Phương trình,bất phương trình vô tỉ chứa logarit-Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PT, BẤT PT VÔ TỈ CHỨA LOGARITH – XU HƯỚNG 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu Giải phương trình log ) ( x +1 + log x −1 x2 + x + − = log 2 + x − x3 + x + 4x + Lời giải: ĐK: x +1 > 0, x −1 x + x + −1 > 0, x − x + x + > 4x + 2 (*) Ta có x − x3 + x + > ⇔ ( x − x ) + > ⇔ x ∈ » x > x ( x + 1) x2 + x +1 −1 x2 + x >0⇔ >0⇔ >0⇔  −1 < x < − 4x + 2x +1 ( x + 1) x + x + +  ( ) x +1 > ⇔ x > 1, (*) ⇔ x > (**) x −1 Như x > −1 nên x +1 Khi (1) ⇔ log − log x −1 ( x2 + x + − = log 2 + x − x + x + 4x + ) (  x +1  4x + ⇔ log   = log 2 + x − x + x + x − x2 + x + −   x +1 4x + ⇔ = + x − x3 + x + x − x2 + x + − ⇔ ⇔ ( x + 1)( x + 1) ( ( x − 1) ( x + x ) ( x + 1) ( ) = 2+ x2 + x + + ) = 2+ x2 + x + + x ( x − 1) (x (x − x) + − x) +  ⇔ ( x + 1)  x + x + +  = ( x − x )  +    ⇔ ( x + 1)    ( x + 1)  + + 2 = ( x − x )     ⇔ f ( x + 1) = f ( x − x ) Xét hàm số f ( t ) = t ( ) (x (x 2  − x) + 3   − x ) + + 2  (2) t + + , t ∈ » có f ' ( t ) = t + + t2 t2 + + > 0, ∀t ∈ » ⇒ f ( t ) đồng biến » nên (2) ⇔ x + = x − x ⇔ x − x − = ⇔ x = Kết hợp với (**) ta x = Đ/s: x = ) ± 13 + 13 thỏa mãn + 13 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu Giải phương trình + log 2 x3 + 3x + x = log 3x x + − x − ( Facebook: LyHung95 ) x2 + x +1 + Lời giải: x + 3x + x ĐK: > 0, x x + − x − ≠ 3x x + − x − ( x + 1) ( x + x ) Khi (1) ⇔ log + log 2 3x x + − x − ⇔ log ⇔ ⇔ = log 2 ( x + 1) ( x + x ) 3x x + − x − 3x x + − x − 2 ( x + 1) ( ) x2 + x + + = log 2 ( x + 1) ( x + x ) ( (*) ( ) x2 + x + + = x2 + x +1 + )( x2 + x + + )= x2 + x + − 3x x + − x − ⇔ ( x + 1) ( x2 + x + + ) x + x + − = 3x x + − x − ⇔ + ( x + 1) x + x + = x + x x + ⇔ + ( x + 1) x + x + = x + x (3x ) +3 ⇔ + ( x + 1) ( 3x ) +3 ( x + 1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + = x + 3x ( x + 1) ⇔ f ( x + 1) = f ( 3x ) +3 (2) ) ( ( 3x ) + = 2.3 x + x Xét hàm số f ( t ) = t + t + với t ∈ » có f ' ( t ) = + t + + t2 t2 + > 0, ∀t ∈ » ⇒ f ( t ) đồng biến » nên (2) ⇔ x + = x ⇔ x = thỏa mãn (*) Đ/s: x = ) ( Câu Giải phương trình log 2 x + x 16 x + − + log ( x + x + 1) = log ( x + x + 1) Lời giải: 2 x + x 16 x + − >   ĐK:  x + x + > 4 x + x + >   ( (*) ) 1 Khi (1) ⇔ log 2 x + x 16 x + − − log ( x + x + 1) = log ( x + 1) 2 ( ) ⇔ log 2 x + x 16 x + − − log x + x + = log 2 x + ( ) (2) Từ (*) ⇒ x + 16 x + > > ⇒ x > ⇒ x + = x + Do (2) ⇔ log 2 x + x 16 x + − x2 + x + = log ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x + x 16 x + − x2 + x + Facebook: LyHung95 = 2x +1 ⇔ x + x 16 x + = + ( x + 1) x + x + ( 4x) ⇔ 4x + 4x + = + ( x + 1) x + x + ( x ) + = ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) f ( x ) = f ( x + 1) (3) ⇔ 2.4 x + x ⇔ 2 Xét hàm số f ( t ) = 2t + t t + với t ∈ » có f ' ( t ) = + t + + ⇒ f ( t ) đồng biến » nên (3) ⇔ x + = x ⇔ x = Đ/s: x = t2 t2 + +3 > 0, ∀t ∈ » thỏa mãn (*) 2 17 3 1    Câu Giải phương trình + log  x − x −  = log  −  2 2x +    4x − Lời giải 1 17 Điều kiện − > 0; x > ;3 x − x − > 2 4x − 2x + Phương trình cho tương đương với 1 + =0 12 x − 34 x − − 4x − 2x + 1 ⇔ 16 x − 20 x + − = x + 14 x + 12 − 4x − 2x + 1 ⇔ 16 x − 24 x + + x − − = x + 12 x + + x + − 4x − 2x + 1 2 ⇔ ( x − 3) + x − − = ( x + 3) + x + − 4x − 2x + 1 Xét hàm số f ( t ) = t + t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = 2t + + > 0, ∀t > t 2t t Hàm số liên tục đồng biến miền t dương nên f ( x − 3) = f ( x + 3) ⇔ x − = x + ⇔ x = Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm Câu Giải phương trình log ( ) x − 12 x3 + x + 16 − x + x − log ( ) x + + x − = 3log3 Lời giải Điều kiện x − 12 x + x + 16 − x + x > 0; x + + x − > Phương trình cho tương đương với ( x − 12 x + x + 16 − x + 3x  ⇔  ( 2x )(  − 3x ) + 16 − ( x − 3x )   Đặt x − x = u; x − = v ý ( ) x −1) = x + + x −1 = x+3 + u2 u + − ≠ 0, ∀u ∈ » ta 16 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( u + 16 − u )( v2 + + v ) ( =8⇔ u + 16 − u Facebook: LyHung95 ).( v2 + + v ) =1  u2 u  v v v2 v u2 u ⇔ + −  +1 +  = ⇔ +1 + = +1 +  16    2 16  t +t t2 +1 + t Xét hàm số f ( t ) = t + t + 1; t ∈ » ta có f ′ ( t ) = > ≥ 0; ∀t ∈ » ⇒ f ′ ( t ) > 0, ∀t ∈ » t2 +1 t2 +1 Suy hàm số liên tục đồng biến tập số thực Thu  v u x ≥ v u f   = f   ⇔ = ⇔ u = 2v ⇔ x − x = x − ⇔  2 2 4 4 x − 12 x3 + x = x −     x ≥ x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ ⇔  x = 2  ( x − ) ( x3 − x + x − ) =  4 x − 12 x + x − x + =    x ( x − 1) =  3 2 Ta thấy x ( x − 1) ≥ ( − 1) > 2, ∀x ≥ nên ta nghiệm x = 2  x −1  Câu Giải phương trình log  −  = + log + x − + log x + x + x x   x −1 Lời giải: Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương với: (  log  − x −1  ( x −1   = log + log + x − − log x + x + x x  ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) 2 + 4x − + 4x −   x −1  x −1  ⇔ log  − ⇔ −  = log  = x  x  x −1 x −1 x + x2 + x x + x2 + x   ( ) + 4x − = ⇔ x + x + x = x ( x − 1) x − + x ( x − 1) x+ x +x 1 1 1 ⇔ + + = ( x − 1) x − + ⇔ 1 + +  = ( x − 1) x − + x x x x x ⇔ ( ( )     1 ⇔  + + 1  + − 1 = x x     ( ) (   x − − ⇔ f  + + 1 = f x   )( 4x − + ) ) ( ) 4x − − ( ∗) Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) ( t − 1) với t > , có f ' ( t ) = 3t + 2t − > 0; ∀t > x > 1+  Suy f ( t ) hàm số đồng biến (1; +∞ ) , nên ta có ( ∗) ⇔  ⇔x=  + = 4x − x  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu Giải phương trình log ( ) 1+ ( ) x − 3x + + − log ( x3 − 3x + 3x ) = log + x − log x Lời giải: Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương với: Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG log ) ( ( Facebook: LyHung95 ) x − x + + + log ( x − x + x ) = log + x − log x ( ⇔ log )   x − x + + ( x − x + x ) = log  + 4 ⇔  x  ⇔ ( x − x + 3) ( ( ) x − 3x + + = + x x ⇔ x ( ( ) x − 3x + + ( x3 − 3x + 3x ) = ) ( x − 3x + + x − 3x + ) +4 x     =  +   x  x )   x − 3x + = f  ⇔ x3 − 3x + 3x = ⇔ x3 − x + 3x − =  ⇔ x − 3x + = x  x ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = + 3 ( thỏa mãn điều kiện x > ) ⇔ f Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 3 ( )   Câu Giải bất phương trình log  x + x −  ≥ log x + log x + + + x−2  Lời giải: 2 ≠ x >  Điều kiện:  Bất phương trình cho tương đương với: x + x − x − >    log  x + x −  ≥ log 12 x + log 2−1 x + + + log 2 x−2  2   ⇔ log  x + x −  ≥ log x − log 2 x + + + log 2 x−2    ⇔ log  x + x −  ≥ log x − log 2 x + + + log 2 x−2  ( ) ( (   ⇔ log  x + x −  ≥ log x−2  (x ⇔ + x ) ( x − 2) − x−2 ≥ x3 − x − x − ⇔ ≥x x−2 ⇔ ( ) ) x2 ⇔ x2 + x − ≥ x−2 2x + + 2x2 x3 − x − x − x ⇔ ≥ x−2 2x + + ) 2x + − ⇔ (x − ⇔ )( 2x + x2 + 2x + )( 2x + + x3 − x2 − x − − ( x2 − x ) x3 − x − x − − ( x − x ) x + + x − x x−2 ( 2x2 2x + + ( 2x + + ) ≥0 2x + − x−2 ≥0⇔ ) 2x + − x3 − x − − ( x − x ) x + x−2 ) ≥ ⇔ x >  ≥0 x ≥ 1+ ⇔  x − 2x + x−2 ≥0 0 < x <   x−2 • Với < x < suy x + x − > ( thỏa mãn điều kiện ) x−2 2 x − x − x − ( x + 1) ( x − x − 1) + x − • Với x ≥ + , ta có x + x − = = >0 x−2 x−2 x−2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 0; ) ∪ 1 + 2; +∞  ) ( ) log + log Lời giải: Điều kiện: x > −1 Phương trình cho tương đương với: Câu Giải phương trình log x − x + x + + = ( ) x + + x + log ( x − x + 3) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( ) log x − x + x + + = log + log ( ⇔ log ( x ) − x + x + + ) = log ( − x + x + + = ( x + + x) ( x + + x + log 32 ( x − x + 3) ( ⇔ log x − x + x + + = log + log 3 ⇔ x2 ⇔ ( x − x + 3) + x − + x + = ( ) Facebook: LyHung95 ) x + + x + log x − x + x+2+x ) x2 − x + x2 − x + ⇔ 2x2 + x + + − x = x+2 +x ) x2 − x + ( x+2 +x ) 2x2 − 2x + ( ∗) a = x + ≥  Đặt  , phương trình ( ∗) trở thành ( a + b ) + a + b = ( a + b + 1) ( a + b2 ) b = x −  ⇔ ( a + b )  ( a + b ) − 1 = ( a + b )  ( a + b ) − 1 ⇔  ( a + b ) − 1  ( a + b ) − a − b  =                 ⇔  ( a + b ) − 1  ( a + b ) − a − b  = ⇔ ( x − x + )  ( a + b ) − a − b  =         x ≥ + 13 ⇔ ( a2 + b2 ) = a + b ⇔ ( a − b ) = ⇔ a = b ⇔ x − = x + ⇔  ⇔x=  x − 3x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Câu 10 Giải phương trình log ( x + ) + 3log ( + 13 ) − x + 2x + = Lời giải: Điều kiện: ≥ x ≥ − Phương trình cho tương đương với: log 22 ( x + ) + log ⇔ log 2 x + ( ( − x + 2x + − x + 2x + ) ) = ⇔ log 2 x + + log = ⇔ 2x + ( ( − x + 2x + − x + 2x + ) = 64 ) =6 ( ∗) a = x + a = x +  Đặt  ⇔ a + 2b = Khi ( a, b ≥ ) nên   2b = − x b = − x   ( ∗) ⇔ a ( b + 2a )  a + 2b  = 64     a = b = ⇔ 81a ( b + 2a ) = 64 ( a + 2b ) ⇔  ⇔ − x = 2 x + ⇔ − x = x + 20 ⇔ x = −2 b = 2a Vậy phương trình cho có nghiệm x = −2 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!