SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 Năm học: 2015-2016 Môn: TOÁN(11/6/2015) Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) 1) Thực phép tính : 16 – 2) Rút gọn biểu thức M = ( a+ a a− a + 1)(1 + ) , với a ≥ ; a ≠ a +1 1− a Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình hệ phương trình: a) x2 + 3x – = 2 x − y = 3 x + y = 12 b) 2) Cho phương trình x2 – 2x + m + = (với m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = tìm nghiệm lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 – x1x2 – = Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân làm chung xong đường Nếu đội làm riêng để xong đường thời gian đội thứ đội thứ hai Hỏi làm riêng đội làm xong đường thời gian ? Bài 4: (3,5 điểm)Cho nửa đường tròn đường kính AB C điểm nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẻ hai tia Ax By tiếp xúc với nửa đường tròn cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI C cắt By K Đường tròn đường kính IC cắt IK E Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp đường tròn Chứng minh AI.BK = AC.CB Chứng minh điểm E nằm nửa đường tròn đường kính AB Cho điểm A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang ABKI lớn Bài 5: (1,0 điểm)Cho x, y số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy – 5x + 2016 HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 Năm học: 2015-2016 Môn: TOÁN(11/6/2015) Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) BÀI GIẢI Bài 1: (1,5 điểm) 1) Thực phép tính : 16 – 2) Rút gọn biểu thức M = ( a+ a a− a + 1)(1 + ) , với a ≥ a ≠ a +1 1− a Bài giải 1) Ta có : 16 – = 4 – 32 = 4.4 – 3.3 = 16 – = 2) Với a ≥ a ≠ 1, ta có : M=( =[ a+ a a− a + 1)(1 + ) a +1 1− a a ( a + 1) + 1][1 – a +1 a ( a − 1) ] a −1 = (1 + a )(1 – a ) = – a Vậy M = – a Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình hệ phương trình: a) x2 + 3x – = 2 x − y = 3 x + y = 12 b) 2) Cho phương trình x2 – 2x + m + = (với m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = tìm nghiệm lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 – x1x2 – = Bài giải 1) Giải phương trình hệ phương trình: a) x2 + 3x – = Phương trình có a + b + c = + – = Nên có nghiệm x1 = ; x2 = – 2 x − y = 4 x − y = 7 x = 14 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 x + y = 12 3 x + y = 12 3 x + y = 12 3.2 + y = 12 y = b) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (2 ; 3) 2) a) Phương trình x2 – 2x + m + = (1) Thay x = vào phương trình (1), ta : 32 – 2.3 + m + = ⇔6+m=0 ⇔m=–6 Áp dụng hệ thức viét, ta có : x1.x2 = m + Với m = – , x1 = ⇒ 3.x2 = – + ⇒ 3x2 = – ⇒ x2 = – b) Phương trình (1) có ∆ ' = (– 1)2 – (m + 3) = – m – Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : ∆' > ⇔ – m – > ⇔ – m > ⇔ m < – x1 + x2 = (2) x1 x2 = m + Với m < – 2, theo hệ thức viét, ta : Khi : x12 + x22 – x1x2 – = ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 – x1x2 – = ⇔ (x1 + x2)2 – 3x1x2 – = (3) Từ (2) (3) suy : 22 – 3(m + 3) – = ⇔ – 3m – = ⇔ – 3m = ⇔ m = – (thỏa điều kiện) Vậy m = – phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 – x1x2 – = Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân làm chung xong đường Nếu đội làm riêng để xong đường thời gian đội thứ đội thứ hai Hỏi làm riêng đội làm xong đường thời gian ? Bài giải Gọi x (giờ) thời gian đội thứ làm riêng xong đường Điều kiện : x > Khi đó, thời gian đội thứ hai làm riêng xong đường : x + (giờ) (con đường) x Một đội thứ hai làm : x + (con đường) Một đội thứ làm : Hai đội công nhân làm chung xong nên hai đội làm : (con đường) 1 Ta có phương trình : + x + = x ⇔ 4(x + 6) + 4x = x(x + 6) ⇔ 4x + 24 + 4x = x2 + 6x ⇔ x2 – 2x – 24 = ∆ ' = 25 > ⇒ ∆ ' = Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = + = (nhận) x2 = – = – (loại) Vậy : Đội thứ làm riêng xong đường Đội thứ hai làm riêng xong đường + = 12 Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB C điểm nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẻ hai tia Ax By tiếp xúc với nửa đường tròn cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI C cắt By K Đường tròn đường kính IC cắt IK E Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp đường tròn Chứng minh AI.BK = AC.CB Chứng minh điểm E nằm nửa đường tròn đường kính AB Cho điểm A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang ABKI lớn Bài giải x y Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp K đường tròn · Ta có : AB ⊥ By ⇒ CBK = 900 · Ta lại có : IEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa · đường tròn) ⇒ CE ⊥ IK ⇒ CEK = 900 E Tứ giác CEKB I · · + CEK = 900 + 900 = 1800 CBK Suy tứ giác CEKB nội tiếp đường tròn A C O B Chứng minh AI.BK = AC.CB · · · · · · Ta có : ACI + ICK + KCB = 1800 mà ICK = 900 (vì IC ⊥ CK) nên ACI + KCB = 900 (1) · · Trong ΔCBK vuông B, ta lại có : BKC + KCB = 900 (2) · · Từ (1) (2) suy : ACI = BKC · · · · Xét ΔIAC ΔCBK có : IAC = CBK = 900 ACI = BKC (cmt) ⇒ ΔIAC ∽ ΔCBK (g.g) ⇒ AI AC ⇒ AI.BK = AC.CB = CB BK Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy – 5x + 2016 Bài giải Ta có : (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = ⇒ x – y + = (vì x, y > nên 11x + 6y + 2015 > với x, y∈ R) ⇒ y=x+3 Khi : P = xy – 5x + 2016 = x(x + 3) – 5x + 2016 = x2 + 3x – 5x + 2016 = x2 – 2x + 2016 = x2 – 2x + + 2015 = (x – 1)2 + 2015 ≥ 2015 với x ∈ R Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = xy – 5x + 2016 2015 x – = ⇒ x = y = + =