Tài liệu TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH; BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ - ĐỊNH LÝ VIETE (PHẦN 1) pot

Chứng minh rằng các phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số 1.. Chứng minh rằng nếu 1 có nghiệm thì phương trình 2 cũng có nghiệm.. 1 Chứng minh rằng ít nhất mộ

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ – ĐỊNH LÝ VIETE (PHẦN 1)

-

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

m  x  m x 

2  2  2

m m x  mx 

m m x  m x 

Bài 2 Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn 1 1 1

2

ab Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn luôn có nghiệm

0

x ax b x bx a 

Bài 3 Chứng minh rằng các phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

1 x x 1x x b    xax b  0

2

3x 2 a b c xab bc ca  0

4 xax b   xax c   x c x b  0

5 c x ax b b x a  x c a x c  x b  0

Bài 4 Cho hai phương trình

 

 

2

2 2

(m, n, k là các tham số thực)

Chứng minh rằng nếu (1) có nghiệm thì phương trình (2) cũng có nghiệm

Bài 5

Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn a2abac 0

Chứng minh rằng phương trình 2

0

ax bx c  luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 6 Cho ba số thực , ,a b c thỏa mãn hệ điều kiện

 2

0,

2

c







 Chứng minh rằng khi đó phương trình 2

0

ax bx c  luôn có nghiệm

ax bx b  a b (1), với a và b là các tham số thực

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x x Chứng minh rằng tồn tại các số thực 1, 2  1, 2sao cho

0

Bài 8 Cho phương trình ẩn x : x2ax b    (1); với a, b là các tham số thực 2 0

1 Tìm a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x12;x2  3

2 Giả sử (1) có nghiệm kép   , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 T a2b2

3 Tìm b sao cho (1) có một nghiệm bằng a

4 Cho b  Tìm giá trị của a để (1) có hai nghiệm đều lớn hơn 13 

Bài 9 Cho phương trình: x mx n    (1); với m và n là các tham số thực 3 0

1 Với n  , tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt 3

2 Tìm m và n để (1) có hai nghiệm x x sao cho 1, 2 12 22

1, 7







3 Tìm nghiệm của phương trình (1) khi m và n thỏa mãn: 2 2

5m 6n 4mn10m48n135 0

4 Tìm giá trị nguyên của m và n để (1) có hai nghiệm nguyên là m và n

Bài 10

Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:   2  

a x  a b x b    (a và b là các tham số thực)

Bài 11

Cho ba số thực a b c thỏa mãn , , a b c   Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm 6

 

 

 

2 2 2

Bài 12 Cho ba số thực không âm , ,a b c thỏa mãn a2b3c 1

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

Bài 13

Cho ba số thực a b c khác 0 và hai số thực , ;, , p q px q; x Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm

c

xpxq

Bài 14 Cho hai số thực m và n thỏa mãn 19 m5n 2000

Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 2

20mx 5nx100m0

Bài 15 Cho ba số thực , ,a b c đôi một phân biệt Chứng minh phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt

0

x a x b x c 

Bài 16 Cho phương trình x2ax b   (a và b là các tham số thực) 0

Gọi x là nghiệm của phương trình Chứng minh rằng 0 x0  a2b2 1

Bài 17 Cho bốn phương trình ẩn x với , , , a b c d là các tham số thực

 

 

 

 

2 2 2 2

Chứng minh ít nhất một trong bốn phương trình đã cho có nghiệm

Bài 18 Cho phương trình: 2

2

1 0 2

a

   (1); với a là tham số thực

Gọi b và c là hai nghiệm phân biệt của (1) Chứng minh rằng 4 4

Bài 19 Cho phương trình 2  

0

x  ab x ab  (1); với a và b là các tham số thực

Gọi x x là các nghiệm của phương trình (1) Tìm 1, 2 x x biết rằng a và b thỏa mãn đẳng thức 1, 2

Bài 20 Cho phương trình ax b a 1x m  1 0 (1); với a, b, m là các tham số thực

1 Cho a1;b Tìm m để (1) có hai nghiệm 2 x x sao cho biểu thức 1, 2 2 2

M x x đạt giá trị nhỏ nhất

2 Chứng minh rằng nếu 2a2b22ab6a2b  thì (1) có hai nghiệm đối nhau 5 0

Bài 21

Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 x2pxq (1) 0

Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 3, 4 2

0

x rx s  (2)

Chứng minh rằng nếu x x1 4 x x2 3thì

2

 



 

Bài 22

x ax b  x bx a   (1); với a và b là các tham số thực

Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a và b

Bài 23 Cho hai phương trình ẩn x:

2

3

       ( , , ,a b c d là các tham số thực)

Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình (1) Chứng minh p và 3 q là hai nghiệm của phương trình (2) 3

Bài 24 Cho phương trình: 2  

ax  ab x b  (1); với a và b là các tham số thực

1 Chứng minh rằng (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b

2 Xác định giá trị của a và b để phương trình có nghiệm duy nhất 1

2

x 

Bài 25 Chứng minh rằng với ac  b thì phương trình 2

0

ax bx c  luôn có nghiệm

Bài 26 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

 

 

2 2

   (với a b c là các tham số thực) , ,

Bài 27 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

2 2 2

(với , ,a b c là các tham số thực khác 0)

Bài 28 Giả dụ , ,a b c là độ dài ba cạnh một tam giác

1 Chứng minh rằng phương trình  2 2 2 2 2 2 2

2 Chứng minh rằng phương trình 2 2  2 2 2 2

0

b x  b c a x c  vô nghiệm

3 Chứng minh rằng phương trình 2  

0

x  a b c x  ab bc ca   vô nghiệm

Bài 29 Cho phương trình ax2bx c   (a khác 0) 0

Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm khi các tham số , ,a b c thỏa mãn từng điều kiện sau

1 5a2c b

2 2b c 4

a a

0

a

 









4 a a 2b4c 0

5 5a3b2c 0

Bài 30

Cho ba số thực dương , ,a b c sao cho a   b c 3

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

Bài 31

Cho ba số thực dương a b c sao cho , , a b c   3

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

2 2 2

Bài 32

Cho ba số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

2 2 2

Bài 33

Cho a b c d là bốn số thực dương thỏa mãn , , , a2b2c2d2  4

Chứng minh rằng ít nhất một trong bốn phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

 

2 2 2 2

Bài 34

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

(với , ,a b c là các tham số thực dương)

Bài 35 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

2 2 2

(với , ,a b c là các tham số thực)

Bài 36 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình ẩn x sau có nghiệm

 

 

 

2 2 2

(với , ,a b c là các tham số thực)

Bài 37 Giả dụ a a1 22b1b2 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình ẩn x sau có nghiệm

2

x a x b  và x2a x b2  2  0

Bài 38 Cho phương trình  2  2 

x  ax b x  bx a  (1); với a và b là các tham số thực

Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a và b

Bài 39 Cho ba phương trình ẩn x với a b c là các tham số thực , ,

 

 

 

2 2 2

Chứng minh ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm

Bài 40 Cho phương trình ẩn x : 2 2  2 2 2 2

0

a x  a b c x b  với các tham số thực , ,a b c thỏa mãn ,

  







Chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 41 Cho ba phương trình ẩn x với a b c là các tham số thực , ,

2

2

2

9

4 9

4 9

4

Chứng minh ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm

Bài 42 Cho hai phương trình ẩn x với a b c là các tham số thực: , ,

 

 

2 2

Giả sử phương trình (1) vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm

Bài 43 Cho hai phương trình ẩn x với , , , a b c d là các tham số thực:

 

 

2 2

Giả sử , , ,a b c d thỏa mãn bất đẳng thức: a a c  c c a8db 0

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Bài 44 Cho a b c d là các tham số thực, trong đó a và b thỏa mãn , , , a2b2 1

Chứng minh phương trình ẩn x sau có nghiệm:  2 2  2   2 2

Bài 45 Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm:  2 2 2  3 3 4 4

Bài 46 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m:

 

2

Giả sử rằng (1) có hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng phương trình (2) vô nghiệm

Bài 47 Cho hai phương trình ẩn x với các tham số thực , , , , , a b c m n p :

 

 

2 2

Giả dụ ít nhất một trong hai phương trình (1) hoặc (2) vô nghiệm

Chứng minh rằng phương trình sau luôn luôn có nghiệm

Bài 48 Cho ba số thực , ,x y z Đặt a  x y z b; xyyzxz c; xyz

Chứng minh rằng các phương trình ẩn t sau luôn có nghiệm

 

 

2 2

Bài 49 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với a là tham số thực

 

 

2 2

Xác định a để (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung

Bài 50 Cho hai phương trình ẩn x tham số m

 

 

2 2

1 Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung

2 Xác định m để hai phương trình trên tương đương với nhau

3 Tìm m để hai phương trên đều có hai nghiệm phân biệt lớn hơn m

Bài 51 Cho hai phương trình ẩn x tham số m

2 2

1 0 0

1 Tìm m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung

2 Tìm m để hai phương trình đã cho tương đương với nhau

3 Định m để hai phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1

Bài 52 Cho hai phương trình ẩn x tham số m

 

2 2

1 Giải phương trình (1) với m  8

2 Xác định m để (1) và (2) có nghiệm chung

3 Xác định m để (1) có các nghiệm phân biệt trái dấu với các nghiệm phân biệt của phương trình (2)

Bài 53 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m

2 2

1 Xác định m để (1) và (2) có nghiệm chung

2 Tìm m để hai phương trình tương đương với nhau

3 Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1, đồng thời (2) có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài 54 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m

2 2

1 Tính tổng các nghiệm của hai phương trình trên khi m 4

2 Định m để (1) và (2) có nghiệm chung

3 Tìm m để hai phương trình đã cho tương đương với nhau

Bài 55 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m

 

2 2

1 Xác định m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung

2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương đồng thời (2) có hai nghiệm cùng âm

3 Định giá trị m để hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau

Bài 56 Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương với nhau

2 2

Bài 57 Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có nghiệm chung

2 2

Bài 58 Giả sử hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung duy nhất thì các nghiệm còn lại của (1) và (2) đều là

nghiệm của phương trình 2

x  x ab 

 

 

2 2

   (với a và b là hai tham số thực khác nhau)

Bài 59 Cho hai phương trình ẩn x

 

 

2

2

   (với a, b và c là các tham số thực khác 0 và khác nhau đôi một)

Giả sử các phương trình (1) và (2) có nghiệm chung

1 Tìm nghiệm còn lại của mỗi phương trình

2 Chứng minh rằng các nghiệm còn lại ấy thỏa mãn phương trình: x2cx ab  0

Bài 60 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m

 

 

2 2

1 Định m để (1) và (2) tương đương

2 Tìm giá trị nguyên của m để (1) và (2) có nghiệm chung

3 Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

3x 4x m 2 x 2mx5  0

Bài 61 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m

 

 

2 2

  

1 Tìm m để (1) và (2) có nghiệm chung

2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

Bài 62 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a và b

2 2

6 0

12 0

Giả dụ hai phương trình trên có nghiệm chung Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  a b

Bài 63 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m, n

2 2

3 0

5 0

Giả sử hai phương trình đã cho có nghiệm chung Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  m n

Bài 64 Giả sử hai phương trình ẩn x sau có nghiệm chung

2 2

0 0

Chứng minh đẳng thức  2   

0

Bài 65 Cho hai phương trình ẩn x với các tham số a b c , ,

 

 

2

Biết (1) có hai nghiệm x x ; (2) có hai nghiệm 1, 2 x x sao cho 3, 4 x3x1x4x2 Tìm b và c 1

Bài 66 Cho hai phương trình ẩn x

 

 

2 2

Biết (1) có hai nghiệm x x ; (2) có hai nghiệm 1, 2 x x Chứng minh rằng: 3, 4 x12x22x32x42  4

Bài 67 Cho hai phương trình ẩn x với các tham số a b c a b c 1, , ,1 1 2, 2, 2

 

 

2

2

Giả sử (1) và (2) có nghiệm chung Chứng minh rằng a c1 2a c2 12a b1 2a b2 1b c1 2b c2 1

Bài 68 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m

 

2

1 Định m để hai phương trình có nghiệm chung

2 Tìm m để hai phương trình đã cho tương đương

3 Xác định m để (1) và (2) đều có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 69 Xác định các tham số m và n để hai phương trình ẩn x sau tương đương với nhau

 

2 2

Bài 70 Tìm m và n để hai phương trình ẩn x sau tương đương

2 2

Bài 71 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m và n

 

2 2

1 Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung

2 Định m để hai phương trình trên tương đương

Bài 72 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m

2 2

1 Tìm m để hai phương trình đã cho có nghiệm chung

2 Định m để hai phương trình đã cho tương đương với nhau

Bài 73 Cho hai phương trình ẩn x với p và q là các tham số

 

 

2 2

Giả dụ (1) có hai nghiệm phân biệt a a ; (2) có hai nghiệm phân biệt 1, 2 b b 1, 2

Bài 74 Cho , ,a b c là các số nguyên lẻ Chứng minh rằng phương trình bậc hai sau không có nghiệm hữu tỷ

2

0

ax bx c 

Bài 75 Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung

2 2

Bài 76 Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x

 

 

2 2 2 2

   

(a b c là các tham số thực) , ,

Biết rằng (1) và (2) có nghiệm chung; (3) và (4) có nghiệm chung

Tính giá trị của biểu thức T 2004a

b c





Bài 77 Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x

 

 

 

 

2 2 2 2

( , ,a b c là các tham số thực)

Biết rằng (1) và (2) có nghiệm chung; (3) và (4) có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức A   a b c

Bài 78

Cho x thỏa mãn phương trình 2

Cho y thỏa mãn phương trình y22by 9 0 ;b 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    

2

và các giá trị a, b tương ứng

Bài 79 Cho hai phương trình ẩn x

 

 

2 2

   (p và q là các tham số thực)

Giả sử (1) có hai nghiệm là a và b; phương trình (2) có hai nghiệm là b và c

Chứng minh hệ thức b a b c   qp 6

Bài 80 Cho hai phương trình (với các ẩn x và y; p và q là các tham số thực)

 

 

2 2

Biết rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a và b; phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt c và d

Chứng minh đẳng thức:       2

Bài 81 Tìm tất cả các số nguyên không âm m sao cho phương trình sau có các nghiệm đều nguyên

 2 2

Bài 82 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2pxq0 (1); với p và q là các tham số thực

1 Chứng minh rằng nếu 2

2p 9q thì (1) có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 0

2 Cho p và q là các số nguyên Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm ấy phải số

nguyên

Bài 83 Giả dụ phương trình ẩn x: ax2bx c   (a khác 0) có các nghiệm 0 x x thỏa mãn 1, 2 x1x22

Chứng minh hệ thức: 3 2 2

3

b a c ac  abc

Bài 84 Chứng minh phương trình ẩn x sau vô nghiệm: 2 2  2 2 2 2

0

Bài 85 Giả sử x x là hai nghiệm của phương trình ẩn x: 1, 2

2

4 3 1

x m x



Tìm giá trị thực của tham số m để biểu thức M  x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 86

1 Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax2bx c  ( , ,0 a b c là các tham số thực; a và b khác 0)

Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia là

2

3b 16ac 0

2 Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2

0

ax bx c  ( , ,a b c là các tham số thực; a khác 0)

Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là

1k ackb k 1

Bài 89 Cho phương trình: 2  

x  a x   (1); với a là tham số thực

1 Giải phương trình đã cho với a  6

2 Tìm a để (1) có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1, 2

a) 2 2

b) x15x52 211

Bài 90 Cho tam thức bậc hai   2

f x ax bx Giả dụ phương trình c f x  vô nghiệm   0 Chứng minh rằng phương trình 2   

af x bf x  c xvô nghiệm

Bài 91

1 Tìm a để phương trình 2

x  ax có hai nghiệm x x thỏa mãn bất đẳng thức 1, 2

7

2 Gọi x x là các nghiệm của phương trình ẩn x: 1, 2 2 2  

x  kxa  a ; với k và a là tham số thực Xác định k theo a để

5

Bài 92 Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2 2

2

12

m

     (1); với m là tham số thực

1 Giải phương trình đã cho với m  1

2 Khi (1) có hai nghiệm x x Hãy tìm giá trị của m sao cho 1, 2

a) Biểu thức Px13x23đạt giá trị lớn nhất

b) Biểu thức 3 3

Px x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 93 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x

 

 

2 2

   ( , , ,a b c d là các tham số thực)

Giả sử (1) có hai nghiệm x x ; (2) có hai nghiệm 1, 2 x x Chứng minh rằng 3, 4

      2  2 2    2 2  

2 x x x x x x x x 2 b d  a c b d  a c bd

Bài 94 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số thực m

 

 

2 2

1 Tìm m để hai phương trình trên đều vô nghiệm

2 Tìm m để nghiệm khác 0 của phương trình (2) bằng hai lần một trong các nghiệm của phương trình (1)