HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮCTUYẾN TÍNH CHO TRƯỜNG HỢP

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TĂNG THỊ ĐỨC HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2016 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến đổi tắc tuyến tính 1.2 Hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) 1.3 Một số tính chất quan trọng Hàm riêng biến đổi tắc tuyến tính OF (a,b,c,d) cho trường hợp |a + d| 2.1 Hàm riêng LCT cho trường hợp |a + d| = 2.1.1 Trường hợp a + d = b = 2.1.2 Trường hợp a + d = −2 b = 10 2.1.3 Hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} 11 2.1.4 Trường hợp a + d = b = 15 2.1.5 2.2 Trường hợp a + d = −2 b = 17 Hàm riêng LCT |a + d| > 19 2.2.1 Hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ} 19 2.2.2 20 2.2.3 Trường hợp a + d < −2 24 Ứng dụng toán tạo ảnh 27 3.1 Quan hệ biến đổi LCT hệ quang học 27 3.2 Giải thích toán tạo ảnh 29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Toán học giải tích chuyên ngành nghiên cứu quan trọng hàng đầu toán học đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực người quan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier số có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, hình học nhiều lĩnh khác Ngày nhà khoa học cố gắng khám phá kết có tầm quan trọng nhằm nâng cao ứng dụng Trong luận văn tìm hiểu trường hợp đặc biệt biến đổi tích phân Fourier ứng dụng quang học Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu Chương mở đầu kiến thức chuẩn bị, nhắc lại biến đổi tắc tuyến tính trường hợp biến đổi đặc biệt biến đổi này, hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ, số kết đẫ xây dựng hàm riêng LCT Cuối ta trình bày hai tính chất quan trọng dùng suốt luận văn Chương hai, phần đầu ta trình bày hàm riêng LCT trường hợp |a + d| = Trong trường hợp ta trình bày hàm riêng LCT a + d = b = 0; a + d = −2 b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = b = 0; a + d = −2 b = Phần hai, ta trình bày hàm riêng LCT trường hợp |a + d| > Trong trường hợp ta trình bày hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ}; a + d > 2; a + d < −2 Trong chương cuối ta trình bày quan hệ LCT với hệ quang học giải toán tạo ảnh Các kết luận văn dựa báo "Eigenfuntions of linear canonical transform" Soo-Chang Pie Jian-Jiun Ding Trong trình thực luận văn nhận bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội giúp đỡ có thêm nhiều kiến thức để hoàn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Bên cạnh có giúp đỡ nhiệt tình thầy cô phòng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ hoàn thành thủ tục bảo vệ, thầy cô bạn seminar Toán Giải Tích có góp ý hữu ích để hoàn thành luận văn tốt Cuối cùng, xin gửi lời biêt ơn tới gia đình, người thân động viên, ủng hộ suốt thời gian học tập hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tăng Thị Đức Chương Kiến thức chuẩn bị Biến đổi tắc tuyến tính (LCT)[1]-[4] biến đổi tích phân với bốn tham số {a, b, c, d} Biến đổi LCT giới thiệu lần vào năm 1970 [5], [6] Một số phép toán như, biến đổi Fourier (Fourier transform-FT), biến đổi Fourier phân thứ (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], biến đổi Fresnel [10] phép toán co giãn trường hợp đặc biệt LCT Trong số báo, phép biến đổi LCT gọi phép biến đổi Fourier afin (affine Fourier transform-AFT) [2],[11], biến đổi Fresnel tổng quát [12], công thức Collins [6], biến đổi ABCD [3] (ABCD transform), biến đổi Fourier biến đổi Fresnel Phép biến đổi LCT ứng dụng phân tích hệ rada, phân tích hệ môi trường Grin, thiết kế máy lọc nhiều ứng dụng khác Ta xét số trường hợp đặc biệt LCT Ví dụ, hàm riêng FRFT hàm Hermite nhân thêm với exp(−t2 /2) Hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} (trường hợp LCT trở thành biến đổi Fresnel) hàm tuần hoàn (hàm tuần hoàn gọi hiệu ứng Talbot[16],[17]) Trong trường hợp {a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} (trong trường hợp LCT trở thành phép toán co giãn) hàm riêng hàm Frac [18],[19] (fractal) Những hàm bất biến với phép toán co giãn Trong luận văn ta tổng quát kết xây đựng suy hàm riêng LCT cho tất trường hợp Sau đó, hàm riêng LCT sử dụng để giải thích tượng tạo ảnh quang học Ta sử dụng ký hiệu OF (a,b,c,d) OF(a,b,c,d) cho biến đổi tắc tuyến tính Phần đầu luận văn trình bày lại cách ngắn gọn kiến thức biến đổi tắc tuyến tính, hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ số kết xây dựng hàm riêng LCT, tính chất suy hàm riêng LCT 1.1 Biến đổi tắc tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Biến đổi tắc tuyến tính định nghĩa sau (a,b,c,d) OF (f (t)) (i/2)(d/b)u2 e i2πb = ∞ e−i(u/b)t e(i/2)(a/b)t f (t)dt −∞ (1.1) b = 0, (a,b,c,d) OF (f (t)) = √ (i/2)cdu2 d.e f (d.u) b = 0, LCT thỏa mãn tính chất cộng tính (a ,b1 ,c1 ,d1 ) (a ,b2 ,c2 ,d2 ) OF OF (a ,b3 ,c3 ,d3 ) (f (t)) = OF (f (t)), a3 b a b a b = 2 1 c3 d3 c2 d c1 d1 (1.2) a) Biến đổi Fourier (FT) (0,1,−1.0) (f (t)) OF = (i/2)(0/1)u2 e i2π ∞ e−i.u.t e(i/2)(0/−1)t g(t)dt −∞ b) Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) Biến đổi tắc tuyến tính (LCT) biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} [7]-[9] OFα (f (t)) = − i cot α (i/2) cot α.u2 e 2π ∞ e−i csc α.ut e(i/2) cot αt f (t)dt (1.3) × −∞ Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính OFα OFβ (f (t)) = OFα+β (f (t)) Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi OFα (f (t)) = √ (cos α,sin α,− sin α,cos α) eiα OF (f (t)) (1.4) c) Biến đổi Fresnel Biến đổi Fresnel phép toán mô tả việc truyền ánh sáng đơn sắc qua môi trường suốt Biến đổi Fresnel định nghĩa sau z OFresnel (f (x, y)) = ∞ ei2πz/λ iλz ∞ ei(π/λz)((u−x) −∞ +(v−y)2 ) f (x, y)dxdy, (1.5) −∞ Biến đổi tắc tuyến tắc tuyến tính LCT biến đổi Fresnel 1-D {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} (1,zλ/2π,0,1) OF (g(t)) (i/2)(2π/zλ)u2 e izλ = ei2πz/λ √ = iλz −∞ ei(π/λz) eu e−i(2πu/zλ)t e(iπ/zλ)t g(t)dt ∞ ei2πz/λ √ iλz z OFresnel(t) (g(t)) = ∞ −2ut+t2 −∞ ∞ g(t)dt ei(π/λz).(u−t) g(t)dt (1.6) −∞ Biến đổi Fresnel 1-D với hiệu số pha không đổi (1,zλ/2π,0,1) z OFresnel(t) (f (x)) = eiπz/λ OF (f (t)) (1.7) d) Phép toán co giãn Biến đổi tắc tuyến tính LCT phép toán co giãn {a, b, c, d} = {σ −1 , 0, 0, σ} (σ −1 ,0,0,σ) OF (g(t)) = = √ √ σ.e(i/2).0.σ.u g(σ.u) σ.g(σ.u) (σ −1 ,0,0,σ) σ OSc (g(t)) = 1.2 sgn(σ).OF (g(t)) Hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) Trong [7], Namias biến đổi Fourier phân thứ có hàm riêng φm (t) = −t √ e m m! π /2 Hm (t) m ∈ [0, 1, 2, 3, ], (1.8) Hm (t) hàm Hermite cấp m Hm (t) = (−1)m et dm −t2 e , dtm giá trị riêng tương ứng φm (t) exp(−imα) OFα (φm (t)) = e−i.m.α φm (t) (1.9) Hàm riêng FRFT có tính chất trực giao ∞ φm (t).φn (t)dt = δm,n −∞ Phần cuối chương trình bày lại tính chất quan trọng sử dụng luận văn 1.3 Một số tính chất quan trọng Tính chất 1.3.1 Giả sử ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1, a b c d −1 = a1 b c1 d a2 b c2 d2 a1 b1 c1 d = a1 b c1 d a2 b c2 d2 d1 −b1 −c1 a1 (1.10) Khi a + d = a2 + d Tính chất (1.4.2) tính chất quan trọng, đưa cách xây dựng hàm riêng cho phép biến đổi LCT Cụ thể, thay xây dựng hàm riêng cho với tham số {a, b, c, d} ta cần xây dựng hàm riêng cho LCT với tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } Trong tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } lựa chọn cho hàm riêng LCT tương ứng dễ dàng xây dựng Xuyên suốt phần trình bày luận văn, tính chất sử dụng để xây dựng cho hàm riêng LCT Chương luận văn vào trình bày chi tiết việc xây dựng hàm riêng cho LCT trường hợp cụ thể Chương Hàm riêng biến đổi tắc tuyến tính OF (a,b,c,d) cho trường hợp |a + d| 2.1 2.1.1 Hàm riêng LCT cho trường hợp |a + d| = Trường hợp a + d = b = Từ ad − bc = 1, trường hợp a + d = b = 0, tham số {a, b, c, d} LCT có dạng a b = c d c Trong trường hợp LCT trở thành phép nhân (1,0,c,1) OF (f (t)) = ei.c.u /2 f (u) Hàm riêng phép toán nhân có dạng √ ϕ(t) = ∞ E −1 An δ(t − tn ), n=−∞ ∞ |An |2 E= n=−∞ Nếu sn thỏa mãn điều kiện 2 2 · · · = e(i/2)c.s−1 = e(i/2)c.s0 = e(i/2)c.s1 = e(i/2)c.s2 = · · · , (1,0,c,1) OF (ϕ(t)) = ei.c.s0 /2 ϕ(u) Trong trường hợp hàm riêng LCT a + d = −2 b = đơn giản phép nhân hàm tuần hoàn đối xứng/ hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng 2.2 Hàm riêng LCT |a + d| > Như nhiều trường hợp khác ta sử dụng Tính chất (1.4.1) (1.4.2) để tìm hàm riêng LCT |a + d| > Nếu ta muốn phân tích LCT với tham số {a, b, c, d} công thức (1.14), sau từ a2 + d2 = a + d trường hợp ràng buộc |a2 + d2 | > phải thỏa mãn Áp dụng Tính chất (1.4.2) hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d} biết Vì vậy, công thức (1.14) ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } = {σ −1 , 0, 0, σ} (σ > 0) {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−σ −1 , 0, 0, −σ} a + d > 2, (σ > 0) a + d < Trước thảo luận hàm riêng LCT |a + d| > ta thảo luận hàm riêng LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} {−σ −1 , 0, 0, −σ} trước 2.2.1 Hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ} Biến đổi LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} phép toán co giãn LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} tổ hợp phép toán co giãn phép toán nghịch đảo (σ −1 ,0,0,σ) OF (−σ −1 ,0,0,−σ) OF (f (t)) = σ 1/2 f (σ.u), (f (t)) = (−σ)1/2 f (−σ.u) (σ −1 ,0,0,σ) = (−1)1/2 OF (f (−t)) Gần đây, với phát triển lý thuyết phân số, nhiều hàm với tính chất bất biến co giãn đưới tìm thấy f (σ.t) = λ.f (t) (2.31) Những hàm bất biến co giãn gọi hàm đồng dạng hàm Frac (fractal) Những hàm thỏa mãn tính chất bất biến co giãn công thức (2.31) hàm riêng LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} 19 Hàm bất biến co giãn đơn giản hàm hằng, hàm bậc thang, hàm xung, hàm lũy thừa t √ σ.C; √ (σ −1 ,0,0,σ) s(t) : OF (s(t)) = σ.s(u); (σ −1 ,0,0,σ) (a) số (b) (s(t) = (c) OF t 0, s(t) = (σ −1 ,0,0,σ) δ(t) : OF (σ tn : OF (d) −1 = (2.33) t < 0); √ σ −1 δ(u); (2.34) (tn ) = σ (1/2)+n un (2.35) (δ(t)) = ,0,0,σ) (2.32) Có nhiều hàm bất biến co giãn khác hàm riêng LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} phát triển từ lý thuyết phân số Những hàm hàm riêng LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} Ta thảo luận hàm riêng LCT với tham số {−σ , 0, 0, −σ} Hàm riêng thỏa mãn hai ràng buộc sau hàm riêng LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} (a) f (σ.t) = λ.f (t), (b) f (t) = ±f (−t) (2.36) Từ công thức (2.36) ta kết luận hàm riêng LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn phản đối xứng) Ví dụ, hàm hằng, hàm delta hàm lũy thừa tn công thức (2.32), (2.34), (2.35) tất thỏa mãn hai ràng buộc Những hàm hàm riêng LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} giá trị riêng tương ứng thay đổi √ √ √ −σ, −σ −1 , (−σ)n −σ Mặc dù, có nhiều hàm không thỏa mãn hai ràng buộc hàm riêng LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} hàm phức tạp ta không xét chúng Với kết Tính chất (1.4.2) ta tìm hàm riêng LCT cho trường hợp a + d > a + d < −2 2.2.2 Trong trường hợp a+d > ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } {σ −1 , 0, 0, σ} công thức (1.14) Khi đó, a + d = a2 + d2 phải thỏa mãn a+d = σ+ σ − σ(a + d) + = 20 σ Nghiệm phương trình σ= (a + d)2 − a+d± (2.37) Khi đó, sau thay {a2 , b2 , c2 , d2 } = {σ −1 , 0, 0, σ} công thức (1.13) ta a b c d = a1 b c1 d = a1 d1 σ c1 d1 σ σ −1 0 σ d1 −b1 −c1 a1 − b1 c1 σ − a1σb1 + a1 b1 σ − c1 d1 σ − b1σc1 + a1 d1 σ (2.38) Nghiệm chung phương trình a1 tùy ý khác 0, b1 = c1 = d1 = s.b a1 , (a + d)2 − −2a1 s.c (a + d)2 − s(d − a) + s.(d − a) 2a1 (a + d)2 − , +1 , (2.39) s = sgn(σ − σ −1 ) Kết hợp với Tính chất (1.4.2) ta kết luận a + d > f (t) hàm bất biến co giãn với tỷ số √ σ với giá tri riêng λ (2.40) σ.f (σ.t) = λ.f (t), Khi (a ,b1 ,c1 ,d1 ) φF (t) = OF (2.41) (f (t)), hàm riêng LCT, σ , {a1 , b1 , c1 , d1 } tính từ công thức (2.37) (2.39) với giá trị riêng tương ứng λ Ta ý giá trị {a1 , b1 , c1 , d1 } công thức (2.39),   s.b √ a1 b  = c1 d (a+d)2 −4 −2s.c s(d − a) + (a + d)2 − √s.(d−a) (a+d)2 −4  a1  a−1 , +1 a a1 b1 1 η = −1 , c1 d τ 1 a1 21 −2s.c τ = (a + d)2 − s(d − a) + s.b η = (a + d)2 − , Vì vậy, hàm riêng LCT a + d > công thức (2.41) viết lại (a ,b1 ,c1 ,d1 ) φF (t) = OF (1,0,τ,1) = OF (f (t)) (1,η,0,1) −1 a−1 f (a1 t) OF ∞ e(i/2).τ.t φF (t) = √ i2πηa1 −∞ e(i/2η).(t−x) f (a−1 x)dx Sau đó, ta chọn g(t) = f (a−1 t) Từ công thức (2.40) ta có √ σ.g(σ.t) = λ.g(t) Vì g(t) = f (a−1 ) hàm bất biến co giãn với tỷ số σ nên tham số a1 không ảnh hưởng Vì , kết công thức (2.37)-(2.41) đơn giản sau Trong trường hợp a + d > 2, g(t) hàm bất biến co giãn với tỷ số σ1 , với giá trị riêng λ √ σ.g(σ.t) = λ.g(t) σ = (τ,η,σ) φF (t) (a + d)2 − , a+d± =√ e(i/2).τ.t i2πη ∞ e(i/2η).(t−x) g(x).dx, (2.42) (2.43) −∞ τ= η= −2s.c s(d − a) + s.b (a + d)2 −4 , 22 (a + d)2 − , s = sgn(σ − σ −1 ), (2.44) hàm riêng LCT với giá trị riêng tương ứng λ Có nhiều cách chọn cho g(t) công thức (2.43) Ta chọn g(t) hàm phát triển từ lý thuyết phân số hàm công thức (2.32)-(2.35) hàm bất biến co giãn Thực tế, tất hàm bất biến co giãn với tỷ số σ1 Ví dụ, công thức (2.43) ta chọn g(t) hàm delta δ(t) (ta nhớ hàm delta hàm bất biến co giãn) Khi đó, công thức (2.43) trở thành (τ,η,σ) φF (t) = e 2π √ i/4b).(d−a± (a+d)2 −4 t2 Hàm hàm riêng LCT a + d > Từ công thức (2.43) ta kết luận hàm riêng LCT a + d > phép nhân hàm bất biến co giãn Điều b = Khi đó, từ công thức (2.24) (2.44) lim e(i/2η).(t−x) = η = 0, i2πη.δ(t − x), η→0 phép nhân công thức (2.43) giữ nguyên Trong trường hợp c = τ = phép nhân công thức (2.43) giữ nguyên Vì phép toán co giãn nên tất hàm riêng cho LCT trường hợp a + d > Ta ý trường hợp |a + d| = giá trị riêng LCT phần tử đơn vị trường hợp a + d > giá trị riêng LCT không phần tử đơn vị Ví dụ, công thức (2.43) ta chọn g(t) hàm hàm bước giá trị riêng λ = √ σ ta chọn g(t) tn giá trị riêng λ = σ n+(1/2) Từ tính chất bảo toàn lũy thừa LCT ∞ ∞ |f (t)|2 dt, |F(a,b,c,d) (u)| du = −∞ F(a,b,c,d) (u) = −∞ (a,b,c,d) OF (f (t)), (2.45) giá trị riêng phần tử đơn vị công thức (2.45) thỏa mãn trường hợp ∞ |f (t)|2 dt < ∞ (2.46) −∞ Tuy nhiên, nhiều hàm bất biến co giãn công thức (2.32), (2.33), (2.35) ràng buộc công thức (2.46) không thỏa mãn Do đó, hàm riêng 23 LCT trường hợp a + d > không thỏa mãn tính chất lũy thừa giá trị riêng tương ứng không phần tử đơn vị 2.2.3 Trường hợp a + d < −2 Trong trường hợp a + d < −2, công thức (1.14) ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } {−σ −1 , 0, 0, −σ} Khi đó, a + d = a2 + d2 a + d = −σ − ; σ σ + σ(a + d) + = Nghiệm phương trình σ= (a + d)2 − −a − d ± Thật vậy, sau thay {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−σ −1 , 0, 0, −σ} công thức (1.13) ta a b c d −σ −1 0 −σ = a1 b c1 d = − a1σd1 + b1 c1 σ − c1σd1 + c1 d1 σ a1 b1 σ b1 c σ d1 −b1 −c1 a1 − a1 b σ − a1 d σ Nghiệm tổng quát phương trình a1 tùy ý khác 0, b1 = c1 = d1 = s.b a1 , (a + d)2 − −2a1 s.c s(d − a) + 2a1 (a + d)2 − s.(d − a) (a + d)2 − , +1 , s = sgn(σ −1 − σ) Công thức giống công thức (2.39) trừ định nghĩa s thay đổi Từ trình tương tự công thức (2.42)-(2.44) ta tìm g(t) hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn phản đối xứng) √ −σ.g(−σ.t) = λ.g(t), σ = −a − d ± 24 (a + d)2 − (2.47) Khi (τ,η,σ) φG (t) =√ e(i/2).τ.t i2πη ∞ e(i/2η).(t−x) g(x).dx, (2.48) −∞ τ= η= −2s.c s(d − a) + s.b (a + d)2 −4 , (a + d)2 − , s = sgn(σ −1 − σ), (2.49) hàm riêng LCT a + d < −2 với giá trị riêng tương ứng λ Có nhiều cách chọn cho g(t) Ví dụ, hàm hằng, hàm delta, tn hàm bất đối xứng / phản phản đối xứng với tỷ số co giãn σ g(t) để suy hàm riêng LCT a + d < −2 Vì vậy, từ công thức (2.48), hàm riêng LCT a + d < −2 phép nhân hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn phản đối xứng) Như trường hợp a + d < −2, số trường hợp đặc biệt, hàm riêng LCT a + d < −2 đơn giản b = phép nhân công thức (2.48) giữ nguyên trường hợp c = phép nhân giữ nguyên công thức (2.48) Như trường hợp a + d > 2, tất giá trị giá trị riêng thay đổi trường hợp a + d < −2 Giá trị riêng LCT a + d < −2 không Như trường hợp |a + d| = 2, có vô số hàm riêng độc lập tuyến tính LCT |a + d| > 2.Cuối cùng, ta lập bảng tóm tắt hàm riêng giá trị riêng LCT cho trường hợp Trên ta tìm hiểu hàm riêng biến đổi tắc tuyến tính Vậy chúng có áp dụng ? Chúng ta tìm hiểu chương cuối 25 Hàm riêng Trường hợp A √ ∞ n=0 E −1 ∞ m=0 (a + d = 2, b = 0) ∞ n=0 (|An | i d−a 4b t i2πρ e ∞ n=0 2πS g(t) = ∞ m=0 Cn exp it exp(−ibh/2) g(x)dx, 4nπ|b|−1 + h + 4mπ|b|−1 + h ∞ n=0 (|Cn | i √1 e τ t i2πη √ τ= , + |Dn |2 ) ∞ −∞ i e 2η (t−x) g(x)dx, ±(−1)1/2 exp −ibh λ định nghĩa bên trái σ.g(σ.t) = λ.g(t), −2s.c √ ,η s(d−a)+ (a+d)2 −4 σ = a+d± Trường hợp F Giống trường hợp A, trừ Cn = Dn , Cn = −Dn với n (a + d > 2) ±(−1)1/2 exp(ich/2) h < 4π/|c|, Cn , Dm tùy ý, S= Trường hợp E + |Bn |2 ) (t−x) ∞ ei 2ρ −∞ Dm exp − it Trường hợp D (a + d = −2, b = 0) , Giống trường hợp A, trừ An = Bn , An = −Bn với n Trường hợp C (a + d = 2, b = 0) 4mπ|c|−1 + h exp(ich/2) h < 4π/|c|, An , Bm tùy ý, E= Trường hợp B (a + d = −2, b = 0) 4nπ|c|−1 + h + An δ t − Bm δ t − Giá trị riêng =√ s.b , (a+d)2 −4 (a + d)2 − /2, s = sgn(σ − σ −1 ) Giống trường hợp E, trừ g(t) = ±g(−t) thỏa mãn (a + d < −2) Bảng 2.1: Hàm riêng LCT cho trường hợp 26 λ Chương Ứng dụng toán tạo ảnh Từ nghiên cứu biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) có ba ứng dụng từ hàm riêng LCT: Bài toán tạo ảnh (self-imaging problem) ; Bài toán cộng hưởng; Phương pháp lựa chọn Tương tự, ta dùng hàm riêng LCT để suy các ứng dụng Trong chương này, ta thảo luận cách dùng hàm riêng LCT để giải thích toán tạo ảnh Trước thảo luận điều này, ta thảo luận cách dùng hàm riêng LCT để biểu diễn hệ quang học đưa tính chất quan trọng 3.1 Quan hệ biến đổi LCT hệ quang học Biến đổi LCT có mối quan hệ mật thiết với quang học nhiều phép toán lan truyền sóng biểu diễn trường hợp đặc biệt LCT [13]-[15] Ví dụ, từ công thức (1.7) ta sử dụng hàm riêng LCT với tham số zλ {a, b, c, d} {1, 2π , 0, 1} để mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường suốt với khoảng cách z Bên cạnh đó, ánh sáng đơn sắc với bước sóng λ xuyên qua thấu kính có tiêu cự tiêu cự f biểu diễn sau f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ e−i(π/f.λ)x g(x), n : chiết suất, ∆ : độ dày thấu kính 27 Công thức tương ứng với biến đổi LCT với tham số {1, 0, −2π f λ , 1} (1,0,−2π/f λ,1) f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ OF (g(x)) (3.1) Từ công thức (1.7), (3.1) tổ hợp thành phần quang học biểu diễn ma trận abcd [18] Ta sử dụng biến đổi LCT để biểu diễn hệ quang học có môi trường suốt nhiều thấu kính Ví dụ, hệ quang học gồm thấu kính với tiêu cự f qua môi trường suốt với khoảng cách z , zλ 2π −2π fλ 1 − fz = −2π fλ zλ 2π , zλ −2π ta dùng biến đổi LCT với tham số {1 − fz , 2π , f λ , 1} biểu diễn hệ quang học Ta phát biểu tính chất quan trọng Tính chất ứng dụng để thảo luận tượng tạo ảnh hệ quang học Tính chất 3.1.1 (Điều kiện để hai LCT tương đương hệ quang học [29]) Ta biết a1 a2 = b1 b2 , kết biến đổi LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } {a2 , b2 , c2 , d2 }, tương ứng thỏa mãn hệ thức sau √ |F(a2 ,b2 ,c2 ,d2 ) (u)| = | σ.F(a1 ,b1 ,c1 ,d1 ) (σ.u)|, σ = a1 b1 = a2 b2 Khi đó, ta có kết luận sau a) Nếu xét cường độ hai LCT tương đương a1 = a2 , b1 = b2 b) Nếu bỏ qua hiệu số co giãn hai LCT tương đương a1 : b = a2 : b , c1 : d1 = c2 : d2 c) Nếu xét cường độ bỏ qua hiệu số co giãn hai LCT tương đương a1 : b = a2 : b Vì hệ quang học, hiệu số pha hiệu số co giãn bỏ qua với Tính chất (3.1.1) ràng buộc hệ đưa vào để giải thích tượng tạo ảnh thoải mái Do đó, hầu hết hệ quang học có thay đổi hàm đưa vào với tượng tự tạo ảnh Trường hợp ta xét 28 3.2 Giải thích toán tạo ảnh Vì quan hệ LCT hệ quang học, ta dùng hàm riêng LCT để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học, tìm ảnh đầu vào có ảnh đầu tương ứng Nếu hệ quang học tổ hợp nhiều thấu kính môi trường suốt từ thảo luận mục (3.1) ta biểu diễn hệ quang học LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } Vì vậy, ánh sáng đưa vào có phân bố giống hàm riêng biến đổi LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } giải thích nguyên nhân tạo ảnh hệ quang học Tuy nhiên, hệ quang học, xét cường độ ánh sáng, giải thích tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn Vì vậy, hệ quang học biểu diễn LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } hàm riêng LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } giải thích tượng tạo ảnh Từ Tính chất 3.1.1 tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } thỏa mãn a1 : b1 = a2 : b2 giải thích tượng tạo ảnh Vì vậy, thảo luận tượng tạo ảnh hệ quang học ta dùng thuật toán sau Tìm tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } LCT biểu diễn hệ quang học Nêú xét hiệu số co giãn ta dùng thuật toán sau i) Chọn a = a1 , b = b1 ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b Do đó, tất tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a = a1 , b = b1 tìm thấy Hàm riêng LCT với tất tham số {a, b, c, d, } tìm ta giải thích tượng tạo ảnh Nếu bỏ qua hiệu số co giãn ta sử dụng thuật toán sau i) Chọn a = a1 σ ,b = b1 σ ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b tìm tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a = a1 σ ,b = b1 σ iii) d ∈ (−∞, +∞) làm lại i) ii) • Định nghĩa biến đổi tắc tuyến tính, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel, tính chất biến đổi tắc 29 tuyến tính • Ta tìm hàm riêng giá trị riêng biến đổi LCT trường hợp |a + d| • sở kết thu hàm riêng biến đổi LCT ta ứng dụng vào giải thích tượng tạo ảnh quang học 30 Tài liệu tham khảo [1] K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9 [2] S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994 [3] L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996 [4] S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transformation,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995 [5] M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 17721783, Aug 1971 [6] S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970 [7] V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980 [8] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov 1994 [9] H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky, The fractional Fourier transform with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000 [10] J W Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGraw-Hill, 1988 31 [11] S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and self-imaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76 [12] D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996 [13] M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to firstorder optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979 [14] M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator representation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356364, 1982 [15] M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989 [16] J T Winthrop and C R Worthington, Theory of Fresenel images Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373-381, 1965 [17] K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: NorthHolland, 1989, pt 1, vol 27 [18] W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published [19] G W Wornell, Signal processing with Fractals, Upper Saddler River, NJ: Prentice-Hall, 1996 [20] R N Bracewell, The Fourier integal and its applications, 3rd ed Bonston, MA: McGraw-Hill, 2000 [21] T Alieva and A M Barbe, Self-fractional Fourier funtions and selection of modes, J Phys A: Math Gen, vol 30, pp 211-215,1997 [22] —– Self-imaging in fractional Fourier transform systems, Opt Commun., vol 152, pp 11-15, June 1998 32 [23] S G Lipson and H Lipson, Optical physics, 2nd ed Cambridge, U K Cambridge Univ, Press, 1981, pp 190-192 [24] S J Leon, Linear algebra with applications, 4th ed Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994 [25] T Alieva and M J Bastiassns, Powers of transfer matrices determined by means of eigenfuntions, J Opt Soc Amer A, vol 16, no 10, pp 2413-2418, Oct, 1999 [26] H Hamam and J L de Bougrenet de la Tocnaye, Programmable joint fractional Talbot computer-generated holograms, J Opt Soc Amer., vol 12, no 2, pp 314-324, Feb 1995 [27] A W Lohmann, An arry illuminator based on the Talbot effect, Optik, vol 79, pp 41-45, 1998 [28] J Leger and G J Swanson, Efficient arry illuminator using binaryoptics phase plates as fractional Talbot planes, Opt Lett., vol 15, pp 288-290, 1990 [29] T Aliva and F Agullo-Lopez, Imaging in first-order optical systems, J Opt Soc, Amer A, vol 13, no 12, pp 2375-2380, Dec 1996 33 [...]... ,b = b1 σ iii) d ∈ (−∞, +∞) và làm lại i) và ii) • Định nghĩa biến đổi chính tắc tuyến tính, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel, tính chất của biến đổi chính tắc 29 tuyến tính • Ta tìm được các hàm riêng và giá trị riêng của biến đổi LCT trong trường hợp |a + d| 2 • cơ sở các kết quả thu được hàm riêng của biến đổi LCT ta ứng dụng vào giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang... d < −2 không bằng 1 Như trong trường hợp |a + d| = 2, cũng có vô số hàm riêng độc lập tuyến tính của LCT khi |a + d| > 2.Cuối cùng, ta lập bảng tóm tắt của hàm riêng và giá trị riêng của LCT cho các trường hợp Trên đây ta đã tìm hiểu hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính Vậy chúng có áp dụng ra sao ? Chúng ta sẽ đi tìm hiểu trong chương cuối 25 Hàm riêng Trường hợp A √ ∞ n=0 E −1 ∞ m=0 (a +... triển của lý thuyết phân số, nhiều hàm với tính chất bất biến co giãn như đưới đây đã được tìm thấy f (σ.t) = λ.f (t) (2.31) Những hàm bất biến co giãn được gọi là hàm đồng dạng hoặc hàm Frac (fractal) Những hàm thỏa mãn tính chất bất biến co giãn trong công thức (2.31) sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} 19 Hàm bất biến co giãn đơn giản nhất là hàm hằng, hàm bậc thang, hàm xung, hàm. .. rằng hàm tuần hoàn là hàm riêng của biến đổi Fresnel nhưng từ công thức (2.13) ta tìm được một số hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi Fresnel Hàm không tuần hoàn sẽ giải thích hiện tượng tạo ảnh qua môi trường trong suốt Hiệu ứng Talbot là trường hợp đặc biệt của công thức (2.13) khi h = 0, An = Bm = 0, n, m = N 2 , N là số nguyên Sau đó, ta sẽ thảo luận hàm riêng của LCT với tham số {−1,... là hàm riêng của LCT khi a + d < −2 với giá trị riêng tương ứng là λ Có nhiều cách chọn cho g(t) Ví dụ, hàm hằng, hàm delta, tn và hàm bất đối xứng / phản phản đối xứng với tỷ số co giãn σ như g(t) để suy ra hàm riêng của LCT khi a + d < −2 Vì vậy, từ công thức (2.48), hàm riêng của LCT khi a + d < −2 là phép nhân của hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn phản đối xứng) Như trong trường. .. 0 hàm riêng của LCT là phép nhân của hàm hầu tuần hoàn đối xứng (hoặc hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng) Để đơn giản công thức (2.28) ta chọn ρ = 0 Khi đó công thức (2.28) có thể được đơn giản như (b,ρ) φE 2 (t) = ei((d−a)/4b)t g(t) 18 Trong trường hợp này hàm riêng của LCT khi a + d = −2 và b = 0 được đơn giản như phép nhân của hàm tuần hoàn đối xứng/ hàm hầu tuần hoàn phản đối xứng 2.2 Hàm riêng của. .. xứng) Như trong trường hợp a + d < −2, trong một số trường hợp đặc biệt, hàm riêng của LCT khi a + d < −2 có thể được đơn giản khi b = 0 phép nhân trong công thức (2.48) được giữ nguyên và trong trường hợp c = 0 phép nhân được giữ nguyên như trong công thức (2.48) Như trong trường hợp a + d > 2, tất cả giá trị của giá trị riêng thay đổi trong trường hợp a + d < −2 Giá trị riêng của LCT khi a + d < −2... được hàm riêng với chu kỳ q = |b|π N là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Ở đây, ta cũng chỉ ra hàm với chu kỳ q= |η|πM cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} nếu thỏa mãn N ràng buộc đối xứng Trên thực tế, LCT với tham số {1, b, 0, 1} và biến đổi Fresnel cũng có một số hàm riêng không tuần hoàn Ta áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, c, 1} trong mục (2.1.1) với Tính chất... thì cũng là hàm riêng của LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} Ta thảo luận hàm riêng của LCT với tham số {−σ 1 , 0, 0, −σ} Hàm riêng thỏa mãn hai ràng buộc sau sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} (a) f (σ.t) = λ.f (t), (b) f (t) = ±f (−t) (2.36) Từ công thức (2.36) ta kết luận rằng hàm riêng của LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ} là hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn... (2.1.1) với Tính chất (1.4.1) và (1.4.2) để suy ra hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Từ đó 1 b 0 1 1 0 0 −1 = 0 1 −1 0 −b 1 1 0 Như vậy, từ Tính chất (1.4.2) ta sử dụng biến đổi Fourier cho hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, −b, 1} thì cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} Khi đó, từ công thức (2.1) LCT với tham số {1, b, 0, 1} có hàm riêng như sau (t) ψ b,h (t) = FT φ−b,h B = 1