SKKN Giúp học sinh lớp 12 học tốt phần ứng dụng của tích phân

www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 MỤC LỤC Trang Mục lục: 1 §Æt vÊn ®Ò 3 Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 3 1. Cơ sở lý luận 3 2. Cơ sở thực tiễn 3 2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 4 2.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b 4 2.1.2.Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 4 2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 5 2.1.4. Diện tích hình tròn, hình elip 9 2.1.4.1.Diện tích hình tròn 9 2.1.4.2.Diện tích của elip 9 2.2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10 2.2.1.Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10 2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10 2.2.3.Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 10 2.3.HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 14 3. Giải pháp thực hiện 14 4. Kết quả thực nghiệm 14 KẾT LUẬN 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3 ĐẶT VẤN ĐỀ Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề thi CĐ,ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:  Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ).  Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật tròn xoay đang học.  Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề,khó hiểu.  Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. Do đó tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng” www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 4 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận + Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn   b ; a để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì   b ; a x , 0)( xf  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì   b ; a x , 0)( xf + Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) và )(xgy  trên đoạn   b ; a để suy ra dấu của f(x)- g(x) trên đoạn đó.  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” đồ thị hàm số y=g(x) thì   b ; a x ,xgxf  0)()(  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số y=g(x) thì   b ; a x ,xgxf  0)()( 2. Cơ sở thực tiễn:  Qua những bài toán tính diện tích hình phẳng trong chương trình sách giáo khoa 12 cơ bản, tôi nhận thấy học sinh có thể không cần vẽ hình. Tuy nhiên nếu học sinh vẽ hình thì bài toán sẽ đực giải nhanh và trực quan hơn  Đối với hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên thì học sinh buộc phải vẽ hình mới làm chính xác được.(Có trong các đề thi đại học cao đẳng) www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2.1.1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn   b ; a . Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:   b a dxxfS )( (1) Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối.  Nếu   b ; a x , 0)( xf thì   b a b a dxxfdxxfS )()(  Nếu   b ; a x , 0)( xf thì     b a b a dxxfdxxfS )()( Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách làm như sau: -Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn   b ; a Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn   b ; a để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì   b ; a x , 0)( xf  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì   b ; a x , 0)( xf -Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có:   b a b a dxxfdxxfS )()( 2.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tính dxxI    0 2 42 Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4 x ∞ 2 0 +∞ f(x)=2x + 4  0 +  + Suy ra   2;0x , 042 x Do đó   4)2(4)2(0 2 0 )4()42(42 22 0 2 0 2      xxdxxdxxI Ví dụ 2 : dxxxK   2 0 2 23 Cách 1: Xét dấu tam thức f(x) = x 2 – 3x + 2, có a = 1 > 0; và       2 1 023 2 x x xx www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 6 x  ∞ 0 1 2 +∞ f(x)= x 2  3x + 2 + 2 + 0  0 + Suy ra   0;1x , 0)( xf và   1;2x , 0)( xf Do đó:   2 1 2 1 0 2 2 0 2 )23()23(23 dxxxdxxxdxxxK 1 2 )2 2 3 3 ( 0 1 )2 2 3 3 ( 2323 x xx x xx  = 6 5  ) 6 1 ( =1 Cách 2 1 6 1 6 5 )23()23(23 2 1 2 1 0 2 2 0 2     dxxxdxxxdxxxK 2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. Bài toán 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2. y x f x   = x 2 3 4 -2 O 1 A B Hình 1 Giải Cách 1: Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS   2 0 2 Vì   0;2x , 0 2 x 3 8 3 0 3 2 0 2 ) 3 ( 333 2 0 2 2 0 2   x dxxdxxS (đvdt) Cách 2: Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.(phần tô màu) Dựa vào đồ thị ta có: 3 8 2 0 2   dxxS Bài toán 2 Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0, x = 0 và x = 3. Hãy tính diện tích hình thang đó. www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 7 y x f x   = -x-2 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Hình 2 Giải Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS   3 0 2 Từ hình vẽ, suy ra   0;3x , 02  x 2 21 6 2 9 0.2 2 0 3.2 2 3 0 3 )2 2 ()2(2 222 3 0 3 0          x x dxxdxxS (đvdt) Bài toán 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 2 )(     x x xfy , trục hoành và các đường thẳng x = 1; x = 0. y x f x   = -x-2 x-1 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Hình 3 Giải Diện tích S của hình phẳng trên là dx x x S      0 1 1 2 Từ hình vẽ, suy ra   1;0x , 0 1 2     x x              0 1 0 1 0 1 0 1 ) 1 3 1() 1 3)1( ) 1 2 ( 1 2 dx x dx x x dx x x dx x x S 12ln32ln311ln.30)2ln31()1ln30( 1 0 ) 1ln3(    xx (đvdt) www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 8 Ghi nhớ: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , …, x k thuộc (a; b) thì trên mỗi khoảng (a; x 1 ), (x 1 ; x 2 ), …, (x k ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi. Khi đó để tính tích phân   b a dxxfS )( ta có thể tính như sau: \   b x x x x a b a k dxxfdxxfdxxfdxxfS )( )()()( 2 1 1 Bài toán 4: Cho hàm số y = x 3  3x 2 + 2 có đồ thị (C ) (Hình 12). (C) y x f x   = x 3 -3  x 2   +2 3 2 -1 4 -2 O 1 A B Hình 4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2. Giải Trục tung có phương trình x = 0 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức: dxxxS   2 0 23 23 Cách 1 Dựa vào đồ thị, suy ra trên đoạn [ 0; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1. Hơn nữa x 3 3x 2 + 2 ≥ 0  x  [ 0; 1 ] và x 3 3x 2 + 2 ≤ 0 x [ 1; 2 ] Do đó dxxxdxxxdxxxS )23()23(23 2 1 0 2 1 323 2 0 23           )21 4 1 (2.22 4 2 021 4 1 1 2 )2 4 ( 0 1 )2 4 ( 3 4 3 4 3 4 xx x xx x 2 5 21 4 1 4841 4 1  (đvdt) Cách 2   2 1 23 1 0 23 2 0 23 )23()23(23 dxxxdxxxdxxxS 2 5 4 5 4 5 4 5 4 5 1 2 )2 4 ( 0 1 )2 4 ( 3 4 3 4    xx x xx x (đvdt) www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 9 Bài toán 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = e. y x f x   = x  ln x   Gi aoDiem 3 O 1 A e Hình 5 Giải Trục tung có phương trình x = 0 Từ hình vẽ ta có: Diện tích S cần tìm là   e xdxxS 1 ln Đặt                2 1 ln 2 x v dx x du xdxdv xu Do đó 4 1 1 42 1 ln 2 1 . 2 1 ln 2 ln 222 1 2 1 22 1    e e xe xdx e x x xd x x e x x xdxxS eee (đvdt) Bài toán 6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 23 2  xxy , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 3 (C) y x f x   = x 2 -3  x   +2 2 -1 4 -2 O 1 Hình 6 Giải Ta có dxxxS   3 0 2 23 Vì      ;21; 023 2 xxx và   2;1 023 2  xxx     1 0 2 1 3 2 222 3 0 2 3 0 2 )23()23()23(2323 dxxxdxxxdxxxdxxxdxxxS www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 10 6 11 6 5 6 1 6 5    (đvdt) 2.1.4.Diện tích hình tròn, hình elip: 2.1.4.1.Diện tích hình tròn: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương x 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) Khi đó hình tròn đó có diện tích là: 2 rS   Giải: Ta có 22222 xryryx  (P) x y -r 2 4 -1 2 -2 -1 r 3O 1 Hình 7 Với y ≥ 0 ta có: 22 xry  có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành. Và có diện tích 2 . 2 2 0 2222 1 r dxxrdxxrS rr r     Do đó 2 1 .2 rSS   2.1.4.2.Diện tích của elip Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình: 1 2 2 2 2  b y a x , ab   0 (P) x y 2 -b 4 -1 b -a -2 -1 r a O 1 Hình 8 Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là:  baS .  (đvdt) [...]... bui v hc sinh tham kho Qua õy rốn luyn cho hc sinh k nng c th v vn dng vo gii toỏn Giỳp hc cú hỡnh nh trc quan v cỏc hỡnh phng 4 Kt qu thc nghim Sau thi gian thc hin Lp thc hin: 12B4 Lp i chng: 12B5 Tụi thy t l % hc sinh yu kộm, trung bỡnh ca cỏc lp thc nghim thp hn so vi lp i chng T l % hc sinh t khỏ gii ca cỏc lp thc nghim cao hn so vi lp i chng, chng t lp thc nghim vi s i mi phng phỏp hc sinh hiu... 3x + 2 Khi x = 2 ta cú y(2) = 8 6 + 2 = 4 y = 3x2 ư 3 y(2) = 12 3 = 9 Phng trỡnh tip tuyn ca (C ) ti im (2; 4 ) l y = 9(x ư2) + 4 hay y = 9x ư 14 b/ Din tớch ca hỡnh phng cn tỡm l: 2 2 2 S x 3 3 x 2 (9 x 14) dx x 3 12 x 16 dx ( x 3 12 x 16)dx 1 1 1 Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 7 4 13 www.VNMATH.com Bi toỏn 12: Cho hm s y x2 x 1 cú th (C ) x 1 a/ Tỡm tim cn xiờn ca... 12 C KT LUN 13 D TI LIU THAM KHO V MC LC 13 Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 18 www.VNMATH.com 4 3 Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc 10 4 Phương pháp dùng hệ số bất định .11 5 Phương pháp đánh giá 12 III Các biện pháp tổ chức thực hiện 13 Cư kết luận 18 Dư Tài liệu tham khảo và mục lục 19 Giỳp hc sinh 12 hc... 2 a 3 Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 3 ( R 2b r 2 a) 26 www.VNMATH.com KT LUN Qua quỏ trỡnh ging dy trong thi gian va qua tụi nhn thy rng, ti liu Giỳp hc sinh 12 hc tt vn ng dng ca tớch phõn ó giỳp tụi thu c nhiu kt qu kh quan.Hc sinh khc phc c nhng sai lm v khú khn khi gp bi toỏn tớnh din tớch ca hỡnh phng cng nh tớnh th tớch ca vt th trũn xoay chng trỡnh gii tớch 12 Thun li cho... s vớ d m trong quỏ trỡnh ging dy tụi ó gii thiu cho hc sinh Vỡ vy rt mong c s úng gúp ca cỏc ng nghip cho ti ca tụi thờm hon chnh v cú th ng dng cho cỏc nm hc sau Tụi xin chõn thnh cm n! Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 16 www.VNMATH.com D TI LIU THAM KHO ư ư Cỏc bi ging luyn thi mụn Toỏnư NXB Giỏo Dc i s s cp Trn phng Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 17 www.VNMATH.com ư Trang... dx 4dx 8 0 (vtt) 0 11 85 (vtt) 12 12 3/ Th tớch ca khi cu, khi tr,khi nún, khi nún ct a/ Th tớch ca khi cu Trong h ta Oxy cho na ng trũn cú phng trỡnh (P ): x2 + y2 = r2 vi r > 0 v y 0 (hỡnh 49) Quay na hỡnh trũn ú quanh trc honh ta c mt mt cu cú bỏn hớnh bng r Th tớch ca vt th cn tớnh l: V V2 V1 8 Th tớch ca mt cu ny l: V 4 3 r 3 (vtt) Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 24 www.VNMATH.com... tớch hỡnh phng ó giỳp tụi thu c nhiu kt qu kh quan Hc sinh khc phc c nhng sai lm v khú khn khi gp bi toỏn tớnh din tớch ca hỡnh phng chng trỡnh gii tớch 12 Thun li cho vic tng cng tớnh trc quan, y mnh ng dng cụng ngh thụng tin vo dy hc T ú, cỏc em hc sinh rt thớch thỳ v hc tt vn ny Chc chn rng s cũn cú nhiu bi toỏn m ta cú th gii thiu cho hc sinh, nhng do iu kin v kinh nghim cha nhiu nờn tụi ch a... (C) 4 3 2 1 x -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 -2 d -3 x Hỡnh 10 Gii Phng trỡnh honh giao im ca th hm s y = x2 ư3x + 2 v ng thng x 1 x 3 y = x 1 l: x 2 3x 2 x 1 x 2 4 x 3 0 Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 12 www.VNMATH.com 3 3 Suy ra din tớch ca hỡnh phng trờn l: S x 2 3x 2 ( x 1) dx x 2 4 x 3 dx 1 1 2 Cỏch 1: Da vo th ta cú x 3x + 2 x 1 x [1; 3 ] Do ú x2 4x + 3 0 x... 8 II 2 HèNH PHNG C GII HN BI HAI TH HM S 9 II.2.1Cỏch tỡm to giao im ca hai th hm s II.2.2 Mt vi vớ d minh ho v cỏch tỡm honh giao im ca hai th hm s II.2.3.Bi tp tng t: 12 C KT LUN 13 D TI LIU THAM KHO V MC LC Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 20 www.VNMATH.com III TH TCH CA VT TH TRềN XOAY I Cụng thc tớnh vt th trũn xoay 1 / Vt th trũn xoay to bi khi quay mt hỡnh phng quanh trc honh... phng trờn quanh trc tung Giỳp hc sinh 12 hc tt vn : NG DNG CA TCH PHN 23 www.VNMATH.com y 2 (E) -2 1 O x 2 1 Hỡnh 48 Gii Ta cú (C ) : x 2 4 y 2 4 4 y 2 4 x 2 y 1 4 x2 2 ,y0 Gi V1 l th tớch ca vt th trũn xoay to bi khi quay hỡnh phng gii hn bi na elip (E ), trc tung v hai ng y = 0 , y = 1 quanh trc tung 1 1 11 11 1 V1 ( 4 x 2 ) 2 dx (4 x 2 )dx 2 40 4 3 12 0 (vtt) Gi V2 l th tớch ca . www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3 ĐẶT VẤN ĐỀ Chủ đề ứng dụng của tích phân là. giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số,tính thể tích.                     2;01 2;01 2;0 2 1 01 012 0)1) (12( 2 2 x x x x x xx 7 6 35 6 7 )1) (12( )1) (12( 2 1 2 1 0 2   dxxxdxxxS (đvdt) www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 12 Bài