Phuong phap giai phuong trinh bac 4

Edit by Nặc Danh Phương pháp giải phương trình bậc tổng quát dạng :𝒙 𝟒 + 𝒂 𝒙 𝟑 + 𝒃 𝒙 𝟐 + 𝒄 𝒙 + 𝒅 = 𝟎 Đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 + 𝑎 𝑎 → 𝑥 = 𝑡 − 𝑇𝑎 đượ𝑐: 4 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 (𝑡 − ) + 𝑎 (𝑡 − ) + 𝑏 (𝑡 − ) + 𝑐 (𝑡 − ) + 𝑑 = 4 4 13 𝑎𝑏 63 𝑎2 𝑏 𝑎𝑐 ↔ 𝑡 + ( 𝑎 + 𝑏) 𝑡 + (𝑐 − 𝑎 − ) 𝑡 + ( 𝑎 + − + 𝑑) = (∗) 16 64 16 4 𝑎 + 𝑏 13 𝑎𝑏 Đặ𝑡 𝑞 = 𝑐 − 𝑃𝑇(∗) 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ: 𝑎 − 16 63 𝑎2 𝑏 𝑎𝑐 { 𝑟 = 64 𝑎 + 16 − + 𝑑 𝑝= 𝒕 𝟒 + 𝒑 𝒕 𝟐 + 𝒒 𝒕 + 𝒓 = 𝟎 ↔ 𝒕 𝟒 + 𝟐𝒑𝒕 𝟐 + 𝒑 𝟐 = 𝒑 𝒕 𝟐 − 𝒒 𝒕 − 𝒓 + 𝒑 𝟐 ↔ (𝒕 𝟐 + 𝒑) 𝟐 = 𝒑 𝒕 𝟐 − 𝒒 𝒕 − 𝒓 + 𝒑 𝟐 Do p, q, r số thực xác định nên biểu thức 𝒑𝒕 𝟐 − 𝒒𝒕 − 𝒓 + 𝒑 𝟐 không bình phương Do đó, ta chọn số y thỏa mãn: (𝒕 𝟐 + 𝒑) 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐(𝒕 𝟐 + 𝒑) 𝒚 = 𝒑 𝒕 𝟐 − 𝒒 𝒕 − 𝒓 + 𝒑 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐(𝒕 𝟐 + 𝒑) 𝒚 ↔ (𝒕 𝟐 + 𝒑 + 𝒚) 𝟐 = (𝒑 + 𝟐𝒚) 𝒕 𝟐 − 𝒒 𝒕 + (𝒑 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) Ta chọn y cho (𝒑 + 𝟐𝒚) 𝒕 𝟐 − 𝒒 𝒕 + (𝒑 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) bình phương Khi đó: (𝒑 + 𝟐𝒚) 𝒕 𝟐 − 𝒒 𝒕 + (𝒑 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) = (√𝒑 + 𝟐𝒚 𝒕 − √𝒑 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) 𝟐 ↔ 𝟒 (𝒑 + 𝟐𝒚) (𝒑 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒑𝒚 − 𝒓) − 𝒒 = 𝟎 ↔ 𝟖𝒚 𝟑 + 𝟐𝟎𝒑 𝒚 𝟐 + 𝟒 (𝟑𝒑 𝟐 − 𝒓) 𝒚 + 𝟒𝒑 (𝒑 𝟐 − 𝒓) − 𝒒 = 𝟎 Giải phương trình bậc này, ta tìm y, từ tìm x Dưới phương pháp giải PT bậc 3: Edit by Nặc Danh 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑝ℎá𝑝 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑏ậ𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡: 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = Phương pháp 1: Hệ số bất định Đưa phương trình ban đầu dạng: (𝑥 + 𝑚)3 = (𝑥 + 𝑛)3 Ví dụ: 𝑥 − 6𝑥 − = ↔ (𝑥 + 2)3 = (𝑥 + 1)3 ↔ 𝑥 + = √2 (𝑥 + 1) − √2 ↔ 𝑥=3 √2 − Lưu ý: Phương pháp giải phương trình bậc có nghiệm m, n là số thực Phương pháp 2: Lượng giác hóa Xét phương trình: 𝒙 𝟑 + 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (1) 𝑎 Đặ𝑡 𝑥 = 𝑦 − , 𝑡𝑎 đượ𝑐: 𝒚 𝟑 + 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎(∗) Trong đó: 𝑝= 𝑏− 𝑎2 ; ; 𝑞= 𝑐+ 2𝑎3 − 9𝑎𝑏 27 Đặt 𝑦 = 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑡 tìm u để đưa (*) dạng: 4𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = −𝑝 𝑢3 𝑣à 𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎ𝑎𝑖 𝑣ế 𝑐ủ𝑎 (∗) 𝑐ℎ𝑜 để đượ𝑐: 𝑀𝑢ố𝑛 𝑣ậ𝑦, 𝑡𝑎 𝑐ℎọ𝑛 𝑢 = 2√ 4𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡 − 3𝑞 −3 3𝑞 −3 √ ↔ 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = √ 2𝑝 𝑝 2𝑝 𝑝 Nếu 𝑝 < → 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑔𝑖á𝑐 𝑛ℎư 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔 Nếu 𝑝 > → 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎứ𝑐 Edit by Nặc Danh 𝑽𝑫: 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ( bạn đọc tự giải ) Phương pháp 3: Đặt ẩn hàm Hyperbolic Đặ𝑡 𝑥 = 𝑘 (𝑡 ± ) 𝑟ồ𝑖 𝑠𝑎𝑢 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑙ạ𝑖 để 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡𝑟ù𝑛𝑔 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡 𝒚 𝟑 + 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎(∗) 𝑁ế𝑢 𝑝 < 𝑡ℎì đặ𝑡 𝑦 = 𝑘 (𝑡 + ) 𝑡 𝑁ế𝑢 𝑝 > 𝑡ℎì đặ𝑡 𝑦 = 𝑘 (𝑡 − ) 𝑡 𝑉í 𝑑ụ: 𝑥 + 2𝑥 − 3√3 = ( 𝑻𝒓í𝒄𝒉 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 410 hệ ) Đặt 𝑥 = 𝑘 (𝑡 − 𝑡 ) Thay vào phương trình , ta được: 𝑘 𝑡 − 3𝑘 𝑡 + 3𝑘 𝑘3 − + 2𝑘 (𝑡 − ) = 𝑡 𝑡 𝑡 Giờ ta tìm k cho đưa dạng trùng phương Tức phải làm phần t được: 3𝑘 = 2𝑘 ↔ 𝑘 = √ 𝑡 Vậy ta Đặ𝑡 𝑦 = √ (𝑡 − ) , 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ, 𝑡𝑎 đượ𝑐: 𝑡 𝑡 = √2 𝑡 = √2 2 2 1 ↔[ √ (𝑡 − ) + √ (𝑡 − ) − ↔ √2 (𝑡 − ) = ↔ [ 𝑡 =− 𝑡 =−6 3 𝑡 𝑡 𝑡 3√3 √2 √2 Từ tìm dược x Đáp số xin dành cho bạn đọc tự tính Phương pháp 4: Phương pháp Cardano Xét phương trình : 𝒚 𝟑 + 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎(∗) Đặt 𝑦 = 𝑢 + 𝑣 Thay vào (*), ta được: (𝑢 + 𝑣)3 + 𝑝(𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = ↔ 𝑢3 + 𝑣 + (3𝑢𝑣 + 𝑝) (𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = (1) Edit by Nặc Danh Chọn u, v cho 3𝑢𝑣 + 𝑝 = 0(2) Như vậy, để tìm u,v, từ (1) (2), ta có hệ: 𝑢3 + 𝑣 = −𝑞 { 3 𝑝3 𝑢 𝑣 =− 27 Theo định lý Vi-et, 𝑢3 , 𝑣 nghiệm phương trình: 𝑝3 𝑋 + 𝑞𝑋 − =0 27 Từ đó, ta tìm u, v, → 𝒚= 𝒖+ 𝒗 Lưu ý: Phương trình: 𝒚 𝟑 + 𝒑𝒚 + 𝒒 = 𝟎 phương trình hệ phương trình 𝒙 𝟑 + 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 qua cách đặt 𝑥 = 𝑦 − 𝑎