Đối tượng và phương pháp trong toán học cổ điển

Header Page of 166 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TRONG TOÁN HỌC CỔ ĐIỂN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 1.1 Sự khởi sinh tư tưởng tiền Toán học 1.2 Tư tưởng chứng minh 1.3 Các tiên đề định nghĩa 10 1.4 Hình học, từ Euclid đến Hilbert 13 1.5 Số đại lượng 18 CHƯƠNG II MỘT SỐ TƯ TƯỞNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 25 2.1 Tư tưởng xấp xỉ 25 2.2 Những tiến đại số 29 2.3 Phương pháp tọa độ 32 2.4 Quan điểm giới hạn phép tính vô bé 38 KẾT LUẬN 49 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Footer Page of 166 Header Page of 166 MỞ ĐẦU David Hilbert, nhà toán học vĩ đại thời đại, có nói đại ý rằng, Toán học giống nhạc cổ điển: vừa đơn giản vừa đẹp Cũng âm nhạc, vẻ đẹp toán học cổ điển với thời gian Ngày nay, đọc lại trang “Cơ sở” Euclid, ta ngạc nhiên thán phục trước chặt chẽ lập luận, sáng tư công trình viết hai ngàn năm Tìm hiểu đối tượng phương pháp toán học cổ điển trở với cội nguồn ý tưởng, phương pháp toán học mà ta học nhà trường Hiểu cội nguồn nó, ta hiểu rõ hơn, sâu hơn, xa Sự hiểu biết giúp ích nhiều cho người làm công tác giảng dạy toán học nhà trường Vì lẽ đó, chọn đề tài cho luận văn “Đối tượng phương pháp toán học cổ điển” Tất nhiên, đề cập đến toàn vấn đề rộng lớn tên gọi luận văn Chúng tập trung trình bày số vấn đề sau: - Sự xuất ý tưởng “chứng minh” - Phương pháp tiên đề - Phương pháp tọa độ - Ý tưởng xấp xỉ - Đại lượng vô bé Nội dung luận văn viết dựa vào tài liệu liệt kê phần Tài liệu tham khảo, đặc biệt sách ”Mathematics – the music of reason” J Dieudonné Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Vào thời văn minh cổ đại, nhằm đáp ứng nhu cầu sống hàng ngày xây dựng quy trình tính toán số học phép đo lường không gian, từ kỷ thứ trước Công nguyên, người Hy Lạp, cách phân tích chuỗi suy luận ẩn sau qui trình đó, tạo phương thức tư hoàn toàn Trong chương này, cố gắng làm rõ khía cạnh thiết yếu toán học Hy Lạp phát triển đến mức không ngờ, đặc biệt hiệu quả, mà mang lại cho nhà toán học vào thời kỳ phục hưng cuối kỷ thứ 18 Chúng ta tập trung vào tảng đặc trưng Toán học Hy Lạp 1) Ý tưởng chứng minh: chuỗi suy luận lô gic xuất phát từ mệnh đề, định đề, tiên đề chưa chứng minh Cần phải nhấn mạnh ý tưởng trở thành thực nhờ vào kỹ suy luận logic người nuôi dưỡng từ trường phái Triết học Hy Lạp Một ví dụ bật nguyên tắc “chứng minh phản chứng”, phương pháp nhà logic học làm sâu sắc thêm trở thành trụ cột lập luận toán học 2) Những đối tượng mà nhà toán học quan tâm mang tên gọi thường sử dụng tính toán thực tế như: số, hình học độ lớn Tuy nhiên, từ thời Plato, nhà toán học lưu ý tên gọi đó, họ lập luận thực thể hoàn toàn khác, thực thể phi vật chất, nhận “bằng cách trừu tượng” từ đối tượng cảm nhận giác quan chúng ta, chúng hình ảnh đối tượng Như mục 1.3, phần nói lược đồ hình học, khác đến mức tính chất gán tiên đề cho đối Footer Page of 166 Header Page of 166 tượng “trìu tượng” hình học với “hình ảnh” chúng, khó khăn phát sinh việc tìm kiếm từ phù hợp để định nghĩa đối tượng Để hiểu rõ ý tưởng này, không dừng lại để theo dõi chi tiết thăng trầm lịch sử khái niệm Thay vào đó, trình bày ý tưởng mà Pasch Hilbert thực vào cuối kỷ thứ 19 Hai nhà toán học khắc phục thiếu sót giữ nguyên phương pháp tiên đề Euclid tinh thần ban đầu Họ xóa bỏ vĩnh viễn khó khăn, cách nêu rõ tiên đề xác định đối tượng toán học Cũng tương tự vậy, mục 1.4 dành để trình bày đối tượng toán học mà “hình ảnh” chúng số đại lượng thực thể thông qua nhận thức cảm quan Đặc tính “trừu tượng” toàn số hữu Toán học Hy lạp, trình bày Euclid quan hệ chia hết số số nguyên tố thích hợp việc giảng dạy ngày Mặc dù vậy, không giống hình học, số không đặt dạng lý thuyết tiên đề Ngược lại, việc khám phá đại lượng vô ước mang lại khủng hoảng quan niệm nhà Toán học Hy Lạp phép đo độ lớn Có vẻ thực tế người theo trường phái Pytagore trước chấp nhận đơn vị chọn cho loại đại lượng, đại lượng loại “thông ước” với đơn vị –có thể gọi số hữu tỷ Để vượt qua khó khăn này, người Hy Lạp tạo đối tượng Toán học mới, cụ thể tỷ số đại lượng loại Các tỷ số định nghĩa cách tiên đề cho tỷ số đại lượng loại với đơn vị chọn cho chúng lập nên phần mà ta gọi tập số thực dương Phần chứa số hữu tỷ số số vô tỷ, nhiên chưa cho phép rõ hết phần tử chứa Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 Chắc chắn lý triết học, nên nhà toán học trường Plato quan sát thấy điều cấm kỵ việc vận dụng ba loại độ lớn hình học là: chiều dài, diện tích thể tích Ví dụ, bạn cộng số chiều dài với số đo diện tích, tích số đo hai chiều dài lại số đo diện tích (hoặc tích ba chiều dài số đo thể tích), số đo chiều dài Mặc dù hình học tự thích nghi với hạn chế trên, hạn chế làm cho thực phép tính đại số thực số thực Phải đến Descartes ngăn việc thực phép toán vậy, có số nhà toán học đề nghị việc từ hàng kỷ trước Từ thời kỳ trở “tỷ số” đại lượng loại đồng với số thực, mà không cần thiết phải rõ loại cần xem xét Trong mục 2.2 2.3, ra, với việc phát minh ký hiệu thuận tiện vào thời Trung cổ thời kỳ Phục hưng, cải cách tạo nên không phát triển đại số, mà tạo phát minh phương pháp toạ độ, mặt cho ta mô hình đại số hình học Euclid, mặt khác thực hóa tư tưởng chung hàm thực biến số thực, ý tưởng chưa người Hy Lạp biết đến Cuối mục 2.1 2.4 giới thiệu hai tư tương toán học, xấp xỉ giới hạn, suy từ Các nhà toán học Hy Lạp thường giải vấn đề đại số hình học “dựng hình”; Ví dụ Euclid đưa việc xây dựng bậc hai “tỷ số” giao điểm đường tròn đường thẳng, tương tự Menaechmus xây dựng bậc ba giao điểm hai đường conic Tuy nhiên nhận thấy tư tưởng khác Euclid việc xác định số đo diện tích hình phẳng không đa giác: ông đặt hình phẳng vào hai dãy hình đa giác, mà hiệu diện tích chúng dần đến không Ý tưởng Acimet sử dụng lặp lặp lại, tổng quát hóa vào kỷ Footer Page of 166 Header Page of 166 thứ 17, giúp cho việc chứng minh tồn bậc n với n ≥4, mà người Hy Lạp làm phương pháp hình học Để chứng minh sở pháp lý quy trình này, rõ ràng cần phải đưa tiên đề, chưa tường minh kỷ thứ 19, mà Cauchy làm sáng tỏ với tên gọi “Tiên đề dãy đoạn thắt” Tiên đề kết hợp với tiên đề trước Euclid, hoàn chỉnh định nghĩa tiên đề tập hợp tất số thực Nó cung cấp sở vững cho giải tích, lĩnh vực sáng tạo vào kỷ thứ 17 trở thành công cụ mạnh mẽ toán học túy ứng dụng 1.1 Sự khởi sinh tư tưởng tiền Toán học Trong xã hội ngày nay, ý tưởng số đại lượng người tiếp thu từ sớm Từ mười hai hay mười ba tuổi, khái niệm trở nên “tự nhiên” sử dụng chúng cách tự động Tuy nhiên, Piaget thực nghiệm rằng, nhận thức số tự nhiên “bất kỳ” nắm bắt từ sớm, với số đại lượng thể tích trọng lượng, em nhỏ 12 tuổi gặp nhiều khó khăn nhận thức so sánh hai độ lớn đại lượng loại Về phần mình, nhà dân tộc học phát xã hội nguyên thủy mà số họ, số vượt đơn vị mức tên gọi, tất nhiên không sử dụng tính toán Các văn tìm thấy từ văn minh Phương Đông cổ xưa Ai Cập Babylon rời rạc phép theo dõi đường xây dựng số học hình học chặt chẽ Chúng xuất hoàn chỉnh từ thiên niên kỷ thứ hai trước công nguyên Đương nhiên không bàn với suy đoán trừu tượng đây, mà với công thức lưu truyền lại, thiết kế để nhằm điều chỉnh vấn đề thực tế đặt xã hội nông nghiệp phát triển cao: vấn đề trao đổi, thuê mượn, tranh chấp, phân chia tài sản Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 Người Hy lạp thúc kiện lũ sông Nile làm biến dạng cánh đồng, cần phải nhờ vào người có kỹ đặc biệt, người biết cách khôi phục xác diện tích đất sau lũ Chúng ta không cần sâu vào chi tiết vấn đề giải tài liệu lại đến ngày Chúng ta muốn nói rằng, số học họ cho thấy hiểu biết phép chia, cấp số cộng, cấp số nhân, “quy tắc tam xuất” Trong viên gạch người Babylon, chí ta tìm thấy lời giải toán tương đương với phương trình bậc hai Ví dụ có viên gạch cho thấy sơ đồ hình vuông, với dòng chữ sau: “Tôi cộng chiều dài cạnh hình vuông với diện tích kết ¾, cạnh hình vuông dài bao nhiêu?” Phương trình mà nhà học giả suy nghĩ viết sau: x2  x  Và nhà học giả giải theo cách tương tự chúng ta, sau: ông thêm ¼ vào hai vế phương trình, thấy bình phương x + ½ 1, từ ông kết luận x = ½ Trong lĩnh vực hình học phẳng, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, góc vuông đường tròn, biết đến, có liên hệ với việc sử dụng dụng cụ, bàn xoay thợ gốm, hình vuông quang học người thợ nề Một ý tưởng tương tự nhận thấy viên gạch người Babylon, nói nơi có cầu thang tỷ lệ chiều cao chiều rộng bậc thang tỉ lệ tổng chiều cao cầu thang phép chiếu nằm ngang (Hình 1) Mặt khác, người Hy Lạp cho Talet có thủ thuật để đo chiều cao kim tự tháp, điều mà chắn người Ai Cập biết đến: “chúng quan sát chiều dài bóng kim Footer Page of 166 Header Page of 166 tự tháp, tỷ lệ chiều cao kim tự tháp chiều dài tỉ lệ chiều cao gậy chiều dài bóng nó” (Hình 2) Trong hình học ba chiều, lăng mộ lại nhân chứng cho kiến thức không gian ba chiều rút từ kinh nghiệm kiến trúc sư thợ xây dựng S sun sun S s A p s P t p T sp SP  Ap AP TP  sp SP (Hình 1) (Hình 2) P Có khái niệm phát sinh mà chưa liên quan đến đối tượng cụ thể nào: việc liệt kê đối tượng, đo đại lượng cộng vào trừ được, chiều dài, diện tích, thể tích, trọng lượng, góc, với chúng, người ta chọn đơn vị, thường bội ước Các công thức liên quan đến ví dụ liệu đặc biệt hóa; quy tắc tính toán sở cho trường hợp tổng quát, chẳng hạn tính diện tích hình có dạng kích thước cho trước, tam giác cân, hình chữ nhật, hình thang hình tròn Đương nhiên, tìm thấy công thức theo nghĩa mà hiểu từ đó: công thức phải cho Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 liệu tùy ý không xác định Bản chất chung quy tắc tính toán đoán có chuỗi ví dụ đưa với liệu biến thiên 1.2 Tư tưởng chứng minh Vào kỉ VI VII trước Công nguyên học giả Hy Lạp đưa mà gọi suy luận logic: chuỗi suy luận – sau mã hóa các phép tam đoạn luận (hình thức lập luận kết luận rút từ hai đoạn trình bày) – chúng buộc người đối thoại đồng ý xác nhận Q đồng ý khẳng định P khác Ta biết rằng, từ kỷ thứ V trước công nguyên, nhà tư tưởng Hy Lạp bậc thầy nghệ thuật xếp lý luận thành chuỗi liên tiếp kết luận logic, điều thấy rõ tác phẩm nhà ngụy biện, đoạn đối thoại Plato Họ khám phá lý luận lấy hoạt động người làm đối tượng, đặc biệt công thức toán học hình học, hầu hết số đến từ văn minh Ai Cập Babylon Những lý luận trở thành chứng minh kết nối định lý với Người ta biết đến định lý đầu từ thời Talet vào cuối kỷ thứ VII trước công nguyên, phương pháp chứng minh chưa biết đến, giả thiết chúng tồn Tuy nhiên, người ta thừa nhận rằng, định lý trường phái Pythagore, tất nhiên số có định lý mang tên “Định lý Pytagore” , có chứng minh, chứng minh chưa biết Những văn chứa cách chứng minh tìm thấy thảo Plato Aristotle Trong đối thoại tiếng tên gọi Meno, Socrates muốn nô lệ trẻ học thức tìm hiểu xem làm cách dựng hình vuông có diện tích gấp đôi diện tích hình vuông ABCD cho (Hình 3) Cậu bé nô lệ lúc đầu trả lời điều thực cách tăng gấp đôi cạnh, Socrates cho cậu ta thấy diện tích hình vuông gấp đôi mà gấp lần diện tích hình vuông ABCD cho Sau Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 ông ta cho cậu bé vẽ hình vuông A’B’C’D’, cạnh đường chéo hình vuông ABCD, ông chứng minh hình vuông có đặc điểm yêu cầu (gấp đôi hình cũ) Đó trường hợp đặc biệt định lý Pythagore áp dụng cho tam giác vuông cân Chứng minh bao gồm việc hình vuông ABCD chia đường chéo thành bốn hình tam giác nhau, chúng, chẳng hạn  OAB  A’AB dựng phía khác cạnh huyền nó, từ có tất tam giác  OAB, tạo thành hình vuông A’B’C’D’ Tất nhiên sau đó, vào thời Euclid, tam giác  OAB  A’AB rút từ chuỗi định lý Ở Socrates hài lòng chấp nhận người đối thoại A' A B D' B' O C D C' Hình Chứng minh thứ hai Aristotle ghi lại, từ trường phái Pythagore, liên quan đến hình tam giác vuông cân đó, trở thành ví dụ “phản chứng”, sau trở thành công cụ thiết yếu toán học Đó ví dụ khẳng định thực Định lý nói tam giác vuông cân, tỷ lệ cạnh huyền cạnh góc vuông phân số p/q (trong p q số tự nhiên) Thật vậy, theo định lý Pythago, phân số có tính chất (p/q)2 = Ta giả sử vấn đề “rút gọn” tới trường hợp p q không chẵn: chúng chẵn, ta chia chúng Footer Page 10 of 166 Thang Long University Libraty Header Page 37 of 166 Hơn nữa, kiện đường thẳng, đường tròn đường conic mặt phẳng xác định phương trình dạng P(x,y)=0, P đa thức bậc bậc hai với hệ số thực, cách tự nhiên dẫn nhà toán học tới việc nghiên cứu đường cong xác định phương trình loại hạn chế bậc Đó điểm khởi đầu lĩnh vực toán học, hình học đại số, bổ sung cách to lớn vào danh sách đường cong mà nhà toán học Hy Lạp biết đến, ngày lĩnh vực sôi động nhất, sau 300 năm nghiên cứu kết Phương pháp tọa độ sở hai tiến tuyệt vời khác kỷ 17: đưa ý tưởng hàm số phép tính vô bé Người ta thường nói khái niệm toán học nhà toán học Hy Lạp tĩnh, điều trái ngược ý tưởng biến thiên chi phối tư tưởng khoa học đại Rõ ràng Cơ sở Euclid tập trung nghiện cứu hình mà vị trí kích thước cố định Tuy nhiên, từ bắt đầu toán học Hy Lạp, cố gắng để tìm hiểu chuyển động thay đổi hình dạng hay chất luôn xâm chiếm ý nghĩ nhà triết học, khái niệm chuyển động thẳng hay tròn- rõ ràng biết cách đo thời gian Chúng ta biết rằng, hệ thiên văn họ, việc kết hợp chuyển động mà nhà toán học Hy Lạp cố gắng tính quỹ đạo hành tinh Mặc dù khái niệm thời gian không tính đến hình học Hy Lạp, hai đường cong phẳng, đường quadratrix (Hình 16) Hyppias đường xuắn ốc (Hình 17) Acsimet, định nghĩa tổ hợp chuyển động Footer Page 37 of 166 36 Header Page 38 of 166 Q M  2 cos r  O Hình 16 Có vẻ nguyên tắc cần nghiên cứu chuyển động thẳng không thiết đều- đặc biệt chuyển động vật rơi, chủ đề bật trường phái triết học vào thời trung cổ Loạichuyển động mà Oresme (người ) kỷ 14 có ý tưởng biểu diễn thay đổi độ lớn theo thời gian đồ thị Ông dùng hoành độ điểm để biểu thị thời gian tung độ biểu thị giá trị thay đổi độ lớn thời điểm (Hình 18); tọa độ điểm nhận lập nên đồ thị Oresme cho rằngcó thể lấy trục hoành làm trục thời gian với “giá trị” biểu thị số Ngày phương pháp trở lên phổ biến thường bị lạm dụng y y D r=c   r x Hình 17 Footer Page 38 of 166 O t x Hình 18 37 Thang Long University Libraty Header Page 39 of 166 Vào kỷ 17 ý tưởng kết hợp với phương pháp tọa độ, làm cho người ta quen dần với ý tưởng số y “phụ thuộc” vào số x biến đổi khoảng I Vào cuối kỷ người ta nói y hàm số x: đồ thị đường cong giao điểm với đường thẳng qua điểm thuộc I song song với OY Tuy nhiên, ngược lại, đường cong có tính chất xác định hàm số: ví dụ, nửa đường tròn tâm O bán kính nằm phía OX (Hình 13) xác định khoảng -1 ≤ x ≤ hàm số y   x2 Chính tương ứng mà vào kỷ 19 định nghĩa khái niệm tổng quát hàm số đối tượng toán học Nhưng lúc người ta quan tâm sở lý thuyết Khái niệm hàm số, “trực giác” , mở kỷ nguyên tiến không ngừng, toán học ứng dụng nó, tất nhà toán học đưa phát triển Đó trước hết khái niệm hàm số sở cho phát minh thứ ba kỷ 17 - có lẽ phát minh quan trọng toàn lịch sử toán học - phép tính vô bé 2.4 Quan điểm giới hạn phép tính vô bé Ví dụ việc xác định số theo phương pháp “dãy đoạn thắt” (2.1) mà ta biết việc tính xấp xỉ diện tích hình tròn, Euclid đưa (Cơ sở, Quyển XII, 2) Ông vẽ nội tiếp hình tròn hình vuông P1, sau cách lấy liên tiếp trung điểm cung chắn cạnh đa giác, ông nhận đa giác P2, P3, Pn, có 8, 16 2n+1 cạnh Đồng thời, ông xét đa giác ngoại tiếp Q2, Q3, Qn, cạnh chúng tiếp xúc đường tròn đỉnh đa giác nội tiếp (Hình 19) Giả sử pn diện tích đa giác Pn qn diện tích đa giác Qn Khi số đầu mút dãy đoạn thắt [p1, q1], [p2, q2], , [pn, qn], , Footer Page 39 of 166 38 Header Page 40 of 166 Euclid ra, lập luận hình học đẹp đẽ, qn  pn  (qn1  pn1 ) “ Phần tô đậm diện tích q2  p2 ” Hình 19 Như ông kết luận số chứa tất đoạn cho ta “diện tích hình tròn” Cấu trúc đơn giản ví dụ gọi “phương pháp vét cạn”, Eudoxus phát minh Ít ông người áp dụng để chúng minh thể tích hình nón tròn xoay 1/3 thể tích hình trụ có đáy chiều cao (Euclid, Quyển XII, 10) Archimedes tạo hàng loạt kết mới: diện tích đoạn thuộc parabon, diện tích thể tích hình cầu, thể tích đoạn thuộc parabon tròn xoay Vào kỷ 17, việc sử dụng tọa độ cho phép mở rộng phương pháp vét cạn Ví dụ, đoạn I: a ≤ x ≤ b Footer Page 40 of 166 39 Thang Long University Libraty Header Page 41 of 166 y = f(x) hàm dương tăng, ước lượng theo phương pháp diện tích S bao hàm đồ thị trục OX: chia I liên tiếp thành 2,4,8, ,2n, phần nhau, đoạn [tk, tk+1], xét diện tích (b  a) f (tk ) 2n hình chữ nhật có đáy đoạn nằm bên “ dưới” đường cong, diện tích b  a f t  k 1 n hình chữ nhật đáy nằm bên “trên” đường cong Nếu S n' tổng tính diện hình chữ nhật loại thứ nhất, S n'' tổng diện tích hình chữ nhật loại thứ hai, ta có S n' ≤ S ≤ S n'' Sn''  Sn'  (b  a) ( f (b)  f (a)) (Hình 20) 2n Số S định nghĩa số có tất đoạn lồng [ S n' , S n'' ] Đây cách mà Fermat tiến hành từ năm 1636 liên quan đến đường cong y=xm (trong m số tự nhiên với m>1), công thức đại số đơn giản cho S n' S n'' cách tường minh, ông nhận công thức S Footer Page 41 of 166 bm1  a m1 m 1 40 Header Page 42 of 166 y “Phần tô đậm diện tích S2  S1 ” a O b x Hình 20 Về sau, việc lựa chọn tốt việc chia I thành khoảng ngày nhỏ hơn, ông mở rộng kết đến trường hợp mà m  p / q phân số (khác với -1) Phương pháp (với vài cải tiến nhỏ để chia nhỏ “các đoạn thắt”) dạng tính toán diện tích máy tính Điều có lẽ không gợi lên nhiều quan tâm kiện nhà toán học thời điểm công toán tưởng chừng khác ( toán cách xác định tiếp tuyến cho đường cong phẳng đề cập thời cổ điển) Đối với người Hy Lạp, tiếp tuyến đường cong (C) điểm M đường thẳng D qua M cho điểm đường cong (C) gần M nằm phía so với đường thẳng D (Hình 21): đường thẳng D chạm đường cong điểm M Euclid tiếp tuyến điểm M đường tròn tâm O vuông góc với OM (Quyển III, trang 16), việc mô tả đường conic thiết diện phẳng hình nón với đáy tròn giúp cho việc tìm tiếp tuyến đường cong Tuy nhiên, đường conic, thời cổ điển, người ta biết đường cong mà tiếp tuyến xác định, Footer Page 42 of 166 41 Thang Long University Libraty Header Page 43 of 166 đường xoắn ốc Ác xi mét 2.3), làm ông đoán việc dựng tiếp tuyến Fermat người,vào năm 1636, lại sử dụng phương pháp toạ độ để công toán cách có hệ thống đường cong y  xm (Ở m số tự nhiên  ) Câu hỏi đặt liệu đường thẳng D, cho phương trình Y  ax  b qua điểm M  ( x, y ) đường cong y  xm , có “chạm” với đường cong điểm hay không.Với điểm P đường thẳng OX , mà hoành độ x  h với h đủ nhỏ, cần biết dấu đoạn thẳng có hướng RS (Hình 22) Vì đường thẳng D qua điểm M, có x m  ax  b D C M Hình21 RS  ( x  h) m  (a( x  h)  b)  mhx m 1  h Q ( x, h)  ah  h(mx m 1  a  hQ ( x, h)) (*) công thức nhị thức, Q(x,h) đa thức x h, tồn số A cho |Q(x, h)| ≤ A, với |h| ≤ Footer Page 43 of 166 42 Header Page 44 of 166 Y D M R S O x+h x + hn P x X Hình 22 Nếu số   mx m 1  a khác không, dấu ngoặc đơn cuối biểu thức (*) có dấu  mà: h