Phương trình vô tỉ chứa tham số

Phương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham sốPhương trình vô tỉ chứa tham số

Trang 1

1

CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán:

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x X

Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của

Các bước giải tổng quát:

i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X

ii) Bước 2: min f(x) g(m) max f(x)

Chú ý:

i) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X Df(x) (miền xác định của f(x)) ii) Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x)

iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT

4i) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t)

II CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt

HƯỚNG DẪN GIẢI

(1)

Đặt y 3x2 6x 1, với x 1

2 ta có:

Bảng biến thiên

x 1

2 1

y 2

5

4

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1) m 2, 2) 5 m m 2 4 , 3)

5

2 4 (2) có nghiệm thực

Trang 2

2

4 4, (2) trở thành:

2

Do

2

2 4 nên (2) có nghiệm

1 m

4

2

m

16 x (3) có nghiệm thực

Lập BBT của hàm số y = t2

– 4t, ta có 4 m 0

Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0 Do đó nên lập BBT để tránh sai sót

x 2 x 1 (4) có nghiệm thực

2

m

+ 2t, ta có 0 m 3

thực

Điều kiện: x 1

+ x = 1: (5) vô nghiệm

+ x > 1: 4 x 1 4 x 1

2

m

+ 2t, ta có m > 3

1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt

Ta có (6) x2 2x 3 x m

Đặt y x2 2x 3 x, x 1 x 3

2

x –1 3

y’ – +

y 1

1 –3

Dựa vào bảng biến thiên:

Trang 3

3

1) 3 m 1 m 1, 2) không có m

2

x –1 0 1

f’(x) + 0 –

f(x) 2

2 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+ m 2 m 2: (7) vô nghiệm

+ m = 2: (7) có 1 nghiệm

+ 2 m 2: (7) có 2 nghiệm phân biệt

(8)

(9x x ) 2 9x x 9 m

2 2 , ta có (8) trở thành:

2

t 2t 9 m Lập BBT của hàm số y t2 2t 9 trên [0 ; 9/2] ta có 9

Đặt t x 4 0 x t2 4 Ta có (9) trở thành:

Lập BBT của hàm số y t2 2t 6, t 0 ta có m 6

6 (10) có

nghiệm thực

Đặt t x 9 0 x t2 9 Ta có (10) trở thành:

2

6

2

2 2

t 12t 9 m, t 3 (*)

t 27 m, 0 t 3 (**) + Lập BBT của hàm số y t2 12t 9, t 3 ta suy ra (*) có nghiệm thực m 27

+ Do 18 t2 27 27, t [0; 3) nên (**) có nghiệm thực 18 m 27

Vậy với m 27 thì (10) có nghiệm thực

Trang 4

4

Mặt khác t2 2 2 x 1 3 x 2 [(x 1) (3 x)] 4 2 t 2

Ta có (11) trở thành:

2

Lập BBT của hàm số 1 2

Chú ý: Nên lập BBT của t x 1 3 x để tìm miền giá trị t

2

Đặt t 4 x4 4x m 0 Ta có:

(13) t2 t 6 0 t 2 4 x4 4x m 2 x4 4x 16 m

Lập BBT của hàm số y x4 4x 16 trên ta có m 19

Bài 14 Tìm điều kiện của m để phương trình 1 x2 2 13 x2 m (14)

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực

1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (14) thì – x0 cũng là nghiệm của (14)

Suy ra x0 x0 x0 0 là nghiệm duy nhất của (14)

Thế x0 = 0 vào (14) ta được m = 3 Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất

Vậy m = 3

2) Đặt t 61 x2 0 t 1 Ta có (14) trở thành t3 2t2 m

Lập BBT của hàm số y t3 2t2 trên [0 ; 1] ta suy ra 0 m 3

Bài 15 Chứng tỏ rằng phương trình

2

2x 1 (15) luôn có nghiệm thực với mọi

giá trị của m

2

Mặt khác

x

3x 2 lim

2x 1 , x 1

2

3x 2 lim

Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m

Trang 5

5

x 3 (16) có nghiệm thực

Điều kiện x 1 0 x 1 x 3

+ Với x 1: (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m

Đặt t (x 3)(x 1) 0, x 1, (16) trở thành t2 4t m m 4

+ Với x 3: (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0

Vậy m 4

Bài 17 Tìm m để phương trình 3 1 x 3 1 x m (17) có nghiệm thực

3 (1 x) (1 x)

3

lim f(x) lim

x

3

2

Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2] Vậy 0 m 2

Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện của m để phương trình:

m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x (18) có nghiệm thực

(18) trở thành

2

t 2 Xét hàm số

2

x 0 2

y’ 0 –

y 1

2 1

Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực 2 1 m 1

Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x2 2 x m (19)

Trang 6

6

2

x

Xét hàm số

2

x y

2 2

2 2 2

x

y '

2

Giới hạn

2

x

x x Bảng biến thiên

x 2 2

y’ – 0 + 0 –

y –1 2

2 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

+ m 2 m 2: (19) vô nghiệm

+ 1 m 1 m 2: (19) có 1 nghiệm

+ 2 m 1 1 m 2: (19) có 2 nghiệm phân biệt

Ta có (20)

2

m

Lập BBT của hàm số

2

y

x 1 ta suy ra m 2 0 m 2

Bài 21 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:

3 4

Nhận thấy x0 là nghiệm của (21) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (21) Từ đó, để (21) có nghiệm duy

1

Đặt

2

(21) trở thành 2(t2 1) mt2 t m3 m

2 2 (nhận)

+ m = 1: (21) 2(t2 1) t2 t 2 2(t2 1) (t 1)(t 2)

Trang 7

7

2 2

3 2

2

(loại)

+ m 1 : (21) 2(t2 1) (t 1)(2 t)

3 2

Vậy m 0 m 1

Điều kiện x x2 x 1 0 x2 x 1 x x

Xét hàm số

2

xlim f(x) xlim x x x 1

2

x x

1 x(1 )

2

Vậy (22) cĩ nghiệm thực m 2

2

Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất :

2

x  mmx (1)

Giải

Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm xx o, suy ra x ocũng là nghiệm của (1)

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi:

0

x   x x 

Thay x o 0 vào (1), ta được : m = 0

Điều kiện đủ: Giả sử m = 0, khi đó (1) có dạng :

2

x   x là nghiệm duy nhất của bất phương trình Vậy với m = 0 bất phương trình có nghiệm duy nhất

III.BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài tập 1: Cho bất phương trình:

2

m x  x m

Trang 8

8

a.Giải bất phương trình với 1

2

m

b.Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với x

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	702 KB