Tuyển chọn 1000 bài toán hay về hình học phẳng có lời giải hướng dẫn

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Q B A M O P D C www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Lời nói đầu Các kì thi HSG tỉnh thành phố nhằm chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2010 – 2011 diễn sôi vào ngày cuối năm trước để lại nhiều ấn tượng sâu sắc Bên cạnh bất đẳng thức, hệ phương trình hay toán số học, tổ hợp, ta quên dạng toán vô quen thuộc, vô thú vị xuất thường trực cả, toán hình học phẳng Nhìn xuyên suốt qua toán ấy, ta phát xuất đường tròn, tam giác, tứ giác; với kết hợp đặc biệt, chúng tạo nhiều vấn đề thật đẹp thật hấp dẫn Có nhiều phát biểu thật đơn giản ẩn chứa đằng sau quan hệ khó giải nhờ định lý, kiến thức mức độ nâng cao như: định lý Euler, đường tròn mixtilinear, định lý Desargues, điểm Miquel,… Rồi có phát biểu thật dài, hình vẽ phức tạp lại giải kết hợp ngắn gọn khéo léo điều quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng Nhằm tạo cho bạn yêu Toán có tài liệu tham khảo đầy đủ hoàn chỉnh nội dung này, dành thời gian để tập hợp toán, trình bày lời giải thật chi tiết xếp chúng cách tương đối theo mức độ dễ đến khó lượng kiến thức cần dùng hướng tiếp cận Với 50 toán đa dạng hình thức phong phú nội dung, mong “Tuyển chọn toán hình học phẳng đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố năm học 2010 – 2011” giúp cho bạn có dịp thưởng thức, cảm nhận, ngắm nhìn nhiều nét đẹp quyến rũ môn này! Xin chân thành cảm ơn tác giả đề bài, thành viên diễn đàn http://forum.mathscope.org gửi đề toán trình bày lời giải lên diễn đàn Tài liệu với dung lượng lớn nhiều thiếu sót, mong bạn đọc góp thêm ý kiến để tiếp tục hoàn thiện tài liệu Các ý kiến đóng góp xin gửi vào hai hòm thư lephuclu@gmail.com phan.duc.minh.93@gmail.com Cảm ơn bạn Phan Đức Minh – Lê Phúc Lữ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Các kí hiệu từ viết tắt sử dụng tài liệu S ABC , S ABCD a, b, c p R, r  BC  Diện tích tam giác ABC , tứ giác ABCD Độ dài cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Nửa chu vi tam giác Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Đường tròn đường kính BC PA/ O  Phương tích điểm A đường tròn  O  , hb , hc Độ dài đường cao tương ứng với cạnh a, b, c d  A, l  Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng l Điều phải chứng minh đpcm www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Phần một: Đề Bài Cho hình vuông ABCD Trên đoạn BD lấy M không trùng với B, D Gọi E , F hình chiếu vuông góc M lên cạnh AB, AD Chứng minh rằng: CM  EF CM , BF , DE đồng quy (Đề thi HSG Quảng Bình) Bài Cho tam giác ABC có BC  AC Gọi R1 , R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác GBC, GAC , G trọng tâm tam giác ABC Hãy so sánh R1 , R2 (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre) Bài Cho M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng AM , BM , CM cắt cạnh BC , CA, AB A ', B ', C ' theo thứ tự Đặt S1 , S , S , S , S , S diện tích tam giác MA ' B, MA ' C , S S S MB ' C , MB ' A, MC ' A, MC ' B Chứng minh    M trọng tâm tam giác S2 S S6 ABC (Đề thi HSG Đồng Tháp, vòng 2) Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp O  Gọi P, Q, M giao điểm AB CD , AD BC , AC BD Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, OMQ, OPQ (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài Cho tam giác ABC , điểm M thay đổi bên tam giác DEF tam giác pedal M tam giác ABC Tìm vị trí M để diện tích tam giác DEF lớn (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  BH  R đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Gọi D, E hình chiếu vuông góc H lên cạnh AB, BC Chứng minh rằng: BO  DE D, O, E thẳng hàng (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp, A1 , B1 , C1 , D1 tâm nội tiếp tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh A1B1C1D1 hình chữ nhật (Đề thi HSG THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Bài   MBC   MCA    Chứng minh Giả sử M điểm nằm tam giác ABC thỏa mãn MAB cot   cot A  cot B  cot C (Đề thi HSG Quảng Ninh – bảng A) Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AB  BC  CD  a Chứng minh S ABCD 3a  (Đề thi HSG Bình Định) Bài 10   Cho tam giác ABC M , N hai điểm di động BC cho MN  BC Đường thẳng d1 qua M vuông góc với AC , đường thẳng d qua N vuông góc với AB Gọi K giao điểm d1 d Chứng minh trung điểm I AK nằm đường thẳng cố định (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 2) Bài 11 Cho tam giác ABC Gọi M điểm chuyển động cạnh AB , N điểm chuyển động cạnh AC Giả sử BM  CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định 1 Giả sử  không đổi Chứng minh MN qua điểm cố định AM AN (Đề thi HSG Long An, vòng 2) Bài 12 Cho đường tròn tâm O , đường kính BC XY dây cung vuông góc với BC Lấy P, M nằm đường thẳng XY CY tuơng ứng, cho CY || PB CX || MP Gọi K giao điểm CX BP Chứng minh MK  BP (Đề chọn đội tuyển THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định) Bài 13 Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp  I  Điểm M tùy ý  I  Gọi d a đường thẳng qua trung điểm MA vuông góc với BC Các đường thẳng db , dc xác định tương tự Chứng minh d a , db , d c đồng quy điểm N Tìm tập hợp điểm N M chuyển động  I  (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Bình) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 14 Cho tam giác ABC , D trung điểm cạnh BC E , Z hình chiếu D AB, AC Gọi T giao điểm tiếp tuyến E , Z với đường tròn đường kính AD Chứng minh TB  TC (Đề thi chọn đội tuyển Nam Định) Bài 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  có A cố định B, C thay đổi  O  cho BC song song với đường thẳng cố định cho trước Các tiếp tuyến  O  B C cắt K Gọi M trung điểm BC , N giao điểm AM với  O  Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định (Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM) Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A với A, B cố định, điểm C di chuyển phía đường thẳng AB Gọi tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AC , BC M , N Chứng minh MN qua điểm cố định điểm C di động (Đề thi HSG THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai) Bài 17  cắt cạnh BC F Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Đường phân giác góc BAD DC K Từ đỉnh D kẻ DP  AK  P  AK  Đặt DP  m,  ADC  180  2 Tính S ABCD theo m  , biết S KFC  S AFCD 15 (Đề thi HSG Vĩnh Long, vòng 2) Bài 18 Cho tam giác ABC cân A Đường phân giác góc B cắt cạnh AC D Biết  BC  BD  AD Hãy tính góc BAC (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh) Bài 19 Cho tam giác ABC có góc A tù Dựng đường cao AD, BE , CF ( D, E , F  BC , CA, AB tương ứng)  E ', F ' hình chiếu E , F lên BC Giả sử E ' F '  AD  BC Hãy tính góc BAC (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 20 Gọi G, I trọng tâm, tâm nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự Bc , C b Các điểm C a , Ac , Ab , Ba xác định tương tự Các điểm I a , I b , I c theo thứ tự tâm nội tiếp tam giác GBa C a , GC b Ab , GAc Bc Chứng minh AI a , BI b , CI c đồng quy điểm GI (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 21 Cho tam giác ABC nội tiếp  O  , đường thẳng AO cắt  O  lần thứ hai D H , K hình chiếu B, C lên AD ; hai đường thẳng BK , CH cắt  O  E , F Chứng minh AD, BC , EF đồng quy (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 22 Cho tam giác ABC nội tiếp  O  , nội tiếp  I  Gọi M tiếp điểm BC  I  , D giao điểm thứ hai AM  O  Chứng minh OI  AM tứ giác ABDC điều hòa (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp M , N trung điểm AB, CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt đường thẳng CD P ( P  N ) ; đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt đường thẳng AB Q (Q  M ) O giao điểm hai đường chéo AC , BD ; E giao điểm đường thẳng AD, BC Chứng minh P, Q, O, E thẳng hàng (Đề thi HSG Vĩnh Phúc) Bài 24 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O  AC cắt BD E , AD cắt BC F Trung điểm AB, CD G, H Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác EGH (Đề thi chọn đội tuyển THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 25 Cho H trực tâm tam giác ABC không cân góc A nhọn Hình chiếu vuông góc H lên cạnh AB, AC theo thứ tự E , F Gọi D trung điểm BC ; P, Q giao điểm hai đường tròn đường kính AD, BC Chứng minh H , P, Q thẳng hàng đường thẳng BC , EF , PQ đồng quy (Đề thi HSG Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 26 Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H M , N trung điểm AH , BC Các đường phân giác góc  ABH ,  ACH cắt P Chứng minh rằng:   90 BPC M , N , P thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 27 Cho hai điểm A, B cố định  O; R  thay đổi cho d  A, b  d  B, A   , a, b theo thứ tự đường đối cực A, B  O  Xác định vị trí O để SOAB lớn (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 2) Bài 28 Gọi B điểm đường tròn  O1  A điểm khác B nằm tiếp tuyến B  O1  Gọi C điểm không nằm  O1  cho đường thẳng AC cắt  O1  hai điểm phân biệt Đường tròn  O2  tiếp xúc với AC C tiếp xúc với  O1  D nằm khác phía với B so với đường thẳng AC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đương tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đề thi chọn đội tuyển Thái Bình) Bài 29 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp với AI , BI , CI cắt BC , CA, AB M , N , P đường thẳng vuông góc với OI Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp  O  đường tròn Gọi N trung điểm AC , M động  O   O  ngoại tiếp  I  Các đường thẳng qua I vuông góc theo thứ tự Chứng minh M , N , P nằm cố định, AB cố định khác đường kính, C di động hình chiếu N BC Tìm quỹ tích M C di (Đề thi khảo sát đội tuyển THPT chuyên Thái Bình) Bài 30 Tam giác ABC nhọn, D nằm tam giác thỏa mãn  ADB  60   ACB DA  BC  DB  AC Chứng minh DC  AB  AD  BC (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Bài 31 Cho tam giác BCD nội tiếp đường tròn  O  Dựng hình bình hành ABCD Gọi d đường phân giác  , d cắt đường thẳng CD F cắt đường thẳng BC G Gọi  đường góc BAD thẳng qua C vuông góc với d ;  cắt  O  điểm thứ hai E Gọi I , J , K hình chiếu E lên đường thẳng CB, CD, BD Chứng minh rằng: I , J , K thẳng hàng E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CFG (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng, vòng 2) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 32 Cho tam giác ABC nhọn, điểm M tam giác AM cắt BC N X , Y , Z , T hình chiếu N AB, MB, AC , MC Chứng minh AM  BC X , Y , Z , T đồng viên X , Y , Z , T thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Đường tròn  O1  tiếp xúc với cạnh AB, AC P, Q tiếp xúc với  O  S Gọi giao điểm AS PQ D   CDQ  Chứng minh BDP (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Bài 34 Trên đường tròn  O  lấy hai điểm A, M khác đường kính Điểm I đoạn OA  I  O, A  Hai đường tròn  I , IA   IM  cắt B, C Các tia MB, MI , MC cắt  O  D, E , F theo thứ tự Đường thẳng DF cắt ME , MA, AE T , S , Q Chứng minh rằng: SD  SF  ST  SQ B, C , Q thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Bài 35 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng vuông góc với IA A cắt BI , CI K , M Gọi B ', C ' giao điểm hai cặp đường thẳng  BI , AC  ,  CI , AB  Đường thẳng B ' C ' cắt  ABC  N , E Chứng minh bốn điểm M , N , E, K thuộc đường tròn (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 1) Bài 36 Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt H Trên tia FB, EC theo thứ tự lấy điểm P, Q cho FP  FC , EQ  EB BQ cắt CP K I , J theo thứ tự trung điểm BQ, CP IJ cắt BC , PQ theo thứ tự M , N Chứng minh rằng: HK  IJ   JAN  IAM (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 37 Cho tam giác ABC nội tiếp  O  , trực tâm H D chân đường cao kẻ từ đỉnh B ABC , điểm P  O  Q, R, S điểm đối xứng với P qua trung điểm cạnh AB, AC , BC theo thứ tự AQ cắt HR F Chứng minh HS  DF (Đề thi chọn đội tuyển Đà Nẵng) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 38 Cho nửa đường tròn đường kính AB  R Gọi C điểm tùy ý nửa đường tròn, D hình chiếu vuông góc C lên AB Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai E , cắt tia phân giác góc ABC H Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai F , cắt CE I Tính diện tích tam giác FID Trên đoạn BH lấy điểm K cho HK  HD Gọi J giao điểm AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ điểm I , J , K đến AB lớn (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Bài 39 Cho tam giác ABC Trên AB, BC lấy M , N cho AM  CN Hai đường tròn  BCM  ABC  BAN  cắt B, D Chứng minh BD phân giác  (Đề thi HSG Quảng Nam) Bài 40 Cho tam giác ABC có phân giác AD Gọi E , F hình chiếu D lên AB, AC Gọi H giao điểm BF , CE Chứng minh AH  BC (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 1) Bài 41 Cho tam giác nhọn ABC , M trung điểm BC D, E hình chiếu vuông góc M lên AB, AC Đường tròn  O1  qua A, B, E Đường tròn  O2  qua A, C , D Chứng minh O1O2  BC (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) Bài 42 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB theo thứ tự D , E , F Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng AD đường tròn  O  ; N , P theo thứ tự giao điểm thứ hai MB, MC với  O  Chứng minh ba đường thẳng MD, NE , PF đồng quy (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Bài 43 Cho tam giác ABC nội tiếp O  Tiếp tuyến O  B, C cắt S Trung trực AB, AC cắt phân giác góc BAC M , N BM , CN cắt P Chứng minh SA qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Bài 44 Cho hai đường tròn  O1  ,  O2  cắt A, B I trung điểm O1O2 Gọi C điểm đối xứng với B qua I Một đường tròn  O  qua A, C cắt  O1  ,  O2  M , N Chứng minh CM  CN (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ GI AG DG AG  DG AD d ( I , AB ) GI AD        IC AC DC AC  DC AC  CD CD GC AC  CD  DA AD AC  CD  DA d ( I , AB ) AC Lại có ACD ~ ABC     AC AB  BC  CA CD AB  BC  CA d ( J , AB ) AB d ( K , AB ) BC Tương tự, ta có  ,  CD AB  BC  CA CD AB  BC  CA Do d ( I , AB)  d ( J , AB)  d ( K , AB)  CD Vậy d ( I , AB)  d ( J , AB)  d ( K , AB) max  CD max  C trung điểm cung AB Bài 39 Cho tam giác ABC Trên AB, BC lấy M , N cho AM  CN Hai đường tròn  BCM  ABC  BAN  cắt B, D Chứng minh BD phân giác  (Đề thi HSG Quảng Nam) Lời giải A I D M E J B N C Gọi E chân đường phân giác góc  ABC ; I giao điểm  BCM  với AC , J giao  điểm  BAN  với AC Định hướng đường thẳng AC theo hướng vector AC Đặt AM  CN  t Ta có AE  bc ba , EC  bc bc  c t  a  c   b2 tc tc bc B, M , I , C đồng viên  AM  AB  AI  AC  AI   EI  AI  AE    b b ac b a  c Do PE /( BMC )  EI  EC   c t  a  c   b2 ba  c Hoàn toàn tương tự, ta có PE /( BNA)  Suy E     ac t  a  c   b ba  ac a  c  ac t  a  c   b 2 a  c nằm trục đẳng phương  BCM    BAN  , B, E, D thẳng hàng nên BD phân giác  ABC (đpcm) 39 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 40 Cho tam giác ABC có phân giác AD Gọi E , F hình chiếu D lên AB, AC Gọi H giao điểm BF , CE Chứng minh AH  BC (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An, vòng 1) Lời giải A X Y T E M F H B C D Gọi T trực tâm tam giác ABC , BX , CY hai đường cao tam giác M , N giao điểm XY , EF với BC Ta có A DE cot FC EA DF cot C  cot C  NB  tan C    FA EB DF cot A DE cot B cot B NC tan B XC YA BX cot C CY cot A cot C MB tan C       XA YB BX cot A CY cot B cot B MC tan B Do M  N hay BC , XY , EF đồng quy Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác BXF CYE , ta có A, T , H thẳng hàng, từ suy đpcm Bài 41 Cho tam giác nhọn ABC , M trung điểm BC D, E hình chiếu vuông góc M lên AB, AC Đường tròn  O1  qua A, B, E Đường tròn  O2  qua A, C , D Chứng minh O1O2  BC (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) Lời giải A O1 O2 E D B 40 S K M R C www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Gọi R, S giao điểm khác B, C  O1  ,  O2  với BC ; K hình chiếu vuông góc A lên BC Ta có hai điểm  A, E , K , M   A, E , B, R  đồng viên, đó: CB  CR  2CR Tương tự, ta có BK  BS (1) CM Để chứng minh O1O2  BC , ta chứng minh AK trục đẳng phương  O1   O2  Điều xảy CK  CM  CA  CE  CB  CR  CK  khi: KS  KC  KR  KB  KS  RC  KR  SB  KS KR  Mà điều từ SB RC (1), ta có R, S trung điểm KC , KB Vậy ta có đpcm Bài 42 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB theo thứ tự D , E , F Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng AD đường tròn  O  ; N , P theo thứ tự giao điểm thứ hai MB, MC với  O  Chứng minh ba đường thẳng MD, NE , PF đồng quy (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Lời giải A M E F O P N B D C Ta có tứ giác DEMF , DMFN , DMEP tứ giác điều hòa, đó:  sin DEN  sin EFP  MF DN EP MF DM EM sin FDM         1  sin FEN  sin DFP  ME FN DP ME FM DM sin EDM Theo định lý Céva sin cho tam giác DEF , ta có DM , EN , FP đồng quy (đpcm) Bài 43 Cho tam giác ABC nội tiếp O  Tiếp tuyến O  B, C cắt S Trung trực AB, AC cắt phân giác góc BAC M , N BM , CN cắt P Chứng minh SA qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHSP HN) Lời giải 41 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ A O M F P I H N B D C E S Gọi D, E , F , H trung điểm BC , trung điểm cung BC không chứa A  O  , trung điểm MN trực tâm tam giác OMN 1    BMN   BAM    BAC  Tương tự, ta suy Ta có IMN ABM  BAC , HMN  90  ONM 2 2 I , H đối xứng với qua AE Theo kết quen biết ta có AS đường đối trung tam giác ABC nên để chứng minh A, I , S thẳng hàng, ta cần chứng minh A, H , D thẳng hàng Ta có A A A A MF cot  tan 2 cos   cos R  cos A   HO FO DE 1   2 ;  1   A A A A HF FH DO R cos A MF tan tan  cos 2 cos  2 2 AF DE HO Do     A, D, H thẳng hàng theo định lý Menelaus Vậy ta có đpcm AE DO HF   Bài 44 Cho hai đường tròn  O1  ,  O2  cắt A, B I trung điểm O1O2 Gọi C điểm đối xứng với B qua I Một đường tròn  O  qua A, C cắt  O1  ,  O2  M , N Chứng minh CM  CN (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Lời giải 42 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ A C I O1 O2 O B M N  Gọi N ' điểm  O2  cho MAB N ' AB Từ giả thiết suy CO1BO2 hình bình hành       Ta có O C  O B  O M , O N '  O B  O A CO M  CO B  BO M C O BB O N '  CO N ' Suy 1 2 1 1 2 CO1M  N ' O2C (c.g.c)    A, B hai điểm đối xứng với qua O1O2 nên O AO2  O1 BO2  O1CO2  A, C , O1 , O2 đồng viên Không tính tổng quát, giả sử R  R , tia O C nằm góc  AO M tia O A nằm  O1   O2  1  góc CO 2N ' '  O        Ta có MCN 1CO2  O1CM  O2 CN ' , MAN '  O1 AO2  O1 AM  O2 AN ' Mặt khác:          O 1CM  O2 CN '  O1CM  O1 MC  180  MO1C  A   NO   MO NO MO 1A 1C  AO1C 2C  AO2 C    O AM  O AN '  90    90    180     180  MO 1C 2 2 '  MAN '  A, C , M , N ' đồng viên  N  N '  CM  CN (đpcm) Suy MCN Bài 45 Cho đường tròn  C  , hai đường tròn  C1  ,  C2  nằm  C  , tiếp xúc với  C  với tiếp điểm K , H theo thứ tự  C1   C2  tiếp xúc với I Vẽ tiếp tuyến chung T1   C1  ,  C2   T1  cắt  C  A, B tiếp xúc với  C1  ,  C2  M , N Vẽ tiếp tuyến chung  T2   C1  ,  C2   T2  cắt  C  D cho I thuộc miền tam giác ABD Chứng minh rằng: Tứ giác MNHK tứ giác nội tiếp DI phân giác  ADB (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Lời giải 43 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ D K H I A M N B J Phép vị tự Z tâm K biến  C1    C  biến AB  tiếp tuyến  C  song song với AB , Z biến M  J trung điểm cung AB không chứa K  C   Suy K , M , J thẳng hàng  AKJ  ABJ JAM  JAK ~ JMA  JM  JK  JA2 Tương tự, ta có JN  JH  JB Mà J trung điểm cung AB  C  nên JA  JB  JM  JK  JN  JH  M , N , H , K đồng viên Theo trên, ta có PJ / C1   JM  JK  JN  JH  PJ / C2   J nằm trục đẳng phương  C1   C2  , đường thẳng DI Suy D, I , J thẳng hàng nên DI phân giác  ADB (đpcm) Bài 46 Cho tam giác ABC , tâm nội tiếp I , tâm ngoại tiếp O , tâm bàng tiếp I1 , I , I3 tương ứng với góc A, B, C AD, BE , CF đường cao tam giác ABC Chứng minh OI , I1 D, I E , I F đồng quy (Đề chi chọn đội tuyển Hải Phòng) Lời giải A O I G B D C J M K I1 44 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Gọi G giao điểm I1D OI , M trung điểm cung BC không chứa A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , J giao điểm AI BC , K giao điểm OM I1D IM  ABC  đường tròn Euler tam giác I1 I I , suy M trung điểm II1   I1 I MK I1M IM Áp dụng định lý Thales, ta có   AD I1 A IM  IA A 2bc cos a , suy ra: Lại có IM  BM  , IA  A abc 2cos a A a a a cos IM a 2 2      A A p  p  a a   p  a p IM  IA 2bc cos 2bc cos bc a a bc  a A abc a  b  c p cos ah S KO R  r  Do MK  a   r  2p p KM r GI 2r Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IMO với cát tuyến I1KG , ta có  , từ suy đpcm GO R  r Bài 47  Cho tam giác ABC D điểm cạnh BC thỏa CAD ABC Đường tròn  O  qua B D cắt AB, AD E , F ; DE cắt BF G ; M trung điểm AG Chứng minh CM  AO (Đề thi chọn đội tuyển Khánh Hòa) Lời giải Bổ đề: Cho tứ giác toàn phần ABCDEF Qua F kẻ đường thẳng song song với AB, CD, AC , BD cắt CD, AB, BD, AC M , N , P, Q theo thứ tự Khi M , N , P, Q thẳng hàng đường thẳng qua chúng song song với EG Chứng minh: N E B C Q G A D F P M 45 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Ta có nhận xét đơn giản sau: Cho hai tam giác ABC , DEF có đường thẳng AD, BE , CF đồng quy Khi AB || DE BC || EF AC || DF Áp dụng nhận xét cho cặp tam giác  FQN , DGE  ,  FMN , BEG  ,  FMP , AEG  , ta suy đường thẳng MN , MP, NQ song song với EG , M , N , P, Q thẳng hàng đường thẳng qua chúng song song với EG Trở lại với toán A H K E M N I O B G F D J C Qua A kẻ AH || BD, AK || BF , AI || DE  H  EF , K  ED, I  BF  Gọi J giao điểm EF , BC Xét tứ giác toàn phần BEFDAJ , theo bổ đề trên, ta có C , H , I , K thẳng hàng đường thẳng qua chúng song song với JG Vì CH đường chéo hình bình hành AHJC nên CH qua trung điểm N AJ MN đường trung bình tam giác AGJ nên MN || GJ Suy C , M , N thẳng hàng CM || GJ Mặt khác, theo kết quen thuộc ta có JG đường đối cực A  O  , AO  JG Từ khẳng định ta suy CM || AO (đpcm) Bài 48 Cho tam giác không cân ABC Gọi tiếp điểm đường tròn  O  nội tiếp tam giác với cạnh BC , CA, AB A1 , B1 , C1 Đặt AA1   O   A2 , BB1   O   B2 Gọi A1 A3 , B1B3 đường phân giác tam giác A1B1C1  Chứng minh A2 A3 phân giác B A2 C1 Gọi P, Q giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 B1B2 B3 Chứng minh O  PQ (Đề kiểm tra đội tuyển THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước) Lời giải 46 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ A B1 A2 A3 O C1 B C A1 A1B1 A2C1 tứ giác điều hòa nên A2 B1 A1 B1 A3 B1    Do A2 A3 phân giác B A2 C1 A2C1 A1C1 A3C1 Ta có:   ( B1C1 ; B1 A1 )  ( A1C1; A1B1 ) 2  ( A2C1; A2 A3 )  ( A2C1 ; A2 A1 )  ( A2C1; A2 A3 )  ( A2 A1; A2C1 ) ( A1O; A1 A3 )  ( A1O; A1C1 )  ( A1C1 ; A1 A3 )   ( A2 A1 ; A2 A3 )  mod   Do OA1 tiếp xúc với  A1 A2 A3   PO /  A1 A2 A3   OA12 Tương tự, ta suy O nằm trục đẳng phương  A1 A2 A3   B1 B2 B3  nên O, P, Q thẳng hàng Bài 49 Cho hình thang ABCD  AD || BC  , E điểm di động đường thẳng AB ; O1 , O2 tâm ngoại tiếp tam giác AED, BEC Chứng minh độ dài O1O2 không đổi (Đề thi chọn đội tuyển TPHCM) Lời giải G M N A D F O1 E B O2 C 47 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Gọi G giao điểm AB CD ; M , N theo thứ tự tâm ngoại tiếp tam giác GAD, GBC ; F giao điểm khác E hai đường tròn  ADE  ,  BCE  Ta có  FD; FE    AD; AE    BC ; BA    FC ; FE   mod    F , C , D thẳng hàng Vì tâm ngoại tiếp trực tâm hai điểm liên hợp đẳng giác tam giác nên ta có:    GM ; GD     AD; AG     FD; FE  mod    EF  GM 2    GM ; GD     AD; AG     BC; BG    GN ; GC  mod    G, M , N thẳng hàng  EF  MN 2 Mà EF trục đẳng phương  ADE   BCE   EF  O1O2 , suy O1O2 || MN Lại có NO2 || MO1 (cùng vuông góc với BC ) Do MNO2O1 hình bình hành Suy O1O2  MN không đổi (đpcm) Bài 50 Cho tứ giác toàn phần ACBDEF , tứ giác ABCD có đường tròn nội tiếp tâm I Gọi A1 , B1 , C1 , D1 tiếp điểm  I  với cạnh AB, BC , CD, DA Gọi M hình chiếu vuông góc I lên EF Hình chiếu M lên đường thẳng A1B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 A1 M , M , M , M Chứng minh M , M , M , M thẳng hàng (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Lời giải Ta có hai bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tứ giác toàn phần ACBDEF , tứ giác ABCD nội tiếp  O  Gọi G giao điểm AC BD M hình chiếu G lên EF Khi O, M , G thẳng hàng M điểm Miquel tứ giác toàn phần ACBDEF Chứng minh: E M X B G C K O F D A Y Gọi X , Y giao điểm EO với  O  ; K hình chiếu F lên XY Theo định lý Brocard, ta có G trực tâm EOF  EM  EF  EK  EO  EO  OK  OE (1) Mặt khác,  EKXY   1  OK  OE  OX  R (2) 48 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Từ (1) (2), ta có EM  EF  PE / O   EA  EB  EC  ED , suy điểm đồng viên  A, B, M , F   C , D, M , F  Do M điểm Miquel ABCDEF Bổ đề 2: Cho tứ giác toàn phần ABCDEF M điểm Miquel Gọi X , Y , Z , T hình chiếu vuông góc M lên AB, BC , CD, DA Khi X , Y , Z , T thẳng hàng Chứng minh: F X Z B M C Y A D E T Ta có điểm  M , F , X , Z  ;  M , F , B, C  ;  M , Z , C , Y  đồng viên, đó:      ZF ; ZX     MF ; MX    FX ; FM    CE ; CM    ZY ; ZM     ZC ; ZY  mod   2 Suy X , Y , Z thẳng hàng Hoàn toàn tương tự, ta suy đpcm Trở lại với toán ban đầu E M E1 D F C C1 B1 X D1 I A A1 B Gọi E1 giao điểm A1D1 B1C1 ; F1 giao điểm A1B1 C1 D1 Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác DD1 ABB1C , ta có AC , BD, B1D1 đồng quy X Tương tự, ta suy AC , BD, A1C1 , B1D1 đồng quy Mặt khác, đường thẳng AC , BD, A1C1 , B1D1 tương ứng đường đối cực E1 , F1 , F , E Do E , F , E1 , F1 thẳng hàng Xét tứ giác toàn phần A1B1C1D1 E1F1 Ta có IM  EF  IM  E1 F1 tứ giác A1B1C1D1 nội tiếp  I  Theo bổ đề 1, ta có M điểm Miquel A1B1C1D1 E1F1 Theo bổ đề 2, ta có M , M , M , M thẳng hàng (đpcm) 49 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 51 Cho lục giác lồi AMBDNC nội tiếp đường tròn đường kính MN , AC  BD Gọi F , P giao điểm MC với AD, AN ; E , Q giao điểm MD với BC , BN Chứng minh giá trị biểu thức CP FP DQ EQ    số CM FM DM EM (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên ĐHKHTN HN, vòng 3) Lời giải M A B F E Q P C D N Ta có  MPFC   A  AM , AN , AD, AC   B  BM , BN , BD, BC    MQDE   FP DQ  CP FP EQ DQ CP FP DQ EQ :  : k      k  1    CM FM EM DM CM FM DM EM  FM DM  Mặt khác, ta có:   tan AMC  FP S FAP AP sin NAD AP cos MAD       AM sin MAD  tan MAD  FM S FAM AM sin MAD  tan  DQ ND tan BND AMC    tan MND  DM ND tan MND FP DQ Từ giả thiết, ta suy F nằm P, M ; Q nằm D, M Do  FM DM CP FP DQ EQ Vậy     , ta có đpcm CM FM DM EM Suy Bài 52 Cho hai đường tròn  O1  ,  O2  có bán kính khác có hai tiếp tuyến chung 1 ,  cắt I Một tiếp tuyến chung 3 tiếp xúc với  O1  ,  O2  M , N Đường tròn  O3  nằm phần mặt phẳng giới hạn 1 , 2 , 3 tiếp xúc với ba đường thẳng theo thứ tự P, Q, R Biết bốn điểm M , N , P, Q nằm đường tròn  C  Chứng minh tâm đường tròn  C  nằm đường tròn qua ba giao điểm 1 , 2 , 3 50 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chứng minh 1   (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Đại học Vinh) Lời giải Ta phát biểu lại toán sau: Cho tam giác ABC không cân A ;  O1  ,  O2  hai đường tròn bàng tiếp góc C , B tam giác  O1  ,  O2  tiếp xúc với BC M , N Đường tròn nội tiếp I  tiếp xúc với cạnh AB, AC , BC P, Q, R theo thứ tự Biết M , N , P, Q đồng viên Chứng minh tâm  MNPQ  nằm  ABC  tam giác ABC vuông A A Q P I K M B C N R O Gọi O trung điểm cung BC không chứa A  ABC  Theo kết quen thuộc, ta có BM  CN  p  a Từ suy OBM  OCN (c.g.c) Ta có OAP  OAQ (c.g.c) Vậy O giao điểm hai đường trung trực đoạn thẳng MN PQ MN không song song với PQ nên O tâm  MNPQ  Không tính tổng quát, giả sử b  c Gọi K giao điểm PQ BC KB RB p  b   Ta có AR, BQ, CP đồng quy nên  KRBC   1  KC RC p  c a ( p  b) a ( p  c) 2( p  b)( p  c ) Lại có KB  KC  a , suy KB  , KC  , KR  bc bc bc p ( p  b)  ac p ( p  c)  ab  KM  KB  BM  , KN  KC  CN  bc bc Vậy ta có M , N , P, Q đồng viên  KM  KN  KP  KQ  KR  (2 p( p  b)  ac)(2 p( p  c )  ab)  4( p  b) ( p  c)  (b  c) (a  b  c )   a  b  c (vì tam giác ABC không cân A )  ABC vuông A (đpcm) 51 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 53 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn  O  , với AB  CD  EF Gọi I giao điểm BE AD Gọi H , K trực tâm tam giác ADF , BCE Biết  AIB  60 Chứng minh H , O, K thẳng hàng (Đề thi HSG Hưng Yên) Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tam giác ABC có góc A 60 Gọi I , H , O tâm nội tiếp, trực tâm, tâm ngoại tiếp tam giác Khi IH  IO AH  AO Chứng minh: Ta có AH  R cos A với tam giác ABC R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi AH  AO  R cos A  R  cos A   A  60 Để chứng minh IH  IO , ta sử dụng kết sau mà không chứng minh lại: p r IO  R  Rr ; IH  R  Rr  3r ;   sin A;1    cosA R R sin x  sin y  sin z  4sin x sin y sin z với x  y  z  Khi đó: p r  IO  IH  IO  IH  3R  Rr  3r  p   p   R  r    1   R  R   A    sin A   cos A   sin  A      sin     (đpcm) 3  2 6 Bổ đề 2: Cho tam giác ABC có góc A 60 Đường thẳng Euler tam giác cắt cạnh AB, AC M , N Chứng minh tam giác AMN Chứng minh: A N I O E M B H C Gọi E trung điểm OH Từ bổ đề 1, ta suy A, I , E thẳng hàng nằm trung trực  , MAN  Từ suy HAM  OAN  AM  AN OH Suy AE phân giác góc BAC   60 nên tam giác (đpcm) Tam giác AMN cân A có MAN Vậy hai bổ đề chứng minh, trở lại với toán ban đầu 52 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ B A L H I F M O K E C D Gọi L, M giao điểm phân giác góc  AIB với đường thẳng AF , BC  Từ giả thiết AB  CD , ta có AD || BC  EBC AIB  60 Theo bổ đề suy OK || IM Tương tự, ta có OH || IL Mà L, I , M thẳng hàng nên H , O, K thẳng hàng (đpcm) _ 53 [...]... Chứng minh 1   2 (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Đại học Vinh) Bài 53 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn  O  , với AB  CD  EF Gọi I giao điểm của BE và AD Gọi H , K lần lượt là trực tâm tam giác ADF , BCE Biết rằng  AIB  60 Chứng minh rằng H , O, K thẳng hàng (Đề thi HSG Hưng Yên) 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Phần hai: Lời giải Bài 1 Cho hình vuông ABCD Trên đoạn... tiếp tam giác EGH (Đề thi chọn đội tuyển THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Lời giải 26 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ D A E I H Q G P F C B Dựng các hình bình hành AEBP, DECQ Gọi I là trung điểm EF , ta có I , G , H thẳng hàng (đường thẳng Gauss), suy ra F , P, Q thẳng hàng FA FC AB CD CD  ; EAB ~ EDC    Ta có FAB ~ FCD  AB CD AE DE CQ   FQC  Lại có    FEP   FQE   IEG... lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AD Chứng minh rằng: 1 CM  EF 2 CM , BF , DE đồng quy (Đề thi HSG Quảng Bình) Lời giải F A E D P M B C Q Các đường thẳng ME , MF cắt CD, CB tại P, Q   MEF   CM  EF Ta có EFM  MCQ  QMC Tương tự, ta có ED  CF , FB  EC , suy ra CM , BF , DE là các đường cao trong tam giác CEF nên chúng đồng quy (đpcm) Bài 2 Cho tam giác ABC có BC  AC... R2 (Đề thi chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre, Bến Tre) Lời giải A F E G B D C Gọi D, E , F là trung điểm các cạnh BC , CA, AB 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/  Xét hai tam giác AFC và BFC có: CF chung, AF  BF , AC  BC   AFC  BFC   AG  BG Xét hai tam giác AFG và BFG có: FG chung, AF  BF ,  AFC  BFC CB  BG  GC CA  AG  GC Do đó R1    R2 4 S BGC 4 S AGC Bài 3 Cho M... bằng nhau (Đề thi chọn đội tuyển toán lớp 11 THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Lời giải Q D A M O P B C Theo định lý Brocard, ta có O là trực tâm tam giác MPQ Theo một kết quả quen thuộc thì điểm đối xứng với O qua MP nằm trên  MPQ  Suy ra  OMP  và  MPQ  đối xứng với nhau qua MP , do đó bán kính của chúng bằng nhau Tương tự, ta suy ra đpcm 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Bài 5 Cho tam... tam giác ABC , điểm M thay đổi bên trong tam giác DEF là tam giác pedal của M đối với tam giác ABC Tìm vị trí của M để diện tích tam giác DEF lớn nhất (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Lời giải 1  OM 2  Theo công thức Euler, ta có S DEF   1  2  S ABC 4 R  Do đó S DEF lớn nhất  OM nhỏ nhất  O  M Vậy diện tích tam giác DEF lớn nhất khi M là tâm ngoại tiếp tam giác ABC Bài 6 Cho tam giác ABC...  Suy ra O  K Vậy ta có đpcm Lại có EBK ABH  EBO Bài 7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp, A1 , B1 , C1 , D1 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh rằng A1B1C1D1 là hình chữ nhật (Đề thi HSG THPT chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) Lời giải 15 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ D A B1 C1 D1 A1 C B Theo tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta có:   BDC BAC   BA C...  TB  TC Bài 15 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn  O  có A cố định và B, C thay đổi trên  O  sao cho BC luôn song song với một đường thẳng cố định cho trước Các tiếp tuyến của  O  tại B và C cắt nhau tại K Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của AM với  O  Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định (Đề thi chọn đội tuyển PTNK, ĐHKHTN TPHCM) Lời giải 20 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/... sau: Nếu    Ta có S KFC Từ giả thiết suy ra BAK S AFCD 2   Từ đó suy ra S ABF   k  1 S KFC , S ADFC  k 2  1 S KFC Vậy ta có S ABCD  S ABF  S ADFC   k  1 2  S  k 2 1 k 2 ADK  2k  2 2 m cot  (đpcm) k Bài 18 Cho tam giác ABC cân tại A Đường phân giác trong của góc B cắt cạnh AC tại D Biết rằng  BC  BD  AD Hãy tính góc BAC (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh) Lời giải A D B 22 C... Y , Z là giao điểm của BIb , CI c thì ta có Bài 21 Cho tam giác ABC nội tiếp  O  , đường thẳng AO cắt  O  lần thứ hai tại D H , K lần lượt là hình chiếu của B, C lên AD ; hai đường thẳng BK , CH cắt  O  tại E , F Chứng minh rằng AD, BC , EF đồng quy (Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên ĐHSP HN) 24 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Lời giải A B' F H O M B C K C' E D Gọi B ', C ... bất đẳng thức, hệ phương trình hay toán số học, tổ hợp, ta quên dạng toán vô quen thuộc, vô thú vị xuất thường trực cả, toán hình học phẳng Nhìn xuyên suốt qua toán ấy, ta phát xuất đường tròn,... hợp toán, trình bày lời giải thật chi tiết xếp chúng cách tương đối theo mức độ dễ đến khó lượng kiến thức cần dùng hướng tiếp cận Với 50 toán đa dạng hình thức phong phú nội dung, mong Tuyển chọn. .. Desargues, điểm Miquel,… Rồi có phát biểu thật dài, hình vẽ phức tạp lại giải kết hợp ngắn gọn khéo léo điều quen thuộc để tạo nên lời giải ấn tượng Nhằm tạo cho bạn yêu Toán có tài liệu tham khảo đầy