Chương III - Bài 1: Phương trình đường thẳng

c Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm và vectơ.. Gọi là đ ờng thẳng qua I và nhận là véctơ pháp tuyến.

ChươngưIII : phươngưphápưtọaưđộư

trongưmặtưphẳng

§1: Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng th¼ng

1 Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng th¼ng:

a) §Þnh nghÜa:

Vect¬ kh¸c , cã gi¸ vu«ng gãc víi

® êng th¼ng ® îc gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn

cña ® êng th¼ng

b) NhËn xÐt:

- Mçi ® êng th¼ng cã v« sè vect¬ ph¸p tuyÕn.

C¸c vect¬ ph¸p tuyÕn nµy dÒu kh¸c vµ cïng ph ¬ng.

- Cã duy nhÊt 1 d êng th¼ng qua I vµ nhËn lµ vect¬ ph¸p tuyÕn



1

n n2

3

n





0

n

c) Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm và

vectơ Gọi là đ ờng thẳng qua I và nhận là véctơ pháp tuyến Tìm điều kiện của x và y để M(x;y) nằm trên

)

; ( x0 y0

I

0 )

;





b a



n 

Giải:

M nằm trên khi và chỉ khi hay (*)

Ta có

nên (*) t ơng đ ơng với

Đặt ta đ ợc ph ơng trình

và đ ợc gọi là ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng

O

y

x



n 

I

M

)

; (x x0 y y0

0 )

( )

(x  x0 b y  y0 

a

0 0

0  





 ax by ax by

c by

ax  

) 0 (

0 2  2 





by c a b ax



Tóm lại

Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đ ờng thẳng

đều có ph ơng trình tổng quát dạng:

) 0 (

0 2 2









by c a b ax

) 0 (

0 2  2 





by c a b ax

Ng ợc lại: Mỗi ph ơng trình dạng

đều là ph ơng trình tổng quát của một đ ờng thẳng xác định có vectơ pháp tuyến là n  ( b a; )

VÝ dô 1:

a) lµ ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng th¼ng,

cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ

0 5

3 y  

b) lµ ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®

êng th¼ng, cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ

c) lµ ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng khi vµ chØ khi , cã mét vect¬ ph¸p tuyÕn lµ

) 3

; 0 (



n 

0 4

) 1

)

; 1

n  

0 1

kx

0



Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(-1;-1), B(-1;3),

C(2;-4) Viết ph ơng trình tổng quát của đ ờng cao AH

A

Giải:

Đ ờng cao AH là đ ờng thẳng qua

A(-1;1) và có vectơ pháp tuyến là

) 7

; 3

( 



BC

Vậy ph ơng trình tổng quát của đ ờng cao AH là:

3(x+1)-7(y+1) hay 3x-7y-4=0

Các dạng đặc biệt của ph ơng trình tổng quát

y

x

y

x

y

x



Đ ờng thẳng

by + c= 0

song song

với trục Ox

Đ ờng thẳng

ax + c = 0 song song với trục Oy

Đ ờng thẳng

ax + by = 0

đi qua gốc tọa độ

Bµi tËp : Cho hai ®iÓm A(a;0) vµ B(0;b) víi

a) ViÕt PT tæng qu¸t cña ® êng th¼ng d qua A vµ B

b) CMR PT tæng qu¸t cña d t ¬ng ® ¬ng víi ph ¬ng tr×nh

0



ab

1





b

y a

x

AB

y

x O

B(0;b)

A(a;0)

Gi¶i:

a)§ êng th¼ng d cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn vu«ng gãc víi

Ta cã: LÊy th×

Hay lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña ® êng th¼ng d

VËy d cã ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t lµ

b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0

)

; ( a b

AB   n  ( a b; ) n  AB

n

b) bx + ay – ab = 0 bx + ay = ab   bx  ay  1

do ab  0

§ êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(a;0) vµ B(0;b) cã ph ¬ng tr×nh

1





b

y a

x

) 0

; 0

VÝ­dô: ViÕt PT tæng qu¸t cña ® êng th¼ng ®i qua A(-1;0) vµ B(0;2)

Bµi lµm

Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng AB theo ®o¹n ch¾n lµ

1 2

1  



y x

Chó ý: XÐt ® êng th¼ng cã ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t lµ

ax+by+c=0



0



b

b

c m

b

a

k   ;  

(*) ® îc gäi lµ PT cña theo hÖ sè gãc

ý­nghÜa­h×nh­häc­cña­hÖ­sè­gãc



O

y

x M

t



k = tan 

2 Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đ ờng thẳng

có ph ơng trình

Số giao điểm của 2 đ ờng thẳng là số nghiệm của hệ gồm 2 PT trên Trong tr ờng hợp đều khác 0 ta có:

2

1 & 



0 :

0 :

2 2

2 2

1 1

1 1

















c y b x a

c y b x a

2 2

2;b ;c a

2

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

//

c

c b

b a

a

c

c b

b a

a

b

b a

a































