1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Đối tượng và phương pháp trong toán học cổ điển

51 312 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 51
Dung lượng 1,14 MB

Nội dung

IT NG VÀ PH NG PHÁP TRONG TOÁN H CC I N M CL C M CH U NG I M T S KHÁI NI M VÀ PH 1.1 S kh i sinh c a t t 1.2 T t NG PHÁP C B N ng ti n Toán h c ng ch ng minh 1.3 Các tiên đ vƠ đ nh ngh a 10 1.4 Hình h c, t Euclid đ n Hilbert 13 1.5 S vƠ đ i l CH ng 18 NG II M T S 2.1 T t T T NG TRONG IS VÀ GI I TÍCH 25 ng v x p x 25 2.2 Nh ng ti n b đ i s 29 2.3 Ph ng pháp t a đ 32 2.4 Quan m v gi i h n vƠ phép tính vô bé 38 K T LU N 49 DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O 50 M U David Hilbert, m t nh ng nhà toán h c v đ i nh t m i th i đ i, có nói đ i ý r ng, Toán h c c ng gi ng nh nh c c n: v a đ n gi n v a đ p C ng nh âm nh c, v đ p c a toán h c c n v i th i gian Ngày nay, đ c l i nh ng trang “C s ” c a Euclid, ta v n ng c nhiên thán ph c tr c s ch t ch c a l p lu n, s sáng c a t m t công trình đ c vi t hai ngàn n m Tìm hi u v đ i t ng ph v i c i ngu n c a nh ng ý t nhà tr ng Hi u đ ng pháp c a toán h c c n s tr v ng, nh ng ph ng pháp toán h c mà ta đ c c i ngu n c a nó, ta s hi u rõ h n, sâu h n, s có th xa h n S hi u bi t c ng s giúp ích r t nhi u cho nh ng ng công tác gi ng d y toán h c nhà tr i làm ng Vì nh ng l đó, ch n đ tài cho lu n v n “ ph ch c it ng ng pháp toán h c c n” T t nhiên, không th đ c p đ n toàn b v n đ r ng l n nh tên g i c a lu n v n Chúng ch t p trung trình bày - S xu t hi n c a ý t - Ph ng pháp tiên đ - Ph ng pháp t a đ - Ýt ng v x p x - il m t s v n đ sau: ng v “ch ng minh” ng vô bé N i dung c a lu n v n đ c vi t d a vào tài li u li t kê ph n Tài li u tham kh o, đ c bi t cu n sách ”Mathematics – the music of reason” c a J Dieudonné Thang Long University Libraty CH NG I M T S KHÁI NI M VÀ PH NG PHÁP C B N Vào th i v n minh c đ i, nh m đáp ng nhu c u cu c s ng hàng ngày xây d ng quy trình tính toán s h c phép đo l gian, t th k th tr c Công nguyên, ng i Hy L p, b ng cách phân tích chu i suy lu n n sau nh ng qui trình đó, t o m t ph hoàn toàn m i Trong ch ng không ng th c t ng này, s c g ng làm rõ nh ng khía c nh thi t y u toán h c Hy L p s phát tri n đ n m c không ng , đ c bi t hi u qu , mà mang l i cho nhà toán h c vào gi a th i k ph c h ng cho đ n cu i th k th 18 Chúng ta s ch t p trung vào n n t ng đ c tr ng c a Toán h c Hy L p 1) Ý t ng v ch ng minh: b ng m t chu i suy lu n lô gic xu t phát t nh ng m nh đ , đ nh đ , tiên đ ch a đ m nh r ng ý t c ch ng minh C n ph i nh n ng ch có th tr thành hi n th c nh vào k n ng suy lu n logic b i nh ng ng i đ c nuôi d ng t nh ng tr ng phái Tri t h c Hy L p M t ví d n i b t nguyên t c “ch ng minh ph n ch ng”, m t ph ng pháp đ c nhà logic h c làm sâu s c thêm tr thành m t nh ng tr c t c a l p lu n toán h c 2) Nh ng đ i t tên g i th ng mà nhà toán h c quan tâm đ u mang nh ng ng đ c s d ng tính toán th c t nh : s , hình h c đ l n Tuy nhiên, t th i c a Plato, nhà toán h c l u ý r ng d i nh ng tên g i đó, h l p lu n v nh ng th c th hoàn toàn khác, nh ng th c th phi v t ch t, nh n đ đ it c “b ng cách tr u t ng” t ng c m nh n b i giác quan c a chúng ta, nh ng chúng ch hình nh c a nh ng đ i t ng Nh s ch m c 1.3, ph n nói v l đ n m c c a nh ng tính ch t đ c đ hình h c, s khác c gán b i tiên đ cho đ i t ng “trìu t ng” c a hình h c v i nh ng “hình nh” c a chúng, nh ng khó kh n phát sinh vi c tìm ki m m t t phù h p đ đ nh ngh a nh ng đ i t ng d ng l i có th hi u rõ h n v nh ng ý t ng này, s không đ theo dõi chi ti t th ng tr m l ch s c a nh ng khái ni m Thay vào đó, s trình bày nh ng ý t ng mà Pasch Hilbert th c hi n vào cu i th k th 19 Hai nhà toán h c kh c ph c nh ng thi u sót nh ng v n gi nguyên ph ng pháp tiên đ Euclid tinh th n ban đ u c a H xóa b v nh vi n nh ng khó kh n, b ng cách nêu rõ tiên đ xác đ nh đ i t C ng t ng toán h c ng t nh v y, m c 1.4 đ c dành đ trình bày đ i t toán h c mà “hình nh” c a chúng s nh ng đ i l thông qua nh n th c b ng c m quan c a ng ng c a th c th c tính “tr u t ng” c a toàn b s hi n h u Toán h c Hy l p, s trình bày c a Euclid v quan h chia h t c a s s nguyên t v n thích h p vi c gi ng d y ngày M c dù v y, không gi ng nh hình h c, s không đ Ng c đ t d ng lý thuy t tiên đ c l i, vi c khám phá đ i l ng vô c mang l i m t cu c kh ng ho ng quan ni m c a nhà Toán h c Hy L p v phép đo đ l n Có v nh th c t nh ng ng ch p nh n r ng m t đ n v đ l ng lo i “thông v i theo tr c ch n cho m t lo i đ i l c ng, m i đ i c” v i đ n v –có th g i m t s h u t t qua nh ng khó kh n này, ng i Hy L p t o nh ng đ i t Toán h c m i, c th t s gi a đ i l đ ng phái Pytagore tr ng ng m t lo i Các t s c đ nh ngh a m t cách tiên đ cho t s gi a đ i l ng lo i v i m t đ n v ch n cho chúng l p nên m t ph n c a mà ta g i t p s th c d ng Ph n ch a s h u t m t s s vô t , nhiên ch a cho phép ch rõ đ c h t ph n t ch a Thang Long University Libraty Ch c ch n lý tri t h c, nên nhà toán h c c a tr ng Plato quan sát th y nh ng u c m k vi c v n d ng ba lo i đ l n hình h c là: chi u dài, di n tích th tích Ví d , b n không th c ng s chi u dài v i s đo di n tích, tích c a s đo hai chi u dài l i s đo m t di n tích (ho c tích c a ba chi u dài s đo m t th tích), ch không ph i s đo chi u dài M c dù hình h c có th t thích nghi v i nh ng h n ch trên, nh ng nh ng h n ch làm cho không th th c hi n phép tính đ i s nh v n th c hi n s th c Ph i đ n Descartes m i ng n vi c th c hi n nh ng phép toán nh v y, m c dù có m t s nhà toán h c đ ngh vi c t hàng th k tr đ c T th i k tr “t s ” gi a đ i l ng m t lo i c đ ng nh t v i s th c, mà không c n thi t ph i ch rõ lo i c n đ c xem xét Trong m c 2.2 2.3, s ch ra, v i vi c phát minh ký hi u thu n ti n vào th i Trung c th i k Ph c h ng, cu c c i cách t o nên không ch s phát tri n c a đ i s , mà t o phát minh v ph ng pháp to đ , m t m t cho ta m t mô hình đ i s c a hình h c Euclid, m t khác hi n th c hóa m t t t t ng v n ch a đ c ng ng chung v hàm th c c a m t bi n s th c, m t ý i Hy L p bi t đ n Cu i m c 2.1 2.4 gi i thi u v hai nh ng t t ng c b n nh t c a toán h c, x p x gi i h n, suy t Các nhà toán h c Hy L p th ng gi i quy t v n đ đ i s b ng hình h c “d ng hình”; Ví d nh Euclid đ a vi c xây d ng c n b c hai c a m t “t s ” b ng giao m c a m t đ ng tròn m t đ ng th ng, t v y Menaechmus xây d ng c n b c ba b ng giao m c a hai đ Tuy nhiên c ng nh n th y m t t t ng t nh ng conic ng khác c a Euclid v vi c xác đ nh s đo di n tích c a hình ph ng không đa giác: ông đ t hình ph ng vào gi a hai dãy hình đa giác, mà hi u di n tích c a chúng d n đ n không Ý t ng đ c Acimet s d ng l p l p l i, đ c t ng quát hóa vào th k th 17, c ng giúp cho vi c ch ng minh s t n t i c a c n b c n v i n ≥4, mà ng i Hy L p không th làm đ c b ng ph ng pháp hình h c ch ng minh c s pháp lý c a nh ng quy trình này, rõ ràng c n ph i đ a m t tiên đ , v n ch a đ ct ng minh cho đ n th k th 19, mà Cauchy làm sáng t v i tên g i “Tiên đ dãy đo n th t” Tiên đ k t h p v i nh ng tiên đ tr c c a Euclid, hoàn ch nh đ nh ngh a tiên đ c a t p h p t t c s th c Nó cung c p m t c s v ng ch c cho gi i tích, m t l nh v c đ c sáng t o vào th k th 17 tr thành m t công c m nh m nh t c a toán h c thu n túy nh ng ng d ng c a 1.1 S kh i sinh c a t t ng ti n Toán h c Trong xã h i ngày nay, nh ng ý t ng i ti p thu t r t s m T m ng v s đ i l i hai hay m ng đ c i ba tu i, nh ng khái ni m tr nên “t nhiên” đ i v i s d ng chúng m t cách t đ ng Tuy nhiên, Piaget ch b ng th c nghi m r ng, nh n th c v m t s t nhiên “b t k ” có th đ đ il ng nh th tích ho c tr ng l c n m b t t r t s m, v i m t s ng, em nh d i 12 tu i v n g p nhi u khó kh n v nh n th c so sánh hai đ l n c a đ i l ng lo i V ph n mình, nhà dân t c h c phát hi n nh ng xã h i nguyên th y mà s c a h , nh ng s v tđ nv nhiên không s d ng đ m c đ u tên g i, t t c tính toán Các v n b n tìm th y t nh ng n n v n minh Ph ng ông c x a t i Ai C p ho c Babylon r i r c đ có th cho phép theo dõi đ đ ng xây d ng s h c ho c hình h c ch t ch Chúng ch đ ch nh t thiên niên k th hai tr bàn v i s suy đoán tr u t l i, đ ng c công nguyên c c xu t hi n hoàn ng nhiên không đây, mà ch v i công th c đ c thi t k đ nh m u ch nh v n đ th c t đ c l u truy n c đ t b i m t xã h i nông nghi p phát tri n cao: v n đ v trao đ i, thuê m n, tranh ch p, phân chia tài s n Thang Long University Libraty Ng i Hy l p đ c thúc b i s ki n l c a sông Nile làm bi n d ng cánh đ ng, c n ph i nh vào nh ng ng nh ng ng i có k n ng đ c bi t, i bi t cách khôi ph c xác di n tích đ t sau l Chúng ta c ng không c n sâu vào chi ti t nh ng v n đ gi i quy t nh ng tài li u l i đ n ngày Chúng ta ch mu n nói r ng, v s h c h cho th y s hi u bi t v phép chia, c p s c ng, có th c c p s nhân, “quy t c tam xu t” Trong nh ng viên g ch c a ng gi i nh ng toán t ng đ i Babylon, th m chí ta tìm th y l i ng v i ph ng trình b c hai Ví d nh có m t viên g ch cho th y s đ hình vuông, v i dòng ch sau: “Tôi c ng chi u dài c a c nh hình vuông v i di n tích c a đ hình vuông dài bao nhiêu?” Ph c k t qu ¾, v y c nh c a ng trình mà nhà h c gi suy ngh s đ c vi t nh sau: x2  x  Và nhà h c gi c ng gi i quy t theo cách t thêm ¼ vào hai v c a ph ng t chúng ta, nh sau: ông ng trình, th y r ng bình ph ng c a x + ½ b ng 1, t ông k t lu n r ng x = ½ Trong l nh v c hình h c ph ng, hình nh hình ch nh t, hình tam giác, hình thang, góc vuông đ ng tròn, đ c bi t đ n, có th có liên h v i vi c s d ng d ng c , nh bàn xoay c a th g m, hình vuông quang h c c a ng i th n M t ý t ng t ng t đ c nh n th y nh ng viên g ch c a ng i Babylon, nói r ng n i có c u thang t l gi a chi u cao chi u r ng c a m t b c thang c ng b ng t l gi a t ng chi u cao c a c u thang phép chi u n m ngang c a (Hình 1) M t khác, ng i Hy L p cho r ng Talet có m t th thu t đ đo chi u cao kim t tháp, u mà ch c ch n đ c ng i Ai C p bi t đ n: “chúng quan sát chi u dài bóng c a kim t tháp, t l gi a chi u cao c a kim t tháp chi u dài b ng t l gi a chi u cao c a m t chi c g y chi u dài c a bóng c a nó” (Hình 2) Trong hình h c ba chi u, nh ng l ng m l i nhân ch ng cho ki n th c v không gian ba chi u đ c rút t kinh nghi m c a ki n trúc s th xây d ng S sun sun S s A p s P t p P T sp SP  Ap AP TP  sp SP (Hình 1) (Hình 2) Có nh ng khái ni m phát sinh mà ch a bao gi liên quan đ n b t k đ i t ng c th nào: vi c li t kê đ i t ho c tr đ ng, đo nh ng đ i l c, nh chi u dài, di n tích, th tích, tr ng l m t chúng, ng i ta ch n m t đ n v , th ng có th c ng vào ng, góc, v i m i ng b i ho c c c a Các công th c liên quan đ n ví d d li u đ bi t hóa; quy t c tính toán c s cho tr h n tính di n tích hình có d ng kích th ch nh t, hình thang ho c hình tròn c cho tr cđ c ng h p t ng quát, ch ng c, nh tam giác cân, hình ng nhiên, không th tìm th y công th c theo ngh a mà hi u v t đó: công th c ph i cho d Thang Long University Libraty li u tùy ý ho c không xác đ nh B n ch t chung c a quy t c tính toán ch có th đoán đ 1.2 c có m t chu i ví d đ a v i d li u bi n thiên T t ng ch ng minh Vào th k VI VII tr c Công nguyên h c gi Hy L p đ a mà g i suy lu n logic: chu i suy lu n – sau đ c mã hóa nh các phép tam đo n lu n (hình th c l p lu n k t lu n đ rút t hai đo n trình bày) – chúng bu c ng c i đ i tho i đ ng ý xác nh n Q m t đ ng ý m t kh ng đ nh P khác Ta bi t r ng, t th k th V tr c công nguyên, nhà t t ng Hy L p b c th y v ngh thu t s p x p lý lu n thành m t chu i liên ti p k t lu n logic, u đ c th y rõ tác ph m c a nh ng nhà ng y bi n, c ng nh đo n đ i tho i c a Plato H khám phá r ng nh ng lý lu n có th l y b t c ho t đ ng c a ng i làm đ i t ng, đ c bi t nh ng công th c toán h c hình h c, h u h t s đ n t n n v n minh Ai C p Babylon Nh ng lý lu n tr thành ch ng minh k t n i nh ng đ nh lý v i Ng nh ng đ nh lý đ u t th i Talet vào cu i th k th VII tr nh ng nh ng ph ng pháp ch ng minh v n ch a đ chúng t n t i Tuy nhiên, ng i ta bi t đ n c công nguyên, c bi t đ n, n u gi thi t i ta th a nh n r ng, đ nh lý c a tr ng phái Pythagore, t t nhiên s có đ nh lý mang tên “ nh lý Pytagore” , có ch ng minh, m c dù ch ng minh th v n ch a đ đ u tiên ch a cách ch ng minh ch đ c bi t Nh ng v n b n c tìm th y b n th o c a Plato Aristotle Trong b n đ i tho i n i ti ng d i tên g i Meno, Socrates mu n m t nô l tr h c th c tìm hi u xem làm cách có th d ng hình vuông có di n tích g p đôi di n tích m t hình vuông ABCD cho (Hình 3) C u bé nô l lúc đ u tr l i r ng u có th th c hi n b ng cách t ng g p đôi c nh, Socrates ch cho c u ta th y r ng di n tích c a hình vuông m i s không th g p đôi mà s g p l n di n tích c a hình vuông ABCD cho Sau ông ta cho c u bé v m t hình vuông A’B’C’D’, m i c nh c a b ng đ ng chéo c a hình vuông ABCD, ông ch ng minh r ng hình vuông có đ c m nh yêu c u (g p đôi hình c ) ó tr ng h p đ c bi t c a đ nh lý Pythagore áp d ng cho tam giác vuông cân Ch ng minh bao g m vi c ch r ng hình vuông ABCD có th đ c chia b i đ ng chéo c a thành b n hình tam giác b ng nhau, m i m t chúng, ch ng h n  OAB b ng  A’AB d ng phía khác c a c nh huy n c a nó, t có t t c tam giác b ng b ng  OAB, t o thành hình vuông A’B’C’D’ T t nhiên sau đó, vào th i Euclid, s b ng c a tam giác  OAB  A’AB đ c rút t chu i đ nh lý Socrates m i ch hài lòng r ng s b ng đ i đ i tho i c ch p nh n b i ng A' A B D' B' O C D C' Hình Ch ng minh th hai đ c Aristotle ghi l i, c ng t tr ng phái Pythagore, liên quan đ n hình tam giác vuông cân đó, tr thành ví d đ u tiên v “ph n ch ng”, v sau tr thành m t công c thi t y u c a toán h c ó c ng ví d đ u tiên kh ng đ nh s không th th c hi n đ c nh lý nói r ng m t tam giác vuông cân, t l gi a c nh huy n c nh góc vuông không th phân s p/q (trong p q s t nhiên) Th t v y, theo đ nh lý Pythago, phân s nh v y s có tính ch t (p/q)2 = Ta có th gi s v n đ “rút g n” t i tr ng h p p q không ch n: n u chúng ch n, ta có th chia chúng Thang Long University Libraty H n th n a, s ki n đ m t ph ng đ ng th ng, đ c xác đ nh b i ph ng tròn đ ng conic ng trình d ng P(x,y)=0, P đa th c b c nh t ho c b c hai v i h s th c, m t cách t nhiên d n nhà toán h c t i vi c nghiên c u đ ng cong đ lo i nh ng h n ch v b c c xác đ nh b i nh ng ph ng trình ó m kh i đ u c a m t l nh v c m i c a toán h c, hình h c đ i s , b sung m t cách to l n vào danh sách đ ng cong mà nhà toán h c Hy L p bi t đ n, ngày v n m t nh ng l nh v c sôi đ ng nh t, sau 300 n m nghiên c u k t qu Ph ng pháp t a đ c ng c s c a hai ti n b t v i khác th k 17: đ a ý t ng v hàm s phép tính vô bé Ng i ta th ng nói r ng khái ni m toán h c c a nhà toán h c Hy L p v c b n t nh, u trái ng ràng C s cýt ng bi n thiên chi ph i t t ng khoa h c hi n đ i Rõ c a Euclid t p trung nghi n c u hình mà v trí kích th c c đ nh Tuy nhiên, t b t đ u c a toán h c Hy L p, nh ng c g ng đ tìm hi u s chuy n đ ng thay đ i v hình d ng hay b n ch t luôn xâm chi m ý ngh c a nhà tri t h c, khái ni m v chuy n đ ng đ u th ng hay tròn- đ c ch rõ ràng bi t cách đo th i gian Chúng ta bi t r ng, h thiên v n c a h , b ng vi c k t h p nh ng chuy n đ ng mà nhà toán h c Hy L p c g ng tính qu đ o c a hành tinh M c dù khái ni m v th i gian không đ đ ng cong ph ng, đ c tính đ n hình h c Hy L p, nh t hai ng quadratrix (Hình 16) c a Hyppias đ (Hình 17) c a Acsimet, đ ng xu n c c đ nh ngh a b i t h p chuy n đ ng đ u 36 Q M  2 cos r  Hình 16 Có v nh v nguyên t c c n nghiên c u chuy n đ ng th ng không nh t thi t đ u- đ c bi t chuy n đ ng c a v t r i, ch đ n i b t tr ng phái tri t h c vào th i trung c Lo ichuy n đ ng mà Oresme (ng tiên ) th k 14 có ý t iđ u ng bi u di n s thay đ i đ l n theo th i gian b ng đ th Ông dùng hoành đ c a m t m đ bi u th th i gian tung đ bi u th giá tr c a s thay đ i đ l n t i th i m (Hình 18); t a đ m nh n đ c l p nên đ th Oresme c ng cho r ngcó th l y tr c hoành làm tr c th i gian v i b t c “giá tr ” đ u bi u th đ ph ng pháp tr lên ph bi n th ng b l m d ng y y D c b ng s Ngày r= c  r  x Hình 17 O t x Hình 18 37 Thang Long University Libraty Vào th k 17 ý t cho ng ng đ i ta quen d n v i ý t ng pháp t a đ , làm ng v s y “ph thu c” vào s x bi n đ i kho ng I Vào cu i th k ng c a m t đ c k t h p v i ph i ta nói r ng y m t hàm s c a x: đ th ng cong giao t i ch m t m v i m i đ m t m thu c I song song v i OY Tuy nhiên, ng có tính ch t xác đ nh m t hàm s : ví d , n a đ ng th ng qua c l i, m i đ ng cong ng tròn tâm O bán kính n m phía OX (Hình 13) xác đ nh kho ng -1 ≤ x ≤ hàm s y   x2 Chính s t ng ng mà vào th k 19 có th đ nh ngh a đ ni m t ng quát v hàm s nh m t đ i t ng c khái ng toán h c Nh ng cho đ n lúc i ta v n quan tâm v c s lý thuy t Khái ni m v hàm s , m c dù có th “tr c giác” , m m t k nguyên ti n b không ng ng, toán h c c ng nh nh ng ng d ng c a nó, t t c nhà toán h c đ a phát tri n ó tr c h t khái ni m hàm s c s cho phát minh th ba c a th k 17 - có l phát minh quan tr ng nh t toàn b l ch s toán h c - phép tính vô bé 2.4 Quan m v gi i h n vƠ phép tính vô bé Ví d đ u tiên v vi c xác đ nh m t s theo ph ng pháp “dãy đo n th t” (2.1) mà ta bi t cho đ n vi c tính x p x di n tích hình tròn, đ c Euclid đ a (C s , Quy n XII, 2) Ông v n i ti p hình tròn m t hình vuông P1, sau b ng cách l y liên ti p trung m c a cung ch n c nh c a đa giác, ông nh n đ c đa giác đ u P2, P3, Pn, có 8, 16 2n+1 c nh ng th i, ông xét đa giác ngo i ti p Q2, Q3, Qn, ti p xúc đ c nh c a chúng ng tròn t i đ nh c a đa giác n i ti p (Hình 19) Gi s pn di n tích đa giác Pn qn di n tích đa giác Qn Khi s nh ng đ u mút c a dãy đo n th t [p1, q1], [p2, q2], , [pn, qn], , 38 Euclid ch ra, b ng m t l p lu n hình h c đ p đ , r ng qn  pn  (qn1  pn1 ) “ Ph n tô đ m di n tích q2  p2 ” Hình 19 Nh v y ông có th k t lu n r ng s nh t đ c ch a t t c đo n cho ta “di n tích hình tròn” C u trúc đ n gi n m t ví d v đ vét c n”, có th đ c g i “ph ng pháp c Eudoxus phát minh Ít nh t ông ng i áp d ng đ chúng minh r ng th tích c a hình nón tròn xoay b ng 1/3 th tích c a hình tr có đáy chi u cao (Euclid, Quy n XII, 10) Archimedes t o hàng lo t nh ng k t qu m i: di n tích m t đo n thu c parabon, di n tích th tích hình c u, th tích m t đo n thu c parabon tròn xoay Vào th k 17, vi c s d ng t a đ cho phép m r ng đ c ph ng pháp vét c n Ví d , n u đo n I: a ≤ x ≤ b 39 Thang Long University Libraty y = f(x) hàm d ng t ng, có th cl ng theo ph ng pháp di n tích S bao hàm gi a đ th tr c OX: chia I liên ti p thành 2,4,8, ,2n, ph n b ng nhau, đ i v i m i đo n [tk, tk+1], xét di n tích (b  a ) f (tk ) 2n c a hình ch nh t có đáy đo n đ c n m bên “ d i” đ ng cong, di n tích b  a  f t  k 1 n c a hình ch nh t đáy n m bên “trên” đ ng cong N u Sn' t ng tính di n hình ch nh t lo i th nh t, Sn'' t ng di n tích hình ch nh t lo i th hai, ta có Sn' ≤ S ≤ Sn'' Sn''  Sn'  S Sđ Sn'' ] (b  a ) ( f (b)  f (a )) (Hình 20) 2n c đ nh ngh a s nh t có t t đo n l ng [ Sn' , ây cách mà Fermat ti n hành t n m 1636 liên quan đ n đ ng cong y= xm (trong m s t nhiên v i m>1), b i m t công th c đ i s đ n gi n cho Sn' Sn'' m t cách t ng minh, ông nh n đ S bm1  a m1 m 1 40 c công th c y “Ph n tô đ m di n tích S2  S1 ” a O x b Hình 20 V sau, b ng vi c l a ch n t t h n vi c chia I thành kho ng ngày nh h n, ông m r ng nh ng k t qu đ n tr ng h p mà m  p / q phân s b t k (khác v i -1) Ph ng pháp (v i m t vài c i ti n nh đ có th chia nh h n “các đo n th t”) v n m t nh ng d ng c b n c a tính toán di n tích b ng máy tính i u có l s không g i lên đ c nhi u s quan tâm n u không ph i s ki n nh ng nhà toán h c t i th i m t n công toán t ng ch ng r t khác ( toán v cách xác đ nh ti p n cho đ cong ph ng đ i v i ng đ c đ c p th i c n) i Hy L p, ti p n c a đ ng cong (C) t i m M m t ng th ng D qua M cho m c a đ m t phía so v i đ ng ng th ng D (Hình 21): đ ng cong (C) g n M n m ng th ng D ch m đ ng cong t i m M Euclid ch r ng ti p n t i m M c a đ ng tròn tâm O vuông góc v i OM (Quy n III, trang 16), vi c mô t đ ng conic nh nh ng thi t di n ph ng c a hình nón v i đáy tròn giúp cho vi c tìm ti p n c a nh ng đ th i c n, ng ng cong Tuy nhiên, đ i ta ch bi t m t đ ng cong mà ti p n đ ng conic, c xác đ nh, 41 Thang Long University Libraty đ ng xo n c c a Ác xi mét 2.3), không bi t làm th ông đoán đ c vi c d ng nh ng ti p n Fermat ng i,vào n m 1636, l i s d ng ph t n công toán m t cách có h th ng đ i v i đ m t s t nhiên  ) Câu h i đ t li u đ trình Y  ax  b qua m M  ( x, y) c a đ đ ng cong y  xm ( x h v i h (Hình 22) Vì đ m ng th ng D, cho b i ph ng ng cong y  xm , có “ch m” v i ng cong t i m hay không.V i m P c a đ hoành đ ng pháp to đ đ ng th ng OX , mà đ nh , c n bi t d u c a đo n th ng có h ng RS ng th ng D qua m M, có x m  ax  b D C M Hình21 RS  ( x  h) m  (a ( x  h)  b)  mhxm1  h Q ( x, h)  ah  h(mxm1  a  hQ ( x, h)) (*) b i công th c nh th c, Q(x,h) đa th c c a x h, t n t i s A cho |Q(x, h)| ≤ A, v i |h| ≤ 42 Y D M R S O x+h x + hn x P X Hình 22 N u s   mxm1  a khác không, d u ngo c đ n cu i bi u th c (*) có d u nh  mà: h [...]...   a j xn j , j 0 và đi u này làm cho ta có th phát bi u và ch ng minh nh ng đ nh lý t ng quát trong đ i s 2.3 Ph ng pháp t a đ Chúng ta bi t r ng m t trong ba phát ki n quan tr ng nh t trong toán h c th k 17 có đ c là nh nhà toán h c Descartes (và đ ng th i là c Fermat), đó là vi c đ a vào hình h c ph ng pháp t a đ (c ng đ c bi t đ n nh “ ng d ng c a đ i s trong hình h c”, và sau đó là “hình h... bi u th c đi sau nó) Trong công trình c a R.Bombelli, chúng ta th y L và đ thay cho ngo c đ n) Các d u + và – ch c xu t hi n vào kho ng n m 1480, d u = xu t hi n vào n m 1557, và các d u b t đ ng th c < và > xu t hi n vào n m 1631 M tb c ti n quan tr ng trong ký hi u có đ c là nh Viète: ông đã s d ng các ch cái đ ký hi u không ch các n s mà còn các đ i l ng đã cho trong m t bài toán mà vi c cho các... c a đ i l ng vô c đ a vào cu i th k XVII, trong đó chu n m c mà các nhà toán h c d a vào là “tính ch t ch th i Hy L p” Cu c tranh lu n cu n hút g n nh t t c các nhà toán h c n i ti ng th i b y gi , trong đó m i ng đi m riêng c a mình và đ u nh m tr l i câu h i: il i đ u có quan ng vô cùng bé là gì? V n đ này đã d n đ n m t cu c kh ng ho ng th hai trong l ch s toán h c, n y sinh trong quá trình đ m b... n cho phép tính vô cùng bé Lí thuy t đó đã đ đo n “b c đ a ra vào th k XVII Chính Descartes đã m đ u cho giai c ngo t” này trong l ch s phát tri n c a toán h c Không nh ng ông đã đ a vào trong toán h c ph ng pháp t a đ mà còn đ a ra đ i l ng bi n thiên, và do đó đ t n n móng cho môn hình h c gi i tích 2.1 T t ng v x p x Trong ng d ng c a toán h c, m t s th c Y h u nh luôn đ c thay b ng m t s h u t... quan đi m chung c a các nhà toán h c đi m đó v n ti p t c đ cùng th i ,và quan c nh n m nh trong th k ti p theo th i đi m đó các nhà toán h c Gauss và Cauchy đã c đ ng cho “tính ch t ch hình h c” nh là mô hình cho các l nh v c khác c a toán h c Nh ng ch trích các c u trúc c a Euclid ngày càng nhi u, đ c bi t su t th k XIX trong phong trào ti n đ n s “ch t ch ” l n h n trong toán h c, tuy nhiên không nh... s âm Trong khi các nhà toán h c Hy L p đang c g ng đ a h th ng “gi thi t - suy di n” vào các tr ng h c tri t h c, thì nhu c u trong đ i s ng hàng ngày các thành ph Hy L p, c ng nh các n n v n minh khác, là c n m t t ng l p nh ng nhà “tính toán chuyên nghi p” Trong cu n Republic (VII, 525), Plato nói r ng, trong khi nh ng ng iđ c g i là “logisticians” bi t tính toán các phân s , thì nh ng nhà toán h... th 4” trong (quy n VI, 12) Thay vì ti p t c nói “t s ”, bây gi đ n gi n là nói r ng ta xét các đi m X thu c  , và 21 Thang Long University Libraty nh ng gì chúng ta ph i làm là xác đ nh m i quan h gi a hai đi m X< Y, và các phép toán X+ Y và XY, chúng c ng ph i xác đ nh các đi m, mà không ph i là nh ng đ i t ng ki u khác, nh trong Euclid nh ngh a X

Ngày đăng: 20/06/2016, 12:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w