Trong cuốn sách 10 Trọng Điểm Tư Duy Đột Phá Chìa Khóa Giải Nhanh Hình Học Phẳng OXY này tác giả giới thiệu tới bạn đọc 5 phần: PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY PHẦN 4: SÁNG TẠO VÀ PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY PHẦN 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP
khangvietbook.com.vn NGUYỄN THANH TÙNG (Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia) BIÊN SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI NHẤT CỦA BỘ GD&ĐT * Dành cho học sinh lớp 10, 11, 12 và luyện thi Quốc Gia * Sách tham khảo bổ ích cho giáo viên NHµ XUÊT B¶N TæNG HîP THµNH PHè Hå CHÝ MINH khangvietbook.com.vn MỤC LỤC Phần 1: Tổng hợp các kiến thức cơ bản 3 Phần 2: Những bài toán cơ bản 12 Bài toán 1 12 Bài toán 2 14 Bài toán 3 15 Bài toán 4 16 Bài toán 5 17 Bài toán 6 18 Bài toán 7 19 Phần 3: 10 bài toán hình học OXY 21 Bài toán 1 21 Bài toán 2 108 Bài toán 3 117 Bài toán 4 139 Bài toán 5 152 Bài toán 6 184 Bài toán 7 253 Bài toán 8 269 Bài toán 9 297 Bài toán 10 317 Phần 4: Sáng tạo và phát triển từ các bài toán hình học phẳng thuần túy 331 Phần 5: Bài tập tổng hợp 362 khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A. Hệ trục tọa độ Oxy hay ( ;; )Oi j có (0;0) (1; 0) (0;1) O i j = = Ox : Trục hoành ; Oy : Trục tung Chú ý: Nếu nói tới tia Ox hay tia Oy được hiểu là phần hoành độ và tung độ không âm của các trục Ox, Oy tương ứng. B. Vectơ : (; )u xi y j u x y= + ⇔= Cho hai vectơ 11 (; )a xy= và 22 (; )b xy= . Khi đó: 1. Hai vectơ bằng nhau: 12 12 xx ab yy = = ⇔ = 2. Hai vectơ cùng phương : a và b cùng phương ⇔ 12 21 a kb x y x y=⇔= 3. Tổng, hiệu hai vectơ: 1 21 2 (; )ab x xy y±= ± ± 4. Tích một số với một vectơ: 11 (;)ka kx ky= 5. Tích vô hướng của hai vectơ : ( ) . . cos ,ab a b a b= 12 12 xx yy= + 6. Môđun của vectơ: 22 11 a xy= + 7. Góc giữa hai vectơ: ( ) 12 12 2222 1122 . cos , . . xx yy ab ab ab xyxy + = = ++ 8. Hai vectơ vuông góc: 12 12 .0 0a b ab xx yy⊥⇔ =⇔ + = C. Điểm: (; )OM xi y j M x y=+⇔ * Cho ba điểm 11 22 33 ( ; ), ( ; ), ( ; )Ax y Bx y Cx y . Khi đó : 1. 2 12 1 (; )AB x x y y=−− khangvietbook.com.vn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 4 2. 22 21 21 ( )( )AB x x y y= − +− 3. Trung điểm I của AB có tọa độ: 1 21 2 ; 22 xxyy I ++ 4. Trọng tâm G của tam giác ABC : 1 2 31 2 3 ; 33 xx xy y y G ++ ++ Sau đây là sơ đồ cho phần tổng hợp kiến thức trên: II. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. TRONG TAM GIÁC VUÔNG : 1. Hệ thức Pitago: 2 22 abc= + 2. Mối quan hệ giữa cạnh, đường cao: + 2 2 ' ' b ab c ac = = + 2 22 111 hbc = + + 2 ''h bc= + bc ah= khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 5 3. Mối quan hệ giữa cạnh và góc: sin cos tan cotba Ba Cc Bc C= = = = B. TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ : 1. Các định lý * Định lý côsin: 2 22 2 cosa b c bc A=+− ⇒ Hệ quả: + Tính góc: 222 cos 2 bca A bc +− = + Tính độ dài đường trung tuyến: 22 2 2 24 a bca m + = − * Định lý sin: 2 sin sin sin abc R ABC = = = 2. Các công thức tính diện tích tam giác + Đường cao và cạnh đối diện: 1 . 2 a S ah= + Hai cạnh và sin góc xen giữa: 1 sin 2 S ab C= + Ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp: 4 abc S R = + Nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp: S pr= + Hê – rông: ( )( )( )S pp a p b p c= −−− Trong đó: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ;ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ;ABC 2 abc p ++ = là nửa chu vi tam giác .ABC khangvietbook.com.vn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 6 Sau đây là sơ đồ cho phần tổng hợp kiến thức trên: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC III. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN VÀ ELIP A. ĐIỂM Các điểm đặc biệt của tam giác: + Trực tâm : Là giao 3 đường cao của tam giác. + Trọng tâm: Là giao 3 đường trung tuyến của tam giác. + Tâm đường tròn ngoại tiếp: Là giao 3 đường trung trực của tam giác. + Tâm đường tròn nội tiếp: Là giao của 3 đường phân giác trong. Chú ý: + Do giao của các đường (cùng tên) đồng quy, nên khi vẽ hình ta chỉ cần xác định giao của hai đường, thậm chí là một đường nếu đó là trung tuyến (dựa vào tỉ lệ trọng tâm). + Tâm đường tròn bàng tiếp : Là giao của 2 đường phân giác ngoài của hai góc hoặc một phân giác ngoài của một góc và một phân giác trong của một góc. Như vậy một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. Nếu cho 3 điểm phân biệt 11 22 33 ( ; ), ( ; ), ( ; ),Ax y Bx y Cx y ta có : 2 12 1 (; )AB x x y y=−− và 22 21 21 ( )( )AB x x y y= − +− khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 7 I là trung điểm của AB ⇔ 12 12 2 2 I I xx x yy y + = + = G là trọng tâm của 123 123 3 3 G G xxx x ABC yyy y ++ = ∆⇔ ++ = ,,ABC thẳng hàng 0:k AB kAC⇔∃ ≠ = B. ĐƯỜNG THẲNG 1. Đường thẳng * Đi qua điểm 00 (; )Mx y và có : + hệ số góc k có phương trình: 00 ()y kx x y= −+ . + vectơ pháp tuyến (vtpt) (;)n ab= có phương trình: 00 ( ) ( )0ax x by y−+ −= . + vectơ chỉ phương (vtcp) (,)n ab= có phương trình dạng tham số là: 0 0 x x at y y bt = + = + hoặc phương trình dạng chính tắc là: 00 xx yy ab −− = (với 0ab ≠ ). khangvietbook.com.vn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 8 Cắt hai trục ,Ox Oy lần lượt tại hai điểm ( ;0), (0; )Aa B b có phương trình dạng đoạn chắn: 1 xy ab += (với 0ab ≠ ). 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng 11 1 1 :0ax by c∆ + += và 22 2 2 :0ax by c∆ + += . Tọa độ giao điểm của 1 ∆ và 2 ∆ là nghiệm của hệ phương trình : 111 222 0 0 ax by c ax by c + += + += (I) * Hệ (I) có một nghiệm 00 (; )xy , khi đó 1 ∆ cắt 2 ∆ tại điểm 00 (; )Mx y . * Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó 12 ∆ ≡∆ . * Hệ (I) vô nghiệm, khi đó 1 ∆ // 2 ∆ . 3. Một vài chú ý * Trục hoành ( Ox ) có phương trình: 0y = ; Trục tung ()Oy có phương trình: 0x = . * Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt: + 12 (; ), (; )Aay Bay có phương trình: xa= (song song với trục Oy nếu 0a ≠ ) + 12 ( ;), ( ;)Ax b Bx b có phương trình: yb= (song song với trục Ox nếu 0b ≠ ) * Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát 0ax by c+ += (;) ( ; ) hoaëc ( ; ) = ⇒ =−=− n ab u b a u ba khangvietbook.com.vn Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 9 C. ĐƯỜNG TRÒN * Đường tròn có tọa độ tâm 00 (; )Ix y và bán kính R có phương trình: 2 22 00 ( )( )xx yy R− +− = * Nếu đường tròn ()C có phương trình dạng: 22 0x y ax by c+ + + += với 22 4ab c+> thì ()C có: tâm ; 22 ab I −− và bán kính 22 4 ab Rc + = − . 2. Phương trình chính tắc của elip 22 22 ( ): 1 xy E ab += trong đó 2 22 ,, 0abc abc > = + * ()E nhận ,Ox Oy làm các trục đối xứng và có tâm đối xứng là gốc tọa độ O . * Nếu 00 (; ) ()Mx y E∈ 22 00 22 12 1 2 xy ab MF MF a += ⇒ += * Elip ()E có: + Tiêu điểm trái 1 ( ;0)Fc− , tiêu điểm phải 2 ( ;0)Fc . + Các đỉnh: 1 21 2 ( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )A a Aa B bB b−− . + Trục lớn: 12 2AA a= , nằm trên trục Ox Trục nhỏ: 12 2BB b= , nằm trên trục Oy . + Tâm sai: 1 c e a = < . 22 4 ab Rc + = = khangvietbook.com.vn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 10 + Đường chuẩn: a x e = − ứng với tiêu điểm 1 ( ;0)Fc− và a x e = ứng với tiêu điểm 2 ( ;0)Fc . + Hình chữ nhật cơ sở tạo bởi các đường xa yb = ± = ± có chiều dài 2a , chiều rộng 2b . + Bán kính qua tiêu của điểm 00 (; ) ()Mx y E∈ là: 10 0 20 0 c MF a ex a x a c MF a ex a x a =+=+ =−=− . IV. CÁC CÔNG THỨC ĐỊNH LƯỢNG 1. KHOẢNG CÁCH * Khoảng cách giữa hai điểm 11 (; )Ax y và 22 (; )Bx y là 22 21 21 ( )( )AB x x y y= − +− . * Khoảng cách từ điểm 00 (; )Mx y đến đường thẳng :0ax by c∆ + += là: 00 22 ( ,) ax by c dM ab ++ ∆= + * Nếu '∆ // ∆ và 'M ∈∆ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng '∆ và ∆ là: (',) ( ,)d dM∆∆= ∆ . 2. GÓC * Góc giữa hai vectơ 11 (; )a xy= và 22 (; )b xy= xác định bởi: ( ) 12 12 2222 1122 . cos , . . xx yy ab ab ab xyxy + = = ++ * ϕ là góc tạo bởi hai đường thẳng 1 :∆ 111 0ax by c+ += và 22 2 2 :0ax by c∆ + += xác định bởi ( ) ( ) 12 12 12 12 2222 11 22 cos cos , cos , . aa bb nn uu abab ϕ + = = = ++ [...]... trình bày lời giải bài toán này theo 2 cách (bản chất là một) Cách 1 (C1): Gọi M (t ) ∈ ∆ MI = R f (t ) = 0 ⇔ t = ? ⇒ M → 21 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng ∆ (C ) Cách 2 (C2): Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : (ở đây (C) là đường tròn tâm I bán kính R) Giải thích chi tiết: Nghĩa là khi gặp bài toán có nội dung như Bài toán 1 thì ta có thể tìm điểm theo 2 cách trình... Với dữ kiện còn lại của bài toán và bằng phương pháp hình học thuần túy ta dễ dàng chỉ ra được BH d ( B, CD ) d ( B, ∆ ) , khi đó ta sẽ tính được độ dài BD và = = đưa ra lời giải đầy đủ cho bài toán Sau đây là lời giải chi tiết cho ví dụ trên: Giải: 29 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng + Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên CD , khi đó ABHD là hình vuông Suy ra... giác 0 0 trong của góc A Chú ý: Ngoài cách tìm ở bài toán trên, các bạn có thể viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác bằng cách tìm chân đường phân giác trong, phân giác ngoài Đó cũng chính là nội dung của bài toán tiếp theo các bạn sẽ tìm hiểu 17 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 6 BÀI TOÁN 6 Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của... Trong đó: R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ABC a+b+c : nửa chu vi của ∆ABC p= 2 11 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN 1 BÀI TOÁN 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng cắt nhau sau: v n a) x + y − 4 = và 2 x − y − 5 = 0 0 x = 1 + 2t x= 2 − 3t và... các bài toán tìm điểm, ta chỉ gặp hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau nên ta không đề cập các quan hệ song song và trùng nhau ở đây (vì thực chất việc giải hệ cũng cho ta biết được các mối quan hệ này – khi hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm tương ứng hai đường thẳng cắt nhau, song song và trùng nhau) 13 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 2 BÀI TOÁN 2 Tìm điểm. .. a 10 3 2 Ví dụ 8 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng ∆1 : 3 x + y + 5 =, 0 ∆ 2 : x − 2 y − 3 = và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 10 y + 9 = Gọi M 0 0 31 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng là một điểm thuộc đường tròn (C ) và N là điểm thuộc đường thẳng ∆1 sao cho M và N đối xứng nhau qua ∆ 2 Tìm tọa độ điểm N Phân tích hướng giải : Điểm N thuộc đường thẳng ∆1... được đáp số theo góc nhìn của Bài toán 1 35 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng * Với dữ kiện EB = 2 EA , FA = 3FD và tam giác CEF vuông tại F ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật Song ta vẫn đang thiếu một yếu tố về định lượng Nếu trong đề bài không cho thì ta sẽ nghĩ ngay tới việc đi tính d ( F , CE ) (yếu tố ẩn trong bài toán) Thông số này sẽ giúp ta... đoạn BI ta sẽ chuyển được về Bài toán 1 Lúc này ta sẽ cắt nghĩa dữ kiện của bài toán để làm điều này (các bạn xem việc cắt nghĩa ở lời giải) Khi đã tìm được điểm B ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B đã biết tọa độ và cách điểm I cho trước một khoảng không đổi R nghĩa là ta chuyển bài toán về Bài toán 6 (Các bạn sẽ được tìm hiểu kĩ bài Bài toán 6 ở phần sau) * 34 Cty... 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 11 3 x = 2 x = 2 hoặc ⇔ 5 y = 3 y = − 2 2 3 5 11 3 11 3 3 5 + Vậy B ; − , C ; hoặc B ; , C ; − 2 2 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương trình x + y − 3 = , điểm M (−1; 2) thuộc 0 v n đường thẳng AB , điểm. .. 5 ⇒ MI = MB 2 + IB 2 = 10 5 + Gọi M (t ; −t − 2) ∈ ∆ + Khi đó : MI= 5 ⇔ MI 2= 25 ⇔ (t − 2) 2 + (−t − 3) 2= 25 ⇔ t 2 + t − 6= 0 25 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng t = 2 ⇔ ⇒ t = −3 M (2; −4) M (−3;1) 1 2 Ví dụ 3 (B – 2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phương trình đường thẳng AB là x − 2 y + 2 = và AB = 2AD Tìm tọa độ các điểm A, B, 0 om v n C, . Những bài toán cơ bản 12 Bài toán 1 12 Bài toán 2 14 Bài toán 3 15 Bài toán 4 16 Bài toán 5 17 Bài toán 6 18 Bài toán 7 19 Phần 3: 10 bài toán hình học OXY 21 Bài toán 1 21 Bài. Bài toán 2 108 Bài toán 3 117 Bài toán 4 139 Bài toán 5 152 Bài toán 6 184 Bài toán 7 253 Bài toán 8 269 Bài toán 9 297 Bài toán 10 317 Phần 4: Sáng tạo và phát triển từ các bài. khangvietbook.com.vn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY – Nguyễn Thanh Tùng 14 2. BÀI TOÁN 2 Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng Ví dụ: Tìm điểm 'M đối xứng với điểm (1;