Hình thành kỹ năng giải bài toán hình bằng phương pháp tam giác đồng dạng

Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ I Tên đề tài: “Hình thành kỹ giải tốn hình phương pháp tam giác đồng dạng.” II Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học quan trọng Nó có mặt nhiều lĩnh vực đời sống cầu nối ngành khoa học Học toán giúp rèn luyện kĩ bản, phát triển lực tư duy; phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề, rèn luyện trí thơng minh sáng tạo, hình thành xây dựng giới quan khoa học cho học sinh, đặc biệt rèn luyện tính kiên trì Điều thể rõ trình giải tập tốn Là giáo viên giảng dạy mơn tốn nhiều năm nhận thấy học sinh thường ngại học tốn hình; chương trình hình học lớp 8, kiến thức trường hợp đồng dạng tam giác quan trọng Từ tam giác đồng dạng ta có mối liên hệ đoạn thẳng, góc, tam giác,…Từ tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi hay diện tích số hình Ngồi ra, từ tam giác đồng dạng ta chứng minh số quan hệ hình học khác song song, vng góc, hệ thức hình học, điểm thẳng hàng, đường đồng quy hay tốn cực trị hình học Hơn nữa, lớp nguồn để bồi dưỡng tham dự kì thi học sinh giỏi lớp cấp huyện, cấp thành phố Trong điều kiện dịch bệnh Covid-19 diễn ra, chương trình học giảm tải học sinh học qua Ti vi nhiều em tự học gặp khó khăn gặp tốn mà đề khơng đề cập đến tam giác đồng dạng lại khơng nghĩ đến điều Đây điều làm suy nghĩ, trăn trở, băn khoăn Qua trình giảng dạy theo sát trình dạy-học qua Ti vi, tơi thấy rằng: để giải vấn đề lại nâng cao lực giải tốn góp phần bồi dưỡng khả tư cho học sinh, cần trang bị cho học sinh số phương pháp thường dùng Từ em làm toán em tự tin tìm cách giải phù hợp Vì sâu vào nghiên cứu xây dựng chuyên đề: " Hình thành kỹ giải tốn hình phương pháp tam giác đồng dạng " III Phạm vi thời gian thực hiện: Đề tài thực chuyên đề (6 tiết) ôn tập bồi dưỡng hình thức học trực tuyến cho học sinh lớp 8A năm học 2019-2020 Phần II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Khảo sát thực tế: Khi nghiên cứu đề tài: "Hình thành kỹ giải tốn hình phương pháp tam giác đồng dạng" Để tìm hiểu kiến thức học sinh việc vận dụng tam giác đồng dạng giải tốn tơi tiến hành khảo sát thực tế cách gửi đề cho học sinh, yêu cầu em làm hết chụp qua Zalo nộp cho giáo viên Đề bài: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Vẽ DE //AB, DF // AC (E∈ AC, F ∈ AB) Biết AB = 3cm, AC = 6cm a) Chứng minh AEDF hình thoi; b) Tính chu vi hình thoi AEDF Đáp án biểu điểm: Câu Nội dung Điểm a Vẽ hình , ghi giả thiết, kết luận Tứ giác AEDF có: DE //AF, DF // AE (GT) ⇒ AEDF hình bình hành · · Hình bình hành AEDF có FAD (GT) ⇒ AEDF hình thoi = EAD b Đặt AE = ED = x (cm) EC = – x (cm) Vì DE //AB (GT) ⇒ ∆ ABC ∽ ∆ EDC (định lí) ⇒ = ⇒ x = (cm) x 6− x Chu vi hình thoi AEDF 2.4 = (cm) Sau nhận qua Zalo chấm thu kết quả: Lớp Số Giỏi Khá Trung bình Yếu 8A 37 15 17 1,5 0,5 Kém Đây tốn cần vận dụng tính chất cặp tam giác đồng dạng vào việc tính độ dài, tính chu vi hình qua kiểm tra tơi thấy có nhiều em khơng biết vận dụng để tính độ dài cạnh hình thoi từ tính chu vi hình thoi II Số liệu điều tra trước thực hiện: Qua khảo sát thực tế thấy: Học sinh biết vận dụng kiến thức giải tốn, nhiên có nhiều em khơng biết vận dụng linh hoạt kiến thức, từ thấy khó, thấy nản trình học tập III Những biện pháp thực hiện: Cơ sở lí luận: Tam giác đồng dạng trường hợp đồng dạng tam giác sử dụng nhiều giải toán, đặc biệt tốn có liên quan đến góc, đoạn thẳng, tỉ số hai đoạn thẳng Trong thực tế, toán đề cập đến việc chứng minh tam giác đồng dạng đề mà đòi hỏi người học phải tự tìm tam giác đồng dạng để giải vấn đề toán đưa Qua tư giải tốn, phân tích, suy luận, tổng hợp,… thường xuyên rèn luyện phát triển 2.Thực trạng vấn đề: Các trường hợp đồng dạng tam giác phần kiến thức khó, có tương đồng với trường hợp tam giác nên học sinh có phần hứng thú tìm hiểu Dù vậy, đề tốn u cầu tính tốn, chứng minh,… mà khơng đề cập đến tam giác đồng dạng nhiều em học sinh lại không nghĩ đến câu hỏi: Liệu có đưa tốn chứng minh tam giác đồng dạng hay khơng? Trong có nhiều bài, sử dụng cách lại cho ta lời giải nhanh, dễ hiểu, chí cịn cách để giải tập Việc học tập qua truyền hình ơn tập nhà địi hỏi tính tự giác cao người học Một số em thiếu tập trung nên việc làm tập giáo viên giao truyền hình trang Web nhà trường cịn khó khăn chưa đầy đủ 3.Các biện pháp giải vấn đề: Xuất phát từ thực tế, để giúp học sinh học thành thạo trình vận dụng kiến thức linh hoạt giải tốn, tơi tổng hợp giới thiệu phương pháp tam giác đồng dạng áp dụng dạng tập: Tính (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích,…) Chứng minh hệ thức, đẳng thức Chứng minh quan hệ song song Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đường đồng quy Giải toán cực trị hình học 3.1 Tính (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích,…) Ví dụ 1: Cho ∆ ABC có AB = 4,8cm; BC = 3,6cm; AC = 6,4cm Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE – 2,4cm, cạnh AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm a) Tính DE; b) Gọi giao điểm CB ED F Tính FD GT ∆ ABC AB = 4,8cm; BC = 3,6cm; AC = 6,4cm E ∈ AC, AE = 2,4cm; D ∈ AB, AD = 3,2cm KL a) DE = ? b) CB cắt ED F, FD = ? Hướng dẫn: DE cạnh ∆ ADE có AD = 3,2cm, AE = 2,4cm Nếu chứng minh ∆ ADE đặc biệt, ta tính DE Ta cịn thấy ∆ ABC có ba cạnh biết, tìm mối liên hệ đồng dạng hai tam giác ta tính DE Suy nghĩ tương tự với câu b, ta tính FD Giải: a)Ta có: ⇒ AB AE AB AC = (= ) ⇒ = Do ∆ ABC ∽ ∆ AED (c.g.c) AC AD AE AD BC AC hay 3, 6, = ⇒ DE = 1,8 (cm) = DE 3, DE AD · · b) ∆ ABC ∽ ∆ AED ⇒ Cµ = ·ADE Lại có ·ADE = BDF ( đối đỉnh) nên Cµ = BDF ∆ FDB ∽ ∆ FCE (g.g) nên hay FD FB DB 1,6 FD = = = = ⇒ = FC FE CE FC FD 2 = ⇒ FD = ( FB + BC ) = ( FB + 3, 6) (1) FB + BC 5 5 Mặt khác FB = FE = 2 (FD + DE) = (FD + 1,8) (2) 5 Từ (1)(2) ⇒ FD ≈ 2,1 (cm) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có µA = 900 , đường cao AH Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng BH, AH AP giao với CQ K Tính góc AKC? GT ∆ ABC µA = 900 , AH ⊥ BC(H ∈ BC) P∈ BH, PB = PH; Q ∈ AH, AQ = QH AP ∩ CQ = {K} ·AKC =? KL Hướng dẫn:Dự đốn qua hình vẽ góc AKC vng Ta tính số đo trực tiếp · · thơng qua tính tổng hai góc KAC KCA Nhận thấy KAC + KAB = 900 nên ta · · tìm cách chứng minh KAB , từ ta lại nghĩ đến hai tam giác đồng dạng = KCA Giải: ∆ ABH AB BH ∽ ∆ CAH (g.g) ⇒ CA = AH = BP BP = AQ AQ · · · Mà ·ABH = CAH hay ·ABP = CAQ nên ∆ ABP ∽ ∆ CAQ(c.g.c) ⇒ BAP = ·ACQ · · · · Lại có BAP + PAC = 900 ⇒ ·ACQ + PAC = 900 ⇒ CAK = 900 Vậy ·AKC =900 Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm 2, diện tích tam giác ABC 11cm2 Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD DC M N Tính diện tích tam giác MND GT Tứ giác ABCD, S ABCD = 36cm , S ABC = 11cm B ∈ MN, MN // AC, M ∈ AD, N∈ DC KL S MDN =? Hướng dẫn: Với giả thiết ta biết diện tích tam giác, độ dài đoạn thẳng nên ta tìm diện tích dựa vào MN // AC Khi ta biết thêm S MDC để tính S MDN ta tính S MCN dùng tính chất hai tam giác đồng dạng DAC DMN Giải: S ADC = S ABCD − S ABC = 36 − 11 = 25(cm ) S  MD  AC //MN(GT) ⇒ ∆ MDN ∽ ∆ ADC (định lí) ⇒ MDN =  ÷ (1) S ADC  AD  ∆ MAC ∆ ABC có chung đáy AC chiều cao (Do AC //MN) nên 2 diện tích Vậy S MAC = 11cm , S MDC = S ADC + S MAC = 36(cm ) ∆ ADC ∆ MDC có chung chiều cao khoảng cách từ C xuống MD nên: MD S MDC 36 = = (2) AD S ADC 25 Từ (1)(2) ⇒ S MDN  36  =  ÷ ×25 = 51,84(cm )  25  Ví dụ 4: Cho tam giác ABC điểm O bên tam giác Nối OA, OB, OC Trên OA lấy điểm P cho OP = Từ P kẻ đường thẳng song song với OA AB cắt OB Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt OC R Biết chu vi tam giác ABC 45cm Tính chu vi tam giác PQR GT O nằm ∆ ABC P∈ OA, OP = ; PQ // AB, Q ∈ OB; OA QR//BC,R ∈ OC; AB+BC+CA = 45cm KL Chu vi ∆ PQR = ? Hướng dẫn: Để tính chu vi ∆ PQR biết chu vi ∆ ABC ta tìm mối liên hệ cạnh hai tam giác liên hệ hai tam giác từ giả thiết PQ // AB QR//BC Giải: Ta chứng minh PQ QR · · = (= ) PQR = ABC nên ∆ PQR AB BC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = ∽ ∆ ABC Gọi p chu vi ∆ ABC, p’ chu vi ∆ PQR, ∆ PQR ∽ ∆ ABC nên: p' 2 = ⇒ p ' = ×p = ×45 = 30 (cm) p 3 Bài tập: Bài 1: Tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm M trung điểm BC, D trung điểm BM Tính độ dài AD Bài 2: Cho hình thoi ABCD có góc A 60 , P điểm thuộc cạnh AB; N giao điểm hai đường thẳng AD CP; M giao điểm BN DP a) Tính góc BMD b) Chứng minh: PA PB = PD PM Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Gọi D E theo thứ tự điểm đối xứng điểm H qua cạnh AB, AC  DE  a) Chứng minh: BD.CE =  ÷   b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm Tính S DHE 3.2 Chứng minh hệ thức, đẳng thức: Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, AB = a, BC = b Qua D kẻ đường thẳng cắt AC, BC, AB I, N, M Chứng minh: a) AM.CN = ab b) DI2 = IN.IM GT Hình bình hành ABCD, AB = a, BC = b Đường thẳng qua D cắt AB M, cắt BC N, cắt AC I KL a) AM.CN = ab b) DI2 = IN.IM Hướng dẫn: Khi gặp tốn chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng, ta nghĩ đến định lý Talet, hệ định lý Talet, tam giác đồng dạng (khi đề có yếu tố song song) tính chất đường phân giác tam giác (khi có yếu tố góc nhau) ABCD hình bình hành nên cạnh đối song song tam giác đồng dạng điều ta nghĩ đến · · Giải: a) Ta có: DAM (hai góc đối hình bình hành ABCD) = NCD ·AMD = CDN · (so le AM // CD) ⇒ ∆ ADM ∽ ∆ CND (g.g) ⇒ AM AD = ⇒ AM CN = AD.DC = ab DC CN b) CN // AD (do CB//AD) nên ∆ AID ∽ ∆ CIN (g.g) ⇒ DC // AB nên ∆ CID ∽ ∆ AIM (g.g) ⇒ DI AD = (1) IN CN DI CD = (2) IM AM DI DI AD.CD DI ab = ⇒ = = ⇒ DI = IN IM Từ (1)(2) ⇒ IN IM CN MA IM IN ab Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD CE cắt H Chứng minh BC2 = BH.BD + CH.CE GT ∆ ABC nhọn, BD ⊥ AC, CE ⊥ AB, BD ∩ CE = {H} KL BC2 = BH.BD + CH.CE Hướng dẫn: Để xuất tích BH.BD CH.CE đề cho đường vng góc ta nghĩ đến tam giác đồng dạng Tuy nhiên cặp tam giác đồng dạng tìm lại chưa tạo mối liên hệ với BC Vì xuất nhu cầu kẻ đường phụ vng góc với BC để có cặp tam giác đồng dạng có liên hệ với BC nhằm giải toán Giải: Kẻ HK ⊥ BC: ∆ BKH ∆ CKH ∽ ∆ BDC (g.g) ⇒ BH BC ∽ ∆ CEB (g.g) ⇒ = BK ⇒ BH BD = BK BC (1) BD CK CH = ⇒ CK CB = CE.CH (2) CE CB Từ (1)(2) ⇒ BH.BD + CH.CE = BC(BK+CK) = BC2 Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A Kẻ đường cao AH Chứng minh hệ thức: a) AB2 = BH.BC; b) AH2 = BH.CH; c) 1 = + 2 AH AB AC Bài 2: Cho hình vng ABCD, cạnh có độ dài a Một đường thẳng d qua đỉnh C, cắt tia AB E cắt tia AC F a) Chứng minh tích BE.DF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d b) Chứng minh hệ thức: BE AE = DF AF c) Xác định vị trí đường thẳng d để có hệ thức: DF = 4.BE 8a d) Giả sử S AEF = Tính độ dài đoạn BE DF theo a 3.3 Chứng minh quan hệ song song Ví dụ : Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B góc C cắt O Trên cạnh BC lấy điểm D khơng trùng với trung điểm Vẽ DE vng góc với AB cắt OB M; vẽ DF vng góc với AC cắt OC N Chứng minh rằng: MN // EF GT ∆ ABC Phân giác góc B C cắt O D ∈ BC (DB ≠ DC) DE ⊥ AB, DE ∩ OB = {M} DF ⊥ AC, DF ∩ OC = {N} KL MN//EF Hướng dẫn: Có nhiều cách để chứng minh hai đường thẳng song song Với toán này, từ giả thiết ∆ ABC ta biết số đo góc tam giác: BMD, DNC, BED, CFD tìm cặp tam giác đồng dạng Từ có cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chứng tỏ MN//EF Giải: Ta có ∆ ABC đều, phân giác góc B góc C cắt O nên BO, CO vừa đường phân giác vừa đường cao · · · · ⇒ OBC = OBA = OCB = OCA = 300 BO//DF (cùng ⊥ AC), CO//DE (cùng ⊥ AB) · · · · ⇒ MBD ⇒ ∆ MBD = NDC , MDB = NCD ∽ ∆ NDC (g.g) ⇒ DM DB = (1) DN DC ∆ EBD ∽ ∆ FCD (g.g) ⇒ Từ (1)(2) ⇒ DE DB = DF DC (2) DM DE DM DN ⇒ MN//EF (định lí Talet đảo) = ⇒ = DN DF DE DF Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác M điểm cạnh BC không trùng với trung điểm BC Kẻ MP MQ vng góc với AB AC Các đường vng góc cắt OB OC tương ứng I K a) Chứng minh tứ giác MIOK hình bình hành b) Gọi R giao điểm PQ OM Chứng minh R trung điểm PQ Bài 2: Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo Lấy điểm G · thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD cho GOH = 450 Gọi M trung điểm AB Chứng minh rằng: a) ∆ HOD ∽ ∆ OGB b) MG song song với AH 3.4 Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM, CN Biết ·ABM = ·ACN Chứng minh BM = CN GT ∆ ABC; trung tuyến BM, CN ·ABM = ·ACN KL BM = CN Hướng dẫn: Để chứng minh BM = CN ta thường nghĩ đến hai tam giác Tuy nhiên với giả thiết toán ta thấy ∆ ABM ∆ CAN đồng dạng Từ dẫn đến suy luận chứng tỏ tỉ số đồng dạng Giải: ABM ∆ ACN có: ·ABM = ·ACN (GT) chung góc A ∆ ⇒ ∆ ABM ∽ ∆ ACN (g.g) ⇒ BM AB AM = = CN AC AN 10 (1) Có BM CN trung tuyến ⇒ AM = 1 AC, AN = AB nên: 2 AC AB AC = = ⇒ AB = AC ⇒ AB = AC (2) AC AB AB Từ (1)(2) ⇒ BM = CN Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD M, tia DE cắt đường thẳng AB N Chứng minh rằng: · · BCN = CMB GT ABCD hình vng E∈ BC, AE ∩ CD = {M}; DE ∩ AB = {N} · · KL BCN = CMB · · Hướng dẫn: Với suy luận ngược BCN ∆ NBC = CMB ∽ ∆ BCM Giả · · thiết cho NBC = BCM = 900 nên ta tìm cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ABCD hình vng nên có cặp đoạn thẳng song song giúp ta dễ dàng tìm cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ cần thiết Giải: AB // CM (do AB // CD) ⇒ AB EB = (hệ định lí Talet) (1) CM EC BN // CD (do AB // CD) ⇒ BN EB = (hệ định lí Talet) (2) CD EC Từ (1)(2) ⇒ nên AB BN = Mặt khác AB = BC = CD = DA (ABCD hình vng) CM CD BC BN = Do ∆ NBC CM CB · · ∽ ∆ BCM (c.g.c) ⇒ BCN (góc tương ứng) = CMB Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = 5cm Chứng minh: ·ABD = ·ACB 11 · · Bài 2: Cho điểm M nằm hình bình hành ABCD cho MAB Qua = MCB M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB CD theo thứ tự G H Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC F Chứng minh rằng: a) ∆ AGM ∽ ∆ CFM · · b) MBC = MDC 3.5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đường đồng quy Ví dụ: Cho bốn điểm A, C’, D’, B theo thứ tự nằm đường thẳng a Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng a, ta vẽ hình vng ABCD A’B’C’D’ Chứng minh bốn đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy GT A, C’, D’, B ∈ a ABCD, A’B’C’D’ hình vng thuộc nửa mặt phẳng bờ a KL AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy Hướng dẫn: Với giả thiết đề cho, ta nghĩ đến đưa toán chứng minh ba điểm thẳng hàng để chứng minh điều ta chứng minh góc có tổng 1800 Như phải tìm được, quy từ góc có tổng 180 góc cần tìm thơng qua cặp tam giác đồng dạng Giải: Gọi O giao điểm AA’ BB’ A’B’ // C’D’(A’B’C’D’ hình vng) nên A’B’ // AB ⇒ OB ' A ' B ' OB ' B 'C' = = (hệ định lí Talet) hay (do A’B’=B’C’, AB=BC) OB AB OB BC · ' B ' O = CBO · ∆ OB’C’ ∆ OBC có: C (so le trong, B’C’//BC) OB ' B 'C' = (chứng minh trên) OB BC · 'OC' = BOC · ⇒ ∆ OB’C’ ∽ ∆ OBC (c.g.c) ⇒ B (góc tương ứng) · ' OC ' + C · ' OB = 1800 ⇒ BOC · · ' OB = 1800 hay C, O, C’ thẳng hàng Mà B +C ⇒ CC’ qua điểm O 12 Chứng minh tương tự, ta có DD’ qua điểm O Vậy AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy Bài tập: Bài 1: Về phía ngồi tam giác ABC, ta dựng tam giác vuông đồng dạng ABE ACF ( ·ABE = ·ACF = 900 ) Chứng minh BF, CE đường cao AH tam giác ABC đồng quy Bài 2: Trên cạnh AB, CD hình vng ABCD lấy điểm M, N cho AM = CN = AB Gọi K giao điểm AN DM Gọi S trực tâm tam giác ADK Chứng minh B, C, S thẳng hàng 3.6 Giải tốn cực trị hình học Ví dụ 1: Cho hai điểm A B cố định Điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM GT ∆ MAB có ba góc nhọn; A, B cố định, M di động; H trực tâm, MK ⊥ AB K KL Tìm giá trị lớn KH.KM Hướng dẫn: Theo đề ta thấy A, B cố định; độ dài AB khơng đổi Vì để tìm giá trị lớn KH.KM ta hướng đến yếu tố liên quan đến cạnh AB Lại thấy AB có AK KB tìm liên hệ KH.KM KB.KA thông qua tam giác đồng dạng · · · Giải: ∆ KAH ∆ KMB có ·AKH = MKB (= 900 ) KAH (cùng phụ với Bµ ) = KMB ⇒ ∆ KAH ∽ ∆ KMB (g.g) ⇒ KH AK = ⇒ KH ×KM = KB ×AK (1) KB KM Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có: AK ×KB ≤ AK + KB AB ⇔ AK ×KB ≤ (2) 13 AB AB Từ (1)(2) ⇒ KH KM ≤ ( không đổi) 4 Dấu “= “ xảy AK= KB hay M thuộc đường trung trực đoạn AB Vậy giá trị lớn tích KH.KM AB Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Qua điểm thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh tạo với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí điểm M để hình bình hành có diện tích lớn GT ∆ ABC M∈ BC; MD // AC (D ∈ AB) ME // AB (E ∈ AC) KL Tìm vị trí điểm M để S ADME lớn Hướng dẫn: ∆ ABC cố định, M di động nên có diện tích ∆ ABC khơng đổi cịn diện tích hình BDM, CEM, AEMD thay đổi Tuy nhiên, từ giả thiết có đường thẳng song song ta nghĩ đến tính chất diện tích hai tam giác đồng dạng từ tìm lời giải cho tốn Giải: Đặt S, S1, S2, S3 diện tích ∆ ABC, ∆ BDM, ∆ MEC hình bình hành ADME; BM = x, MC = y, BC = a Ta có: x + y = a Do S3 = S – (S1 + S2) nên S3 S + S2 = 1− (1) S S MD // AC (GT) ⇒ ∆ ABC ∽ ∆ DBM (định lí) ⇒ S1  x  =  ÷ (2) S a S  y ME // AB (GT) ⇒ ∆ ABC ∽ ∆ EMC (định lí) ⇒ =  ÷ (3) S a Từ (1)(2)(3) ⇒ S3 x + y a − ( x + y ) ( x + y )2 − ( x + y ) xy = 1− = = = S a2 a2 a2 a Do S a2 không đổi nên S3 lớn xy lớn 14 Các số x y có tổng a khơng đổi nên tích xy lớn x = y Khi M trung điểm BC S ADME = S ABC Bài tập: Bài 1: Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song với ba cạnh Các đường thẳng chia tam giác ABC thành ba hình bình hành ba tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác a2, b2, c2 a) Tính diện tích S tam giác ABC 2 b) Chứng minh S ≤ ( a + b + c ) Bài 2: Cho tam giác ABC Qua điểm O nằm bên tam giác ta vẽ đường thẳng song song với ba cạnh Các đường thẳng chia tam giác ABC thành ba hình bình hành ba tam giác nhỏ a) Biết diện tích tam giác ABC 81cm 2, hai ba tam giác nhỏ có diện tích 4cm2 16cm2 Tính diện tích tam giác cịn lại b) Chứng minh tổng diện tích ba tam giác nhỏ lớn diện tích tam giác ABC Điểm O vị trí xảy dấu bằng? KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG Sau trình thực đề tài tơi nhận thấy: Học sinh sôi nổi, hứng thú học Khi giải tập hình, em biết quan sát, tìm hiểu giả thiết để vận dụng trực tiếp hay linh hoạt kiến thức học giải toán Để lần khẳng định lại kết mà trị tơi đạt lúc kết thúc đề tài, tiến hành khảo sát lại với đề sau: Cho tam giác ABC, AB = 12cm, AC = 15cm Trên cạnh AB, AC lấy M N cho AM = 5cm, AN = 4cm a) Chứng minh tứ giác MNCB có cặp góc đối bù b) Gọi O giao điểm BN CM Chứng minh OB ON = OC OM Kết quả: 15 Lớp Số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 8A 37 29 0 Như có tiến rõ rệt sau thực chuyên đề Các em học sinh thành thạo chứng minh hai tam giác đồng dạng mà cịn phân tích giả thiết tốt để chọn hướng giải phù hợp Từ thành cơng nhỏ tập đem đến cho em niềm say mê với mơn tốn đặc biệt tốn hình Cũng từ góp phần nâng cao chất lượng môn kết học tập em học sinh Phần III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Qua trình nghiên cứu thực hiện, nhận thấy chuyên đề đem lại hiệu cao củng cố kiến thức, rèn luyện tư duy, sáng tạo tạo niềm hứng thú say mê học tập cho học sinh Cũng từ đó, theo tơi, q trình giảng dạy bồi dưỡng mơn Toán, giáo viên cần sử dụng phương pháp phù hợp đối tượng học sinh, giới thiệu tổng hợp kiến thức dạng chuyên đề giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ khắc sâu kiến thức Những kinh nghiệm hay, có tính khả thi cần ứng dụng rộng rãi để nâng cao hiệu chất lượng môn học chất lượng giáo dục nhà trường Trên số ý kiến kinh nghiệm nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh lớp Để đề tài đạt hiệu cao hơn, mong nhận giúp đỡ đóng góp ý kiến hội đồng khoa học bạn bè, đồng nghiệp Tôi xin trân thành cảm ơn! 16 NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách giáo viên , sách tập toán Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8(Nhà xuất giáo dục) Tốn nâng cao chun đề hình học (Nhà xuất giáo dục) Tốn nâng cao hình học (Nhà xuất Đại học sư phạm ) Tốn bồi dưỡng học sinh lớp hình học (Nhà xuất giáo dục Việt Nam) Nâng cao phát triển toán (Nhà xuất giáo dục) Tài liệu chuyên Toán Trung học sở-Toán (Nhà xuất giáo dục Việt Nam) Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 17 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Ngày….tháng … năm 2020 Chủ tịch hội đồng ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Ngày….tháng … năm 2020 Chủ tịch hội đồng …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 18 ... đến tam giác đồng dạng Tuy nhiên cặp tam giác đồng dạng tìm lại chưa tạo mối liên hệ với BC Vì xuất nhu cầu kẻ đường phụ vng góc với BC để có cặp tam giác đồng dạng có liên hệ với BC nhằm giải toán. .. BB’, CC’, DD’ đồng quy Bài tập: Bài 1: Về phía ngồi tam giác ABC, ta dựng tam giác vuông đồng dạng ABE ACF ( ·ABE = ·ACF = 900 ) Chứng minh BF, CE đường cao AH tam giác ABC đồng quy Bài 2: Trên... định lý Talet, tam giác đồng dạng (khi đề có yếu tố song song) tính chất đường phân giác tam giác (khi có yếu tố góc nhau) ABCD hình bình hành nên cạnh đối song song tam giác đồng dạng điều ta