Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ chứa tham số

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM  Cho phương trình   ; 0 f x m  . Ta thường biến đổi về dạng   F x m  hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng   G t m  . Sau đó, lập bảng biến thiên của hàm số   F x hoặc   G t trên miền xác định và dựa vào bảng biến thiên của hàm số đề biện luận số nghiệm của phương trình.  Định lý 1: Nếu hàm số   y f x  luôn đồng biến hay nghịch biến trên   ; a b thì phương trình   0 f x  có tối đa một nghiệm trên khoảng   ; a b .  Định lý 2: Nếu hàm số   y f x  liên tục trên   ; a b và     . 0 f a f b  thì phương trình   0 f x  có ít nhất một nghiệm trong khoảng   ; a b . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:     2 1 a x a x a x x a x       Giải: Điều kiện:         0 1' 0 0 1'' 0 a x a x a a x x a x x a x                       Từ điều kiện   1' 0 a    Nếu 0 a  thì (1) trở thành: 2 2 x x x x      . Phương trình này có nghiệm duy nhất 0. x   Nếu 0 a  thì từ   1'' 0 x a x         Nếu x a   thì (1) xảy ra 0 a   nhưng vì 0 a  nên . x a    Khi 0 0 x a      thì 2 a x a x    nên phương trình (1) tương đương với:     2 2 a x a x a x x a x        http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang       2 2 4 4 a x a x a x a x x a x             4 4 0 a x a x a x x        (do 0, 0 a x a x a x       )   2 2 16 32 x a a x a x x        2 2 32 32 a x x a        2 2 2 2 2 2 32 32 64 a x x a ax      (vì 0 a  nên 32 0 a x a x     ) 2 2 2 32 64 0 x x ax       1025 64 0 x x a    0 64 1025 x a x        Vậy: + Nếu 0 a  thì (1) vô nghiệm. + Nếu 0 a  thì (1) có nghiệm 0 64 1025 x a x       Ví dụ 2 Tìm m để phương trình 2 3 2 2 1 3 2 (2) x mx x x    có 2 nghiệm thực phân biệt. Giải: Điều kiện bài toán: 3 2 0 0 x x x     Ta có: 2 3 2 2 1 3 2 (2') x mx x x    2 3 2 2 1 3 2 mx x x x      Nhận thấy 0 x  không là nghiệm của (2’) 1 1 (2') 2 2 3 2m x x x x      Đặt 1 2 x t x   , vì 1 0 2 2 2    x x x (theo bất đẳng thức Cosi) Xét 1 ( ) 2t f x x x    , có 2 2 2 1 1 ' 0 2 x y x x       http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bảng biến thiên: ( ) t f x  0 x y' y 1 2  0    22 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi 2 2 t  thì phương trình có hai nghiệm 0 x  . (2’) trở thành 1 3 ( 2 2) (2") 2 2 m t t t   Để (2’) có 2 nghiệm thì (2”) có một nghiệm 2 2 t  . Xét hàm số 1 3 ( ) 2 2 y g t t t    , có 1 3 4 6 6 ' 0 2 2 4 4 t y t t t        Bảng biến thiên ( ) y g t  x y' y    2 5 6 0 22  883 4 2 Vậy với 4 3 8 2 2 m   thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Cho phương trình: 3 4 1 2 (1 ) 2 (1 ) (3) x x m x x x x m       . Tìm m để phương trình (3) có nghiệm duy nhất. Giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Điều kiện: 0 1 x   Nhận xét: Nếu 0 x là nghiệm của phương trình (3) thì 0 1 x  cũng là nghiệm của phương trình (3). (3)  có nghiệm duy nhất 0 0 0 1 1 2 x x x      Thay 0 1 2 x  vào phương trình (3) ta được: 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 m m                    3 3 0 1 1 2 2 0 1 2 2 1 m m m m m m m                  +)Với 0 m  thì (3) trở thành:   2 4 4 4 1 2 (1 ) 0 1 0 x x x x x x          4 4 1 1 1 0 2 x x x x x x             Vậy 0 m  thỏa mãn. +)Với 1 m   thì (3) trở thành:   2 4 4 4 1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 1 1 2 (1 ) 0 x x x x x x x x x x                      2 2 2 4 4 4 4 1 1 2 (1 ) 0 1 1 0 x x x x x x x x x x                 4 4 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 x x x x x x x                         Vậy 1 m   thỏa mãn. +)Với 1 m  thì (3) trở thành: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang   2 4 4 4 1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 1 1 2 (1 ) x x x x x x x x x x                  2 2 4 4 0 1 1 1 x x x x x x             Vậy 1 m  không thỏa mãn. Kết luận: Với 0 m  hoặc 1 m   thì phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ 4: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm:     3 2 3 1 1 4 x x a x x     Giải: Điều kiện: 1 x  , khi đó:     3 2 1 4 3 1 1 x x x x a x x             3 2 3 1 1 x x x x a       Xét hàm số       3 2 3 1 1 f x x x x x              2 3 2 1 1 3 6 1 3 1 0 2 2 1 f x x x x x x x x                   với 1 x   . (Vì 1 x  thì 2 3 2 3 6 0; 1 0; 3 1 0 x x x x x x         và 1 1 0 2 2 1x x    )   f x  đồng biến trên   1;      1 3 f x f          3 2 lim lim 3 1 1 x x f x x x x x              ;   f x liên tục trên   1;  .    4 có nghiệm khi 3 a  . Vậy bất phương trình có nghiệm khi 3 a  . Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:     2 2 4 3 1 5 5' x xy y x x y a            Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Giải: Từ   5' y x a    thế vào (1) ta được:     2 2 4 3 1 x x x a x a x           2 2 2 2 1 2 2 3 1 x x ax a x                 2 2 1 2 1 3 1 0 * x x a x a            Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1  . Đặt     2 2 2 1 3 1 f x x a x a      Điều kiện trên được thỏa mãn 1 2 1 x x       0 1 0 1 0 2 f S                    2 2 2 1 3 1 0 3 2 2 0 1 1 0 a a a a a                    1 7 7 1 3 3 2 a a             1 7 7 1 3 3 a       Vậy các giá trị của a cần tìm là: 1 7 7 1 3 3 a      . Ví dụ 6: Định a để hệ sau có nghiệm: (6) x y a x y xy a           Giải: Điều kiện: 0; 0 x y   Đặt 0 0 X x Y y          Khi đó hệ (6) trở thành: 2 2 X Y a X Y XY a           2 3 X Y a X Y XY a              2 1 3 X Y a XY a a           , X Y  là nghiệm của phương trình:     2 2 1 0 ** 3 t at a a    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Hệ phương trình đã cho có nghiệm  phương trình (**) có nghiệm không âm. 1 2 0 t t    0 0 0 P S           2 2 4 0 0 0 a a a a a            1 4 0 a a        Vậy các giá trị của a cần tìm là 0 a  hoặc 1 4 a   . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: 1. 2 1 x m x    2. a x a a x     3.       2 2 3 2 2 3 3 1 x a m x a m x a       4. 1 1 2 4 x x x a      ĐS: 1. + Nếu 0 1 1 m m        thì phương trình vô nghiệm. + Nếu 1 0 1 m m        thì phương trình có nghiệm 2 1 2 m x m    . 2. + Nếu 0 a  thì phương trình có nghiệm 0 x  . + Nếu 2 4 0 a a a            thì phương trình vô nghiệm. + Nếu 2 4 a   thì phương trình có nghiệm 2 4 2 a x a a    . 3. + Nếu 0 a  thì phương trình có nghiệm đúng với x    . + Nếu 1 0 m a      thì phương trình vô nghiệm. + Nếu 1 0 m a      thì phương trình có nghiệm 3 3 1 am a x m    . 4. + Nếu 1 4 a  thì phương trình vô nghiệm. http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang + Nếu 1 4 a  thì phương trình có nghiệm x a a   . Bài 2: Định m để phương trình sau: 1. 6 9 6 9 6 x m x x x x        có nghiệm. 2. 2 8 1 x x m x     có hai nghiệm phân biệt. 3. 2 2 4 3 x mx m x m     có đúng một nghiệm. 4. 2 4 4 x x x x m      có nghiệm. 5.   2 2 2 2 2 x x x x m x         có hai nghiệm phân biệt. 6.   2 2 2 2 2 3 2 0 x x x x m        có hai nghiệm phân biệt. 7.    2 1 3 8 2 2 x x x x m       có nghiệm. 8. 2 4 5 4 x x m x x      có nghiệm. 9. 2 2 1 2 1 2 x x x x m       có nghiệm. 10.   2 3 2 3 5 x x m x      có nghiệm. 11. 4 2 2 2 1 1 x x x x m       có nghiệm. 12.   2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 3 m x x x x x            có nghiệm. ĐS: 1. 27 m  2. 6 10 m   3. 3 0 2 m   4. 2 2 2 2 m    5. 2 2 2 2 m    6.   1 5 2 2 2 3 3 m    7. 1 11 2 8 m    8. 6 1 5 m   9. 2 2 m   10. 1 2 5 2 m m         11. 3 m  12. 7 2 2 1 3 m    Bài 3: Tìm m để phương trình sau: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang 1.   2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 1 m x x x x x           vô nghiệm. 2. 2 2 4 2 1 4 2 1 2 x x x x m       có nghiệm. 3. 4 4 2 2 2 6 2 6 x x x x m       có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 4. 2 2 2 1 x mx x     có hai nghiệm thực phân biệt. ĐS: 1. 2 1 1 m    2. 1 1 2 2 m    3. 4 2 6 2 6 3 2 6 m     4. 9 2 m  Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình: 2 2 8 ( 2) x x m x     có hai nghiệm thực phân biệt. Bài 5: Tìm tham số m để bất phương trình: 1. .2 2 3 1 x x m m     có nghiệm. 2.     2 2 2 1 2 0 m x x x x       có nghiệm . ĐS: 1. 1 2 3 2 m   2. 2 3 m  Bài 6: Xác định m để bất phương trình     2 2 2 2 2 2 9 2 .6 1 .4 0 x x x x x x m a m         nghiệm đúng với x  thỏa mãn 1 x  . ĐS: 3 m  Bài 7: Cho hệ phương trình:   16 7 10 6 x y a x x a x y a             Tìm a để hệ có 3 nghiệm phân biệt. ĐS: 25 1 9 a  Bài 8: Định a để những hệ sau có nghiệm: 1. 2 2 2 1 x y xy x y a y x           ĐS: 2 2 a a       2. 2 1 2 1 x y m y x m            ĐS: 19 5 8 2 m   Bài 9: Định a để những hệ sau có nghiệm duy nhất: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang 1. 2 2 2 2 x y m y x m            ĐS: 2 m  2. 1 1 1 1 x y m x y m              ĐS: 2 1 m   3. 2 1 2 1 x y m y x m            ĐS: 19 2 8 5 2 m m          . Thị Trang Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM  Cho phương trình   ; 0 f x m  . Ta thường biến đổi về dạng. học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG. thì phương trình vô nghiệm. + Nếu 1 0 m a      thì phương trình có nghiệm 3 3 1 am a x m    . 4. + Nếu 1 4 a  thì phương trình vô nghiệm. http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương