TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (tóm tắt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời xin trân trọng cảm ơn đến thầy cô giáo công tác khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để có tảng kiến thức thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Vũ Đỗ Long, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội tạo điều kiện tối đa để có thời gian học tập tốt hoàn thành khóa học Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015 Học viên Ngô Thị Sinh MỞ ĐẦU Tích phân nội dung giải tích chuyên đề quan trọng toán THPT Tích phân có ứng dụng số toán tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Với mong muốn hệ thống lại kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định ứng dụng lựa chọn đề tài “Tích phân ứng dụng” cho luận văn , cụ thể luận văn gồm chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm hàm số thường gặp số phương pháp tính nguyên hàm Chương 2: Tích phân xác định ứng dụng Ở chương nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích tính chất tích phân xác định Đặc biệt chương thể ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật tròn xoay quay hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy Chương 3: Các toán khác Chương đề cập đến ứng dụng tuyệt vời tích phân toán phức tạp tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức CHƯƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm a Giả sử hàm y = f ( x ) liên tục khoảng ( a;b ) Khi hàm số y = F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số y = f ( x ) F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) b Nếu y = F ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) tập hợp tất nguyên hàm hàm số I = { F ( x ) + c, c ∈ R} 1.2 y = f ( x) tập tập ký hiệu là: I = ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c Các tính chất nguyên hàm a Nếu y = f ( x ) hàm số có nguyên hàm ( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x ) ; d ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx b Nếu F ( x ) có đạo hàm ∫ d ( F ( x ) ) = F ( x ) + c c Phép cộng Nếu f ( x ) g ( x ) có nguyên hàm ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx d Phép trừ Nếu f ( x ) g ( x ) có nguyên hàm ∫ f ( x ) dx −∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx e Phép nhân với hẳng số khác ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx, ∀k ≠ f 1.3 Công thức đổi biến số Cho y = f ( u ) u = g ( x ) Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ∫ f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + c Bảng công thức nguyên hàm số hàm số dx x ∫ 0dx = C ; ∫ dx = x + c ∫ a + x2 = a arctan a + c ( a > ) α +1 dx a+x ( ax + b ) α ax + b dx = + c, α ≠ −1∫ a − x = 2a ln a − x + c ) ∫( a α +1 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c ∫ ax + b dx = a ln ax + b + c ax +b −1 e +c sin ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) + c a a − ax + b ax + b ∫ m dx = a ln m m + c ∫ tan ( ax + b ) dx = a ln cos ( ax + b ) + c b  c ( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + c ∫ ln ( ax + b ) dx =  x + a ÷ ln ( ax + b ) − x +cot a dx x −1 dx = cot ( ax + b ) + c ∫ a − x2 = arcsin a + c ( a > ) sin ( ax + b ) a ∫e ax +b ∫ dx = ∫ ∫ ∫ dx 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c = ln x + x + a + c a+x 1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp a Phương pháp ( ) Sử dụng biến đổi f ' ( x ) dx = d f ( x ) b Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1 ([1]) dx d ( x + 3) I =∫ = ∫ = ln x + + c 2x + 2x + Ví dụ 1.1.2 ([1]) d ( x + 3x + ) x + 3) dx ( I =∫ =∫ = ln x + 3x + + c x + 3x + x + 3x + 1.4.2 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1 ([4]) 2x2 − 5x − I =∫ dx x + x − 2x Ta có Q ( x ) = x ( x − 1) ( x + ) P ( x ) x2 − 5x − A B C = = + + , ∀x Giả sử Q ( x ) x3 + x2 − x x x − x + ⇔ x − x − = A ( x − 1) ( x + ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − 1) , ∀x ( *) Cách ( Phương pháp hệ số bất định) ( *) ⇔ x − x − = ( A + B + C ) x + ( A + B − C ) x − A, ∀x A = / 2, B = −2, C = / Do 5 dx − ∫ dx + ∫ dx = ln x − ln x − + ln x + + c 2x ( x + 2) 2 ( x − 1) 1.4.3 Nguyên hàm theo phần a Công thức tính nguyên hàm phần Giả sử u = u ( x ) ; v = v ( x ) có đạo hàm liên tục miền D, I =∫ ta có: d ( uv ) = udv + vdu ⇔ ∫ d ( uv ) = ∫ udv + ∫ vdu ⇔ uv = ∫ udv + ∫ vdu ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu b Các dạng nguyên hàm phần cách chọn u, dv Nguyên hàm u dv sin ax P ( x) ( + b ) dx ∫ P ( x ) sin ( ax + b ) dx ∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx ∫ P ( x ) m dx ∫ P ( x ) log m ( ax + b ) dx k ∫ x sin ( log a x ) dx k ∫ x cos ( log a x ) dx ax + b ∫ m sin ( α x + β ) dx ax +b ∫ m cos ( α x + β ) dx ax +b Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.1 ([3]) x −1 Tính A2 = ∫ x e dx x −1 Ta có A2 = ∫ x e dx = P ( x) cos ( ax + b ) dx P ( x) m ax +b dx log m ( ax + b ) P ( x ) dx sin ( log a x ) x k dx cos ( log a x ) x k dx m ax + b sin ( α x + β ) dx m ax + b cos ( α x + β ) dx x d ( e5 x −1 ) =  x 3e5 x −1 − ∫ e5 x −1d ( x )  ∫ 5 1  =  x 3e5 x −1 − 3∫ x 2e5 x −1dx  =  x3e5 x −1 − ∫ x d ( e5 x −1 )    5  x −1 x −1 = x e − x e + ∫ xe5 x −1dx 25 25 x −1 x −1 = xe − xe + xd ( e5 x −1 ) 25 125 ∫ 6 x −1 = x3e5 x −1 − x 2e5 x −1 + xe5 x −1 − e +c 25 125 625 Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n ta phải n lần sử dụng tích phân phần 1.4.4 Nguyên hàm hàm số có thức a Nguyên hàm hàm vô tỉ phương pháp lượng giác hóa Các dạng nguyên hàm phép đổi biến số thông thường Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số x = a.sin t  −π π  f x, a − x dx ( ∫ f ( x, ) x − a ) dx ∫ f ( x, a + x dx ∫ f  x, ∫   2 x= ) a cos t x = a.tan t x = a.cos 2t a+x  ÷dx a−x ÷  t∈ ,  2   π   3π  t ∈ 0, ÷∪ π , ÷  2    π t ∈ 0, ÷  2  π t ∈  0, ÷  2 x = a + ( b − a ) sin tt ∈ 0, π  ∫ f ( x, ( x − a ) ( b − x ) ) dx  1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác a Các dạng nguyên hàm hàm lượng giác n n A2 = ∫ ( cosx ) dx Dạng A1 = ∫ ( s inx ) dx ; m n Dạng B = ∫ sin x.cos x.dx ( m, n ∈ N ) n n Dạng C1 = ∫ tan x.dx ; C2 = ∫ cot x.dx ( n∈ N )  tan m x cot m x dx ; D = ∫ sin n x dx ( m, n ∈ N ) cos n x Dạng Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.5.1 ([3]) Dạng D1 = ∫ ∫ Tính I = cos xdx  + cos x  I = ∫ cos 3xdx = ∫  ÷ dx = ∫ ( + cos x + cos 6x ) dx   1  =  x + sin x + sin12 x ÷+ c 8 12  b Các dạng nguyên hàm lượng giác sử dụng phép biến đổi nâng cao Dạng Nguyên hàm liên kết Ví dụ 1.5.5 ([4]) Tính A2 = ∫ sin x.dx sin x + 3cos x * Xét nguyên hàm liên kết với A2 A2 = ∫ Ta có: cos x.dx sin x + 3cos x 3cos x + sin x  * 7 A2 + A2 = ∫ sin x + 3cos x dx = ∫ dx = x + c1  −3 A + A * = cos x − 3sin x dx = ln sin x + 3cos x + c 2 ∫ sin x + 3cos x  A2 = −1 ( 3ln sin x + 3cos x − x ) + c 58 Dạng Nguyên hàm dạng C = ∫ a sin x + b cos x + c dx m sin x + n cos x + p a sin x + b cos x + c = α ( m sin x + n cos x + p ) + β ( mcos x − n sin x ) + γ CHƯƠNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Định nghĩa tích phân xác định Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định bị chặn đoạn [ a; b ] Xét phân hoạch π đoạn [ a; b ] , tức chia đoạn [ a; b ] thành n phần tùy ý điểm chia : a = x0 < x1 < < xn = b Trên đoạn [ xk −1 ; xk ] lấy điểm ξ k ∈ [ xk −1 ; xk ] gọi ∆ k = xk − xk −1 độ dài đoạn [ xk −1; xk ] Khi n ∑ f ( ξ )∆ k k =1 k = f ( ξ1 ) ∆1 + f ( ξ ) ∆ + + f ( ξ n ) ∆ n gọi tổng tích phân hàm f ( x ) đoạn [ a; b ] Tổng tích phân phụ thuộc vào phân hoạch π , số khoảng chia n phụ thuộc vào cách chọn điểm ξ k n Nếu tồn lim max ∆ k → ∑ f ( ξ )∆ k =1 k k (là số xác định) giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f ( x ) đoạn [ a; b ] kí hiệu là: b ∫ f ( x ) dx Khi hàm số [ ] y = f ( x ) gọi khả tích đoạn a; b a 2.2 Điều kiện khả tích Cho hàm số y = f ( x ) xác định [ a; b ] Chia đoạn [ a; b ] thành n phần tùy ý điểm chia : a = x0 < x1 < < xn = b mi = inf f ( x ) : x ∈ [ xi −1 ; xi ] ; M i = sup f ( x ) : x ∈ [ xi −1 ; xi ] Ký hiệu: n sn = ∑ mi ∆ i ; Đặt: i =1 n S n = ∑ M i ∆i i =1 ( Sn − sn ) = Khi y = f ( x ) khả tích đoạn [ a; b ] ⇔ ∆lim i →0 2.3 2.4 Tính chất tích phân xác định Công thức Newton – Leipnitz Nếu f ( x ) dx = F ( x ) + c ∫ b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a b a = F ( b) − F ( a ) 2.5 Ứng dụng 2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz Ví dụ 2.1.1 10 Tính I = ∫ x dx Theo định nghĩa tính tích phân ta làm sau Xét hàm số f ( x ) = x xác định đoạn [ 0;1] Ta chia đoạn n −1 n       ;  Trên đoạn thành n đoạn 0;  ,  ;  ,…,  n n   n n  n  [ 0;1] k  k −1 k   n ; n  lấy xk = n ∆xk = , theo định nghĩa tích phân n xác định I = ∫ x dx = lim ∆xk →0 ∑ f ( x ) ∆x n k k =1 n k ( ) = lim ∑ x k n →∞ k =1 2 n k  = lim ∑  ÷ n →∞ n k =1  n  n  n ( n + 1) ( 2n + 1)  1  = lim  ( 12 + 22 + + n )  = lim  ÷= = n →∞ n n →∞ n     Tuy nhiên toán ta dễ dàng phân hoạch chọn xk Vì ta sử dụng cách tìm nguyên hàm f ( x ) sau dùng công thức Newton – Leipnitz Ví dụ cần tính I = ∫ x dx Ta có I = ∫ x dx = x = 03 − = 3 Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh nhiều Thể ứng dụng ưu việt công thức việc tính tích phân xác định Như để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm hàm số (Chương 1) sau dùng công thức Newton – Leipnitz để tính kết tích phân cần tìm 2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 11 a Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = f ( x ) Lý thuyết • Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong - Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x )   x = a, x = b b Công thức tổng quát S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx - a • Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tự cắt khép kín - Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn ( C1 ) : y = f ( x )  ( C2 ) : y = g ( x ) x = a + Bước Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) ⇔  x = b b + Bước Sử dụng công thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a • Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết cuối toán tính diện tích hình phẳng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1 ([4]) ( P ) : y = x − x − Tính diện tích hình phẳng S giới hạn  Ox : y = 0; x = −2, x = S= −1 ∫ ( 2x −2 − x − ) dx − ∫ ( x − x − ) dx + ∫ ( x − x − ) dx −1 −1 3 92 2  2  2  =  x3 − x − x ÷ −  x − x − x ÷ +  x3 − x − x ÷ = 3  −2   −1  3 (đvdt) b Diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình tham số 12 Lý thuyết • Giả sử đường cong ( C ) : y = f ( x ) có phương trình tham số  x = ϕ ( t )   y = ψ ( t ) b Trong công thức tính diện tích S = ∫ f ( x ) dx ta thay y = f ( x ) a y = ψ ( t ) , dx thay ϕ ' ( t ) dt , cận a, b thay α , β nghiệm a = ϕ ( t ) ; b = ϕ ( t ) Khi β đó: S = ∫ ψ ( t ) ϕ ' ( t ) dt α • Nếu đường cong ( C ) có phương trình tham số  x = ϕ ( t ) ( ≤ t ≤ T ) l đường kín trơn phần, chạy   y = ψ ( t ) ngược chiều kim đồng hồ giới hạn diện tích S phía trái T ϕ ( t ) ψ ' ( t ) −ψ ( t ) ϕ ' ( t ) dt ∫0  Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.1 ([5]) S= Tính diện tích hình elip giới hạn ( E ) : x2 y2 + =1 a b2 y Phương trình tham số  x = a cos t ;0 ≤ t ≤ 2π  y = b sin t ( E) :  x(t)=3*cos(t), y(t)=2*sin(t) Xét phần diện tích ( E ) nằm Bóng góc phần tư thứ mặt phẳng ( Oxy ) 13 x S1 -3 -2 -1 Đổi cận ta có: 0 = a cos t t = π / ⇒  a = a cos t t = 0 S = 4S1 = ∫ b sin t ( −a sin t ) dt = 4ab π /2 π /2 ∫ sin tdt = 4ab π /2 ∫ − cos 2t dt = π ab (đvdt) c Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong hệ tọa độ cực • Công thức tính diện tích hình phẳng hệ tọa độ Cực Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S hình giới hạn tia: ϕ = α , ϕ = β đường r = f ( ϕ ) S = β r ( ϕ ) dϕ α∫ Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 ([4]) Tính diện tích S hình giới hạn đường cong Cardioide r = a ( + cos ϕ ) S = 2S1 = π y π ∫ ( ) r ( ϕ ) dϕ = a + cos ϕ + cos ϕ dϕ ∫0 r(t)=2*(1+cos(t)) Bóng π + cos 2ϕ   = ∫ a 1 + cos ϕ + ÷dϕ   π 3a 2π 3  = a  ϕ + 2sin ϕ + sin 2ϕ ÷ = (đvdt) 2 0 2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay a Lý thuyết • Vx sinh diện tích S quay xung quanh Ox ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) S : 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) ; ∆1 , ∆ : x = a, x = b 14 S1 x b 2 Công thức: Vx = π ∫  f ( x ) − g ( x )  dx a • Vy sinh diện tích S quay xung quanh Oy  ( C ) : y = f ( x ) ; Oy : x = S :  ∆1 , ∆ : y = f ( a ) , y = f ( b ) −1 + Bước y = f ( x ) ⇔ x = f ( y ) + Bước Vy = π • f ( b) ∫ f ( a)  f −1 ( y )  dy Vy sinh diện tích đường cong bậc f ( x, y ) = quay xung quanh Oy + Bước Tách đường cong bậc hai f ( x, y ) = thành: ( C1 ) x = f1 ( y ) ,  ( C2 ) x = f ( y ) giả sử ≤ f ( y ) ≤ f1 ( y ) + Bước Xác định cận x = a; x = b Khi Vy = π f ( b) ∫ f ( a) (  f ( y )  −  f ( y )  ) dy 2 • Chú ý Cần phải điền “đvtt” vào kết cuối toán tính thể tích khối tròn xoay b Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.5.1 ([2]) ( C ) : y = xe x  Tính V, sinh S : Ox; y = quay quanh Ox x =  15 x Xét ( C ) ∩ Ox : xe = ⇔ x = 1 Vx = π ∫  xe x  dx =π ∫ x 2e x dx = 0 x(t )=1, y(t )=t y π x d ( e2 x ) ∫ 20 π π = x 2e x − ∫ e x d ( x ) 20 f(x)=x*e^x S Bóng 1 π e2 π π e2 π π e2 π x π = − ∫ xe x dx = − ∫ xd ( e x ) = − xe + ∫ e x dx 20 20 2 20 π e π e2 π e2 x π = − + = ( e − 1) (đvtt) 2 2 2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng • Độ dài đường cong có phương trình y = f ( x ) hệ Độ tọa độ Đềcác dài L đường cong trơn (khả vi liên tục) y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b b L = ∫ +  f ' ( x )  dx a • Độ dài đường cong có phương trình tham số hệ tọa độ Đềcác Nếu đường cong có phương trình tham số x = x ( t ) , y = y ( t ) , α ≤ x ≤ β ứng với a ≤ x ≤ b độ dài β đường cong là: L = ∫  x ' ( t )  +  y ' ( t )  dt 2 α • Độ dài đường cong phẳng hệ tọa độ Cực Nếu đường cong có phương trình hệ tọa độ cực r = r ( ϕ ) , y = y ( t ) ,α ≤ ϕ ≤ β 16 β độ dài đường cong L L = ∫ r ( ϕ )  +  r ' ( ϕ )  dϕ 2 α Dạng Độ dài đường cong hệ tọa độ Cực Ví dụ 2.6.3 ([4]) Tính độ dài đường tròn có bán kính R Phương trình đường tròn hệ tọa độ cực x = R, ≤ ϕ ≤ 2π 2π 2π L = ∫ Rdϕ = Rϕ = 2π R (đvđd) CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN KHÁC 3.1 Tìm giới hạn tích phân 3.1.1 Đặt vấn đề Sn Xét toán: Cho S n = u1 + u2 + u3 + + un Tìm nlim →+∞ Bước Sn = Biến b−a ∑ n i =1 n đổi tổng giới hạn biểu thức b−a   f  a + i ÷ n   Bước Xây dựng hàm f ( x ) khả tích đoạn [ a; b ] b Bước Tính tích phân ∫ a b f ( x ) dx suy lim S n = ∫ f ( x ) dx n →+∞ a 3.1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.1.1 ([5]) n Sn Cho Sn = + + + Tính nlim →+∞ n n n Giải n 11 n n i Biến đổi Sn = + + + =  + + + ÷ = ∑ n n n nn n n  n i =1 n Xét hàm số f ( x ) = x liên tục [ 0;1] nên khả tích [ 0;1] 17 1 n 1 n i  lim Sn = lim  ∑ ÷ = lim  ∑ n →+∞ x →∞ n  i =1 n  x →∞  n i =1 1 x2  i  f  ÷÷ = ∫ xdx = = 2  n  3.2 Bất đẳng thức tích phân 3.2.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân a Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.2.1 ([4]) π π /2 dx π < ∫ < Chứng minh rằng: 16 + 3cos x 10 Giải Xét f ( x) = + 3cos3 x liên tục  π 0;  Ta có  π ≤ cos x ≤ ∀x ∈ 0;   2 1  π  π ⇒ ≤ cos3 x ≤ ∀x ∈ 0;  ⇒ ≤ ≤ , ∀x ∈ 0;    + 3cos x  2 π /2 π /2 π /2 π dx π ⇒ = ∫ dx < ∫ < ∫ dx = 16 + 3cos x 10 3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân ứng dụng a Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân • Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz Cho hai hàm số f , g liên tục [ a; b ] Khi ta có • b b  b 2 f x g x dx ≤ f x dx  ∫ ( ) ( ) ÷ ∫ ( ) ∫ g ( x ) dx a a  a Bất đẳng thức Young Cho p, q > thỏa mãn 1 + = Chứng minh rằng: p q 18 ab ≤ • a p bq + ∀a, b > p q Bất đẳng thức tích phân Holder Cho p, q > với 1 + = f , g hàm liên tục [ a; b ] p q Khi ta có: b ∫ a 1/ p 1/q b  b  p q f ( x ) g ( x ) dx ≤  ∫ f ( x ) dx ÷  ∫ g ( x ) dx ÷ a  a  Dấu xảy ⇔ ∃A, B ∈ R, A2 + B > : A f ( x ) • p = B g ( x) q ∀x ∈ [ a; b ] Bất đẳng thức tích phân Minkôwski Cho p > f , g hàm liên tục [ a; b ] Khi ta có: 1/ p 1/ p 1/p b  b  b  p p p  ∫ f ( x ) + g ( x ) dx ÷ ≤  ∫ f ( x ) dx ÷ +  ∫ g ( x ) dx ÷ a  a  a  • Bất đẳng thức tích phân Chebyshev Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục đơn điệu [ a; b ] Nếu f ( x ) , g ( x ) hai hàm đồng biến hai hàm nghịch biến ta có bất đẳng thức: b  b  b  f ( x ) g ( x ) dx ≥  f ( x ) dx ÷ g ( x ) dx ÷ ∫ ∫ ∫ b−a a b−a a  b − a a  Nếu f ( x ) , g ( x ) có tính đơn điệu ngược chiều tức hàm đồng biến hàm nghịch biến ta có bất đẳng thức: b  b  b  f x g x dx ≤ f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( )  ÷ ÷ ∫ ∫ b − a ∫a b−a a  b − a a  3.2.3 Định lý giá trị trung bình a Tóm tắt lý thuyết 19 • Định nghĩa b f ( x ) dx gọi giá trị trung bình hàm f Số thực µ = b − a ∫a đoạn [ a; b ] • Mệnh đề Nếu hàm m≤ [ a; b] f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b ] tồn điểm µ ∈ [ m; M ] f khả tích đoạn b cho ∫ f ( x ) dx = µ ( b − a ) a 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3.2.13 ([4]) Chứng minh rằng: ln ( + a ) > 2a , ∀a > a+2 Giải Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số ( C ) : y = x 1+ a ∈ [ 1; a ] Gọi điểm  1 A ( 1;0 ) ; B ( + a;0 ) ; H ( x0 ;0 ) ; M  x0 ; ÷  x0  −1 Ta có y ' = ⇒ y '' = > ∀x > ⇒ y = x x x Lấy x0 = hàm lõm ∀x > nên tiếp tuyến ( d ) M nằm đồ thị ( C ) Giả sử tiếp tuyến ( d ) cắt đường thẳng x = + a, x = điểm E, F cắt đồ thị ( C ) điểm P, Q Khi 20 f(x)=1/x ln ( + a ) = 1+ a ∫ y=-1.3611x+2.3333 = AB.MH = a 2a x(t)=3/2, y(t)=t = ( 1+ a) / a + ln ( + a ) > Vậy y dx y(t)=t = S ( ABPQ ) > x(t)=1/2, S ( ABEF ) x(t)=t, y(t)=2 x x(t)=6/7, y(t)=t Q F M 2a , ∀a > a+2 (đpcm) A H O P E B 3.2.5 Tìm cực trị phương pháp tích phân 3.3 Tính tổng 3.3.1 Lý thuyết a Công thức tính tổng cấp số cộng, cấp số nhân b Công thức nhị thức Newton ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n− 2b + + Cnk a n − k b k + + Cnnb n n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 Đặc biệt ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + + Cnk x k + + Cnn x n ( 1) n k n ( − x ) = Cn0 − Cn1 x + + ( −1) Cnk x k + + ( −1) Cnn x n n 3.3.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ ([5]) Tính tổng sau: ( −1) C n 1 S1 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + n 2n + n Giải Xét tích phân ∫ x ( 1− x ) n dx Ta có ∫ x ( 1− x ) n n +1 (1− x ) dx = − n +1 = 21 2n + x Mặt khác ∫ x ( 1− x ) n ( ) dx = ∫ Cn0 x − Cn1 x + + ( −1) Cnn x n +1 dx n 2n+2   x2 x4 x6 n x =  Cn0 − Cn1 + Cn2 + + ( −1) Cnn ÷ 2n +   ( −1) C n 1 = Cn0 − Cn1 + Cn2 + + n 2n + n ( −1) C n = Vậy S1 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + n 2n + 2n + n KẾT LUẬN Nội dung luận văn “ Tích phân ứng dụng” bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định Luận văn đạt số kết quả: Luận văn phân dạng trình bày phương pháp dạng tính nguyên hàm làm sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định công thức Newton – Leipnitz Luận văn đưa số ứng dụng tích phân vào toán thực tế giải số dạng toán phổ thông tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 ban ban nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [2] Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư Phạm 22 [3] Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Trần Phương (2006), Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính Tích phân, Nhà xuất Tri Thức [5] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chuyên toán Giải tích 12, nhà xuất giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán học cao cấp (tập hai: Phép tính giải tích biến số), Nhà xuất Giáo dục 23 [...]... dung luận văn “ Tích phân và ứng dụng bao gồm các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định và một số ứng dụng của tích phân xác định Luận văn đã đạt được một số kết quả: 1 Luận văn đã phân dạng và trình bày phương pháp từng dạng tính nguyên hàm làm cơ sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định bằng công thức Newton – Leipnitz 2 Luận văn cũng đưa ra một số ứng dụng của tích phân vào các bài... đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng a Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân • Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz Cho hai hàm số f , g liên tục trên [ a; b ] Khi đó ta có 2 • b b  b 2 2 f x g x dx ≤ f x dx  ∫ ( ) ( ) ÷ ∫ ( ) ∫ g ( x ) dx a a  a Bất đẳng thức Young Cho p, q > 1 thỏa mãn 1 1 + = 1 Chứng minh rằng: p q 18 ab ≤ • a p bq + ∀a, b > 0 p q Bất đẳng thức tích phân Holder Cho... ứng dụng của tích phân vào các bài toán thực tế và giải một số dạng toán phổ thông như tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 ban cơ bản và ban nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục [2] Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định và các ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm 22 [3] Trần... cũng có thể dễ dàng phân hoạch và chọn được xk Vì vậy ta có thể sử dụng cách tìm nguyên hàm của f ( x ) sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz 1 2 Ví dụ như cần tính I = ∫ x dx Ta có 0 1 I = ∫ x 2 dx = 0 3 1 x 3 0 = 3 1 03 1 − = 3 3 3 Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn nhiều Thể hiện ứng dụng ưu việt của công thức trong việc tính tích phân xác định Như vậy để tính tích phân xác định ta thường... giá trị trung bình của hàm f Số thực µ = b − a ∫a trên đoạn [ a; b ] • Mệnh đề Nếu hàm m≤ [ a; b] và f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b ] thì tồn tại ít nhất 1 điểm µ ∈ [ m; M ] f khả tích trên đoạn b sao cho ∫ f ( x ) dx = µ ( b − a ) a 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3.2.13 ([4]) Chứng minh rằng: ln ( 1 + a ) > 2a , ∀a > 1 a+2 Giải Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số ( C ) : y = 1 x... Leipnitz để tính ra kết quả của tích phân cần tìm 2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 11 a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f ( x ) Lý thuyết • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong - Bài toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x )   x = a, x = b b Công thức tổng quát S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx - a • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi... =1 n Xét hàm số f ( x ) = x liên tục trên [ 0;1] nên khả tích trên [ 0;1] 17 1 n 1 n i  lim Sn = lim  ∑ ÷ = lim  ∑ n →+∞ x →∞ n  i =1 n  x →∞  n i =1 1 1 x2 1  i  f  ÷÷ = ∫ xdx = = 2 0 2  n  0 3.2 Bất đẳng thức tích phân 3.2.1 Đánh giá theo hàm số và cận tích phân a Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.2.1 ([4]) π π /2 dx π < ∫ < Chứng minh rằng: 3 16 0 5 + 3cos x 10 Giải Xét f ( x) = 1 5... toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi ( C1 ) : y = f ( x )  ( C2 ) : y = g ( x ) x = a + Bước 1 Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) ⇔  x = b b + Bước 2 Sử dụng công thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a • Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1 ([4]) 2 ( P ) : y = 2 x − 4 x − 6 Tính diện tích hình phẳng... 4ab π /2 0 ∫ 0 1 − cos 2t dt = π ab 2 (đvdt) c Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ tọa độ cực • Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ Cực Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới hạn bởi các tia: ϕ = α , ϕ = β và đường r = f ( ϕ ) là S = β 1 2 r ( ϕ ) dϕ 2 α∫ Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 ([4]) Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong Cardioide... = 4 Rϕ 0 = 2π R (đvđd) 0 CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN KHÁC 3.1 Tìm giới hạn bằng tích phân 3.1.1 Đặt vấn đề Sn Xét bài toán: Cho S n = u1 + u2 + u3 + + un Tìm nlim →+∞ Bước Sn = 1 Biến b−a ∑ n i =1 n đổi tổng giới hạn về biểu thức b−a   f  a + i ÷ n   Bước 2 Xây dựng hàm f ( x ) khả tích trong đoạn [ a; b ] b Bước 3 Tính tích phân ∫ a b f ( x ) dx suy ra lim S n = ∫ f ( x ) dx n →+∞ a 3.1.2 Một số ví