Tóm tắt tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời xin trân trọng cảm ơn đến thầy cô giáo công tác khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để có tảng kiến thức thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Vũ Đỗ Long, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội tạo điều kiện tối đa để có thời gian học tập tốt hoàn thành khóa học Học viên Ngô Thị Sinh MỞ ĐẦU Tích phân nội dung giải tích chuyên đề quan trọng toán THPT Tích phân có ứng dụng số toán tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Với mong muốn hệ thống lại kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định ứng dụng lựa chọn đề tài “Tích phân ứng dụng” cho luận văn , cụ thể luận văn gồm chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm hàm số thường gặp số phương pháp tính nguyên hàm Chương 2: Tích phân xác định ứng dụng Ở chương nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích tính chất tích phân xác định Đặc biệt chương thể ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật tròn xoay quay hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy Chương 3: Các toán khác Chương đề cập đến ứng dụng tuyệt vời tích phân toán phức tạp tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức CHƯƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm y= Ff () x ) ( a;b a Giả sử hàm liên tục khoảng Khi hàm số gọi nguyên hàm hàm số F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) b ( x )=+yFc=,(cxFf∈) (+Rxc) I = I f=( xF) dx Nếu nguyên hàm hàm số tập hợp tất nguyên hàm hàm số tập tập ký hiệu là: 1.2 Các tính chất nguyên hàm a Nếu hàm số có y = f ( x) nguyên hàm ∫ { } ( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x ) ; d ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx ∫ d ( F ( xF) )( =x )F ( x ) + c b Nếu có đạo hàm c Phép cộng Nếu có nguyên hàm gf ( x ) ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx trừ Nếu có nguyên hàm gf ( x ) ∫ f ( x ) dx −∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx d Phép e Phép nhân với hẳng số khác ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx, ∀k ≠ đổi biến số f Công thức Cho Nếu ∫ f ( x u)ydx= g=f (Fux )( x ) + c ∫ f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + c Bảng công thức nguyên hàm số hàm số 1.3 ∫ 0dx = C; ∫ dx = x + c ∫ ( ax + b ) α ( ax + b ) dx = a α +1 ∫a α +1 + c , α ≠ −1 dx x = arctan + c ( a > ) +x a a ∫a dx a+x = ln +c −x 2a a − x 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + c ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c ∫e ∫m ax + b ax + b dx = dx =  ax +b e +c a ∫ sin ( ax + b ) dx = m ax+b + c a ln m ∫ tan ( ax + b ) dx = −1 cos ( ax + b ) + c a −1 ln cos ( ax + b ) + c a b + c( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + c ∫ ln ( ax + b ) dx =  x + a ÷ ln ( ax + b ) −∫xcot a dx ∫ a − x2 ∫ dx a+x = arcsin x −1 + c ( a > )∫ dx = cot ( ax + b ) + c a sin ( ax + b ) a = ln x + x + a + c 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + c 1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp a Phương pháp f ' ( x ) dx = d ( f ( x ) ) Sử dụng biến đổi b Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1 ([1]) I =∫ dx d ( x + 3) = ∫ = ln x + + c 2x + 2x + 1.1.2 ([1]) I =∫ 1.4.2 ( x + 3) dx = x + 3x + ∫ d ( x + 3x + 5) x + 3x + Ví dụ = ln x + x + + c Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1 ([4]) I =∫ x2 − 5x − dx x3 + x − x Q ( x ) = x ( x − 1) ( x + ) Ta có Giả P ( x ) x2 − 5x − A B C = = + + , ∀x sử Q ( x ) x + x − 2x x x −1 x + 2 ⇔ x − x − = A ( x − 1) ( x + ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − 1) , ∀x ( *) Cách ( Phương pháp hệ số bất định) ( *) ⇔ x − x − = ( A + B + C ) x + ( A + B − C ) x − A, ∀x A = / 2, B = −2, C = / I =∫ 5 dx − ∫ dx + ∫ dx = ln x − ln x − + ln x + + c 2x ( x + 2) 2 ( x − 1) Do 1.4.3 Nguyên hàm theo phần a Công thức tính nguyên hàm phần u = u ( x) ;v = v ( x) Giả sử có đạo hàm liên tục miền D, ta có: d ( uv ) = udv + vdu ⇔ ∫ d ( uv ) = ∫ udv + ∫ vdu ⇔ uv = ∫ udv + ∫ vdu ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu b Các dạng nguyên hàm phần cách chọn u, dv Nguyên hàm u dv ∫ P ( x ) sin ( ax + b ) dx P ( x) sin ( ax + b ) dx ∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx P ( x) cos ( ax + b ) dx P ( x) m ax +b dx log m ( ax + b ) P ( x ) dx sin ( log a x ) dx sin ( log a x ) x k dx ∫ x cos ( log x ) dx cos ( log a x ) x k dx ∫ P ( x ) m ax + b dx ∫ P ( x ) log ( ax + b ) dx m ∫x k k a ax + b sin ( α x + β ) dx m ax +b sin ( α x + β ) dx ax + b cos ( α x + β ) dx m ax +b cos ( α x + β ) dx ∫m ∫m Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.1 ([3]) A2 = ∫ x3e5 x −1dx Tính A2 = ∫ x3e5 x −1dx = x d ( e5 x−1 ) =  x 3e5 x −1 − ∫ e5 x −1d ( x )  ∫ 5 Ta có 1  =  x 3e5 x −1 − 3∫ x 2e5 x −1dx  =  x 3e5 x −1 − ∫ x d ( e x −1 )  5  = x −1 x −1 x e − x e + ∫ xe5 x −1dx = 25x3e5 x −1 − 25x e5 x −1 + xd ( e5 x −1 ) 25 125 ∫ 6 x −1 = x3e5 x −1 − x e5 x −1 + xe5 x −1 − e +c 25 125 625 Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n ta phải n lần sử dụng tích phân phần 1.4.4 Nguyên hàm hàm số có thức a Nguyên hàm hàm vô tỉ phương pháp lượng giác hóa Các dạng nguyên hàm phép đổi biến số thông thường Dạng nguyên hàm Đổi biến số Điều kiện biến số ∫ f ( x, ∫ f ( x, ∫ f ( x, ) x = a.sin t ) x= ) x = a.tan t a − x dx x − a dx a + x dx a cos t  −π π  t∈ ,  2   π   3π  t ∈ 0, ÷∪ π , ÷  2    π t ∈ 0, ÷  2 ∫ x = a.cos 2t  π t ∈  0, ÷  2 x = a + ( b − a ) sin t  π t ∈ 0,   2  a+x  f  x, ÷dx a−x ÷   ∫ f ( x, ( x − a ) ( b − x ) ) dx 1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác a Các dạng nguyên hàm hàm lượng giác nn Dạng ; A = ( scosx inx ) dx 21 ∫ B = ∫ sin m x.cos n x.dx ( m, n ∈ N ) Dạng C1 = ∫ tan n x.dx ; C2 = ∫ cot n x.dx D1 = ∫ tan m x dx ; cos n x D2 = ∫ cot m x dx sin n x ( n∈ N ) Dạng ( m, n ∈ N ) Dạng Dạng Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.5.1 ([3]) Tính I = cos xdx ∫  + cos x  I = ∫ cos xdx = ∫  ÷ dx = ∫ ( + cos x + cos 6x ) dx   1  =  x + sin x + sin12 x ÷+ c 8 12  b Các dạng nguyên hàm lượng giác sử dụng phép biến đổi nâng cao Dạng Nguyên hàm liên kết 10  n ( n + 1) ( 2n + 1)  1  = lim  ( 12 + 22 + + n2 )  = lim  ÷= = n →∞ n n →∞ n     Tuy nhiên f x( x ) toán ta dễ k dàng phân hoạch chọn Vì ta sử dụng cách tìm nguyên hàm sau dùng công thức Newton – Leipnitz Ví dụ cần tính I = x dx Ta có ∫ 1 x3 13 03 I = ∫ x dx = = − = 3 3 Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh nhiều Thể ứng dụng ưu việt công thức việc tính tích phân xác định Như để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm hàm số (Chương 1) sau dùng công thức Newton – Leipnitz để tính kết tích phân cần tìm 2.5.2 Tính diện tích hình phẳng a Diện tích hình y = f ( x) phẳng giới hạn đường cong Lý thuyết • Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong - Bà ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) i   x = a, x = b toán Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn b - S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a quát 13 Công thức tổng • Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tự cắt khép kín - Bài toán ( C1 ) : y = f ( x ) Tìm diện  ( C2 ) : y = g ( x ) tích hình phẳng S giới hạn + Bước x = a f ( x) = g ( x) ⇔  Giải x = b phương trình b + Bước S = f ( x ) − g ( x ) dx Sử a dụng công thức: • Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết cuối toán tính diện tích hình phẳng Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1 ([4]) Tính diện tích ( P ) : y = x − x − hình phẳng S  Ox : y = 0; x = −2, x = giới hạn ∫ S= −1 ∫ ( 2x −2 −1 − x − ) dx − ∫ ( x − x − ) dx + ∫ ( x − x − ) dx −1 92 2  2  2  =  x − x − x ÷ −  x − x − x ÷ +  x3 − x − x ÷ = 3  −2   −1  3 (đvdt) b Diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình tham số Lý thuyết • Giả sử đường ( C) x: =y ϕ= (ft )( x )   14  y = ψ ( t ) cong có phương trình tham số β bαdx ,t;fβ)b(dtx= a =ϕ yϕ( =t' )(ψ t )ϕ ( t ) S =S ∫=ψ∫ ( ft )(ϕx )' (dx t ) dt Trong công thức tính diện tích ta α a thay , thay , cận a, b thay nghiệm Khi đó: T • Nếu  x = ϕ ( t )( C ) S =  ϕ ( t ) ψ ' ( t () 0−ψ t ) Tϕ )' ( t ) dt ≤ t( ≤ đường 0 y = ψ ( t )  cong có phương trình tham số l đường kín trơn phần, chạy ngược chiều kim đồng hồ giới hạn diện tích S phía trái Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.1 ([5]) Tính diện tích hình x2 y E : ( ) + =1 elip giới hạn ∫ a b 15  x = a cos t ;0 ≤ t ≤ 2π  y = b sin t ( E) :  y Phương trình tham số Xét phần diện ( Oxy ( E ) ) tích nằm góc phần tư thứ mặt phẳng -3 0 = a cos t t = π / ⇒   a = a cos t t = -2 -1 Đổi cận ta có: S1 π /2 π /2 π /2 0 S = S1 = ∫ b sin t ( −a sin t ) dt = 4ab ∫ sin tdt = 4ab ∫ − cos 2t dt = π ab (đvdt) c Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong hệ tọa độ cực • Công thức tính diện tích hình phẳng hệ tọa độ Cực β ,ϕ = β Trong hệ tọa độ ϕ r=1=α f (ϕ) S= r ( ϕ ) dϕ Cực, diện tích S 2α hình giới hạn tia: đường Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 ([4]) Tính diện tích S hình giới hạn đường cong Cardioide ∫ 16 y r = a ( + cos ϕ ) π π 11 +2 cos 2ϕ  3a π =3aSa=1 2+1S+ = cos = cos ϕ ϕ + + r cos ϕ ϕ d d=÷ ϕdϕ ) = a ∫ ∫ϕ+(2sin ϕ + ∫sin (2ϕ) ÷ϕ 240 0  0 20  π π 2 (đvdt) S1 2.5.3 Tính thể tích khối tròn xoay a Lý thuyết • sinh diện tích S Vx quay xung quanh Ox ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) b S : 2 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) ; ∆1 , ∆ : x = Vax, x= =π b∫  f ( x ) − g ( x )  dx a • Công thức: sinh diện tích S Vy quay xung quanh Oy ( C ) : y = f ( x ) ; Oy : x = S : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y ) ∆1 , ∆ : y = f ( a ) , y = f ( b ) + Bước 17 f ( b) + Bước • sinh f ( x, y ) =V0y f ( a) diện tích đường cong bậc quay xung quanh Oy + Bước Tách y ) f=1 (0y ) ( Cf 1() xx, = đường cong bậc  ( C2 ) x = f ( y ) hai thành:, giả sử ≤ f ( y ) ≤ f1 ( y ) + Bước x = a; x = b Xác định cận f ( b) Khi 2 Vy = π  f1 ( y )  −  f ( y )  dy f ( a) • Chú ý Cần phải điền “đvtt” vào kết cuối toán tính thể tích khối tròn xoay b Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.5.1 ([2]) Tính V, sinh ( C ) : y = xe x  quay quanh Ox Vy = π ∫ ∫  f −1 ( y )  dy ) ( S : Ox; y = x =  18 y ( C ) ∩ Ox : xe x = ⇔ x = Xét π Vx = π ∫  xe x  dx =π ∫ x e x dx = ∫ x d ( e x ) 20 0 1 1 = π 2x π xe − ∫ e2 x d ( x ) 20 S 1 π e2 π π e2 π π e2 π x π 2x 2x 2x = − ∫ xe dx = − ∫ xd ( e ) = − xe + ∫ e dx 20 20 2 20 π e π e2 π e2 x π = − + = ( e − 1) 2 2 (đv tt) 2.5.4 Tính độ dài đường cong phẳng a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng • Độ dài đường y = f ( x) cong có phương trình hệ tọa độ Đềcác Độ dài L y = f ( x) , a ≤ x ≤ b đường cong trơn (khả vi liên tục) 19 b L = ∫ +  f ' ( x )  dx • a Độ dài đường cong có phương trình tham số hệ tọa độ Đềcác x = xβ ( t ) , ya =≤ yx2(≤t )b, α ≤ x ≤2 β L = ∫  x ' ( t )  +  y ' ( t )  dt Nếu đường cong có phương trình α tham số ứng với độ dài đường cong là: • Độ dài đường cong phẳng hệ tọa độ Cực Nếu đường cong có phương trình hệ tọa độ cực r = r ( ϕ ) , y = y ( t ) ,α ≤ ϕ ≤ β β L = ∫  r ( ϕ )  +  r ' ( ϕ )  dϕ α độ dài đường cong L Dạng Độ dài đường cong hệ tọa độ Cực Ví dụ 2.6.3 ([4]) Tính độ dài đường tròn có bán kính R Phương trình x = R, ≤ ϕ ≤ 2π đường tròn hệ tọa độ cực 2π (đvđd) 2π L = Rd ϕ = R ϕ = π R CHƯƠNG CÁC 0 BÀI TOÁN KHÁC 3.1 Tìm giới hạn tích phân 3.1.1 Đặt vấn đề S n = u1 + lim u2 +Sun3 + + un Xét toán: Cho n →+∞ Tìm n b−a b − a  Bước Biến đổi  Sn = f  a + i ÷ n i =1  n  tổng giới hạn biểu thức Bước Xây dựng hàm khả [fa(; b x ]) tích đoạn b b Bước Tính tích phân ∫ ∑ lim S∫ nf =( x∫ ) fdx( x ) dx n →+∞ a 20a suy 3.1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.1.1 ([5]) Cho Tính lim2Sn n n+ →+∞ + + 2 Giải n n n n 11 n n i S n = + + + =  + + + ÷ = ∑ n n n nn n n  n i =1 n Sn = Biến đổi f ([ 0;1 x ) =] x Xét hàm số liên tục nên khả tích 1 n 1 n i  lim Sn = lim  ∑ ÷ = lim  ∑ n →+∞ x →∞ n  i =1 n  x →∞  n i =1 1 x2  i  f  ÷÷ = ∫ xdx = = 2  n  3.2 Bất đẳng thức tích phân 3.2.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân a Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.2.1 ([4]) π π /2 dx π < ∫ < 16 + 3cos x 10 Chứng rằng: ( x x) =≤0;1 π∀x ∈ 30; π  ≤ fcos  +2 3cos   x2 minh Giải Xét liên tục Ta có 1  π  π ⇒ ≤ cos x ≤ ∀x ∈ 0;  ⇒ ≤ ≤ , ∀x ∈ 0;    + 3cos x  2 ⇒ π /2 π /2 π π /2 dx π = ∫ dx < ∫ < dx = ∫ 16 + 3cos x 10 t đẳng thức cổ điển tích phân ứng dụng 21 3.2.2 B ấ a Một số bất đẳng thức cổ điển tích phân • Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz Cho hai hàm số liên tục [ a f ;, bg] Khi ta có b b  b 2  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ ≤ ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx a a  a • Bất đẳng thức Young • 1p, q1> Cho thỏa mãn Chứng + = minh rằng: p q a p bq ab ≤ + ∀ a, b > p q Bất đẳng thức tích phân Holder 1p[ ,afq;,1bg>] Cho với hàm liên + = tục p q Khi ta có: b ∫ a 1/ p 1/q b  b  p q f ( x ) g ( x ) dx ≤  ∫ f ( x ) dx ÷  ∫ g ( x ) dx ÷ a  a  Dấu xảy ⇔ ∃A, B ∈ R, A2 + B > : A f ( x ) p = B g ( x) • Bất đẳng thức tích phân Minkôwski Cho hàm liên tục [ pa f ;,>bg1] Khi ta có: 1/ p 1/ p q ∀x ∈ [ a; b ] 1/p b  b  b  p p p f x + g x dx ≤ f x dx + ( ) ( ) ( ) ∫ ÷ ∫ ÷  ∫ g ( x ) dx ÷ a  a  a  • Bất đẳng thức tích phân Chebyshev Cho hai hàm số liên tục f ( [xa) ;,bg] ( x ) đơn điệu 22 f ( x) , g ( x) Nếu hai hàm đồng biến hai hàm nghịch biến ta có bất đẳng thức: b  b  b  f x g x dx ≥ f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) ( )  ÷ ÷ ∫ ∫ b − a ∫a b−a a  b − a a  f ( x) , g ( x) Nếu có tính đơn điệu ngược chiều tức hàm đồng biến hàm nghịch biến ta có bất đẳng thức: b  b  b  f x g x dx ≤ f x dx g ( x ) dx ÷ ( ) ( ) ( )  ÷ ∫ ∫ ∫ b−a a b−a a  b − a a  3.2.3 Định lý giá trị trung bình a Tóm tắt lý thuyết • Định nghĩa µ= • Mệnh đề 1[ a;f b ] f ( x ) dx b − a ∫a b m ≤b f ( xµ) ∈≤ m ;f b;,]M ∀x] ∈ [ a; b ] [ a[ M f x dx = µ ( b − a) ( ) ∫ a Số thực gọi giá trị trung bình hàm đoạn Nếu hàm khả tích đoạn tồn điểm cho 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3.2.13 ([4]) Chứng 2a ln ( + a ) > , ∀a > rằng: a+2 ( C) : y = 23 x minh Giải Trong hệ Oxy, xét đồ thị hàm số x0 = Lấy Gọi điểm 1+ a ∈ [ 1; a ]  1 A ( 1;0 ) ; B ( + a;0 ) ; H ( x0 ;0 ) ; M  x0 ; ÷  x0  x = 1∀ −1 2+xda>), 0x = 1 ⇒ y '' = 3( C > ∀x > ⇒ y = x x x Ta có hàm lõm nên tiếp tuyến M nằm đồ thị Giả sử tiếp tuyến cắt đường thẳng điểm E, F cắt đồ thị điểm P, Q Khi y'= y ln ( + a ) = 1+ a ∫ dx = S ( ABPQ ) > S ( ABEF ) x = AB.MH = a 2a = ( 1+ a) / a + ln ( + a ) > Q 2a , ∀a > a+2 F Vậy (đpcm) M O A H P E B 3.2.5 Tìm cực trị phương pháp tích phân 3.3 Tính tổng 3.3.1 Lý thuyết 24 a Công thức tính tổng cấp số cộng, cấp số nhân b Công thức nhị thức Newton ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n − 2b + + Cnk a n − k b k + + Cnnb n n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 ( 1+ x) = Cn0 + Cn1 x + + Cnk x k + + Cnn x n ( 1) Đặc biệt n k n k k n n Một số ví ( − x ) = Cn − Cn x + + ( −1) Cn x + + ( −1) Cn x 3.3.2 n dụ minh họa Ví dụ ([5]) Tính tổng sau: Giải ( −1) C n 1 S1 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + n 2n + n ∫ x ( 1− x ) n Xét tích phân ∫ x ( 1− x ) n n +1 (1− x ) dx = − n +1 Ta có = 2n + Mặt khác ∫ x ( 1− x ) n ( ) dx = ∫ Cn0 x − Cn1 x + + ( −1) Cnn x n +1 dx n ( −n1) x 2Cn+ 2n n   x 21 01 x14 1x = C − C + C + + =  Cn − Cn n + nCn +n + ( −1) n C 66 2n +22n + n ÷ 22 44  0 n 25 dx ( −1) C n = 1 1 S1 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + n 2n + 2n + n Vậy KẾT LUẬN Nội dung luận văn “ Tích phân ứng dụng” bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định Luận văn đạt số kết quả: Luận văn phân dạng trình bày phương pháp dạng tính nguyên hàm làm sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định công thức Newton – Leipnitz Luận văn đưa số ứng dụng tích phân vào toán thực tế giải số dạng toán phổ thông tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 ban ban nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [2] Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [3] Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Trần Phương (2006), Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính Tích phân, Nhà xuất Tri Thức [5] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chuyên toán Giải tích 12, nhà xuất giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh 26 (2009), Toán học cao cấp (tập hai: Phép tính giải tích biến số), Nhà xuất Giáo dục 27