Toán 8 Phương pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng cấu trúc Chuyên đề42524

THCS Phan Chu Trinh Chuyên đề: Phương pháp tam giác đồng dạng giải toán hình học phẳng Cấu trúc chuyên đề Phần I Kiến thức -1 Đinh lý Talet tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ MN // BC A AM AN  AB AC AM AN  MB NC M B N C Kh¸i niƯm tam giác đồng dạng Tam giác ABC gọi đồng dạng víi tam gi¸c ABC nÕu: + ฀A '  ฀A ; B฀ '  B฀ ; C฀ '  C฀ A ' B ' B 'C ' A'C '  AB BC AC Các trường hợp đồng dạng tam giác: a) Trường hợp thứ (ccc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông + Tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông hai tam giác đồng dạng + Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh huyền cạnh tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Phần II Các dạng toán cụ thể -Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích Tính độ dài đoạn thẳng - Loại 1: + Ví dụ minh họa: Bài 36 79 SGK (có hình vẽ sẵn) A 12,5 B ABCD lµ h.thang (AB // CD) AB = 12,5cm; CD = 28,5cm ฀ ฀ DBA = DBC x =? GT x KL D C Giải ABD BDC cã : DAB = DBC (gt) ฀1 = D ฀ ( so le AB // CD) B  ABD P BDC (g.g)  AB BD 12,5 x = hay = BD DC x 28,5  x2 = 12,5 28,5  x = 12,5 28,5  18,9(cm) Bµi 35 – 72 – SBT: ABC; AB = 12cm; AC = 15cm BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm MN = ? A 10 M B GT KL N C Giải Xét ABC ANM ta cã : AM 10 = = AC 15 AN 18 = = AB 12  AM AN = AC AB Mặt khác, có A chung VËy ABC P ANM (c.g.c) ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Tõ ®ã ta cã : AB BC 12 18 8.18 = hay  = 12(cm)  AN NM 18 MN 12 Bài tập 3: a) Tam giác ABC có B฀ = C฀ ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài c¹nh cđa ABC cã B฀ = C฀ biÕt r»ng số đo cạnh số tự nhiên liên tiếp A Giải a) Trên tia đối tia BA lÊy BD = BC ฀ = ACD vµ ABC cã ฀A chung; C฀ = D  ACD P ABC (g.g) B  D AC AD =  AC2 = AB AD AB AC C = = 36 AC = 6(cm) b) Gọi số đo cạnh BC, AC, AB a, b, c Theo c©u (a) ta cã AC2 = AB AD = AB(AB+BC)  b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + hc b= c + * NÕu b = c + th× tõ (1)  (c + 1)2 = c2 + ac  2c + = ac c(a-2) = (loại) c= ; a = 3; b = không cạnh cđa tam gi¸c * NÕu b = c + th× tõ (1)  (c + 2)2 = c2 + ac  4c + = ac  c(a – 4) = XÐt c = 1, 2, chØ cã c = 4; a = 5; = thỏa mÃn toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho ABC vuông A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực BC cắt BC , BA, CA M, E, D Tính độ dài đoạn BC, BE, CD + Bài 2: H×nh thoi BEDF néi tiÕp ABC (E  AB; D AC; F AC) a) Tính cạnh hình thoi biÕt AB = 4cm; BC = 6cm Tỉng qu¸t víi BC = a, BC = c b) Chøng minh r»ng BD < 2ac víi AB = c; BC = a ac c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d Loại 2: Tính góc Ví dụ minh họa: + Bài 1: Cho ABH vuông H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lÊy ®iĨm C cho AC = AH TÝnh BAC 3 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh A ฀ = 900 ; AB = 20cm ABH; H 20 GT BH = 12cm; AC = ฀ BAC =? KL B 12 H C AH Gi¶i: AB 20 AC    BH 12 AH AB BH  AC AH Ta cã  XÐt ABH vµ  CAH cã : ฀AHB = CHA ฀ = 900 AB BH (chøng minh trªn)  AC AH ฀  ABH P CAH (CH c¹nh gv)  CAH = ฀ABH ฀ Lại có BAH + ABH = 900 nên BAH + CAH = 900 Do ®ã : BAC = 900 Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA tương ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD? M Hình thoi ABCD; A = 600 ; B GT BN  DM t¹i K ฀ KL TÝnh BKD =? K C A D Gi¶i: N MB MC (1)  AB NC MC AD Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : (2)  NC DN MB AD Tõ (1) vµ (2)   AB DN ABD cã AB = AD (đ/n hình thoi) A = 600 nên Do BC // AN (vì N AD) nên ta cã :  AB = BD = DA MB AD MB BD (cm trªn)    AB DN BD DN Mặt khác : MBD = DBN = 1200 Tõ ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh XÐt 2MBD vµ BDN cã :  MBD P BDN (c.g.c) ฀ = B ฀ M 1 MB BD ;  BD DN ฀ ฀ MBD = DBN ฀ = B ฀ ; BDM ฀ ฀ ฀ MBD vµ KBD cã M chung  BKD = MBD = 1200 1 Vậy BKD = 1200 Bài tập đề nghị: ABC cã AB: AC : CB = 2: 3: vµ chu vi b»ng 54cm; DEF cã DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chøng minh AEF P ABC b) BiÕt A = 1050; D = 450 Tính góc lại Loại 3: Tính tỷ số đoạn thẳng, tỷ số chu vi, tỷ sè diƯn tÝch VÝ dơ minh häa: ฀  ฀ABC + Bài 1: Cho ABC, D điểm c¹nh AC cho BDC BiÕt AD = 7cm; DC = 9cm TÝnh tû sè BD BA GT ฀ ABC; D  AC : BDC  ฀ABC ; AD = 7cm; DC = 9cm KL TÝnh B BD BA C B A Giải: CAB CDB có C chung ; ฀ABC = BDC (gt)  CAB P CDB (g.g)  CB CA ®ã ta cã :  CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nªn CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do ®ã CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) Mặt khác lại cã : DB  BA + Bµi 2: (Bµi 29 – 74SGK) A A’ B 12 C B’ 12 ABC Gi¶i: a) A’B’C’ P ABC (c.c.c) Vì ABC ABC: AB =6 ; AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = a) ABC P A’B’C’ b) TÝnh tØ sè chu vi cña A’B’C’ vµ GT KL C’ A' B' A' C ' B' C '    AB AC BC b) A’B’C’ P A+B+C+ (c©u a)  A' B' A' C ' B' C ' A' B' A' C ' B' C '   = AB AC BC AB  AC  BC ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh = VËy Chuvi A' B' C ' 18  27 ChuviABC   18   12 27 + Bài 3: Cho hình vuông ABCD, gäi E vµ F theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa Ab, BC, CE c¾t DF ë M TÝnh tû sè D SCMB S ABCD ? C GT M F Hình vuông ABCD; AE = EB ; BF = CF; CE  DF t¹i M KL TÝnh SCMB S ABCD ? A E B Giải: Xét DCF CBE cã DC = BC (gt); C฀ = B฀ = 900; BE = CF ฀ = C ฀  DCF = CBE (c.g.c)  D ฀ ฀ ฀ ฀ Mµ C + C = 1v  C + D = 1v  CMD vu«ng ë M ฀ = C ฀ ; C ฀ = M ฀ )  DC  CM CMD P FCD (v× D FD FC SCMD CD CD =  SCMD = SFCD S FCD FD FD 1 1 Mµ SFCD = CF.CD = BC.CD = CD2 2 2 CD 1 CD VËy SCMD = CD2 = (*) FD FD ¸p dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta cã: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 4 CD2 ta cã : 1 SCMD = CD2 = SABCD 5 S  CMB = S ABCD Thay DF2 = Bµi tập đề nghị: Cho ABC, D trung điểm BC, M trung điểm AD a) BM cắt AC P, P điểm đối xứng củ P qua M Chøng minh r»ng PA = P’D TÝnh tû sè PA AP vµ PC AC b) Chøng minh AB c¾t Q, chøng minh r»ng PQ // BC TÝnh tû sè PQ PM vµ BC MB c) Chøng minh r»ng diƯn tÝch tam gi¸c BAM, BMD, CAM, CMD b»ng TÝnh tû sè diƯn tÝch MAP vµ ABC ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Lo¹i 4: TÝnh chu vi hình + Bài 1(bài 33 72 SBT) ABC; O n»m ABC; GT P, Q, R lµ trung ®iĨm cđa OA, OB, OC KL a) PQR P ABC b) TÝnh chu vi PQR BiÕt chu vi ABC 543cm Giải: a) PQ, QR RP đường trung bình OAB , ACB OCA Do ®ã ta cã : 1 AB; QR = BC ; RP = CA 2 PQ QR RP Tõ ®ã ta cã :    AB BC CA PQ = A  PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = P b) Gäi P lµ chu vi cđa PQR ta cã : P’ lµ chu vi cđa PQR ta cã : O Q 1 P' K  P’ = P = 543 = 271,5(cm) 2 P R B C VËy chu vi cña PQR = 271,5(cm) + Bài 2: Cho ABC, D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE // BC Xác định vị trí ®iÓm D cho chu vi ABE = chu vi ABC TÝnh chu vi cđa tam gi¸c ®ã, biÕt tæng chu vi = 63cm ABC; DE//BC; C.viADE= C.vi ABC A D E GT C.vi ADE + C.viADE = 63cm KL TÝnh C.vi ABC vµ C.vi ADE B C Giải: Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng AD = Ta cã AB ChuviABC  ChuviADE 63 Chuvi ADE ' Chuvi ABC ChuviADE =  =9    ChuviABC 5 %2 K= Do ®ã: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Bài tập đề nghị: + Bài 1: ABC P ABC theo tỷ số đồng dạng K = Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu vi tamgiasc 51dm + Bài 2: Tính chu vi ABC vuông A biết đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành tam giác có chu vi 18cm 24cm Tính diện tích hình Loại 5: + Bµi 1(Bµi 10 – 63 – SGK): A B’ H C ABC; đường cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thø tù t¹i B’, C’, H’ KL a) AH ' B' C '  AH BC b) BiÕt AH’ = B H Gi¶i: C AH; SABC = 67,5cm2 TÝnh SA’B’C’ AH ' B' H ' H ' C ' B' H ' H ' C ' B' C ' = = = = (®pcm) AH BH HC BH  HC BC AH ' B' C ' AH ' AH '.B' C ' S AB 'C ' S b) Tõ ( ) = = = AB 'C '  S ABC AH BC AH AH BC S ABC AH ' AH ' 1 Mµ AH’ = AH  = ( ) = ( )2 = AH AH S AB 'C ' VËy = vµ  SABC = 67,5cm2 S ABC S S 1 Nªn ta cã : AB 'C ' =  AB 'C ' = S ABC 9 67,5 a) V× d // BC   SAB’C’ = 67,5 = 7,5(cm2) + Bµi 2(bµi 50 – 75 – SBT) ABC( ฀A = 900); AH  BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính SAMH Giải: A Xét vuông HBA vu«ng HAC cã : ฀ ฀ + HAC = 1v (1) BAH ฀ ฀ HCA + HAC = 1v (2) ฀ ฀ Tõ (1) vµ (2)  BAH = HCA VËy HBA P  HAC (g.g) B H M C  HB HA  HA HC  HA2 = HB.HC = 4.9 = 36  HA = 6cm ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh L¹i cã BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 6.13 SABC = = 19,5(cm2) 2 SAHM = SBAH = 19,5 - 4.6 = 7,5(cm2) SABM = VËy SAMH = 7,5(cm2) + Bµi 3: Cho ABC hình bình hành AEDF có E AB; D  BC, F  AC TÝnh diÖn tÝch hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; ABC hình bình hành AEDF GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 KL Tính SAEDF Giải: (đồng vị DF // AB) (1) Xét EBD FDC cã B฀ = D E1 = D2 ( so le AB // DF) ฀ = F ฀  E 1 (2) D2 = E1 ( so le DE // AC) Tõ (1) vµ (2)  EBD P FDC (g.g) Mµ SEBD : SFDC = : 12 = : = ( )2 Do ®ã : EB ED 1    FD = 2EB vµ ED = FC FD FC 2 A  AE = DF = 2BE ( v× AE = DF) F AF = ED = EC ( v× AF = ED) E VËy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) SADF = 1 1 SFDC = 12 = 6(cm2) 2 B D C  SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2) Bài tập đề nghị: + Bài 1:Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm Gäi E, F theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AD, DC Gäi I, H theo thø tù giao điểm AF với BE, BD Tính diện tích tứ giác EIHD +Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, diện tích ABC 11cm2 Qua B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD ë M, c¾t CD ë N TÝnh diƯn tÝch MND + Bài 3: Cho ABC có B C nhän, BC = a, ®­êng cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; PQ  BC a) Tính diện tích hình chữ nhật hình vuông b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí diện tích có giá trị lớn Dạng II: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng I Các ví dụ định hướng gi¶i: ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh VÝ dơ 1: Bµi 29(SGK – T79) – (H8 – TËp 2) Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao ®iĨm cđa 2®­êng chÐo AC vµ BD a) Chøng minh rằng: OA OD = OB OC b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB CD theo thứ tự H K CMR: OA AB = OK CD * Tìm hiểu toán : Cho gì? Chứng minh gì? * Xác định dạng toán: ? Để chứng minh hệ thức ta cần chứng minh điều gì? TL: OA OB = OC OD ? Để có đoạn thẳng ta vận dụng kiến thức TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA OD = OB.OC Sơ ®å : + ฀A = C฀ (SLT l AB // CD) ฀ + ฀AOB = COD ( §èi ®Ønh)  OAB P OCD (g.g) A H B O  OA OB = OC OD D  OA.OD = OC.OC OH AB = OK CD OH Tû sè b»ng tû sè nµo? OK OH OA TL : = OC OK OH AB ? VËy ®Ĩ chøng minh = ta cần chứng minh điều OK CD AB OA TL: = OC CD b) Sơ đồ : = K ฀ = 900 +H + ฀A = C฀ 1.(SLT; AB // CD) C©u a 10 ThuVienDeThi.com K C THCS Phan Chu Trinh  OAH P OCK(gg)   OAB P OCD  OH OA = OC OK AB OA = OC CD OH OK = AB CD VÝ dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC ABD có đỉnh góc vuông C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đường thẳng qua P vuông góc với AB I CMR : AB2 = AC AP + BP.PD O C P A I B Định hướng: - Cho HS nhận xét đoạn th¼ng AB (AB = AI + IB)  AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB) - Việc chứng minh toán đưa viƯc chøng minh c¸c hƯ thøc AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS xác định kiến thức vận dụng ®Ĩ chøng minh hƯ thøc ( P) ฀ = I = 900 Sơ đồ : + D + C = I = 900 ฀ ฀ + PBI chung + PAI chung   ADB P PIB ACB P AIP (gg)   AB PB = DB IB AB AP  AB.AI = PB.DB = AC AI  AB AI = AC AP AB IB + AB AI = BP PD + AC AP  AB (IB + IA) = BP PD + AC AP  AB2 = BP PD + AC AP Ví dụ 3: Trên sở ví dụ đưa toán sau: Cho nhọn ABC, đường cao BD CE cắt H 11 ThuVienDeThi.com A THCS Phan Chu Trinh CMR: BC2 = BH BD + CH.CE D Định hướng: Trên sở tập E Học sinh đưa hướng giải tập H Vẽ hình phơ (kỴ KH  BC; K  BC) Sư dơng P chøng minh t­¬ng tù vÝ dơ B C VÝ dơ 4: Cho  ABC, I lµ giao điểm đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI I cắt AC BC ë M vµ N Chøng minh r»ng a) AM BI = AI IM A b) BN IA = BI NI M AM AI c) =   BN BI I * Định hướng: a) ? §Ĩ chøng minh hƯ thøc AM BI = AI B N C AM IM   IM ta cÇn chứng minh điều AI BI b) Để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh điều ( AMI P AIB) Sơ đồ: A1 ฀1 I = B = ฀A2 (gt) * CM: I = B฀ ฀ C ฀ v MIC: IMC = 900 AMI P AIB (gg) ABC: ฀A + B฀ + C฀ = 1800(t/c tæng ) ฀A ฀ ฀ B C + + = 900 2 ฀A ฀ B ฀ Do ®ã: IMC = + (1) 2 Mặt khác: IMC = A1 + I฀1 (t/c gãc ngoµi )  AM AI  IM BI =  ฀A ฀ hay IMC = + I฀1 (2) AM BI = AI IM Tõ 91) vµ (2)  AMI P AIB ( ฀A1 = ฀A2 ;  ฀ ) I฀1 = B AM IM =  AM BI = AI IM AI BI b) T­¬ng tù ý a Chøng minh BNI P BIA (gg)  BN BI = NI IA IN  BN IA = BI 12 ThuVienDeThi.com ฀ B = I฀1 hay B฀1 = I฀1 THCS Phan Chu Trinh (C©u a)  c) - HS nhËn xÐt  AI AI  =  BI  IA  (C©u b)  AMI P AIB BNI P BIA  TÝnh AI2 ; BI2  AI BI  AM IM = AI BI (TÝnh AI2 ; BI2 nhê P) AI2 BI BN = AB BI  = AM AB  BI2 = BN AB AI AM = BI BN   AI     BI  = AM BN II Bµi tập đề nghị: + Bài 1: Cho hình ABCD (AB // CD), gọi O giao điểm đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy cắt BC I cắt AD J CMR : = OI b) = IJ a) AB AB CD + CD + + Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) tia đối tia DA lấy điểm I ฀ cho ฀ACI = BDA CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC D¹ng 3: Chøng minh quan hƯ song song I Mơc tiªu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, trường hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta lét đảo, để giải toán vỊ chøng minh quan hƯ song song - Th«ng bao tập khắc sâu kiến thức tam giác đồng dạng, định lý Ta lét đảo - Rèn kỹ tư duy, suy luận lô gic, sáng tạo giải tập II Kiến thức áp dụng - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trường hợp đồng dạng tam giác - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 13 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh * VÝ dô minh häa: + VÝ dô 1: Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) Gäi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD; F giao điểm MB AC Chøng minh r»ng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA  DB = E MB  AC = F KL EF // AB D M C Định hướng giải: - Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt)   AB // DM AB // MC   MED P  AEB GT MFC P BFA  ME EA =  MD ; AB  MF FB MD = MC = MC AB  ME EA = MF FB  EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đường cao Kẻ EM, FN hai đường cao AEF Chứng minh MN // BC Sơ đồ ph©n tÝch AMF P AFC (g.g); AFN P ABE   14 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh AM AE = AF AC AF AB = AN AE A  AM AF AF AB M = AE AE AC AC N F E  AM AB AN AC = B C MN // BC (định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 3: Cho ABC, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tû sè : 2, c¸c điểm I, K theo thứ tự chia đoạn th¼ng ED, FE theo tØ sè : Chøng minh IK // BC Gọi M trung điểm AF Gọi N giao điểm DM EF A XÐt  ADM vµ  ABC cã : AD AB = AM = AC D N M F Gãc A chung I K ADM P ABC (c.gc) B E  ฀ADM = ฀ABC mµ gãc vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN C EK EK EF 1 = = = (1) EN EF EN 3 EI mµ = (gt) (2) ED EK EI Tõ 91) vµ (2)  = Suy IK // DN (định lý Ta lét đảo) EN ED Ta cã : VËy IK // BC * Bµi tËp đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chøng mi9nh r»ng EG // DC D¹ng : Chứng minh tam giác đồng dạng I Các ví dụ định hướng giải: + Ví dụ: 15 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm F Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ë F B a) CMR :  ABC P AED D b) FBD P FEC 3,6 c) TÝnh ED ; FB? Bài toán cho gì? C Dạng toán gì? Để chứng minh đồng dạng có phương pháp nào? Bài sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT A chung E 2,4 A AB AC = =2 AE AD  ABC P AED (c.g.c) ABC P  AED (c©u a) b)  ฀ = D ฀ ; ฀ = D ฀ C D 1  ฀ ฀ C = D ฀ chung F  FBD P FEC (g.g) c) Tõ c©u a, b h­íng dÉn häc sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB + Ví dụ 2: Cho ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy điểm D E AB; AC cho DME = B฀ A a) CMR : BDM P CME b) MDE P DBM c) BD CE không đổi E ? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều D ? Từ gt  nghÜ ®Õn 2 cã thĨ P theo tr­êng hợp (g.g) ? Gt đà cho yếu tố vÒ gãc ( B฀ = C฀ ) B ฀ = M ) ? Cần chứng minh thêm yếu tố ( D a) Hướng dẫn sơ ®å gãc ngoµi DBM  gt  16 ThuVienDeThi.com M C THCS Phan Chu Trinh ฀ = M ฀ ; B ABC c©n  ฀ ฀ B = C ; ฀ ฀ + M ฀ ; DMC ฀ ฀ + B ฀ DMC =M = D 1  ฀ = M ฀ D  BDM P CME (gg) C©u a gt   DM ME b) = BD ; CM = BM BM  DM ME = BD BM  ฀ = M ฀ (gt) ; B 1 DM ME  BD BM  DME P DBM (c.g.c) c) Tõ c©u a : BDM P CME (gg) BD BM   BD CE = Cm BM CM CE BC Mµ CM = BM = =a a2  BD CE = (không đổi) Lưu ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi Bài đà cho BC = 2a không đổi Nên phải hướng cho học sinh tÝnh tÝch BD CE theo a A + VÝ dụ 3: Cho ABC có trung điểm BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N E cho BM = MN = NC Gäi P lµ F giao ®iĨm cđa AM vµ BE; Q P Q lµ giao ®iĨm cđa CF vµ AN CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng B C N M D b) ABC P DQP * H­íng dÉn a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp Bài chọn phương pháp nào? - Lưu ý cho học sinh cho trung điểm nghĩ tới đường trung bình Từ nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho đường thẳng PD FP // AC PD đường trung bình BEC PD // AC F, P, D thẳng hàng FP đường trng bình ABE  FP // AC 17 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Tương tự cho điểm D, Q, E AC 1 AC EC = = 2 AC AC  =    PD BAC DEC (Đơn vÞ EF // AB)  4QD  AB ฀ ฀ =  DEC  EDP (so le PD // AC)  QD QD   b) PD =  AC AB  DP QD  ; ฀ ฀ BAC  EDP  ABC P DQP (c.g.c) D¹ng chøng minh tam giác đồng dạng II Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho ABC, AD phân giác A ; AB < AC Trên tia đối DA lấy ฀ ®iĨm I cho ฀ACI  BDA Chøng minh r»ng a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC + Bµi 2: Cho ABC; H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm đường trung trực Gọi E, D theo thứ tự trung điểm cđa AB vµ AC Chøng minh : a)  OED P  HCB b)  GOD P  GBH c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG + Bµi 3: Cho ABC cã Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gäi M lµ trung điểm BC Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC, AB D, E a) CMR : ABC P MDC b) Tính cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC + Bài 4: Cho ABC; O trung điểm cạnh BC Góc xoy = 600; cạnh ox cắt AB M; oy cắt AC ë N a) Chøng minh: OBM P NCO b) Chøng minh : OBM P NOM ฀ ฀ c) Chøng minh : MO NO phân giác BMN CNM d) Chøng minh : BM CN = OB2 D¹ng 5: Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc VÝ dơ 1: Bµi 20 T 68 – SGK 18 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh Cho h×nh thang ABCD (AB// CD) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh : OE = O× B A E F C D Định hướng Sơ đồ giải H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) TL: Các tam giác đồng dạng đoạn thẳng tỷ lệ H: EO đoạn hình vẽ thường lập tỷ số? TL: EO DC OE = OF  OE DC = OF DC  OE AO OF BO AO BO = ; = ; = DC AC DC BD AC BD H: Vậy OF đoạn nào? (gợi ý) AEC P ADC   BOF AOB P P BDC COD   EF // DC AB // CD  gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta sÏ ®­a vỊ chøng minh ®iỊu g×? OF TL: DC TL : EO DC = OF (1) DC H: OE; DC cạnh tam giác nào? (AEO; ADC, tam giác đà đồng dạng chưa? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC EO OF = DC DC EO AO OF BO TL: = ; = DC AC DC BD H: lËp tû sè b»ng H: VËy ®Ĩ chøng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: AO BO = AC BD H: Đây tỷ số có từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB;  COD H: H·y chøng minh ®iỊu ®ã 19 ThuVienDeThi.com THCS Phan Chu Trinh VÝ dơ 2: Bµo 10 – T67 – SGK: Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt cạnh bên đường chéo AD, BD, AC BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q CMR: MN = PQ Định hướng giải: Đây tập mở rộng so với ví dụ Từ hệ định lý Talet cho ta tam giác đồng dạng ta chứng minh được: MN DM = AB DA E PQ AB DM DA B A O M N P råi chøng minh Q  C D CQ CB CQ = (kéo dài AD cắt BC t¹i E CB = MN CQ =  MN = PQ DA CB VÝ dơ 3: Bµi 32 – T77 SGK 1800), đặt đoạn thẳng OA = 5cm, OB = Trên cạnh góc xoy ( xoy 16cm Trên cạnh thứ góc đó, đặt đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB OAD đồng dạng b) Gọi giao điểm cạnh AB BC I, CMR: Hai tam giác IAB IBC có góc đôi x B A O I 10 C D y  OC OA = OB OD  OBC P  ODA Góc O chung c) IAB ICD ta dễ nhìn thấy không Do để chứng minh chúng có góc đôi ta chứng minh đồng dạng Vì OBC P ODA nên OBC = ODA (1) Mặt khác ta có ฀AIB  CID (®èi ®Ønh)  BAI P DCI (g.g) ฀  DCI ฀  BAI VÝ dơ 4: Bµi 36 – T72 – SGK H×nh thang ABCD (AB // CD) cã AB = 4cm, CD = 16cm vµ BD = 8cm 20 ThuVienDeThi.com ... - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, trường hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta lét đảo, để giải toán chứng minh quan hệ song song - Thông bao tập khắc sâu kiến thức tam giác đồng. .. tam giác đồng dạng, định lý Ta lét đảo - Rèn kỹ tư duy, suy luận lô gic, sáng tạo giải tập II Kiến thức áp dụng - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trường hợp đồng dạng tam giác - Dấu hiệu... MA  DB = E MB  AC = F  KL EF // AB D M C Định hướng giải: - Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định