2 + 3(m-2)x + Tìm m để hàm số đạt cực trị x1, x2 cho: x1 + 2x2 =1 Giải: TXĐ: D = R Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 36 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 y’ = x2 – 2(m-1)x + 3(m-2) y’ = x2 – 2(m-1)x + 3(m-2) = (*) Hàm số có cực trị Phương trình (*) có nghiệm phân biệt ∆′ = (𝑚 − 1)2 − 3(𝑚 − 2) = 𝑚2 − 5𝑚 + > ∀ 𝑚 𝜖𝑅 Khi ta có cực trị x1, x2 nghiệm phương trình (*) 𝑥 + 𝑥2 = 2(𝑚 − 1) (1) Theo Vi-et ta có: { 𝑥1 𝑥2 = 3(𝑚 − 2) (2) Từ điều kiện 𝑥1 + 2𝑥2 = => 𝑥1 = − 2𝑥2 Thay vào (1) => 𝑥2 = − 2𝑚 Thay vào (2) => (3 − 2𝑚)[1 − 2(3 − 2𝑚)] = 3(𝑚 − 2) (3 − 2𝑚)(4𝑚 − 5) = 3𝑚 − 8𝑚2 − 19𝑚 + = 𝑚 = 19±√73 16 Bài 14: Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x1, đạt cực tiểu x2 thỏa mãn: 𝑥1 = 𝑥2 Giải: TXĐ: D = R y’ = 6x2 + 18mx + 12m2 y’ = x2 + 3mx + 2m2 = (*) Hàm số có cực trị Phương trình (*) có nghiệm phân biệt ∆= 9𝑚2 − 8𝑚2 = 𝑚2 > Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 37 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 𝑚 ≠ Khi (*) có nghiệm phân biệt là: 𝑥1 = −3𝑚−|𝑚| 𝑥2 = −3𝑚+|𝑚| Ta có bảng biến thiên: x -∞ y’ −3𝑚−|𝑚| −3𝑚+|𝑚| 2 + - +∞ + +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số đạt cực đại 𝑥1 , cực tiểu 𝑥2 Vậy 𝑥1 = 𝑥2 −3𝑚−|𝑚| ( ) = −3𝑚+|𝑚| 𝑚=0(𝑙𝑜ạ𝑖) [ 𝑚=−2 Vậy m = -2 thỏa mãn yêu cầu toán 2 Bài 15: Cho hàm số y = x4 – mx2 + Tìm m để hàm số có cực tiểu mà cực đại Giải: TXĐ: D = R y’ = 2x3 – 2mx = 2x(x2-m) 𝑥=0 y’ = [𝑥 =𝑚 Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 38 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Để hàm số có cực tiểu ma cực đại phương trình y’ = có nghiệm 𝑥 = 𝑚 vô nghiệm có nghiệm 𝑚 ≤ Bài 16: Cho hàm số y = x4 + 2(m-2)x2 + m2 – 5m + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành: a) tam giác vuông cân b) tam giác Giải: TXĐ: D = R y’ = 4x3 + 4(m-2)x = 4x(x2+m-2) 𝑥=0 y’ = [𝑥 =2−𝑚 Để đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình y’ = có nghiệm phân biệt - m > m < Khi ta có tọa độ điểm cực trị là: A(0; m2 – 5m + 5), B(√2 − 𝑚; − 𝑚), C(-√2 − 𝑚;1-m) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−√2 − 𝑚; −𝑚2 + 4𝑚 − 4) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (√2 − 𝑚; −𝑚2 + 4𝑚 − 4), 𝐴𝐶 Nhận xét: Do tính đối xứng đồ thị hàm số nên tam giác ABC cân A a) Nếu ABC tam giác vuông tam giác ABC vuông A ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = √2 − 𝑚 (−√2 − 𝑚) + (−𝑚2 + 4𝑚 − 4)2 = 𝐴𝐵 −(2 − 𝑚) + (𝑚 − 2)4 = (𝑚 − 2)3 = −1 (Do m < 2) 𝑚 = (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 39 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông b) Tam giác ABC Góc A = 60° cos 𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵 (𝑚−2)4 +(𝑚−2) √(𝑚−2)4 −(𝑚−2).√(𝑚−2)4 −(𝑚−2) = 2015 = 2(𝑚 − 2)3 + = (𝑚 − 2)3 − (𝑚 − 2)3 = −3 𝑚 = − √3 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Bài 17: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải: TXĐ: D = R y’ = 4x3 – 4mx = 4x(x2-m) 𝑥=0 y’ = [𝑥 =𝑚 Hàm số có cực trị Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt 𝑥 = 𝑚 có nghiệm phân biệt khác 𝑚 > Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A(0;2m+m4), B(√𝑚; 𝑚4 − 𝑚2 + 2𝑚), C(−√𝑚; 𝑚4 − 𝑚2 + 2𝑚) Tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC => AH vuông góc với BC H(0; 𝑚4 − 𝑚2 + 2𝑚) AH = 𝑚2 , BC = √4𝑚 1 2 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 = 𝑚2 √4𝑚 = Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 40 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 𝑚5 = 16 𝑚 = √16(𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Bài 18: Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc bẳng 120° Giải: TXĐ: D = R y’ = 4x3 + 4mx = 4x(x2+m) 𝑥=0 y’ = [𝑥 =−𝑚 Hàm số có cực trị Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt 𝑥 = −𝑚 có nghiệm phân biệt khác 𝑚 < Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A(0; m2+m), B(√−𝑚; 𝑚), C(-√−𝑚; 𝑚) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−√−𝑚; 𝑚2 ) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (√−𝑚; 𝑚2 ), 𝐴𝐶 Tam giác ABC cân A => Tam giác ABC có góc 120° 𝐴̂ = 120° cos 𝐴 = −1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.𝐴𝐶 −1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐴𝐵 ||𝐴𝐶 | −√−𝑚.√−𝑚+𝑚4 √𝑚4 −𝑚.√𝑚4 −𝑚 = −1 2𝑚4 + 2𝑚 = 𝑚 − 𝑚4 3𝑚4 + 𝑚 = Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 41 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 𝑚=0(𝑙𝑜ạ𝑖) [ −1 𝑚= √3 𝑚 = −1 √3 Bài 19: Cho hàm số y = x4 – 2(1-m2)x2 + m + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải: TXĐ: D = R y’ = 4x3 – 4(1-m2)x = 4x(x2-1+m2) 𝑥=0 y’ = [𝑥 =1−𝑚2 Hàm số có cực trị Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt − 𝑚2 > -1 < 𝑚 < (*) Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A(0; 𝑚 + 1), B(√1 − 𝑚2 ; 𝑚2 + 𝑚), C(−√1 − 𝑚2 ; 𝑚2 + 𝑚) Tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC => AH vuông góc với BC H(0; 𝑚2 + 𝑚) AH = √(𝑚2 − 1)2 = − 𝑚2 (Do điều kiện (*)) BC = √4(1 − 𝑚2 ) = 2√1 − 𝑚2 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 𝐵𝐶 = (1 − 𝑚2 )√1 − 𝑚2 = (√1 − 𝑚2 )3 ≤ Vậy 𝑀𝑎𝑥 (𝑆∆𝐴𝐵𝐶 ) = 𝑚 = Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 42 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Bài 20: Cho hàm số y = x4 – (3m+1)x2 + 2(m+1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ O Giải: TXĐ: D = R y’ = x3 – 2(3m+1)x = x[x2-2(3m+1)] 𝑥=0 y’ = [𝑥 =2(3𝑚+1) Hàm số có cực trị Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt 2(3𝑚 + 1) > 𝑚 > −1 (*) Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị là: A(0; 2𝑚 + 2), B(√6𝑚 + 2; −9𝑚2 − 4𝑚 + 1), C(−√6𝑚 + 2; −9𝑚2 − 4𝑚 + 1) Tam giác ABC có trọng tậm O(0;0) 2𝑚 + + (−9𝑚2 − 4𝑚 + 1) + (−9𝑚2 − 4𝑚 + 1) = −18𝑚2 − 6𝑚 + = [ 𝑚= −2 (𝑙𝑜ạ𝑖 𝑑𝑜 (∗)) 𝑚= 𝑚 = 1 Bài 21: Cho hàm số y = 𝑥 − 𝑚𝑥 + (𝑚2 − 3)𝑥 Tìm m để hàm số có điểm cực trị 𝑥1 , 𝑥2 với 𝑥1 > 0, 𝑥2 > 𝑥1 + 𝑥2 = Bài 22: Cho hàm số y = 𝑥 + (1 − 2𝑚)𝑥 + (2 − 𝑚)𝑥 + 𝑚 + Tìm m để hàm số có điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2;0) Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 43 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Bài 23: Cho hàm số y = 𝑥 − 3𝑥 + Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d): y= 3x – cho tổng khoảng cách từ M đến điểm cực trị nhỏ Bài 24: Cho hàm số y = 𝑥 − 3𝑚𝑥 + 3(𝑚2 − 1)𝑥 − 𝑚3 + 𝑚 Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O Bài 25: Cho hàm số y = 𝑥 − 3𝑥 − 𝑚𝑥 + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng (d): x + 4y – = góc ∝= 45° Bài 26: Cho hàm số y = 𝑥 − 3𝑚𝑥 + Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Bài 27: Cho hàm số y = 𝑥 + 6𝑚𝑥 + 9𝑥 + 2𝑚 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua điểm cực trị √5 3 Bài 28: Cho hàm số y = 𝑥 − (𝑚 + 1)𝑥 + (𝑚 + 1)3 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía (trong ngoài) đường tròn (C) có phương trình: 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 + = Bài 29: Cho hàm số y = 𝑥 − 𝑚𝑥 − 𝑥 + 𝑚 + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị khoảng cách điểm cực trị nhỏ Bài 30: Cho hàm số y = 𝑥 − 3𝑥 − 𝑚𝑥 + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đường thẳng qua cực trị tạo với trục tọa độ tam giác cân Bài 31: Cho hàm số y = 𝑥 − 2𝑚𝑥 + 𝑚 − Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Bài 32: Cho hàm số y = 𝑥 + (3𝑚 + 1)𝑥 − Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 44 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Kiến thức bản: Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x), phương trình gọi “Phương trình hoành độ giao điểm” Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị Sự tương giao đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d Chủ yếu dạng toán xoay quanh tương giao đồ thị hàm bậc trục hoành Phương trình hoành độ giao điểm là: ax3 + bx2 + cx + d = (*) Điều kiện để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm (Phương trình (*) có nghiệm nhất): Xảy trường hợp sau: - TH1: Hàm số cực trị Phương trình y’ = vô nghiệm có nghiệm kép - TH2: Hàm số có cực trị yCĐ.yCT > Điều kiện để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm (Phương trình (*) có nghiệm): Hàm số có cực trị yCĐ.yCT = Điều kiện để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm phân biệt (Phương trình (*) có nghiệm phân biệt): Hàm số có cực trị yCĐ.yCT < Bài toán tương đương với toán tìm điều kiện để hàm số bậc có điểm cực trị nằm phía trục hoành Điều kiện để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương (Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt): 𝐻à𝑚 𝑠ố 𝑐ó 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑦𝐶Đ 𝑦𝐶𝑇 < { 𝑥𝐶Đ > 0, 𝑥𝐶𝑇 > Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 45 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 (Tương tự với trường hợp nghiệm âm) Điều kiện để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng: - Giả sử (*) có nghiệm x1, x2 ,x3 lập thành cấp số cộng - Sử dụng đinh lý Vi-et phương trình bậc ta có: x1 + x2 + x3 = - x1, x2 ,x3 lập thành cấp số cộng x1 + x3 = 2x2 => 3x2 = −𝑏 𝑎 => x2 = −𝑏 𝑎 −𝑏 3𝑎 nghiệm (*) - Thế x2 = −𝑏 3𝑎 vào (*) để suy điều kiện cần tìm - Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Điều kiện để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân: - Giả sử (*) có nghiệm x1, x2 ,x3 lập thành cấp số nhân - Sử dụng đinh lý Vi-et phương trình bậc ta có: x1.x2.x3 = - x1, x2 ,x3 lập thành cấp số nhân x1 x3 = 𝑥2 =>𝑥2 = −𝑑 𝑎 −𝑑 𝑎 => x2 = √ −𝑑 𝑎 nghiệm (*) - Thế x2 = √ −𝑑 𝑎 vào (*) để suy điều kiện cần tìm - Đây điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Chứng minh định lý vi-et phương trình bậc 3: Do sách giáo khoa không nhắc đến phần kiến thức nên thi, muốn sử dụng em phải chứng minh lại sau: - Giả sử (*) có nghiệm x1, x2 ,x3 - Ta viết (*) dạng: a(x-x1)(x-x2)(x-x3) = 𝑎[𝑥 − (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 )𝑥 + (𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥3 )𝑥 − 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ] = 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑑 = 𝑎[𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ] 𝑎 - Đồng hệ số x , x, hệ số tự vế ta thu được: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑏 𝑎 𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥3 = { 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝑐 𝑎 −𝑑 𝑎 Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 46 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Chú ý: Trước biện luận phương trình bậc 3, ta nên tìm thử xem phương trình có nghiệm cố định hay không Nếu phương trình có nghiệm cố định ta tìm cách phân tích thành tích biểu thức bậc biểu thức bậc hai, việc biện luận đơn giản nhiều Sự tương giao đồ thị hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành: ax4 + bx2 + c = (1) Đặt t = x2, t ≥ 0, ta có phương trình: at2 + bt + c = (2) Để xác định số nghiệm phương trình (1) ta dựa vào số nghiệm phương trình (2) dấu chúng: (1) vô nghiệm (2) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép âm, (2) có nghiệm âm phân biệt (1) có nghiệm (2) có nghiệm kép 0, (2) có nghiệm nghiệm âm (1) có nghiệm (2) có nghiệm kép dương, (2) có nghiệm trái dấu (1) có nghiệm (2) có nghiệm nghiệm dương (1) có nghiệm (2) có nghiệm dương phân biệt - Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng: Điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt Giả sử (2) có nghiệm t1, t2 (0< t1 < t2) Khi nghiệm (1) là: −√𝑡2 , −√𝑡1 , √𝑡1 , √𝑡2 Vì −√𝑡2 , −√𝑡1 , √𝑡1 , √𝑡2 lập thành cấp số cộng nên √𝑡2 − √𝑡1 = √𝑡1 − (−√𝑡1 ) 𝑡2 = 9𝑡1 Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 47 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 −𝑏 𝑡1 + 𝑡2 = 𝑎 𝑐 - Giải hệ: { 𝑡1 𝑡2 = ta điều kiện cần tìm 𝑎 𝑡2 = 9𝑡1 Bài tập luyện tập: Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx2 + 2m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Giải: TXĐ: D = R Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành: x3 – mx2 + 2m = 𝑚 = −𝑥 − 𝑥 (𝑥 ≠ 0) (*) Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm (*) có nghiệm Xét hàm số 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥 + 𝑥2 = 𝑥 −2𝑥 +2 𝑥2 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 = Ta có bảng biến thiên: x -∞ f’(x) + + +∞ -3 +∞ + f(x) −∞ -∞ Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan -∞ Page 48 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (*) có nghiệm 𝑚 > −3 Vậy để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm m > -3 Bài 2: Cho hàm số y = 2x3 – 3(m+1)x2 + 6mx – Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +1 Tìm m để đường thẳng (∆):y=(2m-1)x – 4m – cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – Tìm m để đường thẳng (d): y = mx-2m-4 cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2-1)x – (m2-1) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương 3 Bài 6: Cho hàm số y = x3 – mx2 – x + m + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có tổng bình phương hoành độ lớn 15 Bài 7: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x – Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài 8: Cho hàm số y = x4 – mx2 + m – Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 9: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + 2m + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 10: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + 2m + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ nhỏ √3 Bài 11: Cho hàm số y = 2𝑥+1 𝑥+2 Tìm m để đường thẳng (d): y = -x + m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt A, B cho AB có độ dài nhỏ Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 49 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông Bài 12: Cho hàm số y = 2𝑥−2 𝑥+1 2015 Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt A, B cho AB = √5 Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 50 [...]... Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0 Chú ý: - Đạo hàm f’(x0) có thể bằng 0 nhưng chưa chắc hàm số đã đạt cực trị tại x0 - Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm - Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm 3 Điều kiện đủ để hàm số đạt... cực đại của hàm số x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ 𝐷 và f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (a;b) \ {x0} Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số Giá trị cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số thì ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm x0” 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:... cùng”) 2 Định lý về tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D Hàm số đồng biến trên D y’ ≥ 0, ∀x 𝜖 D và y’ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D Hàm số nghịch biến trên D y’ ≤ 0, ∀𝑥 𝜖 D và y’ = 0 chỉ xay ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D Như vậy để xét tính đơn điệu của một hàm số ta cần xét dấu đạo hàm của nó Chú ý: Hàm phân thức bậc nhất y = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 khi... Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 17 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Bài 5: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 – 3m + 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) Giải TXĐ: D = R y’ = 4x3 -4mx = 4x(x2 – m) Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) y’ ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (1;2) 4x(x2 – m) ≥ 0, ∀𝑥 𝜖 (1;2) TH1: m ≤ 0 thì x2 – m ≥ 0 ∀𝑥, do đó y’ ≥ 0 x ≥ 0, hàm số đồng biến trên [0;+∞), nghĩa là cũng đồng biến... Page 18 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Để hàm số nghịch biến trên (-∞;1) thì ta phải có 1 ≤ -m m ≤ -1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m ≤ -1 Bài 7: Cho hàm số y = -2x3 + 3mx2 – 1 Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (x1;x2) với x2 – x1 = 1 Giải TXĐ: D = R y’ = -6x2 + 6mx = 6x(m – x) +) m = 0: y’ = -6x2 ≤ 0 ∀𝑥 𝜖 𝑅 => hàm số nghịch biến trên R => m = 0 không thỏa... -4 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = -1, f(-1) = f’’(3) = 4 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, f(-1) = 10 3 −22 3 5 Cực trị của hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) TXĐ: D = R y’ = 3ax2 + 2bx + c Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 23 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Ta có 3 trường hợp: TH1: Phương trình y’ = 0 vô nghiệm (∆< 0) => hàm số không... điểm cực trị của hàm số là: y = 2x – m2 + m Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 30 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 Bài 6: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục hoành Giải: Cách 1: TXĐ: D = R y’ = 3x2 + 6x + m y’ = 0 3x2 + 6x + m = 0 (1) , ∆’ = 9 – 3m Để hàm số có 2 cực trị... 18x = 0 [𝑥=3 (đều không thuộc (-∞;-1)) Từ bảng biến thiên ta có max 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = (−∞;−1) Vậy m ≥ 4 11 𝑥→−1 4 11 thỏa mãn yêu cầu bài toán Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 20 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông 2015 1 Khái niệm về cực trị của hàm số: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D và x0 𝜖 𝐷 x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một... đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và có đạo hàm trên khoảng (a;b)\{x0} Khi đó: Hàm số đạt cực tiểu tại x0 nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 Bảng biến thiên như sau: Http://facebook.com/groups/onthiDHmontoan Page 21 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Hàm Số - Edited by Đêm Đông x a x0 f’(x) - 2015 b + f(x) Hàm số đạt cực đại tại x0 nếu f’(x)... Định lý 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó: Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 4 Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2 - Tìm f’(x) - Tìm các điểm xi (i = 1,2,3 …) tại đó đạo hàm bằng 0, hoặc tại đó hàm số liên tục nhưng