Đề thi giải tích 1 giữa kì

LỜI GIẢI ĐỀ THI GIẢI TÍCH A1 GIỮA KỲ 28-03-2013 Bản quyền thuộc Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM Câu Cho hàm y = ln(2 + x) Tính y (4) (0) A Các câu khác sai B C 16 D −3 Giải câu 1: - Biến đổi tương đương: pt ⇔ y = ln + x = ln2 + ln + x - Khai triển Maclaurint: ln + x x x2 x3 x4 = − × + × − × + o(x4 ) 2 16 - Hệ số x4 là: − × 1 =− 16 64 - Vậy: y (4) (0) = 4! × − 64 ⇒ Chọn A Câu Tìm cực trị hàm y = xx A ycđ = y(e) B ycđ = y e C yct = y(e) D yct = y e Giải câu 2: - TXĐ: x = - Logarith hóa vế, ta được: lny = xln(x) =− - Đạo hàm theo biến x, ta được: y = ln(x) + ⇒ y = y[ln(x) + 1] = xx [ln(x) + 1] y - Trường hợp ln(x) + = ln(x) + = ⇔ ln(x) + ln(e) = ln(1) ⇔ xe = ⇔ x = e - Trường hợp xx = ⇒ Vô nghiệm - Nhận thấy hàm ln(x) xác định miền (0, +∞), mà miền xx dương nên dấu đạo hàm phụ thuộc vào dấu g(x) = [ln(x) + 1] - Bằng cách thay giá trị khoảng K1 = 0, 1e K2 = 1e , +∞ , ta thấy khoảng K1 dấu g(x) < khoảng K2 dấu g(x) > - Như hàm đạt cực tiểu 1e ⇒ Chọn D Câu Cho hàm y = x2 e2x Tính y (n) (0) A 2n−1 (n2 − n) B 2n−2 (n2 − n) C 2n−2 n D Các câu khác sai Giải câu 3: - Khai triển Maclaurint cho hàm e2x đến bậc n, ta được: e2x = + 2x + (2x)n (2x)2 (2x)3 + + + + o(xn ) 2! 3! n! - Nhân x2 vào ta được: x2 e2x = x0+2 +21 x1+2 + 22 x2+2 23 x3+2 2n−2 xn−2+2 2n xn+2 + + + + + +o(xn ) 2! 3! (n − 2)! n! - Như thấy hệ số xn là: 2n−2 (n − 2)! - Vậy, suy ra: y (n) (0) = 2n−2 2n−2 ×n! = ×n(n−1)(n−2)(n−3) = 2n−2 (n2 −n) (n − 2)! (n − 2)(n − 3) ⇒ Chọn B sinx x Câu Tính giới hạn I = lim+ x→0 A e B C D e Giải câu 4: - Lưu ý: Dạng bất định ∞0 dạng bất định 1∞ Nên không áp dụng: x =e lim + x→0 x - Biến đổi ta được: I = lim+ esin xln( x ) x→0 - Tìm giới hạn sau: lim sin xln x→0+ x = lim+ x→0 ln x sin x - Áp dụng quy tắc L’Hospital, lim+ sin2 x tan x = lim+ sin x = x cos x x→0 x lim+ tan x = x x→0 - Vì: x→0 lim sin x = x→0+ - Vậy giới hạn cho có kết là: I = e0 = ⇒ Chọn C Câu Cho hàm f (x) = arctan(ex ) Tính d2 f (0) A B C D 2dx2 −2dx2 dx2 Giải câu 5: - Đạo hàm lần lượt, ta được: f (x) = f (x) = ex + e2x ex (1 − e2x ) ex (1 + e2x ) − ex (2e2x ) = (1 + e2x )2 (1 + e2x )2 ⇒ f (0) = ⇒ d2 f (0) = 0dx2 ⇒ Chọn B Câu Điểm uốn hàm y = x3 lnx + A Không có điểm uốn B √ √5 5,1 − e5 e √ C e5 , + √5 e5 D √ 5,1 e + √5 e5 Giải câu 6: - Hàm số xác định x > - Đạo hàm: y = 3x2 lnx + x2 = x2 (3lnx + 1) y = 2x(3lnx + 1) + 3x = x(6lnx + 5) - Xét: 1 ⇒x= √ y = ⇔ 6lnx + = ⇔ x6 e5 = ⇔ x = ± √ 6 e e ⇔y= √ e ln √ e +1= √ × − e5 +1=1− √ e5 - Trong miền x > dấu y phụ thuộc vào dấu g(x) = 6lnx + 1 Trong khoảng 0, √ g(x) < khoảng √ g(x) > 6 , +∞ e e ⇒ Hàm số có điểm uốn: √ ,1 − √ e e5 ⇒ Chọn B √ Câu Tìm giới hạn I = lim x→0 1+x2 −ln(1+sin2 2x)−1 1−cos x A − 22 B − 10 C D 22 10 Giải câu 7: - Ta thay VCB tương đương: Khi x → 0, ta có: √ x2 1+x −1∼ ln(1 + sin 2x) ∼ 4x x2 − cos x ∼ - Giới hạn cho bằng: I = lim x→0 x2 − 4x2 x2 =− 22 ⇒ Chọn A Câu Khai triển Maclaurint hàm y = A 2−2 −2 24 x2 x2 24 + R4 B − x2 − x4 + R4 12 144 2 x C − + x2 + R4 24 24 D Các câu khác sai √ − x2 đến bậc Giải câu 8: - Biến đổi ta được: (−x2 ) y =2 1+ - Khai triển Maclaurint đến bậc 4: (−x2 ) + y =2 1+ × × − 32 (−x2 ) × 2! x2 =2−2 −2 24 x2 24 + o(x4 ) + o(x4 ) ⇒ Chọn A Câu Cho hàm y = x2 −2 Khai triển Taylor hàm y đến cấp x0 = A Các câu khác sai B + 2(x − 1) + 5(x − 1)2 + 12(x − 1)3 + R3 C −1 + 2(x − 1) − 5(x − 1)2 + 12(x − 1)3 + R3 D −1 − 2(x − 1) − 5(x − 1)2 − 12(x − 1)3 + R3 Giải câu 9: - Đặt: X = x − ⇒ x = X + - Khi hàm trở thành: f (X) = 1 = =− (X + 1) − X + 2X − 1 − (X + 2X) - Khai triển Maclaurint hàm f(X) X=0: f (X) = − + (X + 2X) + (X + 2X)2 + (X + 2X)3 + o[(X + 2X)3 ] = −1−X −2X −4X −4X −8X +o(X ) = −1−2X −5X −12X +o(X ) ⇒ f (x) = −1 − 2(x − 1) − 5(x − 1)2 − 12(x − 1)3 + o[(x − 1)3 ] ⇒ Chọn D Câu 10 Cho hàm y = f A x Tính d2 y 2f +f dx2 x4 2xf −f dx2 x4 2xf +f dx2 x4 2xf +f x4 B C D Giải câu 10: - Đạo hàm theo hàm hợp ta được: − y = 2x y = 4f x x x2 + − x x f ⇒ d2 y = x f = 2xf x +f x4 x 2xf + f dx2 x ⇒ Chọn C Câu 11 Tính giới hạn lim √ n n→∞ n2 + 5n A B C D Các câu sai Giải câu 11: - Biến đổi giới hạn, ta được: +5n ) lim e n ln(n n→∞ - Tìm giới hạn: 1 ln(n2 + 5n ) = lim ln 5n n→∞ n n→∞ n lim = lim ln5 + n→∞ n2 +1 5n ln n ln5n + ln n→∞ n = lim n2 +1 5n = ln5 n2 +1 5n Do: lim ln n→∞ n n2 +1 5n =0 - Như I = eln5 = ⇒ Chọn A Câu 12 Cho f (x) = e2x sin x Tính f (0) A B C D Các câu khác sai Giải câu 12: - Lấy đạo hàm lần lượt, ta được: f (x) = 2e2x sin x + e2x cos x = e2x (2 sin x + cos x) f (x) = 2e2x (2 sin x + cos x) + e2x (2 cos x − sin x) = e2x (3 sin x + cos x) ⇒ f (0) = ⇒ Chọn B Câu 13 Cho hàm y = y(x) xác định y = t − arctan t, x = ln(1 + t2 ) Tính y’ A B t t C −t D −2 t Giải câu 13: y x xt = y t ⇒ y x = 1 − 1+t yt t = = 2t xt 1+t2 ⇒ Chọn B √ Câu 14 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm y = x − − x2 A Các câu khác sai √ B ymax = 2, ymin = − √ √ C ymin = − 2, ymax = √ D ymin = −2, ymax = Giải câu 14: √ √ - TXĐ hàm số: x ∈ [− 2, 2] - Đạo hàm: √ x − x2 + x y =1+ √ = √ − x2 − x2 - Xét: y =0⇔ √ − x2 + x = (∗) ⇒ − x2 = x2 ⇔ x = ±1 Thay lại vào (∗) thấy x = −1 thỏa - Xét: √ √ √ √ y( 2) = y(− 2) = − - Kết luận: ymin = −2, ymax = √ ⇒ Chọn D Câu 15 Tính giới hạn lim+ lnxln(x − 1) x→1 A B C D ∞ −1 Giải câu 15: - Đặt t = x − 1, giới hạn cho trở thành: lim ln(1 + t)ln(t) t→0+ - Khi t → 0+ , ta có: ln(1 + t) ∼ t y(−1) = −2 - Vậy: lim+ ln(1 + t)ln(t) = lim+ tln(t) = lim+ t→0 t→0 t→0 lnt t - Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được: lim+ t→0 t − t12 = lim+ (−t) = t→0 ⇒ Chọn C tan (ex−1 −1) √ x−1 x→1 Câu 16 Tính giới hạn lim A B C D −2 −1 Giải câu 16: - Đặt t = x − 1, ta được: tan (et − 1) lim √ t→0 1+t−1 - Khi t → 0, ta có: tan (et − 1) ∼ et − ∼ et √ 1+t−1∼ - Như vậy, giới hạn cho tương đương giới hạn sau: lim et t→0 t 2et t→0 t = lim - Áp dụng quy tắc L’Hospital: 2et 2et = lim =2 t→0 t t→0 lim ⇒ Chọn A 10 t Câu 17 Tính giới hạn lim n→∞ A 2n−1 3n 2n+1 e3 B e C 12 e D e2 Giải câu 17: - Biến đổi, ta được: lim n→∞ 1+ 3n −2 2n + = lim n→∞ lim 1+ −6n −2 2n + = en→∞ 2n+1 = e−3 = Vì: e3 −6n −6 −6 = lim = = −3 n→∞ 2n + n→∞ + n lim ⇒ Chọn A 3x−3−sin3 (3x−3) x→1 2x−2+sin (2x−2) Câu 18 Tinh giới hạn lim A 2n+1 −2 B C D Giải câu 18: - Đặt t = x − 1, ta giới hạn sau: 3t − sin3 3t lim t→0 2t + sin 2t - Khi t → 0, ta có: sin3 3t ∼ 27t3 sin 2t ∼ 2t - Giới hạn cho tương đương với: 3t − 27t3 3t = lim = t→0 2t + 2t t→0 4t lim 11 −2 ×3n 2n+1 ⇒ Chọn C Câu 19 Tiệm cận hàm y = |x−1| x2 A y=x B y = 0, x = C x=0 D y=0 Giải câu 19: - Hàm số xác định khi: x = - Tiệm cận đứng: Xét: |x − 1| =∞ x→0 x2 lim ⇒ x = TCĐ hàm số - Tiệm cận xiên: Xét: |x − 1| f (x) = lim =0 x→∞ x→∞ x x3 |x − 1| b = lim [ax − f (x)] = lim − =0 x→∞ x→∞ x2 a = lim Vậy a = 0, b = ⇒ y = TCN hàm số ⇒ Chọn B Câu 20 Tính giới hạn lim (x + 2x ) x x→+∞ A B C D e2 Giải câu 20: - Biến đổi ta được: lim 1 lim (x + 2x ) x = ex→+∞ x x→+∞ 12 ln(x+2x ) - Tìm giới hạn: 1 x ln(x + 2x ) = lim ln2 + ln x + x→+∞ x x→+∞ x lim Vì: x ln x + = x→+∞ x lim Vậy giới hạn cho I = eln2 = ⇒ Chọn C 13 = ln2 [...]...Câu 17 Tính giới hạn lim n→∞ A 2n 1 3n 2n +1 1 e3 3 B e C 12 e D e2 Giải câu 17 : - Biến đổi, ta được: lim n→∞ 1+ 3n −2 2n + 1 = lim n→∞ lim 1+ −6n −2 2n + 1 = en→∞ 2n +1 = e−3 = Vì: 1 e3 −6n −6 −6 = lim = = −3 1 n→∞ 2n + 1 n→∞ 2 + 2 n lim ⇒ Chọn A 3x−3−sin3 (3x−3) x 1 2x−2+sin (2x−2) Câu 18 Tinh giới hạn lim A 2n +1 −2 3 2 B 1 C 3 4 D 0 Giải câu 18 : - Đặt t = x − 1, ta được giới hạn sau:... t→0 4t 4 lim 11 −2 ×3n 2n +1 ⇒ Chọn C Câu 19 Tiệm cận của hàm y = |x 1| x2 A y=x B y = 0, x = 0 C x=0 D y=0 Giải câu 19 : - Hàm số xác định khi: x = 0 - Tiệm cận đứng: Xét: |x − 1| =∞ x→0 x2 lim ⇒ x = 0 là TCĐ của hàm số - Tiệm cận xiên: Xét: |x − 1| f (x) = lim =0 x→∞ x→∞ x x3 |x − 1| b = lim [ax − f (x)] = lim − =0 x→∞ x→∞ x2 a = lim Vậy a = 0, b = 0 ⇒ y = 0 là TCN của hàm số ⇒ Chọn B 1 Câu 20 Tính... TCN của hàm số ⇒ Chọn B 1 Câu 20 Tính giới hạn lim (x + 2x ) x x→+∞ A B C D 1 e2 2 0 Giải câu 20: - Biến đổi ta được: lim 1 1 lim (x + 2x ) x = ex→+∞ x x→+∞ 12 ln(x+2x ) - Tìm giới hạn: 1 1 x ln(x + 2x ) = lim ln2 + ln x + 1 x→+∞ x x→+∞ x 2 lim Vì: x 1 ln x + 1 = 0 x→+∞ x 2 lim Vậy giới hạn đã cho bằng I = eln2 = 2 ⇒ Chọn C 13 = ln2