Luận văn thạc sĩ nhóm hữu hạn

Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thểcác bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em trongsuốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Hà Nội - 2015

Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến,

cô đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thểcác bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em trongsuốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận

Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹpnên nội dung khóa luận này còn nhiều thiếu sót Em kính mong nhận được

sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dung khóa luậntrở nên hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Sinh viên

Dương Thị Thảo

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Sinh viên

Dương Thị Thảo

MỤC LỤC

1.1

1.1.4 Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoahọc toán học Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học nói chung vàĐại số nói riêng cũng có những tiến bộ vuợt bậc Những tu tuởng, phuơngpháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực củatoán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất luợng tử, cũng nhumột số lĩnh vục của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học luợng tử Có thể nóimọi ngành của toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đềucần tới cấu trúc đại số và những hiểu biết về cấu trúc này Trong đó, nhóm

là một trong những đối tuợng cơ bản nhất và cổ điển nhất của toán học.Nhóm hữu hạn là một nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng vào thụctiễn

1.1.5 Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn đuợc nghiên cứu,tìm hiểu về Đại số nói chung và cấu trúc nhóm nói riêng, em đã chọn đềtài “Nhóm hữu hạn” để nghiên cứu

1.1.6 Nội dung khóa luận gồm 2 chuơng:

1.1.7 Chuơng 1 : Kiến thức chuẩn bị

1.1.8 Ở chuơng này trình bày những kiến thức cơ bản về nhóm,tổng trực tiếp, tích trực tiếp của hai hay nhiều nhóm.

1.1.12 Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

1.1.13 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

iii) VisX có một phần tử x'eX sao cho xx' = x'x = e.

1.1.15 Vỉ dụ Tập họp các số nguyên z cùng với phép cộng thông thuờng là nhóm cộng các số nguyên

1.1.16 Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ,nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức

1.1.17 Chú v:

• Phần tử e đuợc gọi là phần tử đơn vị của X.

• Phần tử x' thoả mãn (iii) đuợc gọi là phần tử nghịch đảo của X.

• Nhóm X đuợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu thoả mãn

điều kiện sau : xy = yx;Vx, y e X.

• Một nhóm X đuợc gọi là nhóm hữu hạn hay vô hạn nếu tập X hữu hạnhay vô hạn các phần tử

1.1.18 Cho X là một nhóm Ta có các khắng định sau:

a)Phần tử đơn vị e của X đuợc xác định duy nhất.

b)Mỗi phần tử X e X chỉ tồn tại duy nhất 1 phần tử nghịch đảo x'.

c) Trong nhóm có luật giản uớc có nghĩa là:

1.1.19 xy =

zy=>x = z xy = xz=>y = z.

d) Trong nhóm phưong trình ax = b (tưong ứng ya = b ) có nghiệm duy nhất x = a~ 1 b( tưong ứng y = bã1)

e) Với mọi x v x 2 ,x 3 , ,xneX ta có:

1.1.20 ( *2 V •1.1.21 Đặc biệt (x") =('x_1) = =x.

1.2 Nhóm con

a) Định nghĩa

1.1.22 Cho X là một nhóm, A là bộ phận ổn định của nhóm X Khi

đó, A được gọi là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinhlập thành 1 nhóm

1.1.23 Vỉ du Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm con hiển nhiên là G và

[e] Nhóm con ỊeỊ gọi là nhóm con tầm thường.

b) Tính chất

• Giao của một họ tùy ý các nhóm con của X là nhóm con của X

• Hợp của 1 họ khác rỗng các nhóm con nói chung không phải là nhóm con của X

c) Điểu kiện tương đương

1.1.24 Cho X là một nhóm, AcX Khi đó A là nhóm con của X

khi và chỉ khỉ:

(i) A là một bộ phận ốn định của nhóm X: Jt, y e A, Jty e A

(ii)X e Athì 1 e A(với x_1là phần tử nghịch đảo của X trong X)

d) Hệ quả

1.1.25 Cho X- là nhóm, A ^ 0, A c: X Các điều kiện sau tuông đuơng:

i A là nhóm con của X

ii Với mọi x,y e Athì xy e A,*-1 e A

iii Với mọi X, ỵ e Athì xy~ l e A

a) Định nghĩa

1.1.26 Cho (X,.) là một nhóm, A là nhóm con của X Khi đó A đuợc gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu :

1.1.27 Với mọi jceX,ae A:jc_1íwce A

1.1.28 Nhóm X đuợc gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con

chuẩn tắc nào khác ịe) và X

1.1.29 Vỉ du l)Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm con chuẩn tắc hiển nhiên

là G và ịe).

1.1.30 2) Mọi nhóm con của nhóm Aben là chuẩn tắc

b) Điểu kiện tương đương

1.1.31 Cho A là một nhóm con của X Khi đó ta nói nhóm A là một

nhóm con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi với mọi X e X ta có JCA = AJC

với xA = Ixa\a e Aj và Ax = ịaxịa e AỊ

1.3 Nhóm thương

Định nghĩa:

1.1.33 Nếu A là 1 nhóm con chuẩn tắc của X thì:

i) Quy tắc cho tuơng ứng cặp (xA, yA) với lớp trái xyA là một

1.1.34 ảnh xạ

ii) X/^cùng với phép toán 2 ngôi : (xA,yA) —>xyA là một

1.1.35 nhóm gọi là nhóm thuơng của X trên A

1.1.36 Vỉ du\ z là nhóm cộng các số nguyên, ÚL là nhóm con chuẩn tắc

của Zgồm các số nguyên là bội của một số tự nhiên n cho truớc Khi đó

ii) Nếu tồn tại u, <u> = X thì u đuợc gọi là tập sinh của X

iii) Neu X không đuợc sinh bởi một tập con thực sự nào của u thì ta nói u

là tập sinh cực tiểu của X

1.1.42 b) Nhómxycüc

i Nhóm X được gọi là nhóm xyclic,nếu X được sinh bởi một phần tử a e

X, phần tử a được gọi là phần tử sinh của X.

1.1.43 Kí hiệu: X = (à).

ii Neu X là nhóm bất kì,a e X thì ^a)là 1 nhóm xyclic sinh

1.1.44 bởi phần tử a ,nó được gọi là nhóm con xyclic của nhóm X sinh bởi a.

1.1.45 Vỉ du Nhóm (Z+,+) gồm các số nguyên dương là xyclic với phần tử sinh là 1

1.1.47 Kí hiệu: Cấp của nhóm X là: \x I hoặc Card (X)

ii) Cấp của a G X là cấp của(a)

1.1.48 Nhân xét :

• Nếu a m ^a n (Vm,n e z,m ^ «)thì ịa) = 00.

1.1.49 • Neu 3m e z+ nhỏ nhất : a m = 1 thi(fl) = m Kí hiệu Ord

(a) để chỉ cấp của a.

1.6 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm

1.6.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai

nhóm Định nghĩa :

i) Giả sử A và B là các nhóm với phép toán (.) Trên tập tích Đề-các :

AxB = {(a,b) / a e A,b e B} Ta định nghĩa các phép toán

1.1.50 nhu sau: (a,b){c,ấ) = ịac,bd).

1.1.51 Khi đó A xB cùng với phép toán hai ngôi lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B Kí hiệu là : AxB

ii) Tổng trực tiếp của các nhóm A và B cũng đuợc gọi là tổng trực tiếp củahai nhóm này Kí hiệu là A© B

a) Định nghĩa

1.1.52 Giả sử G là một nhóm ( nhân) với mỗi i e I Trên tập tích Y\G t = {(«,)

t : ữ, e G;,ỉ e / j Ta định nghĩa phép nhân nhu sau :1.1.53 íe /

1.1.54 (°<L(ftíL=(°AL • KMđó m đuợc gọi là tích trực tiếp của họ

1.1.55 í'e/

1.1.56 nhóm{Gj Ị và đuợc kí hiệu là Tổng trực tiếp của họ nhóm

b) Tính chất

i) AxB = Bx Anhờ đẳng cấu ịa,b)—>ịb,a).

ii) (Axfl)xC = Ax(ZỉxC) nhờ đẳng cấu

1.1.62 (\a,b ),c )).

iii) Có thể đồng nhất A( tương ứng với B) với mỗi nhóm con AxỊ^Ị (tương

ứng với [e A ]y.B )củaAxB nhờ đơn cấu.

1.1.63 A-»Axfí1.1.64 a->(a,e B ) [b->(e A ,b)/

1.1.65 Với phép đồng nhất trên mỗi phần tử của A giao hoán với

mọi phần tử củaB trong AxB\ab = {a,e B ){e A ,tì) = {a,tì) = {e A ,tì){a,e B ) = ba.

iv) A nfi = ịe } trong AxB.

v) Nhóm A X B sinh bởi tập AuB.

vi) A,B là các nhóm chuẩn tắc của A X B

iii) Giả sử A và B là các nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho

1.1.72 AnB = và G là nhóm sinh bởi AuB Khi đó G = AXB.

1.1.73 CHƯƠNG 2 NHÓM HỮU HẠN

1.1.1

1.1.76 Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của

nó Khi đó |G| là bội của \H\.

> F là đơn ánh vì với mọi h,h'&H giả sử:

1.1.88 Hơn nữa tất cả các lớp kề trái

( hoặc phải ) lập thành một phân hoạch trên nhóm hữu hạn X Do vậy X = [J

aH = Ha tức là |x I là bội của \ H \

i Nếu đối với phần tử a e G , có số m nguyên duơng sao cho a m = e thì m

đuợc gọi là số mũ của a

ii Số nguyên duơng m đuợc gọi là 1 số mũ của nhóm nếu nó là số mũ củamọi phần tử của G

1.1.97 Chứng minh:

1.1.98 Giả sử nhóm X có cấp \x I =p là một số nguyên tố

1.1.99 Vì P>1 nên có phần tử trong a^e trong X Nhóm xyclic

<a> sinh bởi a có cấp n>l( vì a ^ e) và n là một uớc của p Nhung p

nguyên tố nên ta có n = p

1.1.100 Do đó x=<a>.

1.1.101 2.22.4 Hệ quả 4

1.1.102 Mọi nhóm với 4 phần tử đều đẳng cấu với 1 trong 2 nhóm Z4 và

Z2X Z2 Hai nhóm này không đẳng cấu với nhau

1.1.103 Chứng minh:

1.1.104 Z4 có một phần tử cấp 4 trong khi đó mọi phần tử khác không trong Z2X Z2 đều có cấp 2.VÌ thế hai nhóm này không đẳng cấu với nhau Giả

sử G là nhóm cấp 4

1.1.105 Nếu G chứa một phần tử cấp 4 thì nó là nhóm xyclic cấp 4, do

đó G = Z4 Trái lại thì mọi phần tử của G trừ đơn vị e đều có cấp 2(theo hệ quả1) Trong truờng họp này G đẳng cấu với Z2X Z2

1.1.106 2.22.5 Hệ quả 5 ( Định lí nhỏ của Fecma )

1.1.107 Nếu p là một số nguyên tố , a là số nguyên bất kì thì a p - a chia

hay (*) =k trong V.

1.1.113 Nếu a không chia hết cho p thì a e j cấp của a là một ước của p-1 ( số phần tử của nhóm ịy ) )• Do đó (ã) =ĩ trong

1.1.114 1 hay là a p 1 -1 chia hết cho p nên a p -a = a.(a p 1 -1) cũng vậy

Còn nếu a chia hết cho p thì a p - a = a.(a ~ p l -1) cũng chia hết cho p

1.1.115 Giả sử A là một nhóm con của B và B là một nhóm con của X, trong đó X là một nhóm hữu hạn Khi đó:

1.1.121 Y A = { yỉ A,y 2 A, ,y„A}

1.1.122 Và X = rjBur2Bu

1.1.123 B = y l A U y 2 A u u y A

1.1.124 Suy ra:

1.1.125 x i B = x i y l Aux i y 2 Au u Xị y n A1.1.126 m n

1.1.127 X UU v ' V1.1.128 ¿=1 7=11.1.129 Vậy Ị Xị y J / i = 1, m, j = 1, là mộttập các đại diện của các lớp

1.1.130 ghép trái của A trong X Do đó [x : A] = mn = [x : B][B : A].

ii Nếu |x| = n, không giảm tính tổng quát ta xét x={ 1,2, ,n}

1.1.133 thì S(X) đuợc gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử Kí hiệu

sn.

1.1.134 Mỗi phần tử a G S n ta có thể biểu thị nhu sau:

1.1.135 ị 1 2 n '

1.1.136 ữ=[a(l) a(2) a(n)/

b) Định nghĩa xích( hay chu trình)

1.1.137 Giả sử Xi,x 2 , ,xk là các phần tử đôi một khác nhautrong

1.1.138 (1,2,3, ,n} Phép thế a e Sn đuợc gọi là một chu trình ( hay xích )1.1.139 với độ dàik trên tập nền (xi,x2, ,xn} nếu:

1.1.140 JC;+1 khi 1 <i<k 1.1.141 Xị khi i > k 1.1.142 Kí hiệu \a = {xy,x 2 , ,jcn)

c) Định nghĩa phép thế sơ cấp

X,

1.1.143 Ta gọi một phép thế so cấp( hay phép chuyển trí) là một phép thế sao cho:

1.1.151 Khi đó cố định ữ(l):

> Có n-1 khả năng chọn a(2) từ tập {1,2, ,nj/a(l)

> Có n-2 khả năng chọn a(3) từ tập {l,2, ,«}/ ịa v a 2 ).

1.1.152 > Cứ tiếp tục quá trình trên đến khi :

■ Có 2 khả năng chọn a{n -1).

■ CÓI khả năng chọn a(n)

1.1.153 • Số cách chọn ( hay số khả năng chọn) a{2 ), chính là số

b) Định lí3.3.1

1.1.156 Với mọi phép thế a e S n đều là tích của tất cả các xích khác nhaucủa nó Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập (1,2,3, ,n}

1.1.157 Chứng minh :

1.1.158 • Với mọi e {1,2, ,n} , nếu a(^) = x l thì(Xi) là một xích

1.1.159 của a

1.1.160 Trái lại, nếu «(xJ * X x , tađặt x 2 =a(x l ).

1.1.161 Giả sử JC15 x 2 a(x^, ,x = k = ot{x k _^) là

những phần tử đôi

1.1.162 một khác nhau còn a(x k ) thì trùng với một trong các phần tử

Xi,x 2 , ,xk

1.1.163 T a khẳng định rằng a{x k ) = x l

1.1.164 Thật vậy, nếu a(x k ) = x i với Ĩ>1 thì a(x k ) = a(x i _ l ) Do đó

1.1.165 X i-1 = x k • Điều nàymâu thuẫn với giả thiết rằng Xi,x 2 , ,x kđôi một

1.1.166 khác nhau

1.1.167 Vậy (xi,x2, ,xn) là một xích của a

1.1.168 • Mỗi phần tử của tập (1,2, n} đềuthuộc một tập con , là

1.1.169 tập nền của một xích của a Hai tập con nhu thế nếu có thì phải

trùng nhau Thật vậy , phuong trình = y hoàn toàn xác định y theo X và X theo y (do a là một song ánh).

1.1.170 Khi viết một phép thế của sn như là tích của các xích rời rạc ,tức là các xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích làkhông quan trọng

1.1.174 đây i+ j được lấy theo modulo k , tức là không phân biệt i+ j với

phần dư của nó trong phép chia cho k Do đó, a t ịx i ) = x i ( với mọi i) nếu và1.1.175 chỉ nếu t là một bội

của k Vì thế a' (*) = JC (V JCe {1,2, ,«}) nếu và chỉ1.1.176 nếu t là một bội của độ dài của mọi xích của a số dương nhỏ nhất có tính chất đó chính là cấp của a.

1.1.182 Ở đây , phép thế bên phải tác động trước theo định luật họp thành các ánh xạ.

1.1.186 Ta có Pap- l [b^ = Pa[a^ = p(a ij+l ) = bij+l

1.1.187 Trong đó j+l được lấy theo modulo độ dài của xích chứa a ir

’*»)

1.1.195 thế có cùng số xích với mỗi độ dài đã cho Khi đó, ta định

nghĩa phép thế p bởi công thức /?(ữý ) = b tj

1.1.4

( ữ ml’ . ’ a nt

í ) ’

1.1.51.1.6

1.1.196 Theo bổ đề 3.3.1 , ỵ = /tar/r1.

1.1.197 Trong một nhóm G bất kì, phép tịnh tiến trái bởi phần tử a e

G (tức là ánh xạ x\-^ax) là một song ánh từ G vào G.

1.1.203 Ta chứng tỏ L(a) là một song ánh Thật vậy:

> L(a) là một đơn ánh vì: theo luật giản uớc : ax=ay, kéo theo x=y

> L(a) là một toàn ánh vì: với mọi Z e G , ta có L(a)ịa~ 1 z) = z

1.1.207 Thật vậy: với mọi a,b,x&G ta có:

1.1.208 Lịa)Lịb)x = aịbx) = ịab)x = Lịab)x.Nhu thế Lịab)

= L(a)Lịb)

1.1.209 Nghĩa là L là một đồng cấu nhóm L là một đơn ánh vì nếu L(a)

b) Định nghĩa nhóm thay phiên

1.1.221 Nhóm An tất cả các phép thế chẵn trên tập { 1,2, ,n} được gọi

là nhóm thay phiên trên n phần tử với n> 2.

c) Định nghĩa nghịch thế

1.1.222 Một nghịch thế của phép thế a e S n là một cặp i,j các phần tử của

tập (1,2, ,n} sao cho i<j và a ( i ) > a Ụ )

1.1.231 Thừa số ( « ( / ) - « ( j Ỵ j trong khác với thừa số tương ứng trong

An một dấu bằng (-1) hay (+1) tùy theo cặp ij có phải là một phép nghịch thế

hay không Do đó, a là một phép thế chẵn nếu và chỉ nếu số nghịch thế của a

1.1.236 chỉ cần chứng tỏ rằng mỗi phép thế sơ cấp đều là một phép thếlẻ

1.1.237 Thật vậy phép thế (j-l,j) có đúng nghịch thế ,nên nó là một phép

thế lẻ Bây giờ ,ta có thể chứng minh rằng (i,j) là một phép thế lẻ, với mọi i ^

j, bằng cách quy nạp theo j-i dựa trên công thức truy hồi sau:

1.1.242 Vì An = Ker(sgn) là hạt nhân của đồng cấu nhóm sgn , nên An lànhóm con chuẩn tắc của sn.

1.1.243 Cố định một phép lẻ , chẳng hạn a = (1,2) e Sn Khi đó, mỗi

phép thế trong a A n đều lẻ, bởi vì sgn là một đồng cấu nhóm Hơn nữa , mọi

phép thế lẻ p đều thuộc a An, bởi vì p = a ị a ~ l p } và a~ x Ị3 là một phép thế

chẵn

1.1.244 Nhu thế , sn đuợc phân tích thành họp rời của hai lớp kề An

và aA n của An điều này chứng tỏ rằng [Sn:An]=2

1.1.250 i) Nhóm H đuợc gọi là một p - nhóm nếu cấp của nó là

một lũy thừa của p

thuơng ỵ A có hai phân tử nên nó là một nhóm xyclic câp 2 (vì

14 ,1

ii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con của G nếu H vừa là nhóm con của G vừa là một p - nhóm.

iii) Nhóm H được gọi là một p - nhóm con Sylow của G nếu H là một

p-nhóm con của Gvà \ f ỉ \ = p \ầ lũy thừa cao nhất của p chia hết |G| n

b) Phần tử liên hợp, quỹ đạo, nhóm con dừng.

1.1.251 Cho X là một nhóm:

• Với mỗi X e X , ta gọi phần tử axa'1, a e X là một phần tử liên họp của

phân tử X.

• Ta gọi quỹ đạo của X e X dưới tác động của X là tập họp tất cả các phần

tử liên họp của X Kí hiệu Orb(x)

1.1.252 Orb(x) = Iaxa~ l ,a e xỊ.

• GọiG x = ịa e X, axa~ l = X Ị thì G x là một nhóm con của X và gọi là nhóm con dừng của X

c) Định nghĩa nhóm giải được

1.1.253 Nhóm G được gọi là giải được nếu nó có dãy nhóm con