9 phương pháp giải phương trình mũ và logarit

9 phương pháp giải phương trình mũ và logarit tham khảo

b) log2 (3x − 4) = 3.

ĐK: 3x − 4 > 0 ⇔ x >4

3log2 (3x − 4) = 3 ⇔ l3x − 4 = 23 ⇔ 3x − 4 = 8 ⇔ 3x

=12 ⇔ x = 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x = 4

Pag

2



Phương pháp 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình về dạng a f ( x) = ag ( x)

- Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì a f ( x) = ag ( x) ⇔ f (x) = g(x)

- Nếu cơ số a thay đổi thì a f ( x) = a g ( x) ⇔

b) ĐK: 3x − 4 > 0 ⇔ x > 4

.3log2 (3x − 4) = 3 ⇔ log2 (3x − 4) = log2 2 ⇔ 3x − 4 = 2 ⇔ 3x − 4 = 8

⇔ 3x =12 ⇔ x = 4

2



3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4.

a) lg x + lg x2 = lg 4x ; b) log x + log x + log x = log x .

log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ⇔ log2 x + log3 2.log2 x + log4 2.log2 x = log5 2.log2 x

⇔ log2 x.(1+ log3 2 + log4 2 − log5 2) = 0 ⇔ log2 x = 0 ⇔ x =1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Phương pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = log  5 

 

3x − 4 > 0 4b) ĐK:

 ⇔ x > .

x > 0 3log2 (3x − 4).log2 x = log2 x ⇔ log2 x

3 nên nghiệm của phương trình là x = 2

Phương pháp 4: LÔGARIT HÓA, MŨ HÓA

3t + 2t =

Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*)

nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà t = 0 là một nghiệm của (*)

nên đó là nghiệm duy nhất của (*)

22x

2

2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1, x = 2.

Do đó nếu đặt t điều kiện t > 0, thì: 2 và 7

Khi đó phương trình tương đương với:

Vế trái của (*) là hàm số nghịch biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*)

nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà

nên đó là nghiệm duy nhất của (*)

⇒ log7 x = 2 ⇒ x = 49

t =2

là một nghiệm của (*)

Vậy phương trình có nghiệm x = 49

Ví dụ 2 Giải phương trình: 7x− 1 = 6log (6x − 5) +1

nên f (t )

là hàm số

đồng biến trên  5

; +∞ Mà

nếu có nghiệm thì có nhiều

Nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2

Ví dụ 3 Giải phương trình: 3x + 4x = 2 − 7x (*).

Giải:

Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải của (*) là hàm số nghịch biến nên

phương trình (*) nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là một nghiệm Mà

nghiệm của (*) nên đó là nghiệm duy nhất của (*) x = 0 là một

Phương pháp 7: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Phương pháp 8: PHƯƠNG PHÁP QUAN NIỆM HẰNG SỐ LÀ ẨN

Ví dụ 1 Giải phương trình: 16x − 4x−1 + 2x+2 = 16

Giải:

Ta có 16x − 4x−1 + 2x+2 = 16 ⇔ 42 − 2x.4 + 4x−1 − 16x = 0 (*)

Xét phương trình ẩn t sau đây t2 − 2x t + 4x−1 − 16x = 0 (**) Giả sử (*) đúng với giá trị

x0 nào đó thì phương trình ẩn t sau có nghiệm t = 4: t − 2x0 t + 4x0

− 1 − 16 2 x0 = 0

[2;4] Áp dụng định lí lagrange thì có số

k ∈(2;4) sao cho

Thay x = 0; x =1 vào (1) ta thấy chúng đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x =1

BÀI TẬP : GIẢI PHÝÕNG TRÌNH-HỆ PHÝÕNG TRÌNH( SỬ DỤNG ÐẠO HÀM) Bài 1: Giải phýõng trình

Ðặt u = 2 cos t 0 < t < π

⇒ cos 3t =

1 2 2

Suy ra phýõng trình có nghiệm x= ± 2 cos π

Suy ra sinx= cosx⇔x= + kπ

4

Bài 7: Giải phýõng trình

(x + 2) 2+ log 2

x 2 + 4x + 5 = 2 2x + 3 2x + 3

Phýõng trình f/(x)= 0 có nghiệm duy nhất nên theo ðịnh lí Lagrange phýõng trình f (x)= 0

không có quá 2 nghiệm phân biệt Phýõng

Hệ phýõng trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh ⇒x=y=z

Từ đó ta có log 5x= log 3( x + 4), đặt t = log5 x

cos x = log2 (8cos z − cos 2x − 5)

cos y = log2 (8cos x − cos 2 y − 5) cos z = log2 (8cos y − cos 2z − 5)

Giải :

8Z = 2 X + 2X 2 + 4 ⇔ 8X = 2Y + 2Y 2 + 4 8Y = 2Z + 2Z 2

Bài 19: Giải hệ phýõng trình

log 2 (1 + 3cos x) = log3 (sin y) + 2

log 2 (1 + 3sin y) = log3 (cos x) + 2

⇒ sin y = cos x

Thay vào phýõng trình (1) ⇒ log 2 (1 + 3cosx)= log 3 (cosx)+ 2

Lập BBT hàm số g(v)= log 2 (1 +3v)− log 3v với v= cosx∈(0 , 1] phýõng trình chỉ có 2 nghiệm

cos x = 1 , cos x =

1 3

Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng (0; 2π) của phýõng trình

e2 cos2x (8sin 6 x −12sin 4 x + 10sin 2 x) = e + 5

6 Lập bảng biến thiên hàm số f (t) , suy ra phýõng trình f (t) = 0 có nghiệm duy nhất

t = v , 0 < v < u

Suy ra phýõng trình sinx = ± v có 4 nghiệm phân biệt x ∈ (0, 2π )