Bài 3: 2,0 điểm Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường.. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ.. Hỏ
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10
QUẢNG NGÃI Năm học: 2015-2016
Môn: TOÁN(11/6/2015)
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
1) Thực hiện phép tính : 4 16– 3 9
2) Rút gọn biểu thức M = (
1
a a a
+ + + 1)(1 + 1
a a a
−
− ) , với a ≥ 0 ; a ≠ 1.
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0 b) + =23x x y− =2y112
2) Cho phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1 x2 – 4 = 0.
Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường Nếu
mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu ?
Bài 4: (3,5 điểm)Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A
và B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẻ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt
By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại E
1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn
2 Chứng minh AI.BK = AC.CB
3 Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB
4 Cho các điểm A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
ABKI lớn nhất
Bài 5: (1,0 điểm)Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0 Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy – 5x + 2016
HẾT
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10
QUẢNG NGÃI Năm học: 2015-2016
Môn: TOÁN(11/6/2015)
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
1) Thực hiện phép tính : 4 16– 3 9
2) Rút gọn biểu thức M = (
1
a a a
+ + + 1)(1 + 1
a a a
−
− ) , với a ≥ 0 và a ≠ 1.
Bài giải
1) Ta có : 4 16 – 3 9 = 4 42 – 3 32 = 4.4 – 3.3 = 16 – 9 = 7.
2) Với a ≥ 0 và a ≠ 1, ta có :
M = (
1
a a a
+ + + 1)(1 + 1
a a a
−
− )
= [ ( 1)
1
a a a
+ + + 1][1 –
1
a a a
−
= (1 + a)(1 – a) = 1 – a
Vậy M = 1 – a.
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0 b) + =23x x y− =2y112
2) Cho phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1 x2 – 4 = 0.
Bài giải
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0
Phương trình có a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
Nên có nghiệm x1 = 1 ; x2 = – 4.
b) + =23x x y− =2y 112 ⇔ 43 22 122
x y
x y
+ =
x
x y
=
+ =
2
x
y
=
2 3
x y
=
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 3).
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3
2) a) Phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (1)
Thay x = 3 vào phương trình (1), ta được : 32 – 2.3 + m + 3 = 0
⇔6 + m = 0 ⇔m = – 6
Áp dụng hệ thức viét, ta có : x1.x2 = m + 3 Với m = – 6 , x1 = 3 ⇒3.x2 = – 6 + 3 ⇒3x2 = – 3 ⇒x2 = – 1.
b) Phương trình (1) có ∆ ' = (– 1)2 – (m + 3) = – m – 2
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
∆ ' > 0 ⇔– m – 2 > 0 ⇔– m > 2 ⇔m < – 2
Với m < – 2, theo hệ thức viét, ta được : 1 2
1 2
2
x x
x x m
+ =
Khi đó : x12 + x22 – x1 x2 – 4 = 0 ⇔(x1 + x2)2 – 2x1 x2 – x1x2 – 4 = 0
⇔(x1 + x2)2 – 3x1 x2 – 4 = 0 (3)
Từ (2) và (3) suy ra : 22 – 3(m + 3) – 4 = 0 ⇔– 3m – 9 = 0
⇔– 3m = 9 ⇔m = – 3 (thỏa điều kiện)
Vậy m = – 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1 x2 – 4 = 0.
Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường Nếu
mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu ?
Bài giải
Gọi x (giờ) là thời gian đội thứ nhất làm riêng xong con đường Điều kiện : x > 0
Khi đó, thời gian đội thứ hai làm riêng xong con đường là : x + 6 (giờ)
Một giờ đội thứ nhất làm được : 1
x(con đường) Một giờ đội thứ hai làm được : x1+6 (con đường)
Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong nên một giờ hai đội làm được :
1
4(con đường)
Ta có phương trình : 1
x + x1+6 = 1
4
⇔4x + 24 + 4x = x2 + 6x
⇔x2 – 2x – 24 = 0
∆ ' = 25 > 0 ⇒ ∆' = 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 = 1 + 5 = 6 (nhận)
x2 = 1 – 5 = – 4 (loại)
Vậy :
Trang 4
Đội thứ nhất làm riêng xong con đường trong 6 giờ
Đội thứ hai làm riêng xong con đường trong 6 + 6 = 12 giờ.
Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A và
B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẻ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại E
1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn
2 Chứng minh AI.BK = AC.CB
3 Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB
4 Cho các điểm A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất
Bài giải
x y
K
E
I
A C O B
1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
Ta có : AB ⊥By ⇒ ·CBK = 900
Ta lại có : ·IEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒CE ⊥IK ⇒ ·CEK = 900
Tứ giác CEKB
·CBK + ·CEK = 900 + 900 = 1800
Suy ra tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
2 Chứng minh AI.BK = AC.CB.
Ta có : ·ACI + ·ICK + ·KCB = 1800 mà ·ICK = 900 (vì IC ⊥CK) nên ·ACI + ·KCB = 900 (1) Trong ΔCBK vuông tại B, ta lại có : ·BKC + ·KCB = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : ·ACI = ·BKC
Xét ΔIAC và ΔCBK có : ·IAC = ·CBK = 900 và ·ACI = ·BKC (cmt)
⇒ΔIAC ∽ ΔCBK (g.g) ⇒ AI
CB= AC
Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P = xy – 5x + 2016
Bài giải
Ta có : (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0
⇒x – y + 3 = 0 (vì x, y > 0 nên 11x + 6y + 2015 > 0 với mọi x, y∈R)
⇒ y = x + 3
Khi đó : P = xy – 5x + 2016
= x(x + 3) – 5x + 2016 = x 2 + 3x – 5x + 2016 = x 2 – 2x + 2016 = x 2 – 2x + 1 + 2015
Trang 5
= (x – 1) 2 + 2015 ≥ 2015 với mọi x ∈R
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy – 5x + 2016 bằng 2015 khi x – 1 = 0
⇒ x = 1 và y = 3 + 1 = 4