Nâng cao thành tích học tập của học sinh gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số

Những hạn chế của các cách dạy truyền thống là gắn liền với việc dạy được địnhhướng bởi giáo viên và kiến thức toán đã “làm sẵn” được trình bày cho các học sinh mà các em lại không sẵn s

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kếtquả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sửdụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

An Giang, tháng 6 năm 2016

Trần Minh Hiếu

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Vui,người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi có đủ niềm tin và nghị lực đểhoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

- Ban giám hiệu, quý thầy cô trong khoa toán trường Đại học Sư phạm Huế đã tậntình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu

- TS Trần Kiêm Minh, TS Nguyễn Đăng Minh Phúc, TS Nguyễn Thị Tân An,

TS Nguyễn Thị Duyến đã có những lời khuyên, những bài giảng và tài liệu hếtsức quý báu liên quan đến đề tài

- Ban Giám đốc và các em học sinh trung tâm GDTX tỉnh An Giang đã tạo điềukiện tốt trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẽ cùng tôi những buồnvui và khó khăn trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồngnghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

An Giang, tháng 6 năm 2016

Trần Minh Hiếu

SGK Sách giáo khoa

MỤC LỤC

Chương 1 4

MỞ ĐẦU 4

1 Tầm quan trọng và cơ sở khoa học của đề tài 4

2 Mục tiêu nghiên cứu 7

3 Các câu hỏi nghiên cứu 7

4 Phương pháp nghiên cứu 8

Kết luận chương 1 9

Chương 2 10

NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 10

1 Dạy học khái niệm toán học 10

1.1 Đại cương về khái niệm và định nghĩa 10

1.1.1 Khái niệm 10

1.1.2 Định nghĩa khái niệm 10

1.1.3 Khái niệm không định nghĩa 11

1.2 Vai trò của khái niệm 12

1.3 Nhiệm vụ dạy học khái niệm 12

1.4 Yêu cầu dạy học khái niệm 13

2 Khó khăn trong học toán do hiểu nhầm khái niệm 13

2.1 Hiểu nhầm khái niệm 14

2.2 Các hiểu nhầm khái niệm trong đại số 16

2.3 Một số hiểu nhầm khái niệm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình 21

3 Các nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn trong học toán 23

3.1 Xây dựng môi trường học tập 23

3.2 Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức 23

3.3 Giáo viên nên quan tâm đến những khó khăn học sinh có thể gặp khi hiểu các khái niệm 24

3.4 Việc học sẽ được cải tiến nếu học sinh nhận thức được và đương đầu với

những hiểu nhầm khái niệm của mình 25

3.5 Sử dụng máy tính để minh họa, hỗ trợ giúp học sinh hiểu rõ khái niệm 25

3.6 Giúp học sinh suy nghĩ và giải quyết vấn đề theo cách tư duy mới 30

4 Một số mô hình dạy học khám phá khái niệm theo quan điểm kiến tạo 31

4.1 Phần mở đầu 31

4.2 Dạy học khám phá 31

4.3 Các mô hình dạy học khám phá khái niệm toán học 32

4.4 Kết luận 36

Kết luận chương 2 36

Chương 3 37

THIẾT KẾ VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU 37

Giới thiệu 37

1 Thiết kế nghiên cứu 37

2 Đối tượng tham gia 37

3 Công cụ nghiên cứu 37

3.1 Bộ đề kiểm tra 37

3.2 Bảng hỏi 55

4 Quy trình thu thập và phân tích dữ liệu 55

4.1 Thu thập dữ liệu 55

4.2 Phân tích dữ liệu 56

5 Hạn chế 56

Kết luận chương 3 57

Chương 4 58

CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 58

1 Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 58

1.1 Mục đích 58

1.2 Ý nghĩa 58

2 Kết quả thực nghiệm 58

2.1 Kết quả thăm dò đề kiểm tra 58

2.2 Kết quả thăm dò bảng hỏi 66

2.3 Kết quả từ phiếu khảo sát giáo viên 68

2.4 Kết quả dạy thực nghiệm 69

Kết luận chương 4 70

Chương 5 71

KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 71

1 Kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 71

1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 71

1.2 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 72

2 Lý giải 73

2.1 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 73

2.2 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 74

3 Vận dụng 76

Kết luận chương 5 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

Chương 1

MỞ ĐẦU

1 Tầm quan trọng và cơ sở khoa học của đề tài

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấpbách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Công cuộc đổi mới này đòi hỏiphải có sự cải cách về hệ thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần cónhững tiếp cận mới về phương pháp giáo dục

Việc dạy học toán hiện nay có nhiều sự đổi mới Vài thập kỷ trước đây, việc họccác thuật toán, giải các phương trình, các bài tập ở sách giáo khoa thường là những bàitập được giải quyết theo hướng áp dụng những kiến thức, những thuật toán vừa dạymột cách máy móc Giáo viên cố gắng để truyền tải kiến thức cho học sinh được quyđịnh trong sách giáo khoa, đánh giá học sinh học tập thông qua định nghĩa hoặc ápdụng quy tắc một cách quy định (Amirali & Halai, 2010; Mohammad, 2002).Mohammad (2002) báo cáo: " học tập Toán học chủ yếu là ghi nhớ các quy tắc cho cácgiải pháp của các vấn đề sách giáo khoa Học sinh ghi nhớ các quy tắc mà không hiểu

lý do tại sao họ đang làm bất kỳ về nó "

Những hạn chế của các cách dạy truyền thống là gắn liền với việc dạy được địnhhướng bởi giáo viên và kiến thức toán đã “làm sẵn” được trình bày cho các học sinh

mà các em lại không sẵn sàng để lĩnh hội các ý tưởng toán học đó (Shoenfeld, 1988).Trong những hoàn cảnh này, học sinh dường như chỉ bắt chước các quy trình mà khônghiểu sâu sắc khái niệm Khi kiến thức toán học hay những kỹ năng quy trình được dạytrước khi học sinh khái niệm hóa được ý nghĩa của chúng, những kỹ năng tư duy sángtạo của học sinh dường như bị kìm hãm bởi cách dạy này (Trần Vui, 2014)

Trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu giáo dục đã thừa nhận rằng việcdạy học toán trong khu vực Đông Nam Á đang thay đổi một cách tích cực để bắt kịp xuthế đổi mới phương pháp dạy học diễn ra mạnh mẽ ở nhiều nước trên thế giới Giờ đây

việc dạy học toán không chỉ nhằm mục đích truyền đạt kiến thức nội dung môn họccho HS mà còn để phát triển trí tuệ cho các em nói chung, hình thành ở các em nhữngphẩm chất tư duy cần thiết cùng với các kĩ năng sống cơ bản với chức năng là hoànthiện con người trong xã hội hiện đại, tạo ra được sự năng động và hòa nhập trong xãhội.

Ở nước ta, mặc dù đã có nhiều nỗ lực trong việc cải tiến chương trình, sách giáokhoa, phương pháp dạy học cùng với phương pháp đánh giá và bước đầu đã thu đượcnhững thành tựu đáng kể Song cũng phải thừa nhận rằng việc dạy học toán của chúng

ta vẫn còn nặng về kiến thức nội dung nhằm rèn luyện cho HS những kĩ năng giải toán

cơ bản chứ chưa chú trọng đúng mức đến việc phát triển tư duy cho các em cũng nhưchưa hình thành ở các em năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn HS có thói quen sửdụng những thuật toán có sẵn để giải quyết các vấn đề toán học mà ít khi có nhữngbước đột phá trong cách suy nghĩ để tìm ra được cách giải quyết sáng tạo cho riêngmình HS cũng có thể làm được những bài toán khó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiếnthức toán phức tạp nhưng khi gặp một bài toán trong thực tế thì các em lại tỏ ra lúngtúng không biết phải bắt đầu giải quyết như thế nào Điều này có nguồn gốc sâu xa từcách dạy học của chúng ta Mặc dù GV vẫn thực hiện theo phương châm “học đi đôivới hành” nhưng do sự thiếu thốn về cơ sở vật chất cũng như các phương tiện dạy họccùng với sự hạn chế của mình trong việc tiếp nhận những tiếp cận dạy học mới nêntrong thực tế GV vẫn chưa chú trọng đúng mức đến phần liên hệ thực tiễn trong cácthực hành dạy học của mình HS chỉ biết đến toán học thông qua các con số cùng vớiphép toán và những tiên đề, định lí, hệ quả, thuật toán mà chưa hiểu được ý nghĩa củacác kiến thức toán học cũng như chưa thấy được mối liên hệ của chúng với thực tiễn.Thực tế trên buộc chúng ta phải tìm kiếm những thực hành dạy học toán hiệu quả gópphần phát triển năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn cũng như phát triển khả năng

tư duy toán học cho HS

Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao Vì vậy, các khái niệm lànguồn gốc của những khó khăn, trở ngại đối với những học sinh yếu về toán, đa sốnhững học sinh này thậm chí không hiểu các khái niệm cơ bản về toán học.

Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học.Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên Việc không nắm vững nội hàm và ngoạidiên của một khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu nhầmbản chất của khái niệm Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện Mặt khác, nhiềukhái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đó Việchọc sinh không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và hiểu nhầm kháiniệm khác Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học có tính liên kết lôgic Nhiềukhái niệm khó trong toán học mới được đưa vào chương trình THPT như: vectơ, biếnhình, nguyên hàm, tích phân…Nếu chúng ta không kịp thời có những cố gắng hoànthiện mới về phương pháp giảng dạy các khái niệm thì học sinh sẽ rất khó khăn trongviệc lĩnh hội các khái niệm đó

Nếu các GV toán ở trường THPT nắm bắt được các hiểu nhầm khái niệm phổbiến của học sinh khi giải toán, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện phápdạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các hiểu nhầm này thì năng lực giải toán củahọc sinh sẽ được nâng cao hơn, từ đó chất lượng giáo dục toán học sẽ tốt hơn

Phần lớn giáo viên phổ thông dạy phần khái niệm toán học còn nặng tính thuyếttrình chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh khả năng tự tiếp cận kiến thức, khả năngnhận dạng và thể hiện khái niệm Một bộ phận không nhỏ học sinh không nắm đượcbản chất của khái niệm toán học, có những học sinh có thể học thuộc lòng một kháiniệm toán học nhưng không hiểu bản chất của khái niệm đó là gì Điều này khiến các

em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện, không đầy đủ bảnchất nên thường gặp khó khăn khi giải đối diện với một bài toán

Việc học khái niệm toán của học sinh không thể tránh khỏi những hiểu nhầm, do

đó nghiên cứu đề tìm ra những phương án giảm thiểu những hiểu nhầm đó là rất cần

khái niệm và học toán tốt hơn? Có lẽ đây là điều mà bất kì giáo viên dạy toán nào cũngquan tâm và cố gắng thực hiện Bởi nó còn là trách nhiệm của nhà giáo trên con đườngthiết kế và phát triển môi trường học tập nhằm nâng cao chất lượng học toán cho HS.

Để giải quyết vấn đề này, trước hết, người giáo viên cần ý thức được những khó khăn

do hiểu nhầm khái niệm của các em trong quá trình học toán Trên cở sở đó giáo viên

đề xuất một số biện pháp nhằm hạn chế phần nào những hiểu nhầm và khó khăn của

HS hay mắc phải Bằng cách đó, chắc rằng việc học của các em sẽ đạt hiệu quả hơn, tưduy toán học sẽ được cải thiện và không ngừng nâng cao Từ đó đem lại cho các emniềm say mê, hứng thú với môn toán và có thể giải quyết tốt các vấn đề trong cuộcsống

Với những lí do cơ bản trên chúng tôi chọn “Nâng cao thành tích học tập của học sinh gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số” làm đề tài nghiên cứu của

luận văn này

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu những khó khăn của HS trong quá trình học toán;

Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập chohọc sinh, giúp học sinh vượt qua khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số

Nghiên cứu các giải pháp vận dụng quan điểm dạy học kiến tạo nhằm góp phầnnâng cao thành tích học tập cho học sinh

3 Các câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với haicâu hỏi nghiên cứu sau:

1 Học sinh gặp những khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số như thếnào?

2 Thực hiện những giải pháp nào để nâng cao thành tích học tập của học sinhgặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số?

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

 Sử dụng phương pháp phân tích – tổng hợp tài liệu;

 Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

 Phương pháp quan sát sư phạm;

 Phương pháp điều tra, phỏng vấn;

 Phương pháp dạy thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm

 Sử dụng bảng hỏi;

 Đề kiểm tra;

 Phiếu thăm dò ý kiến

5 Đối tượng và phạm vi tham gia

Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:

 Người nghiên cứu;

 Giáo viên dạy toán;

 Học sinh lớp 10 Trung tâm Giáo dục thường xuyên An Giang

6 Ý nghĩa của nghiên cứu

Kết quả nghiên cứu của luận văn được mong đợi sẽ góp phần:

• Làm rõ các nguyên nhân mà học sinh gặp khó khăn trong học toán do hiểunhầm khái niệm trong đại số

• Cho thấy vai trò quan trọng của giáo viên trong việc tổ chức và thúc đẩy quátrình học toán của học sinh

• Đóng góp vào các nghiên cứu về vấn đề các giải pháp nâng cao chất lượng dạyhọc

• Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh nănglực vận dụng kiến thức toán để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận vănđược trình bày trong năm chương:

Chương 1 Mở đầu

Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan

Chương 3: Thiết kế và công cụ nghiên cứu

Chương 4: Các kết quả nghiên cứu

Chương 5: Kết luận, lý giải và vận dụng

Chương 2

NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN

1 Dạy học khái niệm toán học

1.1 Đại cương về khái niệm và định nghĩa

1.1.1 Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng (Nguyễn Bá

Kim, 2015) Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện:

ngoại diên: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm.

nội hàm: là toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ có tính quy luật: nội hàm càngđược mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Ví dụ, nếu mở rộng nội hàmcủa khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một gócvuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thật sự của lớp các hìnhbình hành

Khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về mộtđối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với kháiniệm về quan hệ lại là cần thiết dưới góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình học sinhcòn mơ hồ về khái niệm quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phươngtrình hệ quả” như là nói về một phương trình, hoặc phát biểu: “Tiếp tuyến là mộtđường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn”

1.1.2 Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượngxác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm củakhái niệm đó.

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Từ mới

(biểu thị khái niệm mới)

(Những) Từ chỉ miền đốitượng đã biết (loại)

Tân từ(diễn tả khác biệt về

chủng)

Ví dụ: Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.

Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.

Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Nóichung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩacùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Hình vuông, ngoài định nghĩa đã nêutrong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một cách khác, chẳng hạn: Hìnhvuông là một hình thoi có một góc vuông

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm được địnhnghĩa theo một cách nào đó hay không, người ta thường quam tâm những thuộc tínhcủa đối tượng đó: những thuộc tính nào được nêu trong định nghĩa khái niệm đang xétthì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không được nêu trongđịnh nghĩa thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét

1.1.3 Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết Nếuhiểu “đã biết” là “đã được định nghĩa” thì trong trường hợp ví dụ về hình vuông đã nêu

ở trên, quá trình định nghĩa còn phải tiếp tục Để định nghĩa hình vuông ta cần định

nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành…Tuy nhiên, quá trình trên không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có những khái niệm

không định nghĩa, được thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn, người ta có thể thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những

khái niệm nguyên thủy

Bên cạnh những khái niệm không định nghĩa, ở trường phổ thông còn có một sốkhái niệm khác cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thểđược định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, dù là nhữngkhái niệm nguyên thủy hay vì lí do sư phạm, cần mô tả, giải thích thông qua những ví

dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cáchtrực giác

1.2 Vai trò của khái niệm

Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy Khái niệmvừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát triển của toán học

Hình thành khái niệm toán học cho HS là một trong những nhiệm vụ mấu chốtcủa dạy học toán ở trường phổ thông Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy họcbất cứ một môn khoa học nào khác ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hìnhthành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn

bộ kiến thức toán học, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng cáckiến thức đã học Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trítuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thứcđúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học)

1.3 Nhiệm vụ dạy học khái niệm

Nhiệm vụ của dạy học khái niệm bao gồm: Dạy học tiếp cận khái niệm, củng cốkhái niệm.

 Dạy học tiếp cận khái niệm

Trong dạy học, người ta thường phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:

- Con đường suy diễn

- Con đường quy nạp

- Con đường kiến thiết

 Những hoạt động củng cố khái niệm.

Củng cố khái niệm thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:

- Nhận dạng và thể hiện khái niệm;

- Hoạt động ngôn ngữ;

- Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học

1.4 Yêu cầu dạy học khái niệm

Việc dạy học khái niệm toán ở trường trung học phổ thông phải làm cho họcsinh từng bước đạt được các yêu cầu sau:

a) Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

b) Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem đối tượng cho trước cóthuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm,nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

c) Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm

d) Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giảitoán và ứng dụng vào thực tiễn

e) Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm vớinhững khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

2 Khó khăn trong học toán do hiểu nhầm khái niệm

Một trong những kết quả nghiên cứu quan trọng về giáo dục toán đã khẳng định:

Học sinh không ngừng “phát minh” ra những qui tắc để giải thích các “dạng mẫu” mà

các em thường xuyên phát hiện ra chung quanh mình (Askew và Wiliam, 1995) Cónhiều qui tắc được phát minh là đúng, nhưng chúng chỉ áp dụng được trong một phạm

vi hạn hẹp nào đó mà thôi Khi học sinh sử dụng các qui tắc sai, hay các qui tắc đúngnhưng vượt ra khỏi phạm vi áp dụng một cách có hệ thống, thì các em sẽ tạo nên mộthiểu nhầm khái niệm

Ví dụ:

Khi nhân một số với 10, học sinh sẽ phát hiện ra quy tắc tính nhanh kết quả cóđược bằng cách thêm số 0 vào số đã cho: 15 × 10 = 150 Nhưng điều gì sẽ xảy ra đốivới qui tắc này và việc hiểu của học sinh khi yêu cầu các em nhân số thập phân hayphân số với 10

Khi nhân với số thập phân: 1,5 × 10 = 15, quy tắc đó không còn đúng nữa Cóthể học sinh sẽ phát hiện ra quy tắc chuyển dấu thập phân sang bên phải một hàng Nếunhân với phân số: 32×10=15, khi đó học sinh sẽ phát hiện ra qui tắc khác

Askew và Wiliam (1995) đã lưu ý rằng:

Chúng ta thường tránh cho học sinh tạo ra các hiểu nhầm khái niệm Điều đókhông thể thực hiện được Vì học sinh trong quá trình học toán sẽ sáng tạo racác tổng quát hóa không đúng và nhiều hiểu nhầm khái niệm như thế này sẽhình thành dưới dạng tiềm ẩn Để vượt qua những hiểu nhầm khái niệm này,người giáo viên cần có những nỗ lực cụ thể để giúp học sinh điều chỉnh và hiểuđúng khái niệm

Như là hệ quả, một “hiểu nhầm khái niệm” không phải tư duy sai mà là mộtkhái niệm được tổng quát hóa trong bối cảnh cục bộ mà học sinh đưa ra Thực ra đó làmột giai đoạn tự nhiên của phát triển khái niệm

2.1 Hiểu nhầm khái niệm

Một trong các vấn đề dẫn đến những khó khăn trong học toán đó là “hiểu nhầm khái niệm” Theo từ điển Encarta: một hiểu nhầm khái niệm là “một ý tưởng hay quan

niệm bị nhầm xảy ra do hiểu sai một điều gì đó.” Theo quan điểm giáo dục chúng tôithừa nhận định nghĩa sau đây (Pines, 1985):

Một số khái niệm thu được bởi học sinh có thể không phù hợp trong một bối

cảnh cục bộ nhất định, đó là “hiểu nhầm khái niệm” Một hiểu nhầm khái niệm không tồn tại độc lập, mà phụ thuộc vào một khung khái niệm đang có của

người học Những hiểu nhầm khái niệm có thể thay đổi hay biến mất khi khungkhái niệm thay đổi

Làm thay đổi “khung khái niệm” của học sinh là một trong những mục đích

chính của việc điều chỉnh các hiểu nhầm khái niệm toán học Thường thì khó thànhcông khi thông báo hay giải thích cho học sinh về một hiểu nhầm khái niệm, mà hiểunhầm khái niệm chỉ có thể được thay đổi thông qua hệ thống các hiểu biết về toán củahọc sinh và bởi nhận thức của chính các em

Theo một quan điểm khác về hiểu nhầm khái niệm, chúng ta có thể nói rằng họcsinh không đến lớp như “những tờ giấy trắng” (Resnick, 1983) Các em đến trường vớinhững lý thuyết không chính thức được kiến tạo từ các kinh nghiệm hàng ngày nhưngchúng thường là các mệnh đề đúng một phần và không hoàn chỉnh Chúng là các hiểunhầm khái niệm

Trong phần này, chúng tôi xem xét một số hiểu nhầm khái niệm toán học củahọc sinh, cụ thể là những hiểu nhầm có ảnh hưởng đến tư duy đại số Các hiểu nhầmkhái niệm sẽ gây nên những tư duy toán học không đúng, không chính xác và bị lỗi.Những điều đó gây nên hạn chế cho học sinh trong việc nắm bắt toán học từ nhữngkhái niệm cơ bản nhất

Theo nhiều nghiên cứu, một khi các hiểu nhầm khái niệm đã khắc sâu vào trínhớ của học sinh, chúng rất khó bị xóa đi Các nghiên cứu (Champagne, Gunstone, &

Klopfer, 1983; Osborne & Wittrock, 1983) về khái niệm toán của học sinh đã chỉ rarằng:

1 Trước khi học chính thức, con người thường mang trong mình các hệ thốngkhái niệm có tính mô tả để giải thích về các hiện tượng toán học và khoa học, đó chính

Điều quan trọng là giáo viên phải nhận ra các hiểu nhầm khái niệm của học sinh

và hướng dẫn các em điều chỉnh, tháo bỏ thông qua kiến tạo lại các khái niệm đó

2.2 Các hiểu nhầm khái niệm trong đại số

Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày một số hiểu nhầm khái niệm trong đại số

mà học sinh lớp 10 thường gặp phải Nhiều hiểu nhầm khái niệm xuất hiện trong đại số

là xuất xứ từ các hiểu nhầm khái niệm trong số học

1 Số học

Phương trình dạng -4 + x = -10 gây khó khăn cho học sinh ở giai đoạn ban đầuhọc về số âm Trong đại số, có nhiều bài toán giải phương trình mà thiếu sự hiểubiết hay hiểu nhầm khái niệm là nguyên nhân của khó khăn trong học toán.

2 Ý nghĩa về số

Học sinh không hiểu thấu đáo về sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỉ Một sốhọc sinh nghĩ rằng 3 π 5 π là số vô tỉ, và nhiều em nghĩ rằng số thập phân tuần hoànnhư 23,4545 ´45 là số vô tỉ

3 Chính xác và gần đúng

Nếu chúng ta tính toán bằng máy tính cầm tay √3+√7

√2 =3,09557356478, nhiềuhọc sinh sẽ cho rằng đáp số này là chính xác Tương tự tính 17 là0,142857142857 sẽ được lý giải là chính xác Hiểu nhầm khái niệm này có thểnảy sinh do việc sử dụng nhiều máy tính cầm tay trong học toán hay là cách dạykhông phù hợp về ý nghĩa của số tạo ra bởi máy tính

4 Phân số

Với hầu hết các kiến thức toán phổ thông, những hiểu nhầm khái niệm về phân

số sẽ dẫn đến nhiều khó khăn của học sinh

Ví dụ: Khử số hạng không đúng trong biểu thức ab+c b =a+c

Làm việc với các tử số và mẫu số lớn thay vì rút gọn trước khi tính toán

5.

Điều này dễ dẫn đến các sai sót trong tính toán nhiều hơn Quan trọng hơn làhọc sinh đã không thấy được các số như là các tích trong số học, điều đó gâykhó khăn cho các em khi làm việc với các biểu thức đại số

5 Độ lớn đối với số âm

Ví dụ, số nào lớn hơn, -8 hay -5? Vấn đề ở đây là học sinh đã thừa nhận “lớn”theo nghĩa như thế nào Một số giáo viên phạm sai lầm khi sử dụng các mệnh đềnhư: “giá trị âm lớn hơn” Điều đó gây nhầm lẫn cho nhiều học sinh

6 Thứ tự của các phép toán

Có lẻ đây là hiểu nhầm khái niệm thường gặp nhất

a Nhiều học sinh tính 4 + 3x2 =7x2, hoặc 4 + 3x = 7x.

b Học sinh thường dùng sai qui tắc phân phối Chúng ta có thể thấy x2 – 2(x – 3) được viết thành x2 – 2x – 6

7 Lũy thừa

Học sinh gặp khó khăn với sự ưu tiên thứ tự của các phép toán

a Nhiều học sinh sẽ tính sai là – 42 = 16

b Tính 16(–1/4) Các đáp số của học sinh được ghi lại có thể là –2 hoặc 2 thay vìđáp số đúng là 12

c a × a × a có giống với 3a hay không? Tương tự a3 có giống với a × 3 hay

không? Một số học sinh không nắm chắc ý nghĩa toán học đúng đắn cho các

ký hiệu khác nhau Điều này một phần do lỗi là có nhiều biểu diễn khác nhaucho cùng một đối tượng toán học Một phần là các hiểu nhầm khái niệm dokhông hiểu đầy đủ và không thực hiện đúng các phép toán

8 Định nghĩa căn số bậc hai

Nhiều học sinh gặp khó khăn với một định nghĩa đúng

√a2

=¿a∨¿Tổng quát hơn, học sinh sẽ gặp khó khăn với:

9 Căn số bậc hai với các tổng

Một lỗi tiêu biểu nhiều học sinh gặp phải khi viết:

b Khi khai triển bình phương các đa thức, nhiều học sinh tính (x +3)2 là x2 + 9,

và đôi khi tệ hơn là x2 + 6

c Tổng quát hơn, chúng ta thường thấy (a + b) n = a n + b n

d Đặt thừa số chung Nhiều học sinh không thấy được thừa số chung trong mộtbiểu thức như: 2 × 3 × 4 × 25 + 5 Điều đó làm cho các em gặp khó khăn để

nhận ra thừa số chung trong 2x2y3 + 3x

11 Sử dụng định nghĩa của hàm giá trị tuyệt đối

Định nghĩa:

|x|={−x , x ≥ 0 x , x <0

thường làm cho học sinh ngập ngừng khi làm toán Các em hiểu được ý tưởngcủa giá trị tuyệt đối Tuy nhiên, ở đây ký hiệu toán học đã gây nên khó khăn chohọc sinh Điều quan trọng là học sinh cần phải sử dụng định nghĩa này để giảinhững bài toán khác nhau Đặc biệt là đối với những bài toán bất phương trình.

a Giải x2 – 8 > 0

b Giải |x−7|>6

Học sinh cần có kỹ năng cơ bản về phân tích thành thừa số và các số hạng thực

sự có ý nghĩa như thế nào

Trong ví dụ thứ nhất , một trong những quy trình là phân tích ra thừa số(x 8)(x 8) Sau đó, chú ý tích số là dương khi và chỉ khi cả hai cùng dươnghoặc cùng âm Chúng ta giải x  8 0 và x  8 0 Một cách giải nữa là chotừng số hạng âm Chúng ta có thể viết x 2 8 và lấy căn bâc hai Trong trườnghợp này, học sinh phải lấy cả hai căn Trong ví dụ thứ hai, giải x  7 6 yêucầu học sinh phải biết khá nhiều về định nghĩa của giá trị tuyệt đối

14 Tính chất số mũ

Học sinh không chắc chắn với số mũ âm và phân số của số mũ

Học sinh gặp khó khăn với việc đơn giản hóa một cách chính xác

2.3 Một số hiểu nhầm khái niệm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình

Để có cơ sở cho việc phân tích các hiểu nhầm khái niệm thường gặp của họcsinh trong chương trình đại số phổ thông và nêu những hướng khắc phục sau đây tôi

xin trình bày một kết quả nghiên cứu của nhóm tác giả Bradis, Minkovskii và Kharcheva (2006) Những hiểu nhầm khái niệm đưa đến những kết luận thật vô lí

khiến các em lúng túng, hoài nghi và cũng từ đó các em sẽ nhận ra do hiểu nhầm kháiniệm

1 2

22(2 )

4 4

41

HS nghi ngờ việc biến đổi của mình nên thay giá trị của x1 vào phương trình (1) vànhận thấy một điều vô lí: 6 = 2?

Phân tích: HS đã quên rằng việc giải phương trình vô tỉ có thể làm xuất hiện những

nghiệm ngoại lai Để giải thích rõ điều này, ta sẽ trả lời 2 câu hỏi:

(1) Tại sao xuất hiện nghiệm ngoại lai?

(2) Với phương trình nào thì nó là một nghiệm?

Ta chuyển đổi phương trình (1) thành dạng f x( ) 0

và nhân 2 vế với một lượng nhân

để biến vế trái thành bình phương của 2 hàm biểu diễn khác nhau Như vậy, phươngtrình (1) có dạng: x (2 x) 0 (*)

Nhân 2 vế bởi nhân tử f x1( ) x(2 x)

Khi đó, ta có: x (2 x)2 0hay x2 5x4 0 là phương trình đã biến đổi được ởtrên, có nghiệm bằng 4, như vậy 4x là nghiệm ngoại lai của phương trình (1), chính

là kết quả của việc nhân 2 vế của phương trình (*) vớif x , thật vậy, vì ta có1( )

3 Các nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn trong học toán

3.1 Xây dựng môi trường học tập

Giáo viên nên tạo một môi trường học tập thân thiện, tích cực, khuyến khích họcsinh mạnh dạn tham gia các hoạt động học tập, tự tin không chỉ trả lời các câu hỏi củagiáo viên mà còn nêu thắc mắc và trình bày ý kiến của mình

Luôn giữ thái độ bình tĩnh trong mọi tình huống; tôn trọng ý kiến học sinh, biết

tổ chức các hoạt động để học sinh chủ động phối hợp giữa làm việc cá nhân và nhómtạo không khí thi đua lành mạnh trong lớp học

3.2 Học sinh học bằng cách kiến tạo tri thức

Nhiều nghiên cứu cả trong giáo dục và tâm lý đã đưa đến giả thuyết rằng họcsinh học bằng cách xây dựng kiến thức cho mình mà không phải tiếp thu thông tin mộtcách thụ động (Resnick, 1987; Von Glaserfeld, 1987) Bất kể là người thầy giáo haymột cuốn sách nào đó cung cấp cho các em một lượng thông tin rõ ràng, rành mạchnhư thế nào đi nữa thì HS sẽ chỉ hiểu những tài liệu học tập đó sau khi các em đã kiếntạo cho riêng mình ý nghĩa về những gì đang học

Ở hội nghị quốc tế lần thứ 60 về Giáo dục Toán tổ chức tại Budapest năm 1988,Steen (1989) đã đề xuất “…Giáo viên thường hành động như thể tâm trí của mỗi HS là

một tấm bảng trắng hay một cái đĩa mềm còn trống mà kết quả trên đó là GV có thể ghibất cứ thông tin gì họ muốn Nghiên cứu về khoa học nhận thức nhìn nhận theo mộtcách khác rằng mỗi HS mang đến trường học một tập hợp rất phong phú về những kinhnghiệm toán học đã có, những kinh nghiệm này tạo ra một cấu trúc trí tuệ riêng màtrong đó mỗi HS sẽ tạo ra những mô hình mới bắt nguồn từ những kinh nghiệm mới.Việc học diễn ra không phải trong hoạt động của sự nhớ lại mà trong sự phát triển dầndần của cấu trúc trí tuệ duy nhất trong mỗi cá nhân Nói cách khác, HS học bằng cáchđiều chỉnh, sửa đổi “chương trình” của tâm trí mình chứ không phải bằng cách lưu trữ

dữ liệu mới vào “bộ nhớ” của tâm trí mình”

Như vậy theo quan điểm lý thuyết kiến tạo, mỗi người giáo viên cần phải nhậnthức được rằng HS đến lớp không phải như một chiếc “bảng trắng”, một cái “đĩatrống” hay môt cái “hộp rỗng” đang đợi để được làm đầy, thay vào đó, HS đến lớp đểđược tiếp cận những hoạt động học cùng với tri thức mang ý nghĩa đã có từ trước Khihọc một vài điều mới, HS sẽ hiểu ý nghĩa thông tin mới dựa trên kiến thức có trước củamình, kiến tạo cách hiểu riêng cho mình bằng cách liên kết thông tin mới với những gìcác em đã tin HS có xu hướng chấp nhận những tri thức mới chỉ khi những tri thức cũcủa các em không còn hoạt động hoặc tỏ ra là không còn hiệu quả cho những mục đích

mà các em cho là quan trọng

Để kết quả học tập tốt đòi hỏi giáo viên phải áp dụng một tầm nhìn toàn diệncủa triết lý giáo dục và thực hành những tiền đề trên lý thuyết kiến tạo trong đó nhấnmạnh vai trò lấy người học làm trung tâm trong quá trình học tập (Fosnot, 2005)

Các nhà giáo dục Toán theo quan điểm kiến tạo khẳng định rằng bằng cách xâydựng trên những kiến thức đã kiến tạo đươc, HS có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm

và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tưduy phê phán, nó cho phép HS kiến tạo tích cực được khái niệm theo nhiều cách khácnhau Khi đó, HS có thể trình bày khái niệm được xây dựng

3.3 Giáo viên nên quan tâm đến những khó khăn học sinh có thể gặp khi hiểu các khái niệm.

Như chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trênnhững bình diện khác nhau Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượnghóa những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sựtrừu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó Điều này gây ra nhiều khókhăn cho HS trong việc hình dung và hiểu các khái niệm một cách trực giác

Một vài nghiên cứu cho thấy mặc dù học sinh có thể trả lời chính xác một số câuhỏi trong các bài kiểm tra, các bài trắc nghiệm, có thể thiết lập được các phép toán mộtcách chính xác nhưng các em vẫn còn hiểu nhầm về các ý tưởng và khái niệm cơ bản.Học sinh có thể hiểu nhưng không có khả năng chuyển sự hiểu biết đó của mình vàonhững bài toán mang nhiều nội dung thực tế hơn

3.4 Việc học sẽ được cải tiến nếu học sinh nhận thức được và đương đầu với những hiểu nhầm khái niệm của mình

Các nhà kiến tạo cho rằng HS học toán tốt nhất khi các em được đặt trong mộtmôi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toántheo cách riêng của mình Với ý nghĩa này, thách thức đặt ra trong việc dạy học toán làtạo ra được những hoạt động thực nghiệm thu hút được HS tham gia và động viên,khuyến khích các em giải thích, đánh giá, trao đổi và áp dụng các mô hình toán học cầnthiết nhằm làm cho những kinh nghiệm này có ý nghĩa

Học sinh sẽ học tốt hơn khi các hoạt động được xây dựng nhằm giúp các emđánh giá, xác minh sự khác biệt giữa những niềm tin của mỗi cá nhân đối với tri thức

và những kết quả thực nghiệm có thật Nếu HS được yêu cầu phỏng đoán hoặc dự báo

về một vấn đề nào đó thì các em sẽ quan tâm hơn đến những kết quả thực nghiệm Khi

bằng chứng thực nghiệm đã rõ ràng là mâu thuẫn với những dự đoán của HS, giáo viênnên giúp đỡ các em xác minh sự khác biệt này.

Chính trong quá trình đó, HS sẽ có cơ hội nhận ra những hiểu nhầm khái niệmcủa mình

3.5 Sử dụng máy tính để minh họa, hỗ trợ giúp học sinh hiểu rõ khái niệm

Trong chương trình Đại số lớp 10, có rất nhiều khái niệm khá trừu tượng và vẫncòn nhiều GV dạy theo lối truyền thụ, thiếu mô hình trực quan nên HS thường gặp khókhăn trong việc nắm khái niệm cũng như hiểu nhầm khái niệm Khi đó, sẽ xảy ra tìnhtrạng HS phải thuộc khái niệm và vận dụng máy móc vào giải bài tập mà không hiểuđược bản chất của các khái niệm cơ bản Chúng tôi cho rằng, các phần mềm biểu diễntrực quan có thể giúp ích cho việc học toán, nghĩa là: thông qua các biểu diễn trực quanđược thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Sketpchpad (GSP), giáo viên có thể sửdụng có hiệu quả cao trong nhiều khâu của quá trình dạy toán như: Phát hiện vấn đề,khảo sát, giải quyết vấn đề, củng cố, thông qua đó HS có phát hiện và giải quyết vấn đềmột cách dễ dàng, tránh hiểu nhầm khái niệm

Dienes (1960) đề xuất rằng những khái niệm toán học nên được giới thiệu trongnhiều dạng khác nhau để HS nắm bắt được bản chất toán học của nó Dienes cũng nhấnmạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thôngqua nhiều bối cảnh hoặc thể hiện khác nhau

Theo Piez và Voxman (1997), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ nhữngkhía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng ta tin rằng HS nhận được nhiều hiểubiết sâu hơn về một hàm số nếu nó được khám phá bằng cách sử dụng các phươngpháp số, đồ thị và giải tích

Dạy học với sự hỗ trợ của máy tính giúp HS nắm vững hơn các khái niệm Toánhọc, bằng cách cung cấp những cách khác nhau để biểu diễn cùng một đối tượng hay

cho phép HS thao tác các khía cạnh khác nhau của một biểu diễn cụ thể khi khám pháđối tượng Các phần mềm dạy học có thể giúp HS hiểu những khái niệm trừu tượng.

Ví dụ 1: Dạy học với sự hỗ trợ của máy tính giúp HS nắm vững hơn khái niệmnghiệm của phương trình bậc 2 trong chương trình Đại số 10

Giải và biện luận phương trình ax2bx c 0 (*)

Hình 2.1

Hình 2.2

Trên trang hình là đồ thị của hàm số f x( ) ax2bx c trong hệ trục tọa độ, các tham

số a b c , , có thể thay đổi giá trị khi kéo rê các đầu mút thanh trượt, nghiệm của phươngtrình ax2 bx c 0 (*)là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x( )ax2 bx cvới trục hoành

Khi kéo rê các thanh trượt tham số a b c, , quan sát hình dạng của đồ thị, sự tương giaocủa đồ thị và trục hoành khi a b c, , thay đổi, mối liên hệ giữa biệt thức  b2 4ac

của phương trình (*) và sự tương giao của đồ thị với trục hoành, học sinh có thể pháthiện ra:

 Với các giá trị của a b c, , thỏa mãn  b2 4ac 0 thì đồ thị hàm số không cóđiểm chung với trục hoành

 Với các giá trị của a b c, , thỏa mãn  b2 4ac 0 thì đồ thị hàm số có mộtđiểm chung với trục hoành

 Với các giá trị của a b c, , thỏa mãn  b2  4ac 0 thì đồ thị hàm số có haiđiểm chung với trục hoành

 Khi a 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên.

0

a

 Khi a 0 thì đồ thị hàm số trở thành đường thẳng.

Phương trình ax2 bx c 0 (*),  b2 4ac

a) a 0 phương trình (*) trở thành phương trình: bx c 0b) a 0;

Khi   0: (*) có hai nghiệm phân biệt

  



b x

a

Khi  0: (*) có một nghiệm kép



2

b x a

Khi   0: (*) vô nghiệm

Ví dụ 2: Khái niệm phương trình tương đương đã được học ở lớp dưới Minhhọa trên GSP để HS thấy rằng hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tậpnghiệm, thay vì chứng minh với những biến đổi đại số thật “khô khan”

Hoạt động 1: Giải phương trình x  2 x (1)

Đối diện với bài này đa số các em đều nghĩ đến việc bình phương hai vế để khử căn, do

đó tiến hành giải như sau:

Hoạt động 2: Dựa vào đồ thị hãy xác định và so sánh tập nghiệm T1 của (1) và tập

Rõ ràng việc bình phương đã làm xuất hiện thêm nghiệm 4x không thỏa (1) Hay

nói cách khác là biến đổi như vậy không tương đương Từ đây, GV nêu định nghĩaphương trình hệ quả và nghiệm ngoại lai

Như vậy, trong một số trường hợp, biểu diễn trực quan có thể giúp học sinh pháthiện ra các mối quan hệ toán học dễ dàng hơn, giúp các em hiểu rõ, nắm vững các mốiquan hệ đó

3.6 Giúp học sinh suy nghĩ và giải quyết vấn đề theo cách tư duy mới

Điều này rất quan trọng để các em không vận dụng kiến thức một cách máymóc, hiểu nhầm khái niệm Sau khi đã hiểu rõ phần kiến thức mới, phải cố gắng dựatheo những khái niệm mới, phương pháp mới, tức là theo phương thức tư duy mới đểsuy nghĩ và giải quyết vấn đề, luôn chú ý khắc phục những ảnh hưởng xấu của nếp tưduy cũ, nếu không sẽ gặp phải hiểu nhầm có tính nguyên tắc Và ở đây ta cần quan tâm

đến cách tư duy đại số Chẳng hạn, xét hai ví dụ sau để xem học sinh đã hiểu nhầmkhái niệm chỗ nào:

a) So sánh a và (–a) cái nào lớn hơn;

b) Từ đề bài ta được 1 x x 1 x 1 là nghiệm.

Phân tích: Ta thấy rằng ở câu a) học sinh đã nghĩ rằng a là số dương, (-a) là số âm.Đây là ảnh hưởng của thói quen dung chữ số để biểu thị số, xem số có dấu “+” là sốdương, như (+5); còn số có dấu “-” xem là số âm, như (-2) chẳng hạn Như thế là đãquên mất chữ cái biểu thị số bất kì, a có thể là số dương, số 0 hoặc số âm, còn (-a) là sốngược lại với a

Với câu b) học sinh hiểu nhầm ngay ở bước đầu tiên Từ 1   1

x x rút ngay ra

1 x x 1 Vì sao hiểu nhầm? Là bị ảnh hưởng bởi “Khi hai phân số bằng nhau, nếu

tử số bằng nhau thì mẫu số bằng nhau” Phán đoán này chỉ đúng với điều kiện tử sốkhác không Ở đây, tử số ở hai phương trình là biến x, giá trị của nó chưa xác định, nếukhông loại trừ khả năng nó bằng không Do đó, ta không có đủ cơ sở để rút ra kết quả

1 x x 1 Thực tế là phương trình có một nghiệm 0x , lúc đó mẫu số khác nhau.

4 Một số mô hình dạy học khám phá khái niệm theo quan điểm kiến tạo

4.1 Phần mở đầu

Dạy học khám phá đã được du nhập vào nước ta từ nhiều năm qua và đượcnhiều giáo viên nghiên cứu áp dụng Nhằm trao đổi kinh nghiệm về dạy học khám phátrong giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, chúng tôi giới thiệu ba mô hình dạy học

khám phá khái niệm toán học Ở mỗi mô hình, chúng tôi nêu ra các bước thực hiện, ví

dụ minh họa và bình luận

Dạy học khám phá là một phương pháp dạy học tích cực được khuyến khích sửdụng vào dạy học ở nước ta Tuy nhiên, qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trungtâm Giáo dục thường xuyên An Giang và dự giờ của nhiều giáo viên toán trung họcphổ thông, chúng tôi phát hiện ra rằng vận dụng dạy học khám phávào dạy khái niệm toán học là một vấn đề khá khó đối với giáo viên toán trung học phổthông Như vậy, thực tiễn đã đặt ra vấn đề là: Dạy học khám phá khái niệm toán họccần được tiến hành dạy học như thế nào để vừa bảo đảm thời gian và hiệu quả? Quamột thời gian nghiên cứu, chúng tôi đã xây dựng nhiều mô hình dạy học có thể dùngdạy học khám phá khái niệm toán học Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi giớithiệu ba mô hình dạy học khám phá khái niệm: mô hình “tương đồng”, mô hình “dịbiệt” và mô hình “cộng biến”

4.2 Dạy học khám phá

Dạy học khám phá có thể được quan niệm như sau: Dạy học khám phá là mộtphương pháp dạy học khuyến khích học sinh đưa ra câu hỏi và tự tìm ra câu trả lời, hayrút ra những nguyên tắc từ những ví dụ hay kinh nghiệm thực tiễn Ngoài ra, dạy họckhám phá có thể định nghĩa như một tình huống học tập trong đó nội dung chính cầnđược học không được giới thiệu trước mà phải tự khám phá bởi học sinh, làm cho họcsinh là người tham gia tích cực vào quá trình học

Về tầm quan trọng của dạy học khám phá, J Piaget cho rằng hiểu biết thật sựphải đến từ khám phá Ông là người chỉ ra rằng học sinh không là những “chiếc thuyềnrỗng” rồi được làm đầy bởi kiến thức mà phải là những nhà kiến tạo kiến thức J.Bruner cho rằng việc học tập phải là một quá trình tích cực trong đó học sinh kiếntạo ý tưởng mới hay khái niệm mới trên cơ sở vốn kiến thức của họ Ông đề nghịrằng việc dạy học phải làm sao khuyến khích người học khám phá ra các dữ kiện

và các mối liên hệ cho chính họ Bruner được xem là người đầu tiên đưa ra phươngpháp dạy học khám phá.

Đối với việc học tập toán học, H Freuthenthal (1991) cũng tin rằng: “Toán họchọc được nhờ khám phá sẽ được hiểu tốt hơn và ghi nhớ dễ dàng hơn so với việc họcđược bằng cách thụ động”

4.3 Các mô hình dạy học khám phá khái niệm toán học

Trong phần này, chúng tôi mô hình hóa một số quá trình dạy học khám phá kháiniệm toán học Các mô hình này được sử dụng để hình thành khái niệm theo conđường quy nạp là chủ yếu Khi xây dựng các mô hình này, chúng tôi đã đặc biệtquan tâm ý kiến: “Việc dạy toán chỉ với mục đích truyền thụ kiến thức sẽ dẫn tới việccoi trọng suy diễn và coi nhẹ qui nạp Nhưng nếu đặt vấn đề rèn luyện óc thông minhsáng tạo cho học sinh thì vai trò của qui nạp sẽ lên ngang với suy diễn” (Nguyễn CảnhToàn, 2001)

Bước 1: Cho học sinh quan sát một số ví dụ về khái niệm.

Bước 2: Yêu cầu học sinh phân tích các ví dụ để tìm ra các đặc điểm chung

của chúng

Bước 3: Khi học sinh nhận ra những thuộc tính chung đủ dùng để định nghĩa khái

niệm, giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩatrong trường hợp tổng quát

Ví dụ: Khi hình thành khái niệm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số, giáo viên có

thể tổ chức quá trình dạy học như sau:

Giáo viên: Hai điểm M1 (x1, f(x1)), M2 (x2, g(x2)) trên đồ thị của hai hàm số f(x) vàg(x) có nhiều đặc điểm chung Các em hãy tìm xem các đặc điểm chung đó là đặcđiểm gì?

Bình luận: Mô hình tương đồng có thể được tiến hành bằng dạy học hợp tác như

sau: Lớp chia thành nhiều nhóm Mỗi nhóm thảo luận để tìm ra các tính chất chung

có thể có ở các ví dụ mà giáo viên nêu ra Sau đó, mỗi nhóm trình bày, tranh luậnbảo vệ ý kiến của mình trước lớp Cuối cùng, dưới sự hướng dẫn của giáo viên họcsinh sẽ tiến hành hoạt động khái quát hóa để đi đến định nghĩa khái niệm

quan sát đồng thời cả ví dụ và phản ví dụ Việc dạy học khái niệm theo mô hìnhnày bao gồm các bước chính sau đây:

Bước 1: Cho HS quan sát một số ví dụ và một số phản ví dụ về khái niệm cần dạy Bước 2: Yêu cầu HS so sánh chỉ ra sự khác biệt của ví dụ và phản ví dụ.

Bước 3: Khi học sinh tìm ra đủ các tính chất ở các ví dụ dùng để định nghĩa,

giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học sinh phát biểu địnhnghĩa trong trường hợp tổng quát

Ví dụ: Dạy học khái niệm cấp số cộng

Giáo viên: Cho hai dãy số sau đây:

4, 7, 10, 13, 16, , 3n+1, (1)

11, 9, 6, 5, 4, 0, -1, -2 (2)

Giáo viên yêu cầu học sinh chỉ ra sự khác biệt của hai dãy số trên

Kết quả (giáo viên gợi ý nếu cần):

Giáo viên cho biết dãy (1) vì có tính chất (*) nên nó được gọi là một cấp số cộng

có số hạng đầu là 4 và công sai là 3 Kế tiếp giáo viên yêu cầu học sinh thử phát biểuđịnh nghĩa cấp số cộng, rồi chỉnh sửa để đưa ra định nghĩa chính xác cho HS

Bình luận: Có thể tiến hành dạy học hợp tác với mô hình dị biệt bằng cách chia lớp

thành nhiều nhóm khác nhau Nhiệm vụ đặt ra cho mỗi so sánh là chỉ ra sự khácbiệt của ví dụ và phản ví dụ Sau đó, giáo viên yêu cầu mỗi nhóm trình bày các kếtquả mà mỗi nhóm thu được trước lớp và thảo luận thống nhất về những kết quả mà

giáo viên mong đợi Cuối cùng, giáo viên hướng dẫn cho khái quát hóa và phátbiểu định nghĩa khái niệm.

4.3.3 Mô hình “cộng biến”

Trong mô hình cộng biến, học sinh thực hiện các hành động phân tích, so sánh tìm ra nguyên nhân của một “hiện tượng” thay đổi Việc dạy học một khái niệm theo

mô hình này có thể tiến hành theo các bước sau đây:

Bước 1: Cho học sinh quan sát nhiều ví dụ, trong đó có một “hiện tượng” thay đổi Bước 2: Yêu cầu học sinh tìm ra nguyên nhân của sự thay đổi của hiện tượng, nhờ đó

phát hiện thuộc tính, bản chất của khái niệm cần định nghĩa

Bước 3: Giáo viên cho biết tên khái niệm này và yêu cầu học sinh phát biểu.

Ví dụ: Hình thành khái niệm hai vectơ bằng nhau (Hình học 10).

Giáo viên: Cho tứ giác ABCD Hãy so sánh hai vectơ

AB và DC trong mỗi trường

hợp sau đây:

a) Tứ giác ABCD là tứ giác thường

b) Tứ giác ABCD là hình thang

c) Tứ giác ABCD là hình bình hành

Sau khi học sinh giải bài toán trên, giáo viên hỏi tiếp: Cho tứ giác ABCD Haivectơ



AB và DC phải thỏa mãn điều kiện gì để ABCD là bình một hình bình hành,

không là hình bình hành? Sau đó khi học sinh trả lời câu hỏi đúng như mong đợi,giáo viên cho biết:



AB và



DC có cùng hướng và cùng độ dài (trường hợp 3 là một

ví dụ), người ta nói rằng vectơ



AB và



DC bằng nhau, và yêu cầu học sinh thử phát

biểu định nghĩa hai vectơ được bằng nhau Giáo viên chỉnh sửa và đưa ra địnhnghĩa chính xác Một điều cần chú ý cho học sinh là hai vec tơ bằng nhau khichúng có độ dài bằng nhau và giá của chúng có thể song song hoặc trùng nhau

Bình luận: Dạy học theo mô hình cộng biến tạo cho học sinh phát triển năng lực

quan sát, phân tích, so sánh để tìm ra “nguyên nhân” của “hiện tượng” Cũng như

hai mô hình trên, mô hình này vẫn có thể được dùng trong dạy học hợp tác bằngcách là cho học sinh thảo luận nhóm để tìm ra nguyên nhân của hiện tượng.

4.4 Kết luận

Dạy học khám phá khái niệm toán học theo ba mô hình nêu trên giúp người học

có cơ hội sử dụng các kỹ năng nhận thức như: quan sát, phân loại, phân tích, tiênđoán, mô tả, trừu tượng hóa, khái quát hóa Để dạy học khám phá khái niệm toán học

có hiệu quả, việc đưa ra hệ thống các ví dụ hay phản ví dụ cần phải bảo đảm tính vừasức, và sao cho dưới sự hướng dẫn của giáo viên học sinh có thể phát hiện ra các thuộctính bản chất của khái niệm cần dạy

Kết luận chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đếnhiểu nhầm khái niệm trong đại số, một số kết quả nghiên cứu liên quan đến đề tài Từcác cơ sở lý thuyết định hướng này, chúng tôi sẽ thiết kế quá trình đánh giá trongchương tiếp theo

phương pháp và quy trình nghiên cứu cho luận văn gồm các mục: thiết kế quá trìnhnghiên cứu, xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, phương pháp nghiên