Vẽ hình phụ xuất hiện tam giác đồng dạng ...

Lý do chọn đề tài: a Khi giải một bài toán chứng minh hình học trừ một số bài dễ, còn lại phần lớn các bài đều phải vẽ thêm hình phụ mới tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải bà

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Độc lập – Tự do – Hạng phúc

=======***&***=======

Bản sáng Kiến kinh nghiệm

Vẽ hình phụ làm xuất hiện tam giác đồng dạng để chứng minh đẳng thức hình học

dạng a=b+c

Giáo viên: NGuyễn Hữu Tài

Trờng THCS Lý Tự Trọng Bình Xuyên –Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc

Năm học 2007 –Vĩnh Phúc 2008

Phần 1 Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

a) Khi giải một bài toán chứng minh hình học trừ một số bài dễ, còn lại phần lớn các bài đều phải vẽ thêm hình phụ mới tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải bài toán Hình phụ có một vai trò quan trọng trong chứng minh hình học Có nắm kiến thức một cách chắc chắn, biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác các dữ kiện của bài ra mà tìm cách vẽ hình phụ thích hợp để giải bài toán Nh vậy vẽ

hình phụ trong giải toán hình học cũng là một kỹ năng cần đợc rèn luyện; nhng SGK phổ thông không có bài cụ thể nào để hớng dẫn HS vẽ hình phụ để giải toán

Do đó đây là việc làm thờng xuyên của GV toán khi dạy HS giải toán

b) Trên thực tế, vẽ hình phụ nh thế nào và vẽ nhằm mục đích gì, khi nào thì vẽ? đó là câu hỏi mà đại đa số HS muốn biết đối với mỗi bài toán, loại toán cụ thể

Kể cả khi đọc sách tham khảo có các bài giải mẫu hoặc lời hớng dẫn chứng minh thấy tác giả vẽ thêm hình phụ, nhng không biết tại sao họ lại nghĩ ra mà vẽ đợc nh vậy?

Mặt khác, trên thực tế cũng không có một phơng pháp chung nào cho việc vẽ hình phụ trong giải toán chứng minh hình học Ngay với một bài toán cụ thể cũng

có thể có những cách vẽ hình phụ khác nhau tuỳ thuộc vào sự phát hiện của ngời giải toán hình học

Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đa ra một cách phân tích có chủ

ý để tìm cách vẽ thêm đợc hình phụ thích hợp nhằm xuất hiện các cặp tam giác

đồng dạng để chứng minh đẳng thức hình học dạng A = B + C hoặc A = B –Vĩnh Phúc C ở

đây A, B, C là các biểu thức tích chứa độ dài các đoạn thẳng

Đề tài có tên: “ Vẽ hình phụ làm xuất hiện tam giác đồng

dạng để chứng minh đẳng thức hình học dạng A = B + C ”.

2 Phạm vi, đối tợng, mục đích của đề tài:

a) Phạm vi của đề tài:

Là phơng pháp chứng minh đẳng thức hình học THCS nhng ở phạm vi hẹp,

cụ thể là dùng tam giác đồng dạng chứng minh một số hệ thức nh :

xy = ab + cd , x2 = ab + cd , x2 = ab - cd, x2 = a2 + cd , x2 = a2 + b2 và các dạng tơng ứng mà một vế là một tổng

b) Đối tợng của đề tài :

Là học sinh khá, giỏi và cả HS trung bình lớp 8; 9, giáo viên mới ra nghề dạy

ở trờng THCS

c) Mục đích của đề tài :

Giúp giáo viên hớng dẫn học sinh tạo ra hìng phụ để chứng minh hệ thức hình học dạng A = B + C và đặt biệt rèn luyện học sinh kỹ năng phân tích tìm lời giải tự nhiên cho các dạng toán thuộc dạng nói trên

* * * * *

Vì thời gian có hạn , năng lực cuả bản thân còn có những hạn chế nhất định nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiêú sót

Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng góp xây dựng

Xin trân thành cảm ơn !

Phần 2: NộI DUNG Của đề tài

A Nội dung:

I Cơ sở lí luận, khoa học của đề tài:

Để nghiên cứu và viết đợc đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận sau :

1 Một số phơng pháp chứng minh đẳng thức A = B + C (A = B –Vĩnh Phúc C), ở đây A, B,

C cùng là đoạn thẳng

a) Phơng pháp 1: Đặt B lên A ( hoặc B lên A ) để xuất hiện A’ = A –Vĩnh Phúc B Sau

đó chứng minh A’ = C

b) Phơng pháp 2: Đặt A’ = B + C , Chứng minh A’ = A

c) Phơng pháp 3:

- Do tính toán mà A = A’, B + C = A’

- Sử dụng tính chất bắc cầu

d) Phơng pháp 4: Sử dụng định lí Talet , tam giác đồng dạng , Pytago , vv Tất nhiên không phải là dùng tất cả các phơng pháp trên để viết vào đề tài này mà đó là cơ sở chung để nghiên cứu

2 Một số cách vẽ hình phụ trong giải toán hình học:

a) Vẽ hình phụ để tạo ra mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau

b) Vẽ thêm hình phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau

c) Vẽ hình phụ để tạo nên một hình mới biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng minh hơn

d) Thêm những đại lợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lợng bằng nhau

mà bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lợng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh đợc dễ dàng

e) Thêm hình phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó ( ví dụ : Talet , pitago , vv)

Đây là cơ sở có tính chất khoa học mà ngời giáo viên toán và học sinh phải nắm đợc

3 Những điểm cần lu ý khi vẽ hình phụ:

a) Vẽ hình phụ phải có mục đích không vẽ tuỳ tiện, phải nắm thật vững đề bài, định hớng chứng minh từ đó mà tìm xem vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục

đích chứng minh của mình

b) Vẽ hình phụ phải chính xác và phải tuân thủ theo đúng các phép dựng hình cơ bản

c) Với mỗi bài toán những cách vẽ hình phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau Có khi cùng một đờng phụ nhng cách vẽ cũng khác nhau Trong quá trình nghiên cứu đề tài này các chú ý trên luân luân tồn tại

4 Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau

a) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc

b) Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho tr-ớc

c) Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc d) Nối hai điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc

e) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc

g) Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc

h) Vẽ tiếp tuyến với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc

i) Vẽ tiếp tuyến chung , dây chung hoặc đờng nối tâm khi có hai đờng tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau

Trên đây là những cơ sở lí luận khoa học mà tôi sử dụng để nghiên cứu và viết đề tài này và chắc chắn rằng nếu không có những cơ sở lí luận khoa học tối thiểu trên thì không thể vẽ đợc hình phụ phục vụ cho giải toán hình học

II Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài này là:

1 Về con ngời: Là những giáo viên giỏi ,giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi, trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu

-Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : “Tại sao vẽ thêm hình phụ nh thế trong chứng minh một bài toán hình học”

-Là học sinh trung bình và khá giỏi môn toán lớp 8 ,9 trờng THCS Hơng Canh, trờng THCS Lí Tự Trọng để khảo sát ban đầu và dạy thử nghiệm đề tài

2 Về kiến thức : Vì thời gian có hạn năng lực có hạn chế nên đối tợng về kiến thức tôi chọn ở đây chỉ là các định lí và các bài toán hình học nói về đẳng thức dạng xy = ab + cd, xy = ab –Vĩnh Phúc cd và những dạng tơng tự mà vế phải là một

tổng .Nghiên cứu chủ yếu cách vẽ hình phụ để nhằm xuất hiện các cặp tam giác

đồng dạng để rút ra các đẳng thức ( hoặc tỉ lệ thức ) phục vụ cho kết luận của bài toán

III Nội dung phơng pháp nghiên cứu:

*Về phơng pháp nghiên cứu:

-Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh đẳng thức hình học của giáo viên trờng THCS

-Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng học sinh đại trà lớp 8, bồi dỡng HSG phần tam giác đồng dạng và dạy học sinh lớp 9 trong những năm trớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện đợc hình phụ để chứng minh với những bài toán cần phải vẻ thêm hình phụ, chỉ có 1, 2 em là giải quyết đợc; nhng hỏi vì sao lại vẽ

nh thế thì học sinh này trả lời không đợc rõ ràng,cha ngắn gọn

-Bằng đọc tài liệu để nắm đợc những cơ sở lí luận khoa học về phơng pháp

vẽ hình phụ nh trên Đặc biệt tìm cách giải đáp cho câu hỏi “vì sao lại vẻ hình phụ

nh vậy” trong các bài giải có vẽ thêm hình phụ trong các tài liệu

-Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là thầy cô dạy giỏi toán trong huyện

- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp , các buổi ôn tập đại trà, bồi dỡng HSG, luyện thi vào THPT

- Bằng phơng pháp tơng tự hoá và tổng quát hoá để nêu lên các bớc vẽ hình phụ và chứng minh

- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản đến các định lí và bài toán khó hơn , phức tạp hơn

Từ các phơng pháp trên đây đối chiếu với lí luận và thực tế rút ra kinh

nghiệm nhỏ trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán bởi nội dung cụ thể nh sau:

* Nội dung nghiên cứu :

1 Ngay từ lớp 6 học sinh đã đợc biết : Nếu điểm M nằm giữa A và B thì

AB = AM + MB Vậy để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng khác : AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi

điểm M sao cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF

2 Lớp 7 đã đợc tiếp cận định lý Pytago (công nhận và vận dụng), đến lớp 8 khi học xong tam giác đồng dạng, một vấn đề đặt ra là có thể chứng minh định lí Py-ta-go đợc không? và làm nh thế nào?

Sử dụng ý tởng trên với đẳng thức BC2 = AB2 + AC2 (ở đây AB, BC, CA là ba cạnh  ABC vuông ở A)

Vế phải của hệ thức cần chứng minh là một tổng,

vậy vế trái có thể viết thành tổng bởi điểm M

trên đoạn BC nh thế nào?

Ta có : BC2 = AB2 +AC2

 BC BC = AB2+AC2

 (BM+MC).BC = AB2+AC2 ( M  [BC] ) BC] )

 MB.BC+MC.BC=AB2+AC2





















tu) (tuong AC MC.BC

BC

AB AB

MB.BC

2

AB

MB

Suy ra A MˆB  90o Vậy điểm M đợc xác định Tóm lại, chứng minh định lí Pytago ta đã lấy

điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM.BC=AB2 

BC

AB AB

BM

 , suy ra BMA và BAC

đồng dạng nên B MˆA 90o

Từ đó M là chân đờng cao hạ từ A xuống BC

- Hoàn chỉnh chứng minh định lí Pytago nh sau :

Hạ AM  BC, vì các góc B ,C đều nhọn nên M thuộc đoạn BC Ta có:

BMA đồng dạng BAC (g g) 

BC

AB AB

BM

  AB2 = BM BC (1) Tơng tự CMA đồng dạng CAB (g.g)  AC2 = CM.BC (2) Cộng theo từng vế các hệ thức (1) và (2) đợc :

AB2+AC2=BC.(BM+CM)=BC2 

- Vậy ý tởng đầu tiên đợc sử dụng để vẽ hình phụ chứng minh đẳng thức dạng

x2 = a2+b2

3 Tiếp tục ta xét tới việc chứng minh định lí Ptôlêmê:

Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Chứng minh rằng:

b

c

d m

o

c d

m

AC.BD=AB.CD+AD.BC -Tách vế trái thành tổng bằng việc lấy điểm M thuộc cạnh AC (Hoặc M thuộc cạnh BD)

Giả sử M thuộc cạnh AC

sao cho AM.BD=AB.CD



BD

AB

CD

AM

 , mà B AˆC B DˆC

do đó hai tam giác ABM và DBC

đồng dạng, nên suy ra A BˆM D BˆC.

Vậy điểm M đợc xác định là :

M[BC] ) AC ] và A BˆM D BˆC

- Vậy ta trình bày chứng minh định lí Ptôlêmê nh sau :

Vì C BˆDC BˆA nên trong đoạn AC tồn tại điểm M sao cho A BˆM D BˆC

+ Vậy trên đoạn AC lấy điểm M sao cho A BˆM C BˆD

Kết hợp với B AˆM B DˆC ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

suy ra ABM đồng dạng DBC (theo trờng hợp thứ ba: g.g )

Suy ra

CD

AM BD

AB

 AM.BD=AB.CD (1)

+ Mặt khác dễ chứng minh đợc B CˆM B DˆA và C BˆM D BˆA nên BMC đồng dạng BAD (theo trờng hợp thứ ba: g.g) Suy ra:

BD

BC AD

MC

  MC.BD=AD.BC (2)

Cộng vế theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta đợc:

AB.CD+AD.BC=AC.BD 

- Chú ý : Với đối tợng học sinh lớp 8 định lí trên có thể phát biểu dới dạng đặc biệt hoá nh sau:

Cho hình thang cân đáy nhỏ AD, đ

Chứng minh rằng:

AC 2 =AD.BC+AB.CD.”

Với bài toán trên , việc xác định

điểm M để vẽ hình phụ tơng tự

nh trên ( Hình vẽ bên) vì AC = BD

(T/c hình thang cân) nên có đpcm

4 Nh vậy, ý tởng đầu tiên cũng đợc sử dụng để chứng minh đẳng thức dạng xy = ab+cd và các trờng hợp riêng qua các bớc nh sau:

a) Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn thẳng bởi điểm chia trong M

để có x = x 1 +x 2 sao cho x 1 y = ab (1) để phân tích tìm ra đợc một cặp tam giác

đồng dạng.

b) Tìm cách chứng minh hệ thức x 2 y = cd (2)

c) Cộng từng vế của (1) và (2) để đợc chiều phải chứng minh

f

m

c e

*Chú ý:

1) ở bớc a) cũng có thể chia đoạn dài x bởi điểm chia ngoài M với dạng toán chứng minh đẳng thức x.y = ab –Vĩnh Phúc cd hoặc với một số bài toán cụ thể dẫn tới cách chứng minh khác.

2) ở hai bớc sau có bài có thể chứng minh đẳng thức khác để phù hợp với giả thiết của bài toán hoặc phù hợp với điểm chia ngoài đoạn thẳng độ dài x Vậy bớc cuối có thể thay thế vào hệ thức đã chứng minh đợc ở trên

3) cũng có thể xác định điểm M từ việc xác định điểm N thoả mãn điều kiện nào đó để sử dụng đợc giả thiết của đề bài.

Vài ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Cho hình bình hành ABCD ( AC<BD ) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của

B lên các đờng thằng DA và DC Chứng minh rằng:

BD 2 =AD.DE+DC.DF.

a) Phân tích tìm hình phụ:

Giả sử lấy điểm M thuộc

đoạn BD sao cho

DM.DB=DA.DE



DB

DA

DE

DM

 ,

kết hợp với góc D chung

để suy ra MDA và EDB đồng dạng,

vì Eˆ 900 nên Mˆ =900 hay AM  DB

Do đó điềm M cần tìm là hình chiếu của A lên DB

b) Bài giải ( hình trên)

Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt BD tại M, do AC < BD nên các góc ADB và ABD đều nhọn nên M nằm giữa D và B , do đó BD = DM+MB

- Dễ chứng minh đợc  DAM và DBE đồng dạng (g.g), suy ra

DB

DA DE

DM

  DM.DB = DA.DE (1)

-Lại có  DBF và  BAM đồng dạng (vì Fˆ =Mˆ =900 và BDˆ F=ABˆ M (so le

trong)) Suy ra

DB

AB DF

BM

  BM.AB = AB.DF (2)

- Cộng vế theo vế hệ thức (1) và (2) ta đợc:

DB2 = DA.DE+DC.DF 

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, đờng phân giác AD

Chứng minh rằng AD 2 = AB.AC –Vĩnh Phúc DB.DC

a) Phân tích tìm hình phụ:

Giả sử điểm M thuộc đờng thẳng AD

sao cho AD.AM=DB.DC, suy ra

MD

CD BD

AD



tỉ lệ thức này gợi cho ta đến góc đỉnh D

của hai tam giác ADB và CDM

bằng nhau ở vị trí đối đỉnh

Do đó M là giao điểm của tia Cx với tia AD

sao cho góc DCx bằng góc BAD

(tia Cx khác phía với A đối với BC)

b) Bài giải:

Kẻ tia Cx sao cho D Cˆ x B AˆD (tia Cx khác phía với A đối với BC), gọi giao

điể của tia Cx với tia AD là M

+ Xét tam giác ABD và tam giác AMD, ta có:

D C M D

A

Bˆ  ˆ (cách vẽ)

C D M A

D

B ˆ  ˆ (đối đỉnh)

Do đó ABD và CMD đồng dạng (g.g), suy ra Bˆ Mˆ ,

MD

CD BD

AD

từ đó AD.DM = DB.DC (1)

+ Xét tam giác ABD và tam giác AMC, ta có:

C A M D

A

Bˆ  ˆ (theo giả thiết)

M

Bˆ  ˆ (chứng minh trên)

Do đó ABD và AMC đồng dạng (g.g), suy ra

AC

AD AM

AB

 , từ đó

từ đó AD.AM = AC.AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD.AM –Vĩnh Phúc AD.DM = DB.DC –Vĩnh Phúc AC.AB

=> AD(AM –Vĩnh Phúc DM) = DB.DC –Vĩnh Phúc AC.AB

=> AD2 = AB.AC –Vĩnh Phúc DB.DC

a

M

c

x

b

c

d

h

k

i

n

m o

Ví dụ 3 (Ví dụ làm sáng tỏ thêm chú ý 3):

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn D là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi I , K và H lần lợt là hình chiếu của D trên các đờng thẳng BC

AB và AC

Chứng minh rằng :

DH

AC DK

AB DI

BC



a) Phân tích tìm hình phụ :

Giả sử điểm M thuộc cạnh BC

sao cho

DK

AB DI

BM

 , kết hợp với A BˆM I DˆK (cùng bù với góc IBM ),

suy ra DKI và BAM đồng dạng

 BAˆ M = DKˆ I nhng D Kˆ I D BˆI ( Do

tứ giác DIBK nội tiếp )  B AˆM D BˆI

 sđCD = sđBN (N là giao điểm khác A

của AM với đờng tròn )

 DN// BC Vậy ta xác định đợc điểm N và từ đó có điểm M

b) Bài giải:

- Qua D kẻ đờng thăng song song với BC, đờng thẳng này cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là N ( N có thể trùng với D) AN cắt BC tại N

Ta có 







) ˆ (

ˆ ˆ

) (

ˆ ˆ

C B D do so bang cung M

A B I K

D

KBI goc voi bu cung M

B A I D

K

Suy ra DKI và BAM đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g-g)



DK

AB

DI

BM

 (1)

Mặt khác ta thấy : Tứ giác DIHC nội tiếp

suy ra I DˆH M CˆA và I HˆD C AˆM (I HˆDI CˆD C BˆN C AˆN)

Do đó ACM và HDI đồng dạng (theo trờng hợp thứ ba: g.g )



DH

AC DI

CM

 (2)

- Cộng hai vế của (1) và (2) ta đợc :

DH

AC DK

AB DI

BC



* Với trờng hợp này cũng có thể đa ra ví dụ đơn giản hơn cho học sinh lớp 8, chẳng hạn ví dụ sau:

Ví dụ 4:

Cho hìng bình hành ABCD ,kẻ một đờng thẳng d tuỳ ý, d cắt AB, AC, AD theo thứ tự tại B ,C ,D ’ ’ ’

Chứng minh :

' '

AD AB

AB AC

AC



d

d

n

m

b

c

d ’

c ’

b ’

c

a) Phân tích tìm hình phụ:

- Giả sử điểm M thuộc cạnh AC sao cho

' ' AB

AB AC

AM

Suy ra ACM và AB’C’ đồng dạng

=> A BˆM A Bˆ'C' mà hai góc này

có vị trí đồng vị nên suy ra BM // B’C’

Vậy điểm M đợc xác định

- Tơng tự ta xác định đợc điểm N là

giao điểm của đờng thẳng qua D song

song với C’D’ và AC

b) Bài giải :

- Qua B và D kẻ các đờng thẳng song song với đờng thẳng d cắt AC lần lợt tại M

và N Ta chứng minh đợc : ABM và AB’C’ đồng dạng suy ra:

' ' AB

AB AC

AM

 (1) Tơng tự ta chứng minh đợc :

' ' AD

AD AC

AN

 (2)

- Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta đợc:

' '

AD AB

AB AC

AC



Ví dụ 5 (Ví dụ minh hoạ thêm cho chú ý 2):

Cho tam giác ABC ,biết rằng 0

180 ˆ 2 ˆ

3A B  chứng minh rằng :

AB 2 = BC 2 + AB.AC.

a) Phân tích tìm hình phụ:

Giả sử điểm M thuộc cạnh AB

sao cho BM.AB = BC2

Suy ra

AB

BC BC

BM

 để suy ra

BMC và BCA đồng dạng

=> B CˆM B AˆC ,kết hợp với 3Aˆ 2Bˆ  180 0(g.t)

180 ˆ

ˆ

ˆBA C B

A (định lí tổng 3 góc của 1 tam giác)

ta suy ra đợc A CˆM A MˆC hay tam giác ACM cân với đáy CM

Vậy điểm M đợc xác định là: M[BC] ) AB] và AC = AM