Tuyển tập các bài toán trong đề thi hsg 2016-2017

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài 1: Bài toán đường cao tam giác Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE,CF cắt H Yêu cầu bắt buộc : liệt kê đủ tứ giác nội tiếp diện hình ( vd: BCEF, ADEB,BFDH…… ) Tính chất 1: H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ̂ ̂ Cminh : +) AEDB nội tiếp nên ̂ phân giác góc ̂ , tương tự FH phân giác góc DFE ̂ nên ̂ ̂ nên DH Tính chất 2: H Q đối xứng qua trục AB , tương tự H L đối xứng qua BC , H P đối xứng qua AC Cminh : +) H Q đối xứng qua AB ( trường hợp tương tự ) ̂ ̂ ( AQBC nt ) ̂ ̂( ) ̂ ̂ BA đường trung trực QH +) mở rộng tính chất ta có tính chất sau : cạnh tam giác DEF đường trung bình tam giác LPQ Tính chất 3: BHCK hình bình hành AH =2OM ( M trung điểm BC ), số tốn đặt thêm vấn đề H,K,M thẳng hàng  Vì CK vng AC nên CK//BH tương tự có BK // CH nên BHCK hình bình hành  BHCK hbh nên M trung điểm HK OM đường trung bình tam giác AHK nên AH =2OM Tính chất : DFEM tứ giác nội tiếp ( xem lại chứng minh tốn đường tròn Ơ le lý thuyết ) Mở rộng tính chất ta có tính chất sau : TD.TM =TB.TC ( TE.TF theo phương tích ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Tính chất 5: Suy từ phương tích tính chất ta có tính chất mở rộng sau :  ARDM tgnt  ARFE tgnt  R,H,M,K thẳng hàng ( AR vng góc RK AR vuông RH )  H trực tâm tam giác ATM suy TH vng góc AM điểm A,R,F,H,E thuộc đường tròn đường kính AH Tính chất 6: BLKC hình thang cân CM: LK //BC nên BLKC hình thang mà BLKC lại tứ giác nội tiếp nên BLKC hình thang cân Tính chất 7: Bán kính OA vng góc đường nối chân đường cao EF ( đường cao từ B C ) ̂( ̂) CM : Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) , cm Ax// EF ( ̂ Một số tính chất nâng cao từ tốn : Tính chất 8: HP=HQ với P, Q giao điểm AB AC với đường thẳng qua H vuong góc HK ( HM với M trung điểm BC ) ̂  HPBK tgnt ̂  BHCK hbh ( cm ) nên góc HBK=góc HCK từ ̂ ̂ ̂ ̂ Tính chất 9: Từ C kẻ CN vng góc AK có MD=MN Chứng minh : +) ADCN tứ giác nội tiếp nên ̂ ̂ ̂ +) ̂ +)Tam giác OAC cân O nên ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ nên MD=MN ( đpcm ) Bài tốn 2: điểm ngồi đường tròn kẻ tiếp tuyến đến đường tròn Bài 3.1 MA,MB tiếp tuyến, MCD cát tuyến ( C nằm M D ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Một số câu hỏi liên quan MA2=MC.MD MB2=MC.MD ( chứng minh thông qua tam giác đồng dạng ) CHOD tứ giác nội tiếp ( chứng minh MH.MO = MC.MD =MA2) ̂ ( HA tia phân giác góc ̂ ( chứng minh: góc ̂ ) dẫn đến góc phụ góc Nếu gọi K giao điểm OI AB KC KD tiếp tuyến (O)( CM : có OI.OK=OH.OM ) ( tam giác đồng dạng OHK từ có đpcm thơng qua cặp đồng dạng tgOID tgODK) E F giao diểm KC với MA MB , N giao điểm AB OE Khi FN vng góc OE CM: ̂ ̂ ̂ đường tròn đường kính OF nên ̂ AD.BC = AC.BD ( tích cặp cạnh đối tứ giác ( CM : MAC đồng dạng MDA nên MDB nên ( đpcm ) Kẻ dây cung QD // AB Khi C,H,Q thẳng hàng ( CM D:ùng pp góc đối đỉnh , OH trung trực AB nên OH trung trực QD nên Q đối xứng D qua trục OH nên ̂ ̂ ̂( W: www.hoc247.net ) ̂ ̂ F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai điểm A,B,O,M,I thuộc đường tròn IM tia phân giác góc ̂ ( tự cm ) Bài tốn 3: Tính chất đường thẳng Sim Sơn đường thẳng Steiner Đường thẳng Sim sơn Tính chất : ABC nội tiếp đường tròn, M thuộc đường tròn , P,Q,K hình chiếu vng góc M lên cạnh AB,BC,CA Khi P,Q,K thẳng hàng ( đường thẳng qua P,Q,K gọi đường thẳng Sim Sơn tam giác ABC) Chứng minh BQMP nội tiếp MCKQ nội tiếp nên ̂ = ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ nên P,Q,K thẳng hàng Đường thẳng Steiner W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Tính chất : M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi N, P, Q đối xứng với M qua AB,BC,CA gọi H trực tâm tam giác ABC Khi điểm N,P,H,Q thẳng hàng ( nằm đường thẳng Steiner tam giác ABC ) Chứng minh : dựa vào tính chất thẳng hàng toán định lý Sim sơn nên N,P,Q thẳng hàng , +) Chứng minh AHBN tứ giác nội tiếp CM: Vì M N đối xứng qua AB nên ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ +) Tương tự tứ giác AHCQ nội tiếp BPHC nội tiếp ( chứng minh tương tự ) ̂ ̂  Để ý tứ giác AHBN nội tiếp AHCQ nội tiếp từ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ nên N,H,Q thẳng hàng cuối N,P,H,Q thẳng hàng Bài tốn 4: Bài tốn tam giác vng nội tiếp đường tròn Trích đề tuyển sinh 2012 TPHCM A P E F B W: www.hoc247.net O Q C H F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài toán : Cho đường tròn (O,R) đường kính BC Lấy điểm A đường tròn cho AB>AC Từ A kẻ AH vng góc BC từ H kẻ HE HF vng góc với AB AC Tính chất : 1) AEHF hình chữ nhật ( tự chứng minh ) 2)BECF tứ giác nội tiếp ( AE.AB = AF.AC =AH2) 3) OA vng góc EF Chứng minh : ( phương pháp cộng góc)  tam giác OAB cân O nên ̂ ̂ BEFC nội tiếp nên ̂ = ̂ ̂ ̂ 4)Chứng minh ; AP =AQ AP2=AE.AB AP=AQ=AH  OA vuông EF hay OA vuông PQ mà OP=OQ nên AP=AQ  APE ( ) AP2=AE.AB AE.AB =AH2 nên AP=AQ=AH A P E K Q F B O H C I D  5) EF cắt BC D, AD cắt (O) K chứng minh : AK vng góc KH CM : DK.AD = DB.DC ( phương tích ) DE.DF =DB.DC( phương tích ) nên DK.DA=DE.DF suy EFKA tứ giác nội tiếp , kết hợp thêm AEHF nt điểm A,E,H,F,K thuộc đương tròn đường kính AH suy đpcm  6) Cminh : IH2=IF.IK ̂ ̂ ̂ =IF.IK  7) CM : KFCD tứ giác nội tiếp (̂ ̂ ̂ )  8) IH2=IC.ID (IC.ID =IF.IK theo phương tích IH2=IF.IK cm ) Bài 5: Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC tạo thành đường cao tam giác ABC W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai A E N F H K C O D B 1) Tính chất EFDO nội tiếp ( tính chất đường tròn Euler chứng minh ) 2) KF.KE = KB.KC = KD.KO = KO2-R2 ( R: bán kính đường tròn đường kính BC )( chứng minh phương tích ) 3) ANOD tứ giác nội tiếp AN2=AH.AD( AN2= AE.AC =AH.AD ) 4) OA vng góc HN Chứng minh : ANH đồng dạng AND( c.g.c) Nên ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ONAD nt ) ̂ 5) KD.DO= R2-OD2=DB.DC =DH.DA ( ý DB.DC = R2-OD2 DB.DC =DH.DA ) Chứng minh : ta có KD.DO+DO2=DO ( KD+DO)= DO.KO =KO(KO – KD)= KO2 -KO.KD = R2 ( theo tính chất 2) 6) K,H, N thẳng hàng ( gợi ý : chứng minh H trực tâm tam giác OKA hệ thức DH.DA = KD.DO A I E F N R H B K D O C 7) Tính chất điểm I,E,F,D,O thuộc đường tròn IO ( đường tròn Euler) FE vng góc IO ( cm : IO đường trung trực EF ) 8) IE2=IR.ID ( tam giác đồng dạng ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 9) R trực tâm tam giác BIC Chứng minh : DR.DI = DI2- IR.ID =DI2- IE2= DI2- IA2= (DI-IH) ( DI+IA)= DH.DA = DB.DC nên tam giác DBR đồng dạng DIC từ có đpcm 10) Chứng minh : CM : DH.DA = DR.DI DH+DA =2DI W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức lun thi mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chun/Tốn Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Tốn Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV u thích, có thành tích, chun mơn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang |