skkn bất đẳng thức a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và các bài toán áp dụng

Trong quá trình giảngdạy về bất đẳng thức, tôi nhận thấy đa số học sinh khi gặp bất đẳng thứcthường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu?. Với vai trò là một g

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: “Bất đẳng thức a + b + c 2 2 2 ab + bc + ca và các bài toán áp dụng”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học

3 Tác giả:

Họ và tên: Nguyễn Thị Minh Nam (nữ): Nữ

Ngày/ tháng/năm sinh: 12/ 09/ 1983

Trình độ chuyên môn: ĐH sư phạm Toán

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Chu Văn An

Điện thoại: 0983967775

4 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Trường THCS Chu Văn

An

5 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Có thể áp dụng với các điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường

- Áp dụng với HS khá giỏi lớp 8, 9

6 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 2014 - 2015

TÁC GIẢ

(ký, ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Minh

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn Trong quá trình giảngdạy về bất đẳng thức, tôi nhận thấy đa số học sinh khi gặp bất đẳng thứcthường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải thếnào? Với vai trò là một giáo viên dạy môn Toán, tôi muốn học sinh nắm đượccác phương pháp và kỹ thuật cơ bản nhất để chứng minh bất đẳng thức, từ đókhông thấy sợ khi gặp dạng toán này mà ngược lại có niềm yêu thích và đam

mê tìm hiểu nó Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức Đôi khi,việc ta sử dụng những bất đẳng thức phụ, những bổ đề nhỏ , quen thuộc lạimang đến những hiệu quả bất ngờ Đánh giá a2 b2 c2 ab bc ca  rất cơbản, phổ biến và thường gặp Nó là công cụ để chứng minh nhiều bất đẳngthức khác Đặc biệt, trong các cuộc thi học sinh giỏi và các kì thi vào THPT

có nhiều bài toán áp dụng bất đẳng thức này

Để giúp các em học sinh khá giỏi lớp 8, 9 tự tin hơn khi chứng minh

bất đẳng thức và các bài toán liên quan, tôi đã viết sáng kiến: “ Bất đẳng thức a + b + c 2 2 2 ab + bc + ca và các bài toán áp dụng”.

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

2.1 Điều kiện

- Phòng học và cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học

- Kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

2.2 Thời gian: 6 tiết học

2.3 Đối tượng áp dụng sáng kiến: HS khá giỏi lớp 8, 9

3 Sáng kiến gồm những nội dung sau:

- Bất đẳng thức a + b + c 2 2 2 ab + bc + ca và một số cách khai

Phần này sẽ trình bày về bất đẳng thức a2 b2 c2 ab bc ca  mộtsố cách khai thác bất đẳng thức đó để có các bất đẳng thức mới.

- Một số bài toán áp dụng:

Trong thực tế giải toán, các bất đẳng thức ta gặp thường rất đa dạng vàkhông rơi vào dạng các bất đẳng thức ở phần 1 Lúc này ta cần sử dụng khéoléo các kỹ thuật mới giải được Ở phần này sẽ gồm các bài tập củng cố cáchsử dụng bất đẳng thức a2 b2 c2 ab bc ca  vào chứng minh các bấtđẳng thức phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện tư duy ứng biến tình huống mộtcách linh hoạt trước những vấn đề đòi hỏi sự sáng tạo

- Bài tập luyện tập

Phần này đưa ra một số bài tập tương tự để luyện tập

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến

Sáng kiến này được tôi áp dụng với các em học sinh khá giỏi lớp 8, 9của trường Kết quả là kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của các em tăng lênrõ rệt, đồng thời cũng làm tăng thêm niềm yêu thích và ham mê làm toán, đặcbiệt là toán về bất đẳng thức – một dạng toán đa dạng và hấp dẫn

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến

Bất đẳng thức là mảng kiến thức khó và rộng Trong quá trình giảngdạy, giáo viên có thể nồng ghép trong các giờ luyện tập, ôn tập và trong cáctiết dạy có phần kiến thức liên quan

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong quá trình giải toán ở nhà trường, chuyên đề bất đẳng thức là mộtchuyên đề hay và lý thú Chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong cáckỳ thi chọn HSG các cấp, đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10

Đa số học sinh khi gặp bất đẳng thức thường hay lúng túng, không biếtnên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải thế nào? Với vai trò là một giáo viêndạy môn Toán, tôi muốn học sinh nắm được các phương pháp và kỹ thuật cơbản nhất để chứng minh bất đẳng thức, từ đó không thấy sợ khi gặp dạng toánnày mà ngược lại có niềm yêu thích và đam mê tìm hiểu nó

Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Đối với bậcTHCS thì các phường pháp hay dùng là biến đổi tương đương, dùng bất đẳngthức phụ, sử dụng bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopski, phương pháp tổng bìnhphương, phương pháp làm trội Đôi khi, việc ta sử dụng những bất đẳngthức đơn giản, quen thuộc lại mang đến những hiệu quả bất ngờ Chính vì

vậy, tôi đã viết sáng kiến: “ Bất đẳng thức a + b + c 2 2 2 ab + bc + ca và các bài toán áp dụng”.

2 Cơ sở lý luận của vấn đề

Hiện nay, bồi dưỡng học sinh giỏi là một trong những nhiệm vụ trọngtâm của giáo dục và đào tạo Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS trựctiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, tôi nhận thấy người thầy giáo giỏikhông phải là người có khả năng “nhồi nhét” lượng kiến thức đồ sộ cho HS,

mà phải là người trong thời gian ngắn nhất, truyền thụ được cho HS nhữngkiến thức cần thiết nhất một cách hiệu quả nhất và tối ưu nhất Muốn vậyngười thầy phải hướng dẫn HS có các kiến thức và kỹ năng cần thiết nhất đểgiải toán và vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau từ

đó tạo hứng thú cho học sinh học tập và sáng tạo

3 Thực trạng của vấn đề

Qua thực tê giảng dạy môn Toán 8, 9, tôi nhận thấy trong chương trìnhTHCS phần bất đẳng thức là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinhkhá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né Hơn nữa, thời lượng dành cho nó rất ít

Do đó, tôi mạnh dạn làm sáng kiến này với mong muốn là một tài liệu nhỏgiúp học sinh đỡ khó khăn khi gặp một số bài bất đẳng thức có dạng trên hoặc

có thể vận dụng được bất đẳng thức trên làm công cụ để giải toán

4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện

4.1 Bất đẳng thức a + b + c 2 2 2 ab + bc + ca và một số cách khai thác

4.1.1 Bài toán cơ sở:

Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Đây là một đánh giá cơ bản, phổ biến và thường gặp Song làm sao để

áp dụng đánh giá có vẻ “lỏng lẻo” này vào những bài toán phức tạp thì là cảmột vấn đề Có nhiều cách để khai thác và tiếp cận bất đẳng thức này trongqua trình giải toán Sau đây tôi xin trình bày một số ý tưởng khai thác bài toánnhư sau:

4.1.2 Một số cách khai thác

* Khai thác 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương để tạo thành các bất đẳng thức mới

- Từ bất đẳng thức (1), nhân hai vế với 2 ta được:

 2 2 2

Sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức trên với a2 b2 c2 ta được bất

đẳng thức sau: 3 a 2 b2 c2 a b c  2 hay 2 2 2 a b c2

+) Từ bất đẳng thức (1), nếu một biến bằng 1, giả sử c = 1 ta có bất

đẳng thức: a 2 + b 2 + 1  ab + a + b Dấu = xảy ra khi a = b = 1

+) Từ bất đẳng thức (1), nếu thay a x;b y;c z

x y y z z x  xy  yz  zx xy.yz yz.zx zx.xy xyz x y z    

Đẳng thức xảy ra khi xy = yz = zx hay x = y = z hoặc x = y = 0 hoặc y

= z = 0 hoặc x = z = 0

+) Từ bất đẳng thức (1.2), thay a = xy, b = yz, c = zx ta có:

xy yz zx  2 3 xy.yz yz.zx zx.xy    3xyz x y z   

Đẳng thức xảy ra khi xy = yz = zx hay x = y = z hoặc x = y = 0 hoặc y

* Khai thác 3: Áp dụng bất đẳng thức nhiều lần

+) Áp dụng bất đẳng thức (1) hai lần: lần đầu với a = x2 ; b = y2; c = z2

xy2z, b = xyz2, c = x2yz ta được:

(Đề tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP.HCM 2001 – 2002).

* Khai thác 4: Đặc biệt hóa

Bằng cách cho thêm điều kiện của biến, ta sẽ được các bất đẳng thức

mà vế phải là các số

+) Cho x + y + z = 3 Chứng minh rằng xy + yz + zx  3

+) Cho x + y + z = -3 Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 3

Hai bất đẳng thức trên ta dễ dàng chứng minh được nhờ bất đẳng thức

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

Tổng quát, ta có bài toán sau:

Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = a

a) Tìm GTLN của biểu thức A = xy + yz + zx

b) Tìm GTNN của biểu thức B = x 2 + y 2 + z 2

4.2 Một số bài toán áp dụng

Khi nắm được một số dạng cơ bản của bất đẳng thức cơ sở, ta sẽ có cáinhìn và định hướng tốt hơn khi chứng minh các bất đẳng thức có liên quan

Sau đây là một số bài toán vận dụng bất đẳng thức

Bài toán 4:

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z + xy + yz + zx = 6

2 2

+) Từ bài toán 3, nếu thay x = ; y = ;z = 1 1 1

a b c ta có bài toán sau:

Đặt 1 x; 1 y; 1 z

a  b c  suy ra: x + y + z + xy + yz + xz = 6

Cần chứng minh x2 y2 z2 3 Đây chính là nội dung của bài toán 4

+ Đổi giả thiết và kết luận của bài toán 4, ta có bài toán sau:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S ab bc ca

Vì vậy ta nghĩ đến việc bình phương S

Ta có:

2 2 2 2 2 2 22

Từ giả thiết ta có: 3(x2 y2 z ) 3(x y z) 42    

Theo bất đẳng thức (1) ta có:

x y z  2 3 x 2 y2 z2

Cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên, ta có:

x y z  2 3(x y z) 4  

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z a b c 1

  (do giả thiết a + b + c = 1)

Dễ dàng chứng minh được: 1 1 1 a b c 9 1 1 1 9

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: ab  bc ca 1 Chứng minh rằng:

Mặt khác a4 b4 c4 a2b2 c2 (chứng minh trên)

Suy ra 2(a4 b4 c ) 2(a4  3b3 c )3

Hay a4 b4 c4 a3b3c3 (đpcm)

+ Một trong những kỹ thuật quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức là kỹ thuật đặt ẩn phụ Chú ý rằng các nhóm a2 b2 c2 và ab bc ca 

có liên hệ với nhau nhờ hằng đẳng thức

a b c  2 a2 b2 c2 2 ab bc ca    Bằng phép đặt ẩn phụ và sử dụng bất đẳng thức (1) để đánh giá ẩn phụ, ta chứng minh được các bài toán sau:

biến đơn giản hơn là chứng minh: 3 2 14

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

ab bc caM

(THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ 2013- 2014)

5 Kết quả đạt được

Khi chưa thực nghiệm đề tài này, các em học sinh thường tỏ ra chán lản

và lúng túng khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức Sau một thời gian

áp dụng sáng kiến trên vào thực tế giảng dạy, tôi thấy hứng thú học tập củahọc sinh được nâng lên rõ rệt ở các đối tượng học sinh nhất là các em trongđội tuyển Các em định hướng phương pháp chứng minh tốt hơn, từ đó trở lêntin tưởng hơn, vững vàng hơn, say mê hăng hái học môn toán Điều đó chứngtỏ nếu có phương pháp dạy phù hợp cho một dạng toán ,với từng đối tượnghọc sinh thì chắc chắn kết quả giáo viên thu được sẽ rất tốt, hiệu quả giáo dụcđược nâng lên

Trước khi triển khai sáng tôi có kiểm tra 20 học sinh giỏi với đề bài

ĐỀ BÀI

(Thời gian làm bài 30') Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = abc

Chứng minh rằng: a b c 3 1 1 1

      

2) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3

Tìm GTNN của biểu thức: P a2 b2 c2 ab bc ca2 2 2

(Thời gian làm bài 30')

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1

a, Khi ch a áp d ng sáng ki n: ưa áp dụng sáng kiến: ụng sáng kiến: ến:

điểm < 5 5 £ điểm < 8 8 £ điểm £ 10

b, Sau khi ¸p dông s¸ng kiÕn:

điểm < 5 5 £ điểm < 8 8 £ điểm £ 10

và Toán học nói chung.

6 Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng:

6.1 Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phương pháp dạy môn toán, nghiêncứu chương trình của khối lớp mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bàinói riêng Xác định rõ mục tiêu từng bài và từng dạng cho các đối tượng họcsinh

- Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiếnthức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quảnhất

- GV cần thường xuyên trau dồi kiến thức chuyên môn nghiệp vụ đápứng yêu cầu đổi mới của ngành

6.2 Đối với học sinh:

- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết và bài tập có liên quanđến dạng toán chứng minh bất đẳng thức

- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập

- Suy nghĩ các bài tập tương tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1 Kết luận

Trên đây là sáng kiến “ Bất đẳng thức a + b + c 2 2 2 ab + bc + ca và các bài toán áp dụng” mà tôi đã áp dụng giảng dạy trong quá trình ôn

luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên

đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm rahướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán thì chắc chắn học sinh sẽnắm vững vấn đề và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cảhọc sinh

Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệuquả Phần đông các em học sinh đều hứng thú hơn khi giải các bài toánthuộc dạng này và giải các bài toán có liên quan

Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản thân tôi thực sự rút ra đượcnhiều kiến thức quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn cho công việc giảngdạy của mình

Với kinh nghiệm còn ít ỏi nên kinh nghiệm này chắc chắn không tránhkhỏi những hạn chế nhất định.Vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến củacác bạn đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy nhữngnăm học sau

2 Khuyến nghị

Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạnnêu một số đề xuất, kiến nghị sau:

- Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên.

- Tiếp tục chỉ đạo kiểm tra, đánh giá việc thực hiện các chuyên đềcủa tổ

- Mạnh dạn mở các cuộc giao lưu liên trường để giáo viên có điềukiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp

* Đối với ngành (Sở và Phòng):

Tăng cường tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng chuyên môn nghiệp

vụ cho giáo viên

Cuối cùng tôi xin được chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các đồng chítrong Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trong tổ toán của nhà trường đã giúptôi hoàn thành chuyên đề này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nâng cao và phát triển Toán 9 – Vũ Hữu Bình

2 Tuyển chọn đề thi vào lớp 10 chuyên môn Toán – Nguyễn Ngọc Đạm

3 Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hùng

4 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Phan Huy Khải

5 Bất đẳng thức suy luận và khám phá – Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ

6 Bất đẳng thức và những lời giải hay – Võ Quốc Bá Cẩn , Trần Quốc Anh

7 Tạp chí Toán tuổi thơ, Toán học và tuổi trẻ