Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x (C) Tìm đường thẳng (d): y = − x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (m; −m) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) − m ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1) 3 − x = k Thay (2) vào (1) ta được: x − 3mx + 4m = ⇔ m = x3 3x − (2) (*) (**) Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x ) = x3 3x − 3 x − 24 x f ′( x ) = ; ; f ′( x ) = ⇔ x = 2 x = ±2 (3 x − 4) Tập xác định D = R \ − Dựa vào BBT, (**) có nghiệm phân biệt ⇔ m = −2 Vậy: M(−2;2) M(2; −2) m = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + Tìm đường thẳng d : y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (m;4) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x 2− x + = k ( x − m) + 3 x − = k Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x − (3m + 2) x + 3m + = (1) (2) (*) (3) x = −1 ⇔ 2 x − (3m + 2) x + 3m + = (4) YCBT ⇔ (3) có nghiệm phân biệt + TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1 ⇔ m = −1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = − ∨ m=2 Vậy điểm cần tìm là: (−1; 4) ; − ;4 ; (2; 4) Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + (m − 1) x + 2m (Cm) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ tiếp tuyến với (Cm) Hướng dẫn giải: PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − 1) + ∆ tiếp tuyến (Cm) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x − x + (m − 1) x + 2m = k ( x − 1) + 3 x − x + m − = k ⇒ f ( x ) = x − x + x − 3(m − 1) = (*) Để qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt Ta có f ′( x ) = x − 10 x + ⇒ f ′( x ) = ⇔ x = 1; x = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 109 − 3m 27 m = A ∈ Ox Do (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ B ∈ Ox m = 109 81 ⇒ Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4 − 3m), B ; Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + x − (C) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (m;2) ∈ (d ) PT đường thẳng ∆ qua điểm M có dạng : y = k ( x − m) + 2 − ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm x 2+ x − = k ( x − m) + −3 x + x = k (1) (2) (*) Thay (2) (1) ta được: x − 3(m + 1) x + 6mx − = ⇔ ( x − 2) 2 x − (3m − 1) x + = x = ⇔ f ( x ) = x − (3m − 1) x + = (3) Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có nghiệm x phân biệt ∆ > ⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇔ m < −1 ∨ m > f (2) ≠ m ≠ Vậy từ điểm M(m; 2) ∈ (d) với m < −1 ∨ m > kẻ tiếp tuyến với (C) m ≠ 2 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Hướng dẫn giải: Ta có y = x − x + PT đường thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k : y = k ( x − a) x − x + = k ( x − a) d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: k = ( A) x −1 = Ta có: (I ) ⇔ 4 x( x − 1)2= k f ( x ) = x − 4ax + = (1) + Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến d1 : y = 4x3 − 4x = k (I ) ( B) + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔ ∆′ = 4a2 − > 3 ⇔ −1 ≠ a < − hoaëc ≠ a > 2 f (±1) ≠ Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số: y = x+2 (C) x −1 Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) có hệ số góc k: y = kx + a x +2 x − = kx + a có nghiệm d tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ PT −3 k = ( x − 1)2 ⇔ PT: (1 − a) x + 2(a + 2) x − (a + 2) = (1) có nghiệm x ≠ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ (*) ′ a > −2 ∆ = 3a + > Khi ta có: x1 + x2 = 2(a + 2) a+2 3 ; x1 x2 = y1 = + ; y2 = + x1 − x2 − a −1 a −1 Để tiếp điểm nằm phía trục hoành y1.y2 < ⇔ 1 + x1.x2 + 2( x1 + x2 ) + < ⇔ 3a + > ⇔ a > − 1 + − Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a ≠ Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x +1 (C) x −1 Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) Hướng dẫn giải: Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) x +1 ( y − 1) x − 2( y + 1) x + y + = (1) x − = kx + yo o o o ⇔ (*) (d) tiếp tuyến (C) ⇔ −2 −2 =k =k x ≠ 1; ( x − 1) ( x − 1)2 YCBT ⇔ hệ (*) có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm khác y = y ≠ o o x = ; yo = ⇒ k = −8 ⇔ ⇔ ∨ x = ∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = x = 0; yo = −1 ⇒ k = −2 Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) x +3 (C) x −1 Tìm đường thẳng d : y = x + điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hàm số y = Hướng dẫn giải: Gọi M (m;2m + 1) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2m + PT hoành độ giao điểm ∆ (C): k ( x − m) + 2m + = ⇔ kx − [(m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = (*) x+3 x −1 k ≠ ∆ = [(m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = ∆ tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ k ≠ 2 2 g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = ⇔ Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ tiếp tuyến đến (C) m = ∆′ = −32(m − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 2 ⇔ g(k ) = có nghiệm k ≠ ⇔ ∆′ = −32(m − m − 2) > 0; g(0) = 4m = ⇔ m = −1 m = m − = ⇒ 16 k + = ⇒ k = − m = ⇒ M (0;1) ⇒ M (−1; −1) ⇒ M (2;5) ⇒ M (1;3) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!