phương pháp giải phương trình bậc 2

sáng kiến kinh nghiệm phương pháp giải phương trình bậc 2

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 Mơc lơc Trang A MỞ ĐẦU I §Ỉt vÊn ®Ị Thùc tr¹ng cđa vÊn ®Ị ®ßi hái ph¶i cã gi¶i ph¸p míi ®Ĩ gi¶i qut .2 Ý nghÜa vµ t¸c dơng cđa gi¶i ph¸p míi 3 Ph¹m vi nghiªn cøu cđa ®Ị tµi .3 II Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh…………………………………………………… C¬ së lÝ ln vµ thùc tiƠn cã tÝnh ®Þnh híng cho viƯc nghiªn cøu, t×m gi¶i ph¸p cđa ®Ị tµi .4 C¸c biƯn ph¸p tiÕn hµnh vµ thêi gian t¹o gi¶i ph¸p B NỘI DUNG I Mơc tiªu …………………………………………………………………… II M« t¶ gi¶i ph¸p cđa ®Ị tµi .6 Thut minh tÝnh míi……………………………………………………… Kh¶ n¨ng ¸p dơng 15 Lỵi Ých kinh tÕ – x· héi…………………………………………………… 15 C KẾT LUẬN …………………………………………………………………… 17 Tµi liƯu tham kh¶o .19 GV: Trương Thò Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 A MỞ ĐẦU I – Đặt vấn đề Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải quyết: Trong xu chung năm gần đây, viêc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhầm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học khơng giảng lý thuyết, mà luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái qt kiến thức học, xếp kiến thức học cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Trước tình hình phát triển đất nước để tiến tới xây dựng cơng nghiệp hóa,hiện đại hóa, mơn Tốn góp phần khơng nhỏ việc nâng cao sống người làm giàu cho đất nước Nâng cao chất lượng giảng dạy học tập mơn Tốn trường THCS vấn đề nhiều người quan tâm cấp quản lý người trực tiếp đứng lớp Việc nâng cao chất lượng đòi hỏi giáo viên phải khơng ngừng cải tiến phương pháp giảng dạy , phát huy tính tích cực học sinh , tạo cho học sinh thích thú khám phá , sáng tạo hay , q trình học tập mơn Đồng thời qua rèn luyện tính kiên trì , chịu khó để hồn thành cơng việc Hiện nay, với phân hố đối tượng học sinh lực lên rõ số học sinh giỏi chiếm tỷ lệ tương đối, nhu cầu nâng cao, mở rộng kiến thức em học sinh lớn Căn vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức phương trình phương trình đưa phương trình bậc hai chương trình THCS chưa đề cập đến nhiều Đội ngũ giáo viên chưa chuẩn bị chu bắt tay vào dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi, đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng Chính nội dung bồi dưỡng phần kiến thức chưa có thống nhất, gây khơng khó khăn cho người học người dạy Nghiên cứu sách giáo khoa chương trình hành ta thấy: SGK Đại số đưa cho học sinh số loại phương trình quy phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình tích, phương trình trùng phương, Song GV: Trương Thò Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 nhìn chung mức độ u cầu loại dừng lại mức độ nhận dạng, phù hợp với học sinh đại trà, với em học sinh lớp chọn dừng lại u cầu chưa đủ, cần hệ thống, phân loại giới thiệu với em mảng kiến thức “Phương pháp giải phương trình quy phương trình bậc hai” Ý nghĩa tác dụng giải pháp mới: Xt ph¸t tõ tÇm quan träng cđa néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë ng¹i cho häc sinh qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh kh«ng ph¶i lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Cïng víi sù tÝch l kinh nghiƯm cã ®ỵc cđa b¶n th©n qua nhiỊu n¨m gi¶ng d¹y KÕt hỵp víi nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®ỵc ch¬ng tr×nh §¹i häc To¸n mµ ®Ỉc biƯt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cđa c¸c thÇy c« gi¸o, t«i xin ®Ị xt mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai vµ c¸c bµi tËp minh häa ch¬ng tr×nh to¸n THCS Qua ®Ị tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiĨu s©u h¬n vỊ vÊn ®Ị nµy, tù ph©n lo¹i ®ỵc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp Tõ ®ã gióp häc sinh cã thĨ dƠ dµng h¬n viƯc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®ỵc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tỉng hỵp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp nhá Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶ n¨ng t s¸ng t¹o häc tËp Trong ®Ị tµi nµy t«i chØ nªu mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai §Ị tµi nµy cã thĨ ¸p dơng cho gi¸o viªn to¸n vµ nh÷ng häc sinh yªu thÝch m«n to¸n tham kh¶o c¸ch gi¶i vµ c¸ch tr×nh bµy Tuy vËy ,néi dung cđa ®Ị tµi vÉn cßn h¹n chÕ n¨ng lùc b¶n th©n V× vËy t«i rÊt mong nhËn ®ỵc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cđa c¸c thÇy c« gi¸o ®Ĩ ®Ị tµi nµy ®ỵc hoµn thiƯn h¬n Phạm vi nghiên cứu đề tài: Phát triển lực, tư học sinh thơng qua tốn liên quan đến phương trình bậc hai học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh lớp luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn tập cuối năm ơn tập cho kỳ thi trường, thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 II – Phương pháp tiến hành Cơ sở lý luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp đề tài: Đối với mơn tốn lớp 9, phần “ phương trình bậc hai”, “phương trình quy phương trình bậc hai” phần kiến thức trọng tâm, phần kiến thức thường xun GV: Trương Thò Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 xuất đề thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Do đó, theo tơi học sinh cần nắm thật chắn mảng kiến thức này, đặc biệt học sinh giỏi cần có nhìn thật đầy đủ “phương trình quy phương trình bậc hai” Sau nghiên cứu nhiều tài liệu tham khảo viết vấn đề tơi thấy, tác giả đưa tốn đa dạng phong phú, nhiên dạng tản mạn, nằm nhiều tài liệu khác nhau, gây khơng khó khăn cho việc dạy giáo viên học sinh Để thực mục tiêu giảng dạy đồng thời nâng cao chất lượng, hiệu việc dạy học theo hướng đổi phương pháp, tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát huy khả tự học, hình thành cho học sinh tích cực tư độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kĩ áp dụng kiến thức vào thực tiễn, từ tác động đến tình cảm đem lại hứng thú học tập Do việc dạy mơn Tốn THCS vấn đề nặng nề, để giúp học sinh hiểu thấu đáo vấn đề, đòi hỏi người thầy phải có phương pháp phù hợp để truyền thụ, đồng thời linh hoạt áp dụng phương pháp cho phù hợp đối tượng học sinh Từ thực tế quan sát, học sinh ngại phải tư suy nghĩ, lứa tuổi chưa xác định tương lai “học để làm gì” việc ép học điều khơng thể Để bảo đảm tiến trình lên lớp, truyền tải đủ kiến thức khơng q cứng nhắc ràng buộc q lớn Phải làm để học sinh cảm nhận chấp nhận kiến thức cách dễ dàng, tránh học “vẹt” học sinh Nếu vấn đề khơng giải quyết, học sinh chán chường, học khơng, dẫn đến tình trạng bỏ học, trốn tiết, trầm, sợ sệt mặc cảm Trong q trình dạy – học, tương tác thầy – trò đóng vai trò quan trọng lớn giáo dục nay, vấn đề dẫn đến việc có hay khơng hứng thú với mơn học phức tạp Trước tình hình đó, sau nghiên cứu kỹ tài liệu, tơi mạnh dạn đưa hệ thống kiến thức nói “phương trình quy phương trình bậc hai” với mong ước làm tài liệu ơn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho người dạy người học việc bồi dưỡng học sinh giỏi “Một số phương pháp giải phương trình đưa phương trình bậc hai” hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, tích hợp từ nhiều tài liệu khác Nói cách giải số loại phương trình đưa phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vơ tỷ… GV: Trương Thò Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 Với loại phương trình sau trình bày cách giải có kèm theo ví dụ minh hoạ, cuối dạng có nhận xét lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp: Thơng qua tốn tốn liên quan đến phương trình bậc hai, nghiên cứu tìm phương pháp giải cho dạng phương trình để quy phương trình bậc hai Từ đó, ứng dụng giải tập, ý khắc phục số sai lầm hay gặp đưa số tập vận dụng Thời gian tạo giải pháp bắt đầu học chương IV – Đại số SGK năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011, 2011 – 2012 GV: Trương Thò Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 B NỘI DUNG I – Mục tiêu - Bµi tËp to¸n gióp cho HS cđng cè kh¾c phơc nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hƯ thèng (vỊ to¸n häc nãi chung còng nh vỊ phÇn ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai ch¬ng tr×nh d¹y to¸n líp 9) theo ph¬ng ph¸p tinh gi¶m dƠ hiĨu - Bµi tËp vỊ “ ph¬ng ph¸p quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai” nh»m rÌn lun cho HS nh÷ng kÜ n¨ng thùc hµnh gi¶i to¸n vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai RÌn lun cho HS c¸c thao t¸c t ,so s¸nh ,kh¸i qu¸t ho¸ ,trõu tỵng ho¸ ,t¬ng tù - RÌn lun cho HS c¸c n¨ng lùc vỊ ho¹t ®éng trÝ t ®Ĩ cã c¬ së tiÕp thu dƠ dµng c¸c m«n häc kh¸c ë trêng THCS Më réng kh¶ n¨ng ¸p dơng kiÕn thøc vµo thùc tÕ - Bµi tËp “Ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai” cßn gãp phÇn rÌn lun cho HS nh÷ng ®øc tÝnh cÈn thËn ,s¸ng t¹o - Nªu ®ỵc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao hc c¸c ph¬ng tr×nh cã d¹ng khã b»ng c¸ch ®a vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i - C¸c vÝ dơ minh ho¹ - RÌn kÜ n¨ng vËn dơng kiÕn thøc ®Ĩ gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - Cđng cè vµ híng dÉn häc sinh lµm bµi tËp II – Mơ tả giải pháp đề tài Thuyết minh tính mới: 1.1 Những kiến để giải phương trình bậc hai: * §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0; ®ã x lµ Èn sè; a, b, c lµ c¸c hƯ sè ®· cho; a ≠ *C¸ch gi¶i: ®a díi d¹ng b¶n ®å t (kÌm theo) 1.2 Phương pháp giải số phương trình quy phương trình bậc hai: 1.2.1 Ph¬ng tr×nh bËc : Ph¬ng tr×nh bËc d¹ng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 Trong ®ã x lµ Èn , a, b, c, d, e lµ c¸c hƯ sè ; ( a ≠ ) Mét ph¬ng tr×nh bËc mµ qua phÐp ®Ỉt Èn phơ ta cã thĨ quy vỊ PT bËc hai a) Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã d¹ng tỉng qu¸t : ax4 + bx + c = (1) Trong ®ã x lµ Èn ; a , b ,c lµ c¸c hƯ sè ( a ≠ ) * C¸ch gi¶i : Khi gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta dïng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn x = t (t ≥ 0) (2) Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) da ®ỵc vỊ d¹ng ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian at2 + bt + c = (3) GV: Trương Thò Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 Gi¶i ph¬ng tr×nh (3) råi thay gi¸ trÞ cđa t t×m ®ỵc ( víi t ≥ 0) vµo (2) ta ®ỵc ph¬ng tr×nh bËc hai víi biÕn x gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®ỵc nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ban ®Çu *VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4x – 109 x2 + 225 =0 (1) Gi¶i §Ỉt x = t (t ≥ 0) ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh 4t2 – 109t + 225 = (2) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc nghiƯm lµ t1 = ; t2 =25 C¶ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (2) ®Ịu tho¶ m·n ®iỊu kiƯn t ≥ 9 ⇔ x1,2 = ± ta cã x2 = 4 + Víi t2 = 25 ta cã x2 = 25 ⇔ x 3,4 = ±5 + Víi t1 = x1,2 = ± VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm lµ : , x 3,4 = ±5 * NhËn xÐt : - Khi nghiªn cøu sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng (1) ta thÊy : - Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm : + Hc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiƯm +Hc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã cïng hai nghiƯm ©m - Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã hai nghiƯm : + Hc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã hai nghiƯm kÐp d¬ng + Hc ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian cã nghiƯm ®ã cã mét nghiƯm ©m vµ mét nghiƯm d¬ng - Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã nghiƯm ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiƯm ®ã cã mét nghiƯm d¬ng vµ mét nghiƯm b»ng - Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã nghiƯm ph¬ng tr×nh hai trung gian cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt b) Ph¬ng tr×nh hƯ sè ®èi xøng bËc a x4 + bx 3+ cx2 + dx + e =0 (Trong ®ã x lµ Èn , a, b, c, d, e lµ c¸c hƯ sè ; a ≠ ) * §Ỉc ®iĨm : ë vÕ tr¸i c¸c hƯ sè cđa c¸c sè h¹ng c¸ch ®Ịu sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng ci th× b»ng * VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = (1) Ta nhËn thÊy x = kh«ng ph¶i lµ nghiƯm cđa pt(1) Do ®ã chia c¶ hai vÕ cho x2 ta ®ỵc 10x2 - 27x – 110 - GV: Trương Thò Ngọc Phượng 27 10 + =0 x x2 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 Nhãm c¸c sè h¹ng c¸ch ®Ịu hai sè h¹ng ®Çu vµ ci thµnh tõng nhãm ta ®ỵc ph   1  − 27  x + ÷− 110 = (2) ÷ x  x  1 §Ỉt Èn phơ (x + ) = t (3) => x2 + = t2 -2 thay vµo (2) ta cã x x ¬ng tr×nh: 10  x + 10t2 - 27t – 130 = (4) Gi¶i (4) ta ®ỵc + Víi t1=- t1=- 26 ; t 2= 5 (x + ) =2 x 2x2 +5x + = cã nghiƯm lµ x1=-2 ; x2= +Víi t 2= −1 26 26 (x+ ) = x 5 5x2 - 26x + = cã nghiƯm lµ x3 =5 ; x4 =  −1 ;−2; ;5  2 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiƯm lµ S=  * NhËn xÐt : - VỊ ph¬ng ph¸p gi¶i gåm bíc +NhËn xÐt x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiƯm cđa (1) ta chia c¶ hai vÕ (1) cho x råi nhãm c¸c sè h¹ng c¸ch ®Ịu hai sè h¹ng ®Çu vµ ci thµnh tõng nhãm ta ®ỵc ph¬ng tr×nh (2) +§Ỉt Èn phơ : x (x+ ) =t (3) => x2+ =t -2 thay vµo (2) x2 +Gi¶i ph¬ng tr×nh ®ã ta ®ỵc t +Thay c¸c gi¸ trÞ cđa t vµo (3) ®Ĩ t×m x vµ tr¶ lêi nghiƯm (1) - VỊ nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh: x0 lµ nghiƯm cđa (1) th× còng lµ nghiƯm cđa x0 nã (vÝ dơ trªn : -2 lµ nghiƯm vµ − 1 lµ ngÞch ®¶o cđa nã còng lµ nghiƯm ;5 vµ lµ nghÞch ®¶o cđa nhau) c) Ph¬ng tr×nh d¹ng ax4 + bx3 + c2 ± kbx + k2a = (ka ≠ 0) : * C¸ch gi¶i: - Do x = kh«ng ph¶i lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) nªn chia c¶ hai vÕ cho x2 ta ®ỵc a (x2 + - §Ỉt x ± k2 k ) + b(x ± ) + c = (2) x x k k2 k2 = t => x2 +( ) ± 2k = t => x + = t + 2k x x x Khi ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: GV: Trương Thò Ngọc Phượng a(t2 + 2k) + bt + c = Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 - Ta ®ỵc ph¬nmg tr×nh (3) trung gian nh sau : at2 + bt + c + 2ak = (3) - Gi¶i (3) ta ®ỵc nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ban ®Çu * VÝ dơ Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + = 5x(x2 – 2) (1) NhËn xÐt: Tõ (1) x4 – 5x3 + 10x + = (a = 1, b = - 5, c = 2, k = 2) • x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiƯm cđa (1) • Do ®ã chia c¶ hai vÕ ph¬ng tr×nh cho x2 ta ®ỵc: x + * §Ỉt t = ( x - − 5(x − ) = x x ) (3) => t2 +4 = ( x2 + ) thay vµo (2) x x Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t2 - 5t + = cã nghiƯm lµ t1=1 ; t2=4 +Víi t1=1 ta cã: x2 – x – = x1= - 1; x2= + Víi t2=4 ta cã: x2 – 4x - = cã nghiƯm lµ x3,4 = ± { } VËy tËp nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho lµ S= −1; 2; ± d) Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d ) = m (Trong ®ã a+d=b+c) *C¸ch gi¶i : Nhãm ( x+a) víi (x+d) ; (x+b) víi (x+c) råi triĨn khai c¸c tÝch ®ã Khi ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng: [x2 +( a+d)x + ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =m a+d=b+c nªn ta ®Ỉt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k cã thĨ lµ ad hc bc ) ta cã ph¬ng tr×nh At +Bt + C =0 (Víi A=1) Gi¶i ph¬ng tr×nh ta t×m ®ỵc t sau ®ã thay vµo (2) råi gi¶i t×m ®ỵc nghiƯm x * VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) • nhËn xÐt 1+7 =3+5 • Nhãm hỵp lý, ta ®ỵc ph¬ng tr×nh: (x2 +8x +7 )(x2 + 8x + 15) = - 15 (2) *§Ỉt x2 +8x +7 = t (3) thay vµo (2) ta ®ỵc: t( t+ 8) = - 15 t2 +8t +15 =0 cã nghiƯm t1=-3 ; t2=-5 Thay vµo (3) ta ®ỵc hai ph¬ng tr×nh 1/ x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiƯm x1,2 = - ± 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiƯm x3 =-2; x4 =-6 VËy tËp nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) lµ S = − 2;−6;−4 ± * NhËn xÐt : -§èi víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã d¹ng ®Ỉc biƯt nh trªn ,nÕu ta khai triĨn vÕ tr¸i ta sÏ ®ỵc ph¬ng tr×nh bËc ( thêng lµ lo¹i bËc ®Çy ®đ ) §èi víi HS ë THCS viƯc gi¶i lµ rÊt khã kh¨n V× vËy tõ viƯc nhËn xÐt tỉng hai cỈp hƯ sè cđa ph¬ng tr×nh b»ng råi nhãm mét c¸ch hỵp lÝ Khi khai triĨn mçi nhãm ,ta ®ỉi biÕn cđa ph¬ng tr×nh vµ ®a vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian { GV: Trương Thò Ngọc Phượng } Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 - Ta thÊy nÕu ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian v« nghiƯm th× ph¬ng tr×nh ban ®Çu còng v« nghiƯm NÕu ph¬ng tr×nh trung gian cã nghiƯm th× ta tr¶ biÕn l¹i vµ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi biÕn x, nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh nµy lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ban ®Çu e) Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong ®ã xlµ Èn sè ;a, b, c lµ c¸c hƯ sè ) *C¸ch gi¶i : §èi víi d¹ng ph¬ng tr×nh nµy ta ®Ỉt Èn phơ lµ trung b×nh céng cđa (x+a) vµ (x+b) §Ỉt Ta cã a+b a+b => x = t − 2 a−b x+a =t+ a−b x+b=t t =x+ 4 a−b  a −b Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh :  t + ÷ +t − ÷ =0 2    2t4 +12 (  a−b 2 a−b ) t + 2( ) – c =0 2 §©y lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ®· biÕt c¸ch gi¶i Chó ý ®¼ng thøc: (x ± y)4 = x4 ± 4x3y + 6x2y2 ± 4xy3 + y4 *VÝ dơ Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Ỉt t = x+ + (−1) = x + => x = t – Ta cã ph¬ng tr×nh : (t+2)4 + (t – 2)4 = 626 t4 + 24t2 - 297 =0 cã nghiƯm lµ t1 =9 vµ t2 = - 33 Tõ ®ã t×m ®ỵc x1 = vµ x2 = - 34 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho 1.2.2.Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (trong ®ã x lµ Èn; a ≠ ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) *C¸ch gi¶i: - T×m TX§ cđa ph¬ng tr×nh - ®ỉi biÕn b»ng c¸ch ®Ỉt f(x) =t ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng at2 + bt +c =0 (2) lµ PT bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i + nÕu (2) cã nghiƯm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t + nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh f(x) =t0 (nÕu tho¶ m·n TX§ cđa ph¬ng tr×nh ®· cho ) sÏ lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) * VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x ∈ R BiÕn ®ỉi vÕ tr¸i ta cã VT = (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng : GV: Trương Thò Ngọc Phượng 10 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 §Ỉt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT : t2 - 4t +3 = cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3 Víi t1=1 ta cã: x2+ 3x = 1 x2 +3x -1=0 cã nghiƯm lµ x1 , = Víi t2=3 ta cã: x2+ 3x = 3 x2+ 3x – =0 cã nghiƯm x3, = − ± 13 − ± 21 c¸c nghiƯm nµy ®Ịu tho¶ m·n TX§ VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm lµ x1 , = − ± 13 ; x3, = − ± 21 *NhËn xÐt : -Nhê phÐp biÕn ®ỉi f(x) =t ta ®a ph¬ng tr×nh a[ f(x)]2 +b f(x) +c = vỊ d¹ng ph¬ng tr×nh bËc hai ®· biÕt c¸ch gi¶i - Tuy nhiªn cã mét sè ph¬ng tr×nh ph¶i qua mét sè phÐp biÕn ®ỉi míi xt hiƯn d¹ng tỉng qu¸t ( vÝ dơ trªn ) Còng nh mét sè lo¹i ph¬ng ph¬ng tr×nh kh¸c mµ t«i ®· giíi thiƯu ë trªn sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ban ®Çu phơ thc vµo nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian *Chó ý : - TÊt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh ®· ®Ị xt ë trªn thùc chÊt chóng ®Ịu cã d¹ng tỉng qu¸t: a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (1) (sau ®· biÕn ®ỉi ) - Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng kĨ c¶ ph¬ng tr×nh bbËc hai ®Ịu lµ d¹ng ®Ỉc biƯt cđa ph¬ng tr×nh a x2n+ bx n +c = Gäi lµ ph¬ng tr×nh tam thøc (trong ®ã x lµ Èn ;a ≠ ; n ≥ 1) Vµ c¸c ph¬ng tr×nh nµy còng d¹ng ®Ỉc biƯt cđa ph¬ng tr×nh (1) trªn Víi f(x)=xn 1.2.3 Ph¬ng tr×nh tam thøc Ph¬ng tr×nh tam thøc d¹ng : a x2n + bxn +c=0 (1) (a, b, c lµ c¸c sè thùc ;n nguyªn d¬ng ;n ≥ ; a ≠ ) * NÕu a, b, c ®ång thêi kh¸c kh«ng vµ n=2 th× ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ®· nghiªn cøu ë trªn * XÐt trêng hỵp n>2 -Ta ®Ỉt xn =t  x n = t - §Ĩ t×m nghiƯm cđa (1) ta gi¶i hƯ sau :  at + bt + c = * VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh x6- 9x3+8=0 (1) C¸ch 1: §Ỉt x3 = t ta cã ph¬ng tr×nh t2 -9t +8= cã nghiƯm t1 =1 ; t2 =8 -Víi t1 =1 x3 =1 x=1 -Víi t2 =8 x3= x=2 GV: Trương Thò Ngọc Phượng 11 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 C¸ch : §a vỊ ph¬ng tr×nh tÝch (1)  (x6 – x3) –( 8x3-8) =0  ( x3 -1) (x3 -8) =0 (x3 -1) =0 hc (x3 -8) =0 x=1 hc x=2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm lµ x=1 ; x=2 1.2.4 Ph¬ng tr×nh bËc ba cã mét nghiƯm cho tríc x = α a x3 + bx2 + cx + d = ( ®ã x lµ Èn ; a,b,c,d lµ c¸c hƯ sè ;a ≠ ) * C¸ch gi¶i : - B»ng phÐp chia ®a thøc (hc dïng s¬ ®å Horner) ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh: (x – α)(ax2 + b1x + c1) ®Ĩ ®a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng tÝch: x = α (x – α)(ax2 + b1x + c1) = ⇔  ax + b1x + c1 = Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + b1x + c1 = ta ®ỵc c¸c nghiƯm kh¸c ngoµi nghiƯm x = α cđa ph¬ng tr×nh bËc ba - S¬ ®å Horner: Chia ®a thøc P(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an – 1x + an cho x = α ta cã: P(x) = (x – α)(b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1) + bn S¬ ®å x¸c ®Þnh bi: a0 a1 a2 … an bn α b0 b1 b2 … Víi b0 = a0 vµ bi = αbi-1 + a1 (i = 1, 2, …, n) *VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x3 +7x2 +7x + 2=0 Gi¶i Ta cã: – + – = nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = - Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc vÕ tr¸i cho x + ta ®ỵc th¬ng lµ 2x2 + 5x + S¬ ®å Horner: 7 NghiƯm – Dßng 1: c¸c hƯ sè cđa ®a thøc Dßng 2: c¸c hƯ sè cđa th¬ng Sè ®Çu tiªn ®em xng (a0 = b0); Mn cã lÊy (-1) nh©n råi céng víi ë dßng (αb0 + a1 = b1); TiÕp tơc víi (αb1 + a2 = b2) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho (x+1) (2x2+5x +2) =  x = −1 x +1 = ⇔ ⇔  x1 = − , x = −2 2x + 5x + =     1 2 VËy tËp nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ: S = −1; −2; −  *NhËn xÐt : GV: Trương Thò Ngọc Phượng 12 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 Khi gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc ba ta kh«ng nghiªn cøu c¸ch gi¶i tỉng qu¸t mµ chđ u dïng phÐp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®Ĩ ®a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch - Chó ý : tÝnh chÊt cđa ph¬ng tr×nh bËc ba : ax3 +bx2 +cx + d =0 ( a ≠ ) +NÕu a+b+c +d =0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x=1 +NÕu a-b+c-d =0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x= -1 Khi ®· nhËn biÕt ®ỵc mét nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ta dƠ dµng ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tư - Ph¬ng tr×nh : a x3 + bx2 + cx + d = ( a ≠ ) víi c¸c hƯ sè nguyªn NÕu cã nghiƯm nguyªn th× nghiƯm nguyªn ®ã ph¶i lµ íc cđa h¹ng tư tù (®Þnh lÝ sù tån t¹i nghiƯm nguyªn cđa ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn ) 1.2.5 Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu: * C¸ch gi¶i: Thùc hiƯn c¸c bíc sau: Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa ph¬ng tr×nh Bíc 2: Quy ®ång mÉu thøc hai vÕ råi khư mÉu thøc Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®ỵc Bíc 4: Trong c¸c gi¸ trÞ t×m ®ỵc cđa Èn, lo¹i c¸c gi¸ trÞ kh«ng tháa m·n ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho * VÝ dơ1: Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh theo a, b: Giải: Ta có: (1) Điều kiện: a b + = (1) x −b x −a x ≠ a, x ≠ b : ⇔ 2( x − a )( x − b) = a( x − a ) + b( x − b) ⇔ x − 3(a + b) x + a + b + 2ab = ⇔ x − 3(a + b) x + (a + b) = ∆ = ( a + b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = a + b ; x = a+b * x1 ≠ a ⇔ b ≠ ; x1 ≠ b ⇔ a ≠ * x ≠ a ⇔ a ≠ b; x ≠ b ⇔ a ≠ b Vậy với a ≠ b;a ≠ 0, b ≠ (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 − − + =0 2x + 3x − 8x − 12 x − 2x + 7x + 2x + 3 Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: GV: Trương Thò Ngọc Phượng 13 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 ⇔ 4 − − + =0 (x − 2)(x + 2)(2x + 3) (x − 2)(x + 2) (x + 2)(2x + 3) 2x + ĐKXĐ: x ≠ 2, x ≠ −2, x ≠ − Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Quy đồng khử mẫu ta có: 4- (2x+3) - 4(x-2) + (x-2)(x+2) = ⇔ − 2x − − 4x + + x − = ⇔ x − 6x + = Giải phương trình : x2-6x+5=0 ta nghiệm: x1=1, x2=5 Đối chiếu với ĐXKĐ ta thấy x1 = x2 = nghiệm pt * Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn mẫu loại thường gặp trường phổ thơng + Khi giải loại cần lưu ý: Cần so sánh giá trị tìm ẩn với TXĐ trước kết luận nghiệm phương trình 1.2.6 Phương trình có chứa thức: * Cách giải: Áp dụng phương pháp: - Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn phụ - Đặt điều kiện bình phương hai vế hai vế dương x −5 = x −7 * Ví dụ: Giải phương trình sau: Điều kiện: x≥7 Cách 1: đặt t = x − ≥ 0, suy x = t2 +  t = −1 t = Ta có: t = t2 + – t2 – t – = ⇔  Với t = ta có x − = ⇔ x − = ⇔ x = (>7) Vậy tập nghiệm phương trình S = {9 Cách 2: Với điều kiện x ≥ hai vế dương Bình phương hai vế ta được: x = x = X – = x2 – 14x + 49 x2 – 15x + 54 = ⇔  * Chú ý: Sau tìm nghiệm, cần phải kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp GV: Trương Thò Ngọc Phượng 14 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 1.2.7 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Áp dụng phương pháp sau: - Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối định nghĩa: * Ví dụ: Giải phương trình: x + x − = 2x + (1) Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt t = x − , t ≥ Khi đó: t = x − = x − 2x + ⇒ x − 2x = t −  t1 =  t = −2 (1) trở thành: t2 – + t – = t2 + t – = ⇔  x −1 = x = ⇔  x − = −1  x = Với t = ta có x − = ⇔  Vậy tập nghiệm phương trình S = {0; 2} * Chú ý: Chọn nghiệm thích hợp với điều kiện đặt quy trình giải Khả áp dụng: Trong c¸c bi tỉ chøc häc tù chän vµ båi dìng häc sinh giái líp t«i ®· trun thơ cho häc sinh hƯ thèng c¸c d¹ng vµ ph¬ng ph¸p gi¶i nªu trªn t«i nhËn thÊy ®a sè häc sinh n¾m v÷ng dỵc kiÕn thøc vµ gi¶i thµnh th¹o d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai Víi hƯ thèng kiÕn thøc, c¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i ®ỵc x©y dùng ®¬n gi¶n vµ dƠ nhí nªn häc sinh n¾m nhanh v× vËy ®· h×nh thµnh cho häc sinh niỊm thÝch thó gỈp c¸c d¹ng to¸n nµy V× thêi gian vµ kinh nghiƯm cßn h¹n chÕ nªn hƯ thèng kiÕn thøc trªn cßn nhiỊu ®iĨm cÇn x©y dùng s©u h¬n vµ bỉ sung c¸c d¹ng to¸n phong phó h¬n Lợi ích kinh tế - xã hội: Qua việc áp dụng đề tài vào giảng dạy, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi thấy kết thu khả quan: - Đa phần em có hứng thú học tập, chăm học hơn, việc bỏ tiết hạn chế rõ rệt - Học sinh mạnh dạn học hỏi từ bạn, từ thầy, giáo GV: Trương Thò Ngọc Phượng 15 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 - Đa phần em thường xun phát biểu, trả lời câu hỏi thắc mắc giáo viên kiến thức học em Sự giao lưu kiến thức thầy - trò khơng có vách tường ngăn cách - Nâng cao chất lượng mơn Qua khảo sát chất lượng năm học 2010 2011, kết học sinh nâng cao rõ rệt Lớp 9A1 9A4 sĩ số 13 Điểm SL % 14,3% 15,3% GV: Trương Thò Ngọc Phượng SL 16 Điểm % Điểm 8-10 57,1% 46,2% % 28,6% 38,5% Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 C KẾT LUẬN Phát triển tư tốn học nhận thức sáng tạo cho em học sinh việc làm khó Để làm điều người giáo viên phải người có kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương u học sinh cần phải kỳ cơng với giảng Sau thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết học tập học sinh lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi với đồng nghiệp tơi thấy Khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức phương trình quy phương trình bậc hai theo nội dung đề tài em có tiến rõ rệt Thể hiện, có nhìn tồn diện mảng kiến thức này, khơng lúng túng giải dạng phương trình học Đối với giáo viên, việc thực giảng dạy kiến thức trở nên dễ dàng nhiều, đồng nghiệp tơi đánh gái cao hệ thống kiến thức coi tài liệu cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 9.(Mảng kiến thức phương trình) Trong q trình thực đề tài thân tơi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực sau: - Để thực tốt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải tốn khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tò mò, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chun đề Với chun đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải tốn khác thể loại - Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xun bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, GV: Trương Thò Ngọc Phượng 17 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu học tập chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa - Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần tránh cho học sinh biểu tự đắc, cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham dự thi lớn Chính vậy, giáo viên cần ln có tốn khó, u cầu cao để em thấy q trình học bồi dưỡng học sinh giỏi q trình khơng thể diễn ngày một, ngày hai, mà q trình lâu dài, thường xun, liên tục Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải tốn khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả * Kiến nghị, đề xuất - Cần tăng cường thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn nói lớp - Tổ chức, xây dựng chun đề cách thường xun để giáo viên học tập kinh nghiệm lẫn từ có phương pháp dạy học phù hợp - Nhà trường nên mở lớp dạy thêm để phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi Quy Nhơn, ngày 20 / 03 / 2012 Người viết Trương Thị Ngọc Phượng GV: Trương Thò Ngọc Phượng 18 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 Tµi liƯu tham kh¶o §¹i sè NXB Gi¸o Dơc Ng« H÷uDòng -TrÇn KiỊu Ng« H÷uDòng - TrÇn KiỊu §µoNgäc Nam-T«n Nh©n Bµi tËp ®¹i sè NXB Gi¸o Dơc Vò H÷u B×nh Mét sè vÊn ®Ị ph¸t triĨn ®¹i sè NXB Dơc §Ĩ häc tèt ®¹i sè NXB Gi¸o Dơc Bïi V¨n Tun Gi¸o Hoµng Chóng Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn NXB Gi¸o Dơc Vò D¬ng Th ®Ị to¸n Ngun Ngäc §¹m To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ị NXB Gi¸o Dơc T«n Th©n -Vò H÷u B×nh ®¹i sè C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i NXB Gi¸o Dơc Ngun Vò Thanh - Bïi to¸n V¨n Tun GV: Trương Thò Ngọc Phượng 19 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 2011 - 2012 NHẬN XÉT ĐÁNH GÍA CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC GIÁO DỤC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ NGUYỄN HUỆ GV: Trương Thò Ngọc Phượng 20 Trường THCS Nguyễn Huệ [...]... dụ 2: Giải phương trình: 4 1 4 1 − 2 − 2 + =0 2x + 3x − 8x − 12 x − 4 2x + 7x + 6 2x + 3 3 2 Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: GV: Trương Thò Ngọc Phượng 13 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 20 11 - 20 12 ⇔ 4 1 4 1 − − + =0 (x − 2) (x + 2) (2x + 3) (x − 2) (x + 2) (x + 2) (2x + 3) 2x + 3 ĐKXĐ: x ≠ 2, x ≠ 2, x ≠ − 3 2 Mẫu thức chung: (x -2) (x +2) (2x+3)... bËc hai - N¨m häc: 20 11 - 20 12 (x2+ 3x )2 - 4(x2+3x) +3 =0 §Ỉt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT : t2 - 4t +3 = 0 cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3 Víi t1=1 ta cã: x2+ 3x = 1 x2 +3x -1=0 cã nghiƯm lµ x1 , 2 = Víi t2=3 ta cã: x2+ 3x = 3 x2+ 3x – 3 =0 cã nghiƯm x3, 4 = − 3 ± 13 2 − 3 ± 21 2 c¸c nghiƯm nµy ®Ịu tho¶ m·n TX§ VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiƯm lµ x1 , 2 = − 3 ± 13 ; 2 x3, 4 = − 3 ± 21 2 *NhËn xÐt : -Nhê... Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Áp dụng một trong các phương pháp sau: - Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa: * Ví dụ: Giải phương trình: x 2 + x − 1 = 2x + 1 (1) Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt t = x − 1 , t ≥ 0 2 Khi đó: t 2 = x − 1 = x 2 − 2x + 1 ⇒ x 2 − 2x = t 2 − 1  t1 = 1  t 2 = 2 (1) trở thành: t2 – 1 + t – 1 = 0 t2 + t – 2 = 0 ⇔... nghiệm của phương trình 1 .2. 6 Phương trình có chứa căn thức: * Cách giải: Áp dụng một trong các phương pháp: - Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ - Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế khi hai vế đều dương x −5 = x −7 * Ví dụ: Giải phương trình sau: Điều kiện: x≥7 Cách 1: đặt t = x − 5 ≥ 0, suy ra x = t2 + 5  t = −1 t = 2 Ta có: t = t2 + 5 – 7 t2 – t – 2 = 0 ⇔  Với t = 2 ta có x − 5 = 2 ⇔ x − 5... − 3 2 Mẫu thức chung: (x -2) (x +2) (2x+3) Quy đồng và khử mẫu ta có: 4- (2x+3) - 4(x -2) + (x -2) (x +2) = 0 ⇔ 4 − 2x − 3 − 4x + 8 + x 2 − 4 = 0 ⇔ x 2 − 6x + 5 = 0 Giải phương trình : x2-6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x1=1, x2=5 Đối chiếu với ĐXKĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là 2 nghiệm của pt * Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thơng + Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh... (αb0 + a1 = b1); TiÕp tơc víi 2 (αb1 + a2 = b2) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho (x+1) (2x2+5x +2) = 0  x = −1 x +1 = 0 ⇔ 2 ⇔  x1 = − 1 , x 2 = 2 2x + 5x + 2 = 0   2   1 2 VËy tËp nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ: S = −1; 2; −  *NhËn xÐt : GV: Trương Thò Ngọc Phượng 12 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 20 11 - 20 12 Khi gi¶i mét ph¬ng tr×nh... Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh theo a, b: Giải: Ta có: (1) Điều kiện: a b + = 2 (1) x −b x −a x ≠ a, x ≠ b : ⇔ 2( x − a )( x − b) = a( x − a ) + b( x − b) ⇔ 2 x 2 − 3(a + b) x + a 2 + b 2 + 2ab = 0 ⇔ 2 x 2 − 3(a + b) x + (a + b) 2 = 0 ∆ = ( a + b) 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = a + b ; x 2 = a+b 2 * x1 ≠ a ⇔ b ≠ 0 ; x1 ≠ b ⇔ a ≠ 0 * x 2 ≠ a ⇔ a ≠ b; x 2 ≠ b ⇔ a ≠ b Vậy với a ≠ b;a ≠ 0, b... bi = αbi-1 + a1 (i = 1, 2, …, n) *VÝ dơ : Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x3 +7x2 +7x + 2= 0 Gi¶i Ta cã: 2 – 7 + 7 – 2 = 0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = - 1 Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc vÕ tr¸i cho x + 1 ta ®ỵc th¬ng lµ 2x2 + 5x + 2 S¬ ®å Horner: 2 7 7 2 NghiƯm – 1 2 5 2 0 Dßng 1: c¸c hƯ sè cđa ®a thøc Dßng 2: c¸c hƯ sè cđa th¬ng Sè 2 ®Çu tiªn ®em xng (a0 = b0); Mn cã 5 lÊy (-1) nh©n 2 råi céng víi 7 ë dßng 1... phương trình là S = {9 Cách 2: Với điều kiện x ≥ 7 cả hai vế cùng dương Bình phương hai vế ta được: x = 9 x = 6 X – 5 = x2 – 14x + 49 x2 – 15x + 54 = 0 ⇔  * Chú ý: Sau khi đã tìm được nghiệm, cần phải kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp GV: Trương Thò Ngọc Phượng 14 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 20 11 - 20 12 1 .2. 7 Phương. .. x3= 8 x =2 GV: Trương Thò Ngọc Phượng 11 Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh quy vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai - N¨m häc: 20 11 - 20 12 C¸ch 2 : §a vỊ ph¬ng tr×nh tÝch (1)  (x6 – x3) –( 8x3-8) =0  ( x3 -1) (x3 -8) =0 (x3 -1) =0 hc (x3 -8) =0 x=1 hc x =2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm lµ x=1 ; x =2 1 .2. 4 Ph¬ng tr×nh bËc ba cã mét nghiƯm cho tríc x = α a x3 + bx2 + cx + d = ... häc: 20 11 - 20 12 ⇔ 4 − − + =0 (x − 2) (x + 2) (2x + 3) (x − 2) (x + 2) (x + 2) (2x + 3) 2x + ĐKXĐ: x ≠ 2, x ≠ 2, x ≠ − Mẫu thức chung: (x -2) (x +2) (2x+3) Quy đồng khử mẫu ta có: 4- (2x+3) - 4(x -2) +... 10  x + 10t2 - 27 t – 130 = (4) Gi¶i (4) ta ®ỵc + Víi t1=- t1=- 26 ; t 2= 5 (x + ) =2 x 2x2 +5x + = cã nghiƯm lµ x1= -2 ; x2= +Víi t 2= −1 26 26 (x+ ) = x 5 5x2 - 26 x + = cã nghiƯm... häc: 20 11 - 20 12 (x2+ 3x )2 - 4(x2+3x) +3 =0 §Ỉt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT : t2 - 4t +3 = cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3 Víi t1=1 ta cã: x2+ 3x = 1 x2 +3x -1=0 cã nghiƯm lµ x1 , = Víi t2=3 ta cã: x2+ 3x