Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm.Các công thức lượng giác:a) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2ab) Công thức hạ bậc: sin2a = cos2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
Trường THPT Lai Vung SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP Hội đồng mơn Tốn Chun đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2009 – 2010 Trường THPT Lai Vung Chuyên đề : TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức bản: Để học tốt chương tích phân, em học sinh cần nhớ kiến thức sau : 1) Bảng nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản ∫ kdx = kx + C ∫ dx = x + C ∫ x α dx = ( ax + b ) α ∫ ( ax + b) dx = x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ du = u + C + C ( α ≠ 1) dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ( x ≠ 0) dx x ax + C ( < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C α +1 a ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C x α +1 ∫e ax + b dx = ax +b e +C a ∫ sin x ∫ cos( ax + b ) dx = a sin ( ax + b) + C ∫ ∫ tan xdx = − ln cos x + c ∫ cot xdx = ln sin x + c ∫ 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) 2) Các tính chất tích phân: Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b] a • ∫ a b f ( x)dx = ; ∫ a u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u au + C ( < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C a u dx = ∫ sin ( ax + b) dx = − a cos( ax + b) + C dx = − cot x + C ∫ u α du = u a x dx = Nguyên hàm hàm số hợp a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b 2 ∫ sin u du = − cot u + C Trường THPT Lai Vung b • b a a ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b • b b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a a b • ( k số) c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f (c)dx + ∫ f ( x)dx ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: − cos 2a + cos 2a * cos2a = * sin2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * sin a.cos b = [ sin(a + b) + sin(a − b) ] * sin a.sin b = − [ cos(a + b) − cos(a − b) ] * cos a.cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b)] 4) Các công thức lũy thừa bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : * n a =a n n a =a m m n n a na = b b * a0 = 1; a1 = a ; a-n = n a * n a n b = n a.b ; α β * a a = a α +β n aα ; β = aα − β a α a b * ( a.b ) = aα bα ; ÷ = α * ( a α ) = aα β β aα bα 5) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * ( a ± b ) = a ± 2ab + b * a ± b3 = (a ± b)(a ma.b + b ) * ( a ± b ) = a ± 3a 2b + 3ab ± b3 Trường THPT Lai Vung B) Ví dụ tập: I) Tích phân bản: Chúng tơi gọi tích phân tích phân mà việc tính khơng cần phải áp dụng phương pháp phần hay đổi biến Tuy em học sinh cần lưu ý không nghĩa dễ làm Hãy nghiên cứu ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính tích phân a) I1 = ∫ (3x − 1) dx ∫e b) I2 = − x+ dx 0 c) I3 = ∫ −2 x + 1dx −1 Giải: 1 (3 x − 1) (3 x − 1) dx = = ( − 1) − (−1) = a) I1 = ∫ 4 12 0 Vậy: I1 = 2 − x+2 − x+2 b) I2 = ∫ e dx = e = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 −1 0 Vậy: I2 = e2 –1 c) I3 = ∫ −2 x + 1dx = −1 Vậy: I3 = ln −2 x + −1 = − (ln1 − ln 3) −2 ln Ví dụ 2: Tính tích phân a) J1 = ∫( x b) J2 = ∫ + 1) dx 2x + dx 2− x c) J3 = x + 26 x dx x ∫ Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 2 x5 206 x3 suy J1 = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + x + 1) dx = + + x ÷ = 15 0 0 206 Vậy: J1 = 15 2x + = −2 + b) Ta có : 2− x 2− x 2 4 Trường THPT Lai Vung 1 2x + suy J2 = ∫ − x dx = ∫ (−2 + − x )dx = ( −2 x − ln − x ) = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 0 Vậy: J2 = 7ln2 – c) x + x x1/2 + x1/6 = = x1/2−1/6 + = x1/3 + 1/6 x x 8 4/3 suy J3 = ∫ ( x + ) dx = x + x ÷ = 4 1 101 Vậy: J3 = 1/3 101 4/3 = 25,25 + ì ữ ( + 2) = 4 Ví dụ 3: Tính tích phân π a) K1 = s in3x.cos xdx ∫ π b) K2 = cos 2xdx ∫ c) K3 = ∫e x −1 − 1dx Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = suy K1 = ( s in4x + s in2x ) π ∫ (s in4x + s in2x)dx = Vậy: K1 = π 1 1 − cos x − cos x = 2 0 2 π b) K2 = cos 2xdx ∫ Ta có: cos22x = suy K2 = π c) K3 = ∫e x −1 π 4π 1 π (1 + cos x)dx = x + sin x = + sin ∫ 2 0 Vậy: K2 = 1 + cos x 1π 1 ÷− ( ) = + ÷ 2 4 1π + 1÷ 8 − 1dx Ta có : e2x–1 – = ⇔ e2x–1 = = e0 ⇔ 2x – = ⇔ x = ∈ [ 0;1] Trường THPT Lai Vung 2 Suy ∫ (e K3 = x −1 1 − 1)dx + ∫ (e x −1 1 1 1 2 1 − 1) dx = e x −1 − x ÷ + e x −1 − x ÷ 2 0 2 1 1 1 1 1 −1 −1 = e − ÷− e − ÷ + e − 1÷− e − ÷ = − e + e − 1÷ 2 2 2 2 2 2 2 Vậy K3 = 1 e + e −1 − 2 • Các tập tự luyện: Tính tích phân: KQ: L = KQ: I = + −2 KQ: J = 1) L = ∫ ( x − x + 2)dx − + 10 ln π − sin x dx 2) I = ∫ sin x π 3) J = x+2 ∫ − 3xdx 2 x − 5x dx 4) K = ∫ x2 KQ: K = – π 12 KQ: M = ∫ x − dx KQ: N = 7) P = sin 3xdx ∫ KQ: P = π 5) M = ∫ sin x sin 5xdx 6) N = π π KQ: − 8) Q = tan xdx ∫ π /4 9) R = ∫ sin π /6 dx x.cos x KQ: π 3 b II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ∫ f ( x)dx a 1) Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Trường THPT Lai Vung Ví dụ 4: Tính tích phân ∫ a) I1 = − x dx ∫9+ x b) I2 = dx Giải: a) I1 = ∫ − x dx π π + Đặt x = 2sint , t ∈ − ; (u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt 2 + Cận mới: x= ⇒ 2sint = ⇒ sint = ⇒ t = π x = ⇒ 2sint = ⇒ sint = ⇒ t = 2 + I1 = ∫ − x dx = π ∫ π π π 0 − 4sin t cot dt = ∫ − sin t cot dt = ∫ cos t cost dt =4 ∫ cos tdt π π I1 = (1 + cos 2t )dt = t + s in2t = π ÷ ∫ 0 Vậy I1 = π Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh thu kết gần số π 3,141592654 + Các em học sinh xem thêm tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ a π π 2 ghi nhớ cần tính ∫ a − x dx , đặt x = asint , t ∈ − ; (u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt thực 2 bước tiếp sau tương tự ví dụ b) I2 = ∫9+ x dx π π + Đặt x = 3tant, t ∈ − ; ÷ ⇒ dx = 3(1 +tan2t)dt 2 + Cận mới: x = ⇒ 3tant = ⇒ tant = ⇒ t = π x = ⇒ 3tant = ⇒ tant = ⇒ t = dx = + I2 = ∫ + x2 Vậy I2 = π π π 4 π π 3(1 + tan t ) = 3(1 + tan t ) dt dt = ∫ dt = t 04 = ∫ + tan t ∫ 9(1 + tan t ) 0 2 π 12 Trường THPT Lai Vung Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ ghi nhớ a π π cần tính ∫ 2 dx , đặt x = atant , t ∈ − ; ÷ ⇒ dx = a(1 + tan2t)dt thực bước tiếp a +x 2 tương tự 2) Loại 2: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: u = u(x) suy du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận α β α =u(a) β = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, tính Ví dụ 5: Tính tích phân a) J1 = x ∫ xe dx e b) J2 = + ln x dx x ∫ 1 c) J3 = ∫ x (x − 1)5 dx d) J4 = ∫ − x xdx ∫ cos x dx (1 + sin x) π /2 e) J5 = Giải: x ∫ xe dx a) J1 = 1 du + Đổi cận: x = ⇒ u = 12 = 1; x = ⇒ u = 22 = ( α = 1, β = 4) + Đặt u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = x + J1 = ∫ xe dx = + Vậy J1 = e b) J2 = ∫ u 1 e du = eu = ( e4 – e1) = ( e4 – e) ∫2 2 1 ( e – e) + ln x dx x dx x + Đổi cận: x = ⇒ u = + ln1 = 1; x = e ⇒ u = + ln e = + Đặt u = + ln x ⇒ u2 = + lnx ⇒ 2udu = Trường THPT Lai Vung e + J2 = + ln x dx = x ∫ ∫ u.2udu = 2 u = ( 2)3 − 13 ) = (2 − 1) 3 (2 − 1) + Vậy J2 = Ghi nhớ: • Học sinh đặt: u = + lnx ⇒ du = • ln1 = lne = 1 dx x ∫ x (x c) J3 = − 1)5 dx du + Đổi cận: x = ⇒ u = – = –1; x = ⇒ u = 14 – = + Đặt u = x4 – ⇒ du = 4x3dx ⇒ x3dx = 0 1 u6 du = + J3 = ∫ x ( x − 1) dx = ∫ u = − −1 24 −1 + Vậy J3 = − 5 24 ∫ d) J4 = − x xdx 2 − x ⇒ u = – x ⇒ 2udu = – 2xdx ⇒ xdx = –udu + Đổi cận: x = ⇒ u = − 02 = 2; x = ⇒ u = − 22 = + Đặt u = + J4 = ∫ − x xdx = ∫ u.( − u )du = ∫ − u du = + Vậy J4 = π /2 ∫ e) J5 = cos x dx (1 + sin x) + Đặt u = + sinx ⇒ du = cosxdx + Đổi cận: x = ⇒ u = +sin0 = 1; x = π /2 + J5 = ∫ 32 u = 3 π π ⇒ u = + sin = 2 2 cos x du −3 dx = = ∫ u −4 du = u = (1 + sin x) −3 24 u 1 + Vậy J5 = ∫ 24 • Các tập tự luyện: 1) Tính tích phân: Trường THPT Lai Vung a) I = π 3 −1 + sin x cos xdx x − 8.x dx ∫ KQ: I = KQ: J = –4 b) J = ∫ c) K = KQ: K = e −1 2e KQ: L = −x ∫ e x.dx 13 e d) L = (3 + ln x )dx ∫ x 21 ∫ e) M = dx + x2 π KQ: M = e x dx g) N = ∫ x 2+e KQ: N = ln 2010 h) P = ∫ x( x − 1) dx KQ: P = 2+e 4046132 (Kết P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần 2.471496234x 10-7) 2) Tính tích phân: π a) I1 = (2sin x + 3) cos xdx ∫ KQ: 2 b) J1 = ∫ x x + 3dx 1 c) P = ∫x KQ: 4x + dx + x +1 KQ: 2ln3 π d) Q= + tan x dx ∫ e e) L1 = KQ: 16/3 cos x ∫ + 3ln x ln xdx x KQ: 116/135 ex g) N1 = ∫ x dx e −1 KQ: ln(e+1) III) Phương pháp tích phân phần: b • Công thức: 7 −8 b ∫ udv = uv − ∫ vdu b a a a b • Các dạng bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx a 10 Trường THPT Lai Vung Dạng hàm Cách đặt P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx * u = P(x) * dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ekx * u = P(x) * dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx P(x): Đa thức Q(x): * u = P(x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Ví dụ 6: Tính tích phân π /4 ∫ x cos xdx a) I1 = 2x b) I2 = ∫ ( x + 1)e dx c) I3 = ∫ x ln( x − 1)dx Giải: π /4 ∫ x cos xdx a) I1 = • Đặt: u = 2x ⇒ du = 2dx; dv = cos2xdx ⇒ v = sin2x π /4 • I1 = ∫ x cos xdx = π /4 x.s in2x π /4 – ∫ sin 2xdx = π π π /4 sin − + cos x 2 π π π = + (cos − cos 0) = − 2 π Vậy: I1 = − 2x b) I2 = ∫ ( x + 1)e dx • Đặt: u = x +1 ⇒ du = dx; dv = e2xdx ⇒ v = 1 2x e 1 2x 1 2x 1 2x • I2 = ∫ ( x + 1)e dx = ( x + 1)e – ∫ e dx = [(1 + 1)e − (0 + 1)e ] − e 20 0 1 3e − = (2e2 − 1) − (e2 − 1) = 4 3e − Vậy: I2 = 2x c) I3 = ∫ x ln( x − 1)dx 11 1 hay sin x cos x Trường THPT Lai Vung • Đặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = dv = 2xdx ⇒ v = x2 dx; x −1 • I3 = ∫ x ln( x − 1) dx = x ln( x − 1) – 3 x2 ∫ x − dx = 9ln2 – – ∫ ( x + + x − 1)dx 2 x2 = 9ln2 – ( + x + ln x − 1) = 8ln2 – 2 Vậy: I3 = 8ln2 – • Ghi chú: bước giải khó khăn dx; x −1 Đặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = dv = 2xdx ⇒ v = x2 – = ( x + 1)( x – 1) Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy v =…tức tìm ngun hàm thích hợp 2x Như biết ∫ 2xdx = x + c , đa số trường hợp phương pháp phần ta chọn c = Trong tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp Ví dụ 7: Tính tích phân a) J1 = π xdx ∫ cos x b) J2 = ln xdx x2 ∫ Giải: a) J1 = π xdx ∫ cos x • Đặt: u = x ⇒ du = dx; dv = dx ⇒ v = tanx cos x π π /4 • J1 = ∫ xdx = x.tan x – cos x π /4 ∫ tan xdx = π π π /4 π π tan − + ln cos x = + ln = − ln 4 4 π − ln Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm sin x tanx = đặt u = cosx (đổi biến loại 2) cos x Vậy: J1 = b) J2 = ln xdx x2 ∫ • Đặt: u = lnx ⇒ du = dx x 12 ∫ tan xdx = − ln cos x + c biến đổi Trường THPT Lai Vung dv = 1 dx dx ⇒ v = − x x 2 ln xdx • J2 = ∫ = − ln x + x x2 1 Vậy: J2 = (HD: x −1 = x −2 nên có nguyên hàm =− ) x −1 x 2 1 1 1 ∫ x dx = − ln + ln1 − x = − ln − ( − 1) = (1 − ln 2) 1 (1 − ln 2) • Các tập tự luyện: 1) Tính tích phân: x a) I 1= ∫ ( x + 3)e dx 3e − KQ: I = e b) I2 = ∫ (1 − x) ln xdx 1− e2 KQ: xdx ∫ cos x KQ: M = −1 e c) I3 = π e ln x dx x2 ∫ d) I4 = π – ln KQ: N = 2(1 – ) e 2) Tính tích phân: π KQ: π KQ: a) K1= ∫ x.cos x.sin xdx − ln 16 b) K2 = ln x dx x3 ∫ x c) K3 = ∫ e dx KQ: J = e 2e3 + KQ: d) K4 = ∫ x ln xdx IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b b y = (trục hồnh) tính bởi: S = ∫ f ( x) dx (1) a • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = b a; x= b tính bởi: S = ∫ f ( x) − g ( x) dx (2) a Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = Giải: 13 Trường THPT Lai Vung b • Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ∫ f ( x) dx ∫x S = a − 1dx • Phương trình: x2 -1= ⇔ x = ± , nghiệm x = ∈ [0;2] 1 2 x3 x3 ( x − 1)dx + ∫ ( x − 1)dx = ( − x) + ( − x) = (đvdt) • Vậy S = ∫ 3 1 2 Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x2 y = x Giải: • Cận a,b nghiệm phương trình: – x2 = x ⇔ x2 + x – = ⇔ x = x = -2 b • Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = • Vậy S = ∫ x + x − dx = −2 ∫ (x + x − 2)dx = −2 ∫ f ( x) − g ( x) dx S = ∫ x + x − dx −2 a x x + − 2x = (đvdt) 2 −2 * Lưu ý: Chỉ đưa dấu trị tuyệt đối ngồi tích phân hàm số dấu tích phân khơng đổi dấu [a; b] 2) Thể tích vật thể trịn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b quanh trục Ox tính bởi: V = π ∫ f ( x) dx (3) a Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn đường y = 2x – x y = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Giải: • Phương trình 2x – x2 = ⇔ x = x = b • Gọi V thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = π ∫ f ( x) dx a 0 x 2 2 Ta có V = π ∫ (2 x − x ) dx = π ∫ (4 x − x + x )dx = π ( x3 − x + ) = 16π (đvtt) 15 b) Cho hình phẳng giới hạn đường y = – x y = x Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Giải: • Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = x = –1 • Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường 2 y = – x2, x = 0, x = –1 trục Ox hình phẳng quay quanh Ox: V1 = π ∫ (− x ) dx = −1 • Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = x3, x = 0, x = -1 trục Ox…: V2 = π ∫ ( x ) dx = −1 Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 − V2 = (đvtt) 35 14 Trường THPT Lai Vung • Các tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = – x + 4x trục hoành 32 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (P): y = – x y = – x – KQ: S = đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 5x – 3x2 – 8, trục Ox [1; 3] KQs: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích hình tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) (P): y = 8x vaø x = KQ: 16 π đvtt 162π b) y = x2 y = 3x KQ: ñvtt KQ: S = V) Đề thi tốt nghiệp THPT năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x +1 y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) x + 3x + 3x − Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = , bieát F(1) = x + 2x + 2x − 10x − 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= trục hoành Ox x+2 (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) Bài 3: Cho hàm số y = x – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường y = 0, x =0, x = quay quanh truïc Ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) π /2 ∫ ( x + sin Bài 4: Tính tích phân: I = x) cos x.dx (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y = ex, y = đường thẳng x = π /2 b Tính tích phân: I = ∫ sin x dx − cos x (TNTHPT năm 2005– 2006) e ln x dx Bài 6: Tính tích phân J = ∫ x (TNTHPT năm 2006– 2007) Bài 7: Tính tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx (TNTHPT năm 2007– 2008) −1 π Bài 8: Tính tích phân I = ∫ x(1 + cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) 15 ...Trường THPT Lai Vung Chuyên đề : TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức bản: Để học tốt chương tích phân, em học sinh cần nhớ kiến... b3 Trường THPT Lai Vung B) Ví dụ tập: I) Tích phân bản: Chúng tơi gọi tích phân tích phân mà việc tính khơng cần phải áp dụng phương pháp phần hay đổi biến Tuy em học sinh cần lưu ý không nghĩa... π /2 b Tính tích phân: I = ∫ sin x dx − cos x (TNTHPT năm 2005– 2006) e ln x dx Bài 6: Tính tích phân J = ∫ x (TNTHPT năm 2006– 2007) Bài 7: Tính tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx (TNTHPT năm 2007–