9 phương pháp giải phương trình mũ và logarit

9 phương pháp giải phương trình mũ và logarit tham khảo

O0O -Phƣơng pháp 1: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN a f ( x) = b ⇔ f (x) = log b ; log f (x) = b ⇔ f (x) = ab a a Ví dụ Giải phƣơng trình: x −5x+4 a) b) log2 (3x − 4) = ;2 = 81 Giải: a) x2 −5x+4 = 81 ⇔x 2 − 5x + = log3 81 − 5x + = log3 ⇔x x=0 ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x2 − 5x = ⇔ x(x − 5) = ⇔  x=5 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) log2 (3x − 4) = ĐK: 3x − > ⇔ x > log2 (3x − 4) = ⇔ l3x − = 23 ⇔ 3x − = ⇔ 3x =12 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x =  Phƣơng pháp 2: ĐƢA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình dạng a - Nếu số a số dương khác a f ( x) - Nếu số a thay đổi a f ( x) = a g ( x) ⇔  a>0  (a −1) f (x) − g(x) = [ ]  2) Đối với phương trình logarit: biến đổi phương trình log f (x) = log g(x) ⇔ a a     f (x) > = ag ( x) = ag ( x) ⇔ f (x) = g(x) f ( x) dạng 0 ⇔ x > log2 (3x − 4) = ⇔ log2 (3x − 4) = log2 ⇔ 3x − = 23 ⇔ 3x − = ⇔ 3x =12 ⇔ x =  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phƣơng x2 −x+8 1−3x a) x+1 = ; b) x−1 +2 x + = 28 c) 2.5x −3 = 5.2x ; −3 d) x −1 x −1 x −3 =3 −2 Giải: a) x2 −x+8 x2 −x+8 1−3x =9 ⇔3 ⇔ x2 + 5x + = ⇔  2(1−3x) =  x = −2 ⇔ x − x + = 2(1− 3x) x = −3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = -  b) 2x+1 + 2x−1 + 2x = 28 ⇔ 22.2x−1 + 2x−1 + 2.2x−1 = 28 ⇔ 2x−1(22 +1+ 2) = 28 ⇔ 2x−1 = ⇔ 2x−1 = 22 ⇔ x −1 = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x2 −3 x2 −3 c) 2.5 = 5.2 ⇔ x −3 = 2 x −3  5 x2 −3  = ⇔      2   ⇔ x2 − =1 ⇔ x2 = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = x2 −1 d) x2 x−1 −3 =3 ⇔ 2x −1 + 23.2x −1 − x2 +2 x−1 ⇔2 3.3 x−1 − x2 −1 =3 x2 −1 − 2 = 3x −1 + 3.3x −1 ⇔ 2x −1(1+ 23 ) = 3x −1(1+ 3) ⇔ 2x −1.9 = 3x −1.4 ⇔   −1 x2 2 2 2 x +2 = ⇔ 2 Ví dụ Giải phƣơng   =  x −1    3 ⇔ x2 = ⇔ x = ±    3 =2 ⇔ x2 −1    3 3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = Ví dụ Giải phƣơng a) lg x + lg x2 = lg 4x ; b) log x + log x + log x = log x Giải: b) ĐK: x > lg x + lg x2 = lg 4x ⇔ lg x + 2lg x = lg 22 ⇔ lg = lg ⇔ ⇔ 2lg x x = lg + lg x ⇔ 2lg = lg x x = x =2⇔  x = −2  Do x > nên nghiệm phương trình x = b) ĐK: x > log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ⇔ log2 x + log3 2.log2 x + log4 2.log2 x = log5 2.log2 x ⇔ log2 x.(1+ log3 + log4 − log5 2) = ⇔ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ Giải phƣơng trình: a) 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 ; b) log (3x − 4).log x = log x 2 Giải: a) 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 ⇔12.3x + 3.3x.5x − 5.5x − 20 = ⇔ 3.3x (4 + 5x ) − 5(5x + 4) = ⇔ (5x + 4)(3.3x − 5) =  x 5 x ⇔ 5 + = ⇔ = ⇔ x = log     x 3.3 − =    Vậy phương trình cho có nghiệm x = log 5   3 3x − > b) ĐK:  ⇔x>4 x >  log (3x − 4).log x = log x ⇔ log x log (3x − 4) −1 = [ ⇔ log2 x =   ⇔ log2 x =  x= x =1 ⇔  ⇔    log (3x − 4) = 3x − = x =2    log2 (3x − 4) −1 = Do x > ] nên nghiệm phương trình x = Phƣơng pháp 4: LÔGARIT HÓA, MŨ HÓA Ví dụ Giải phƣơng trình: a) 3x.2 x =1 b) 3log x + x = ; Giải: a) Lấy lô garit hai vế với số 2, ta () x x log2 x x2 = log2 ⇔ log2 + log2 = ⇔ x.log2 + log2 = x ⇔ x.log + x2 = ⇔ x log + x = ⇔  x = ( ) ⇔ x =  2 log + x = x = −log   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = −log2 b) ĐK: x > Đặt log x = t ⇒ x = ta thu phương trình mũ theo biến t : t 3t + 2t = (*) Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t = nghiệm (*) nên nghiệm (*) ⇒ log2 x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng pháp 5: DÙNG ẨN PHỤ 2x Ví dụ Giải phƣơng trình: 1 9.2x x 2x 2 Giải: Chia vế phương trình cho 2x x 9.2 2x 1 2x 2 2x x 2x 2x 2 22x ta được: 2.22x 2x 9.2x x x 22 x Đặt t t 9t t x x2 22 x x 2 x1 x 2 x x x x 2t2 điều kiện t > Khi phương trình tương đương với : Biệt thức ∆ = −2 ( Suy x0 ) −4 ( x0 −1 ; t=4= x0 + 4.16 x0 −16 ) = 4.16 x0 >0 t=4= x0 x0 − 4.16 x0  65 x0 + 4.16 TH1: x0 x 42x= −1 − 65  65 x = log + x0 2 − 4.16 TH2:  =8⇔ x 2 x + 2.4 ⇔  0    2x =  4  (pt vô nghiệm) ⇔2 x0 − 2.4 x0 = ⇔ 2 x0 ( ) x = log 2  −2 x0 +8=   Phƣơng pháp 9: SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE (n) −1 Vậy phương trình cho có nghiệm −1 + 65 =  −8=0⇔ (  ) x+ x0 4= − + (l) Ví dụ Giải phƣơng trình: 5x + 4x = 2x + 7x (1) Giải: x Giả sử nghiệm (1), hay ta có: 5x0 + 4x0 = 2x0 + 7x0 ⇔ 5x0 − 2x0 = 7x0 − 4x0 (*) Xét hàm số f (t) = t + x0 đạo hàm đoạn số − t đoạn 2; f (t) hàm số liên tục có ( )x [2;4] Áp dụng định lí lagrange có [ ] k ∈ 2;4 cho ( ) f '(k) = f (4) − f (2) 4−2 =x  t+3 (  Suy x ) x −1 =  x0 −4 x0 − t x0 −1   k+3 ( −1 ( − ) ( x0 −2 x0 )= (do (*)) mà 4−2 f '(t) = x t + x0 −1 − x t x0 −1 ( )  )x −k  x =0 x =0 = ⇔ ⇔  k + x −1 − k x −1 =  k + x −1 = k x −1 0  ( )0 ( )0   x −1 x0 = x −1 ⇔ x0 = ⇔ x0 = ⇔ k+3     x0 −1 = x0 =  =   k    Thay x = 0; x =1 vào (1) ta thấy chúng thỏa mãn  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x =1 BÀI TẬP : GIẢI PHÝÕNG TRÌNH-HỆ PHÝÕNG TRÌNH( SỬ DỤNG ÐẠO HÀM) Bài 1: Giải phýõng trình 2x +3 2x x x+1 =2 +3 +x+1 Giải: Ta có f (x) = 2x + 3x + x tãng R, nên phýõng trình týõng ðýõng f (2x ) = f (x + 1) ⇔ 2x = x + Hàm số g(x) = x − (x + 1) xác ðịnh R g / (x) = x ln −1 ⇒ g / (x) ≥ ⇔ x ≥ log2 (log2 e) Vậy phýõng trình có nhiều nghiệm (− ∞ ; log (log2 e)) v (log (log2 e) ; + ∞) Thử trực tiếp tìm ðýợc hai nghiệm x = ; x = Bài 2: Giải phýõng trình log x − x −1 + x+3−4 x x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1 −1 −1 = 5 Giải : Ðiều kiện x ≥ 1.Ðặt t= x−2 x −1 + x + − x −1 −1 ≥ (chứng minh) phýõn g trình týõng ðýõng log5 (t + 1) = 5t −1 =y+ t =y+1 5t t 5y =t ⇔+ ⇔ 5t − y = y−t (*) ⇔ x − x −1 + x + − x −1 −1 = ⇔ ≤ x ≤ Bài 3: Giải phýõng trình ⇔ y=t =t ⇔t=0 +1 x = 2x − 4x + 24x − Giải : ⇔ x − 4x3 − 2x + 12x − = Xét hàm số y = x4 − 4x3 − 2x + 12x − ⇒ y / = 4x3 −12x − 4x + 12 Lập bảng biến thiên, suy hàm số có trục ðối xứng x =1 Do ðó ðặt x = X + 1, ta có phýõng trình X − 8X +5=0⇔x=1± 4− 11 x=1± 4+ 11 Bài 4: Giải phýõng trình ( (1 + cos x) + cos x )= 3.4cos x Giải : Ðặt cos x = y −1 ≤ y ≤ y y ⇔ (1 + y) + = 3.4 3.4 y ( ) / 6.ln 4.4 y Ðặt f ( y) = + y − y −1 ⇒ f ( y) = (2 + y )2 −1 ( f / ( y) = ⇔ 16.ln 4.4 y = + y )2 Ðây phýõng trình bậc hai theo y , nên có không nghiệm Vậy theo ðịnh lý Roolle phýõng trình f ( y) = có không nghiệm Ta có y = , , y = nghiệm phýõng trình f ( y) = y= π + kπ , x = ± 2π Suy phýõng trình có nghiệm x = k 2π , x = + k 2π Bài 5: Giải phýõng trình 4x + = x6 − 3x2 −1 log Giải : 4x2 + = 2008x x6 + x + x6 + x + 2008 2008 4x +x +1 ⇔ x6 + x + = 4x + hàm số f (x) = x.2008x tãng R +2 u ≥ phýõng trình có nghiệm (0,2) Giải phýõng trình x − 3x −1 = ⇔ u − 3u −1 π 0 [ x + 4x + = 2x + 2x + ] ⇔ (x + 2)2 + + log2 ( x + 2) + = 2x + + log2 2x + Ðặt f (t) = t + log2 t Týõng tự (t > 0) Phýõng trình có nghiệm x = −1 Bài 8: Giải phýõng trình sin1975 x − cos1975 x = − cos2007 x sin 2007 x Giải : 1975 = cos1975 x − sin x− sin x = ; cos x = sin 2007 x cos2007 x Ðặt hàm số f (t) = t 1975 t ∈ (−1 ;của 0) ∪phýõng (0 ; không trình nghiệm 1) − t 2007 / Ta có f (t) = 1975t 2007 1974 + t 2008 > nên hàm số tãng khoảng t ∈ (−1 ; 0) : f (t) nhận giá trị dýõng t ∈ (0 ; 1) : f (t) nhận giá trị âm Nên f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x = π + kπ Bài 9: Giải phýõng trình π sin 2 sin Giải : π cos x − cos 2x ( 2 x − cos ⇔ cos ) = cos π π cos = 2sin x.sin 3x + cos 2x − cos x cos 2x + cos x − cos 2x − cos x 2x ⇔ cos 2x − cos 2x + cos Xét hàm số f (t) = t π cos 2 2x π t = cos x − cos π cos x + cos x ≤ t ≤ f (t) giảm − 2t + cos f (cos2 2x) = f (cos2 x) ⇔ cos2 2x = cos2 x ⇔ x = kπ Bài 10: Giải phýõng trình 2 x2 −34 x+93 (x − 34x + 376) [x − 34x + 376 + 3log2 + (x Giải : Ðặt t = x − 34x + 376 (t ≥ 87) ⇔ 2t t log2 (2t t ) = 35.2283 = 2256.2563 log2 (256t 2563 ) Hàm số f (t) = 2t.t log2 (2t.t ) ðồng biến [1; + ∞) ] − 34x + 376) = 35 ⇔ t = 256 ⇔ x − 34x + 376 = 256 ⇔ x = 30 ; x = Bài 11: Giải phýõng trình 2sin x = cos 2x + log4 (4 cos 2x − cos 6x −1) + 2 Giải : Ðặt y = cos 2x ⇔ y−1 + ( < y ≤ 1) x = kπ = y + log4 (3y −1) Ðặt t = log2 (3y −1) ⇔ 2t = 3y −1 (t ≤ 1) y Ta có hệ = y + t −1 ⇔ y + y = 2t + t 2t = 3y −1 Xét hàm số g(u) = 2u + u , hàm số ðồng biến R ⇔ 2t = 3t −1 ⇔ f (t) = 2t − 3t + = Xét hàm số f (t) = 2t − 3t + 1, sử dụng ðịnh lý Roll cm phýõng trình có không nghiệm Phýõng trình có nghiệm t = t = 3(L) , suy phýõng trình có nghiệm Bài 12: Giải phýõng trình 64x − 8.343x−1 = + 12.4x.7 x−1 Giải : Ðặt a = ; b = −4x ; c = 2.7 x−1 2 ⇔ a3 + b3 + c − (a − b) + (b − c) + (c − a) 3abc = ⇔ (a + b + c) ⇔ − 4x + 2.7 x−1 =0 =0⇔a+b+c=0 Xét hàm số f (x) = − 4x + 2.7 x−1 ⇒ f / (x) = −4x.ln + 7 x.ln Phýõng trình f / (x) = có nghiệm nên theo ðịnh lí Lagrange phýõng trình f (x) = nghiệm phân biệt Phýõng trình có nghiệm x = ; x = Bài 13: Giải phýõng trình log2 2+ (x2 − 2x − 2) = log2+ (x − 2x − 3) Giải : Ðiều kiện x < −1 v < x ⇔ log8+4 (x − 2x − 2) = log7+4 (x − 2x − 3) Ðặt a = + t = x − 2x − ⇔ loga+1 (t + 1) = loga t Ðặt y = loga t y a ⇔ + a+1 a+1 y = ⇔ y = nghiệm Phýõng trình có nghiệm x = ± 11 + Bài 14: Giải hệ phýõng trình log5 x = log3 ( y = log3 ( log5 ( log5 z = log3 y ) ) +4 z+4 x+4 ) Giải : Hệ phýõng trình không ðổi qua phép hoán vị vòng quanh ⇒ x = y = z Từ ðó ta có log5 x = log3 t t ( ) x + , ðặt t = log5 x +4 ⇔ =1 3 Phýõng trình có ðúng ngiệm t = hàm số f (t) = +4 Hệ phýõng trình có nghiệm x = y = z = 25 Bài 15: Giải hệ phýõng trình 1−x x2 −2 y = −xy − (x y + 2x)2 − 2x y + − 4x = Giải : − 2x Từ phýõng trình (2) ⇔ x(xy + 2) = ⇔ y = 1−x (1) ⇔ x2 x2 1−2 x 1−x2 2 =2 x + 2x t + − 2x 2x xét hàm số f (t) = 2t + ⇒ f / (t) = 2t ln + 1−x ⇔ 2x 2 − 2x = 2x2 >0 1t 5t = nghịch biến Hệ phýõng trình có nghiệm x = , Bài 16: Giải hệ phýõng trình ey −x y=− = x2 + y2 +1 3log3 (x + y + 6) = log2 (x + y + 2) + Giải : Ðk x + y + > x + y + > (1) ⇔ ln(x2 + 1) + x2 + = ln( y + 1) + y + Hàm số f (t) = ln t + t t > ðồng biến (0 ; + ∞) ⇔x2+1=y2+1⇔x=±y Nếu x = − y (2) ⇔ log3 (6 − x) = ⇔ x = ; y = −3 .Nếu x = y (2) ⇔ 3log3 (x + 2) = log2 (x + 1) = 6u x ⇔ x + 2= 2u ⇔ + = 23u + u u u =1 8u Hàm số g(u) = nghịch biến R, suy u = nghiệm + 9 Hệ phýõng trình có nghiệm x = , y = − x = ; y = Bài 17: Giải hệ phýõng trình 2 x +1 8y + −4 2 ( x+ y ) Ðk x ; ⇔ x+y= 2 y≥ x +1 + Giải : = 3(2 y − x ) +3 x =2 2( x+ y ) Hàm số f (x) = +1 +3 y +3 x+y=7 x2+1 f (x) = f (4 y) (4 y) +1 + x ðồng biến [0 ; ∞) x=4y ⇔ ⇔ f (x + y) = f (1) x+y=1 ⇔ x= y= Bài 18: Giải hệ phýõng trình cos x = log2 (8cos z − cos 2x − 5) cos y = log2 (8cos x − cos y − 5) cos z = log2 (8cos y − cos 2z − 5) Giải : 8Z = X + 2X + ⇔ 8X = 2Y + 2Y + 8Y = 2Z + 2Z +4 (2 Hàm số f (t) = t X ( ⇔X=Y=Z= ) + 2t + ðồng biến ;1 ) + 2X + X=Y=Z=1 Giải ðồ thị ⇔ X = Y = Z = (l) Hệ phýõng trình có nghiệm x = k 2π , y = l2π ; z = m2π Bài 19: Giải hệ phýõng trình log2 (1 + 3cos x) = log3 (sin y) + log2 (1 + 3sin y) = log3 (cos x) + Giải : Ðk cos x ; sin y ≥ ⇒ log2 (1 + 3cos x) + log3 (cos x) = log2 (1 + 3sin y) = log3 (sin y) + > ðồng biến ∀t > / Hàm số f (t) = log2 (1 + 3t) + log3 t ⇒ f (t) = (1 + 3t) ln t ln ⇒ sin y = cos x Thay vào phýõng trình (1) ⇒ log2 (1 + 3cos x) = log3 (cos x) + Lập BBT hàm số g(v) = log2 (1 + 3v) − log3 v với v = cos x ∈ (0 , 1] phýõng trình có nghiệm cos x = , cos x = Bài 20: Giải hệ phýõng trình = 28 y−y 2 x y + xy + y = 18 x Giải: Hệ týõng ðýõng ( x − y3 ) = 28 y y ( x + y)2 = 18 (1) ⇒ x > y > (2) 34 34 y = 28 y y>0, (3) trở thành: t t ( −t −t (3) ( 28 ⇔ t − 34 − t = ) + 28t = ) + 28t ta có: ( − t )+ 28 > 0, ∀t > Xét hàm f (t ) = t − − t f '(t ) = 9t + 9t −y 3 48 Ðặt t = −y − y , thay vào (1) ðýợc: y (2) ⇒ x = 3 Chứng tỏ hàm số f(t) ðồng biến khoảng (0;+∞) phýõng trình f(t) = có nghiệm Khoảng (0;+∞) nghiệm ðó nghiệm Từ ð ó suy hệ phýõng trình ðã cho có nghiệm (x0, y0) nghiệm ðó nghiệm hệ Nếu chọn x = 2y từ (1) ta có: y = ⇔ y = ⇒ x = 2 Rỏ ràng cặp số (2 2; 2) thỏa (2) Vậy hệ có nghiệm (2 2; 2) Bài 21: Tìm số nghiệm nằm khoảng (0; 2π ) phýõng trình e2 cos2 x (8sin x −12sin x + 10sin x) = e + Giải : Ðặt t = sin x = y 0≤t≤1 ⇔ e2(1−t ) (8t x −12t x + 10t) = e + Xét hàm số f (x) = e2(1−t ) (8t −12t + 10t) [ ] ⇒ f / (x) = e2(1−t ) (24t − 24t + 10) − 2(8t −12t + 10t) = −2.e2(1−t ) g(t) / Với g(t) = 8t − 24t + 22t − ⇒ g (t) = 2(12t 2 − 24t + 11) Lập bảng biến thiên, suy phýõng trình g(t) = có nghiệm t = u , < u < − t 1- + g' t u _ + f' g _ f -5 Lập bảng biến thiên hàm số f (t) , suy phýõng trình f (t) = có nghiệm t=v,0[...]... 2x 3 x Giải: Đặt t x 2 9 t 0 , điều kiện t > 0 Khi đó phương trình tương đương với: 9. 2x 2 t 22 x 2 9 4 .9. 2x x 29 t t 9 2 x Khi đó : 9 x 39 x 2 + Với t x 2 x 33 2 x 2 x 1 x 0 + Với t Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 0 Ví dụ 4 Giải phƣơng trình: 2x 2 x 26 6 2 x u 6 6 , điều kiện u > 0 Khi đó phương trình thành: u2 Giải: Đặt u u 6 6, 2 vu 6 Đặt v điều kiện v Khi đó phương trình được chuyển thành...Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1, x = 2 x x 4 3 3 2 3 2 0 Ví dụ 2 Giải phƣơng trình: 7 4 3 2 2 3 ;2 3 2 3 1 Giải: Nhận xét rằng: 7 x 2 3 x 3 1 t x 4 3 t 2 Do đó nếu đặt t điều kiện t > 0, thì: 2 Khi đó phương trình tương đương với: 3 t 2 0 3 t2t 3 t 1 2 tt t 0 1 3 2 tt 0 3 0 và 7 t x t 2 3 1 2 1 x 0 x 2 x 9 3 9. 2x 0 Vậy phương trình có nghiệm x = 0 Ví dụ 3 Giải phƣơng trình: 3 2x 3 x Giải: ... 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm là 21 x và x = log2 2 1 Phƣơng pháp 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1 Giải phƣơng trình: log7 x = log3 + 2) ( x Giải: ĐK : x > 0 Đặt t = log x ⇒ x = 7 Khi đó phương t trình trở thành : 7 21 log 2 2 1 7 7 7 t t t t = log ( 3 + 2) ⇔ 3t = +2⇔    1  = 1 (*) + 2  t   3  3   Vế trái của (*) là hàm số nghịch biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình (*)... trên ) 5  D= ;+∞ , do đó phương g ' x = 0có trình ( ) )   6  nếu có nghiệm thì có nhiều nhiều nhất một nghiệm Suy ra, phương trình g x = ( ) nhất là hai nghiệm 0 g' x ( Nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2 Ví dụ 3 Giải phƣơng trình: 3x + 4x = 2 − 7x (*) Giải: Vế trái của (*) là hàm số đồng biến, vế phải của (*) là hàm số nghịch biến nên phương trình (*) nếu có nghiệm thì... nghiệm của (*) nên đó là nghiệm duy nhất của (*) Phƣơng pháp 7: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Ví dụ 1 Giải phƣơng trình: 2x +1 =2− 2 x Giải: ĐK : x ≥ 0 Ta có VT = 2x và +1 ≥ 20+1 = 2 2 VP = 2 − 2 ≤ 2 − 0 = Suy ra VT ≥ VP , dấu bằng x xảy ra khi x = 0 Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Ví dụ 2 Giải phƣơng trình: 1− 4x + 2x+1 = 2x + 2−x Giải: Ta có 1− 4x + 2x+1 = 2x + 2− x ⇔ 2 − (4x − 2.2x... log3 9 = 2 và VT = log3 9 ( − x ) −1 VP = log x 2 − 2x + 5 = log  x − 1 2 xảy  ra khi ( ) ( 2 x−1=0 ⇔x=1  )2 + 4 ≥ log 4 = 2 Suy ra  2  x−1 =0  ( )2  Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho VT ≤ VP , dấu bằng Phƣơng pháp 8: PHƢƠNG PHÁP QUAN NIỆM HẰNG SỐ LÀ ẨN Ví dụ 1 Giải phƣơng trình: 16x − 4x−1 + 2x+2 =16 Giải: Ta có 16x − 4x−1 + 2x+2 =16 ⇔ 42 − 2x.4 + 4x−1 −16x = 0 (*) Xét phương. .. Suy ra sin x = cos x ⇔ x = + kπ 4 Bài 7: Giải phýõng trình 2 (x + 2) + log2 Giải : Ðk 2x + 3 > 0 [ x 2 + 4x + 5 = 2 2x + 3 2x + 3 ] 2 ⇔ (x + 2)2 + 1 + log2 ( x + 2) + 1 = 2 2x + 3 + log2 2 2x + 3 Ðặt f (t) = t + log2 t Týõng tự (t > 0) Phýõng trình có nghiệm x = −1 Bài 8: Giải phýõng trình 1 sin 197 5 x − cos 197 5 x = 1 − cos2007 x sin 2007 x Giải : 197 5 = cos 197 5 x − 1 sin x− sin x = 1 ; cos x = 1 sin... ⇔ k+3 0     x0 −1 = x0 = 1  1 =   0 k    Thay x = 0; x =1 vào (1) ta thấy chúng đều thỏa mãn  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x =1 BÀI TẬP : GIẢI PHÝÕNG TRÌNH-HỆ PHÝÕNG TRÌNH( SỬ DỤNG ÐẠO HÀM) Bài 1: Giải phýõng trình 2 2x +3 2x x x+1 =2 +3 +x+1 Giải: Ta có f (x) = 2x + 3x + x tãng trên R, nên phýõng trình týõng ðýõng f (2x ) = f (x + 1) ⇔ 2x = x + 1 Hàm số g(x) = 2 x −... 2− x ⇔ 2 − (2x −1)2 = 2x + 2− x VT = 2 − (2x −1)2 ≤ 2 − 0 = 2 và x VP = 2x + 2− x ≥ 2 −x 2 2 bằng xảy ra khi  2x − 1 = 0 x 2 =2 −x ⇔x=0 = 2 Suy ra VT ≤ VP , dấu x −1 Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Ví dụ 3 Giải phƣơng trình: log3 9 − Giải: 0  ( )   x ≥1 x −1 ≥  = log2 x − 2x + 5 ( 2 ) x≥1  ĐK : 9 − x −1 > 0 ⇔ 9 > x −1 ⇔ x ⇔ x ∈ 1;82    [ )   x −1... x6 + x 2 + 1 = 4x 2 + 2 vì hàm số f (x) = x.2008x tãng trên R +2 u ≥ 0 phýõng trình chỉ có nghiệm trong (0,2) Giải phýõng trình x 2 6 3 − 3x −1 = 0 ⇔ u − 3u −1 1 π 0