Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp a + d = 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TĂNG THỊ ĐỨC HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2016 Mục lục Lời nói đầu Tốn học giải tích chuyên ngành nghiên cứu quan trọng hàng đầu tốn học đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực người quan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier số có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, hình học nhiều lĩnh khác Ngày nhà khoa học cố gắng khám phá kết có tầm quan trọng nhằm nâng cao ứng dụng Trong luận văn tìm hiểu trường hợp đặc biệt biến đổi tích phân Fourier ứng dụng quang học Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu Chương mở đầu kiến thức chuẩn bị, nhắc lại biến đổi tắc tuyến tính trường hợp biến đổi đặc biệt biến đổi này, hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ, số kết đẫ xây dựng hàm riêng LCT Cuối ta trình bày hai tính chất quan trọng dùng suốt luận văn Chương hai, phần đầu ta trình bày hàm riêng LCT trường hợp |a + d| = Trong trường hợp ta trình bày hàm riêng LCT a + d = b = 0; a + d = −2 b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = b = 0; a + d = −2 b = Phần hai, ta trình bày hàm riêng LCT trường hợp |a + d| > Trong trường hợp ta trình bày hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ}; a + d > 2; a + d < −2 Trong chương cuối ta trình bày quan hệ LCT với hệ quang học giải toán tạo ảnh Các kết luận văn dựa báo "Eigenfuntions of linear canonical transform" Soo-Chang Pie Jian-Jiun Ding Trong trình thực luận văn nhận bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy khoa Toán - Cơ Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức để hồn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Bên cạnh cịn có giúp đỡ nhiệt tình thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ hồn thành thủ tục bảo vệ, thầy bạn seminar Tốn Giải Tích có góp ý hữu ích để tơi hồn thành luận văn tốt Cuối cùng, xin gửi lời biêt ơn tới gia đình, người thân ln động viên, ủng hộ suốt thời gian học tập hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tăng Thị Đức Chương Kiến thức chuẩn bị Biến đổi tắc tuyến tính (LCT)[1]-[4] biến đổi tích phân với bốn tham số {a, b, c, d} Biến đổi LCT giới thiệu lần vào năm 1970 [5], [6] Một số phép toán như, biến đổi Fourier (Fourier transform-FT), biến đổi Fourier phân thứ (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], biến đổi Fresnel [10] phép toán co giãn trường hợp đặc biệt LCT Trong số báo, phép biến đổi LCT gọi phép biến đổi Fourier afin (affine Fourier transform-AFT) [2],[11], biến đổi Fresnel tổng quát [12], công thức Collins [6], biến đổi ABCD [3] (ABCD transform), biến đổi Fourier biến đổi Fresnel Phép biến đổi LCT ứng dụng phân tích hệ rada, phân tích hệ mơi trường Grin, thiết kế máy lọc nhiều ứng dụng khác Ta xét số trường hợp đặc biệt LCT Ví dụ, hàm riêng FRFT hàm Hermite nhân thêm với exp(−t2 /2) Hàm riêng LCT {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} (trường hợp LCT trở thành biến đổi Fresnel) hàm tuần hoàn (hàm tuần hoàn gọi hiệu ứng Talbot[16],[17]) Trong trường hợp {a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} (trong trường hợp LCT trở thành phép toán co giãn) hàm riêng hàm Frac [18],[19] (fractal) Những hàm bất biến với phép toán co giãn Trong luận văn ta tổng quát kết xây đựng suy hàm riêng LCT cho tất trường hợp Sau đó, hàm riêng LCT sử dụng để giải thích tượng tạo ảnh quang học Ta sử dụng ký hiệu OF (a,b,c,d) OF(a,b,c,d) cho biến đổi tắc tuyến tính Phần đầu luận văn tơi trình bày lại cách ngắn gọn kiến thức biến đổi tắc tuyến tính, hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ số kết xây dựng hàm riêng LCT, tính chất suy hàm riêng LCT 1.1 Biến đổi tắc tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Biến đổi tắc tuyến tính định nghĩa sau (a,b,c,d) OF (f (t)) = (i/2)(d/b)u2 e i2πb ∞ e−i(u/b)t e(i/2)(a/b)t f (t)dt −∞ b = 0, √ (a,b,c,d) OF (f (t)) = d.e(i/2)cdu f (d.u) b = 0, (1.1) LCT thỏa mãn tính chất cộng tính (a ,b1 ,c1 ,d1 ) OF (a ,b2 ,c2 ,d2 ) OF (a ,b3 ,c3 ,d3 ) (f (t)) = OF (f (t)), a3 b a b a b = 2 1 c3 d3 c2 d c1 d1 (1.2) Tính chất cộng tính LCT suy từ phép tốn ma trận công thức (1.2), ta thường biểu diễn LCT với tham số {a, b, c, d} ma trận a b c d Tiếp theo ta trình bày số phép toán trường hợp đặc biệt LCT chẳng hạn biến đổi Fourier (FT), biến đổi Fourier phân thứ (FRFT), biến đổi Fresnel, phép toán co giãn a) Biến đổi Fourier (FT) Biến đổi tắc tuyến tính (LCT) biến đổi Fourier {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, (0,1,−1.0) OF (f (t)) = (i/2)(0/1)u2 e i2π (0,1,−1,0) OF (f (t)) √ (0,1,−1,0) i.OF (f (t)) ∞ −∞ i2π = e−i.u.t e(i/2)(0/−1)t g(t)dt ∞ e−i.u.t g(t)dt −∞ = FT(f (t)) 2π = ∞ e−i.u.t g(t)dt −∞ b) Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) Biến đổi tắc tuyến tính (LCT) biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} [7]-[9] (cos α,sin α,− sin α,cos α) OF (f (t)) = e(i/2)(cos α/ sin α).u 2π sin α ∞ × OFα (f (t)) = e−i(u/ sin α).t e(i/2)(cos α/ sin α)t f (t)dt, −∞ − i cot α (i/2) cot α.u2 e 2π ∞ × e−i csc α.ut e(i/2) cot αt f (t)dt (1.3) −∞ Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) biến đổi tổng quát biến đổi Fourier (FT) Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính OFα OFβ (f (t)) = OFα+β (f (t)) Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi OFα (f (t)) = √ (cos α,sin α,− sin α,cos α) (f (t)) eiα OF (1.4) Biến đổi Fourier phân thứ có ứng dụng phân tích hệ quang học, giải phương trình vi phân, c) Biến đổi Fresnel Biến đổi Fresnel phép tốn mơ tả việc truyền ánh sáng đơn sắc qua môi trường suốt Biến đổi Fresnel định nghĩa sau z OFresnel (f (x, y)) ei2πz/λ = iλz ∞ ∞ ei(π/λz)((u−x) −∞ +(v−y)2 ) f (x, y)dxdy, (1.5) −∞ f (x, y) hàm phân bố nguồn ánh sáng đơn sắc, λ bước sóng z khoảng cách Cơng thức (1.5) biểu diễn dạng hợp thành hai biến đổi Fresnel z z OFresnel (f (x, y)) = OFresnel(y) OFz resnel(x) (f (x, y)) Biến đổi tắc tuyến tắc tuyến tính LCT biến đổi Fresnel 1-D {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} (1,zλ/2π,0,1) OF (g(t)) (i/2)(2π/zλ)u2 e izλ = ei2πz/λ √ = iλz −∞ ei(π/λz) eu e−i(2πu/zλ)t e(iπ/zλ)t g(t)dt ∞ ei2πz/λ √ iλz z OFresnel(t) (g(t)) = ∞ −2ut+t2 −∞ ∞ g(t)dt ei(π/λz).(u−t) g(t)dt (1.6) −∞ Biến đổi Fresnel 1-D với hiệu số pha không đổi (1,zλ/2π,0,1) z OFresnel(t) (f (x)) = eiπz/λ OF (f (t)) (1.7) Hệ thức liên hệ tham số b khoảng cách z zλ 2π b= (1.8) d) Phép toán co giãn Biến đổi tắc tuyến tính LCT phép toán co giãn {a, b, c, d} = {σ −1 , 0, 0, σ} (σ −1 ,0,0,σ) OF (g(t)) = √ σ.e(i/2).0.σ.u g(σ.u) = √ σ.g(σ.u) (σ −1 ,0,0,σ) σ OSc (g(t)) = sgn(σ).OF (g(t)) Như vậy, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel phép toán co giãn trường hợp đặc biệt LCT 1.2 Hàm riêng biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) Trong [7], Namias biến đổi Fourier phân thứ có hàm riêng φm (t) = −t √ e m m! π /2 Hm (t) m ∈ [0, 1, 2, 3, ], (1.9) Hm (t) hàm Hermite cấp m Hm (t) = (−1)m et dm −t2 e , dtm giá trị riêng tương ứng φm (t) exp(−imα) OFα (φm (t)) = e−i.m.α φm (t) (1.10) Hàm riêng FRFT có tính chất trực giao ∞ φm (t).φn (t)dt = δm,n −∞ Công thức (1.9) hàm riêng FRT α/2π không số hữu tỷ Khi α/2π số hữu tỷ biến đổi FRFT có hàm riêng khác cơng thức (1.9) Ví dụ, α = (trong trường hợp biến đổi FRFT trở thành phép toán đồng nhất) tất hàm hàm riêng biến đổi FRFT Khi α = π (trong trường hợp FRFT trở thành phép toán nghịch đảo) hàm chẵn hàm lẻ hàm riêng biến đổi FRFT α = ±π/2 (trong trường hợp FRFT trở thành FT nghịch đảo) hàm sau hàm riêng FRFT (xem [20, chương 22]) ∞ 1) p=−∞ 2) sin 3) 4) x √ 2π x √ 2π 5) sech √ δ x − p 2π ; π x ∞ p=−∞ √ δ x − (p + 0.5) 2π ; −1/2 ; −1/2 sgn(x); π x Trong nhiều tài liệu (như [21] [22]) trường hợp α = 2πN M N,M số ngun FRFT có hàm riêng khác cơng thức(1.9) Hàm riêng FRFT (hàm riêng FRFT gọi hàm Fourier phân thứ) ứng dụng phân tích hệ quang học lan truyền sóng Đặc biệt, phân tích tượng tạo ảnh [17] tượng cộng hưởng [23] Ta FRFT LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} nhân thêm với (eiα )1/2 [10] LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} có hàm riêng công thức (1.9) giá trị riêng (e−iα )1/2 exp(−imα) (cos α,sin α,− sin α,cos α) OF (φm (t)) = (e−iα )1/2 e−i.m.α φm (t) 1.3 Một số kết xây dựng hàm riêng LCT Trong [12] hàm riêng biến đổi tắc tuyến tính (LCT) với tham số {a, b, c, d} φm (t) = √ exp σ.2m m! π t (1 + iτ )t2 , Hm 2σ σ − m = 0, 1, 2, (1.11) Hm (t) hàm Hermite [18], có giá trị riêng tương ứng λm = exp(−iαm + εα ), (1.12) εα số phụ thuộc vào α giá trị σ, τ, α σ2 = τ = 2b − (a + d)2 a−d − (a + d)2 α = cos−1 , , a+d Ngược lại, tham số gốc {a, b, c, d} biểu diễn {σ, τ, α} a = cos α + τ sin α, c = −(τ + 1) sin α , σ2 b = σ sin α, d = cos α − τ sin α Vì vậy, hàm riêng LCT xây dựng hàm riêng FRFT khác phép co giãn phép nhân Ta ý có ba tham số {σ, τ, α} công thức (1.11) (1.12) Ba tham số {σ, τ, α} tương ứng với ba biến tự LCT (LCT có bốn tham số {a, b, c, d} ràng buộc ad − bc = 1, bậc tự 3) Tham số σ, τ xác định hàm riêng tham số α xác định giá trị riêng Cần ý rằng, kết [12] phù hợp với trường hợp |a + d| < Tuy nhiên, trường hợp |a + d| < kết công thức (1.11)-(1.12) chưa đầy đủ Nội dung luận văn trình bày hồn chỉnh cho trường hợp hàm riêng LCT Hình 1.1 trường hợp để thảo luận hàm riêng LCT 10 Sau đó, ta chọn g(t) = f (a−1 t) Từ cơng thức (2.40) ta có √ σ.g(σ.t) = λ.g(t) Vì g(t) = f (a−1 ) hàm bất biến co giãn với tỷ số σ nên tham số a1 khơng ảnh hưởng Vì , kết cơng thức (2.37)-(2.41) đơn giản sau Trong trường hợp a + d > 2, g(t) hàm bất biến co giãn với tỷ số σ1 , với giá trị riêng λ √ σ.g(σ.t) = λ.g(t) σ = (τ,η,σ) φF (t) = √ (a + d)2 − , a+d± ∞ e(i/2).τ.t i2πη (2.42) e(i/2η).(t−x) g(x).dx, (2.43) −∞ τ= η= −2s.c s(d − a) + s.b (a + d)2 −4 , (a + d)2 − , s = sgn(σ − σ −1 ), (2.44) hàm riêng LCT với giá trị riêng tương ứng λ Có nhiều cách chọn cho g(t) cơng thức (2.43) Ta chọn g(t) hàm phát triển từ lý thuyết phân số hàm công thức (2.32)-(2.35) hàm bất biến co giãn Thực tế, tất hàm bất biến co giãn với tỷ số σ1 Ví dụ, cơng thức (2.43) ta chọn g(t) hàm delta δ(t) (ta nhớ hàm delta hàm bất biến co giãn) Khi đó, cơng thức (2.43) trở thành (τ,η,σ) φF (t) = e 2π √ i/4b).(d−a± (a+d)2 −4 t2 Hàm hàm riêng LCT a + d > Từ cơng thức (2.43) ta kết luận hàm riêng LCT a + d > phép nhân hàm bất biến co giãn Điều b = 28 Khi đó, từ cơng thức (2.24) (2.44) lim e(i/2η).(t−x) = η = 0, i2πη.δ(t − x), η→0 phép nhân công thức (2.43) giữ nguyên Trong trường hợp c = τ = phép nhân cơng thức (2.43) giữ ngun Vì phép tốn co giãn nên tất hàm riêng cho LCT trường hợp a + d > Ta ý trường hợp |a + d| = giá trị riêng LCT phần tử đơn vị trường hợp a + d > giá trị riêng LCT không phần tử đơn vị Ví dụ, cơng thức (2.43) ta chọn g(t) hàm hàm bước giá trị riêng λ = √ σ ta chọn g(t) tn giá trị riêng λ = σ n+(1/2) Từ tính chất bảo tồn lũy thừa LCT ∞ ∞ −∞ |F(a,b,c,d) (u)| du = F(a,b,c,d) (u) = |f (t)|2 dt, −∞ (a,b,c,d) (f (t)), OF (2.45) giá trị riêng phần tử đơn vị công thức (2.45) thỏa mãn trường hợp ∞ −∞ |f (t)|2 dt < ∞ (2.46) Tuy nhiên, nhiều hàm bất biến co giãn công thức (2.32), (2.33), (2.35) ràng buộc công thức (2.46) khơng thỏa mãn Do đó, hàm riêng LCT trường hợp a + d > không thỏa mãn tính chất lũy thừa giá trị riêng tương ứng không phần tử đơn vị 2.2.3 Trường hợp a + d < −2 Trong trường hợp a + d < −2, công thức (1.14) ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } {−σ −1 , 0, 0, −σ} Khi đó, a + d = a2 + d2 a + d = −σ − ; σ σ + σ(a + d) + = Nghiệm phương trình σ= −a − d ± 29 (a + d)2 − Thật vậy, sau thay {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−σ −1 , 0, 0, −σ} công thức (1.13) ta a b c d −σ −1 0 −σ = a1 b c1 d = − a1σd1 + b1 c1 σ − c1σd1 + c1 d1 σ a1 b1 σ b1 c σ d1 −b1 −c1 a1 − a1 b σ − a1 d σ Nghiệm tổng quát phương trình a1 tùy ý khác 0, b1 = c1 = d1 = s.b a1 , (a + d)2 − −2a1 s.c (a + d)2 − s(d − a) + s.(d − a) 2a1 (a + d)2 − , +1 , s = sgn(σ −1 − σ) Công thức giống công thức (2.39) trừ định nghĩa s thay đổi Từ trình tương tự cơng thức (2.42)-(2.44) ta tìm g(t) hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn phản đối xứng) √ −σ.g(−σ.t) = λ.g(t), σ = −a − d ± Khi (τ,η,σ) φG (t) = √ e(i/2).τ.t i2πη (a + d)2 − ∞ e(i/2η).(t−x) g(x).dx, (2.47) (2.48) −∞ τ= η= −2s.c s(d − a) + s.b (a + d)2 −4 , (a + d)2 − , s = sgn(σ −1 − σ), (2.49) hàm riêng LCT a + d < −2 với giá trị riêng tương ứng λ Có nhiều cách chọn cho g(t) Ví dụ, hàm hằng, hàm delta, tn hàm bất đối xứng / phản phản đối xứng với tỷ số co giãn σ g(t) để suy hàm riêng LCT a + d < −2 30 Vì vậy, từ cơng thức (2.48), hàm riêng LCT a + d < −2 phép nhân hàm bất biến co giãn đối xứng (hoặc bất biến co giãn phản đối xứng) Như trường hợp a + d < −2, số trường hợp đặc biệt, hàm riêng LCT a + d < −2 đơn giản b = phép nhân công thức (2.48) giữ nguyên trường hợp c = phép nhân giữ nguyên công thức (2.48) Như trường hợp a + d > 2, tất giá trị giá trị riêng thay đổi trường hợp a + d < −2 Giá trị riêng LCT a + d < −2 không Như trường hợp |a + d| = 2, có vơ số hàm riêng độc lập tuyến tính LCT |a + d| > 2.Cuối cùng, ta lập bảng tóm tắt hàm riêng giá trị riêng LCT cho trường hợp Trên ta tìm hiểu hàm riêng biến đổi tắc tuyến tính Vậy chúng có áp dụng ? Chúng ta tìm hiểu chương cuối 31 Hàm riêng Trường hợp A √ ∞ n=0 E −1 ∞ m=0 (a + d = 2, b = 0) ∞ n=0 (|An | i d−a 4b t i2πρ e ∞ n=0 2πS g(t) = ∞ m=0 Cn exp it exp(−ibh/2) g(x)dx, 4nπ|b|−1 + h + 4mπ|b|−1 + h ∞ n=0 (|Cn | i √1 e τ t i2πη √ τ= , + |Dn |2 ) ∞ −∞ i e 2η (t−x) g(x)dx, ±(−1)1/2 exp −ibh λ định nghĩa bên trái σ.g(σ.t) = λ.g(t), −2s.c √ ,η s(d−a)+ (a+d)2 −4 σ = a+d± Trường hợp F Giống trường hợp A, trừ Cn = Dn , Cn = −Dn với n (a + d > 2) ±(−1)1/2 exp(ich/2) h < 4π/|c|, Cn , Dm tùy ý, S= Trường hợp E + |Bn |2 ) (t−x) ∞ ei 2ρ −∞ Dm exp − it Trường hợp D (a + d = −2, b = 0) , Giống trường hợp A, trừ An = Bn , An = −Bn với n Trường hợp C (a + d = 2, b = 0) 4mπ|c|−1 + h exp(ich/2) h < 4π/|c|, An , Bm tùy ý, E= Trường hợp B (a + d = −2, b = 0) 4nπ|c|−1 + h + An δ t − Bm δ t − Giá trị riêng =√ s.b , (a+d)2 −4 (a + d)2 − /2, s = sgn(σ − σ −1 ) Giống trường hợp E, trừ g(t) = ±g(−t) thỏa mãn (a + d < −2) Bảng 2.1: Hàm riêng LCT cho trường hợp 32 λ Chương Ứng dụng toán tạo ảnh Từ nghiên cứu biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) có ba ứng dụng từ hàm riêng LCT: Bài toán tạo ảnh (self-imaging problem) ; Bài toán cộng hưởng; Phương pháp lựa chọn Tương tự, ta dùng hàm riêng LCT để suy các ứng dụng Trong chương này, ta thảo luận cách dùng hàm riêng LCT để giải thích toán tạo ảnh Trước thảo luận điều này, ta thảo luận cách dùng hàm riêng LCT để biểu diễn hệ quang học đưa tính chất quan trọng 3.1 Quan hệ biến đổi LCT hệ quang học Biến đổi LCT có mối quan hệ mật thiết với quang học nhiều phép tốn lan truyền sóng biểu diễn trường hợp đặc biệt LCT [13]-[15] Ví dụ, từ công thức (1.7) ta sử dụng hàm riêng LCT với tham số zλ {a, b, c, d} {1, 2π , 0, 1} để mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường suốt với khoảng cách z Bên cạnh đó, ánh sáng đơn sắc với bước sóng λ xun qua thấu kính có tiêu cự tiêu cự f biểu diễn sau f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ e−i(π/f.λ)x g(x), n : chiết suất, ∆ : độ dày thấu kính 33 Cơng thức tương ứng với biến đổi LCT với tham số {1, 0, −2π f λ , 1} (1,0,−2π/f λ,1) f Olens g(x) = ei(π/λ)n∆ OF (g(x)) (3.1) Từ công thức (1.7), (3.1) tổ hợp thành phần quang học biểu diễn ma trận abcd [18] Ta sử dụng biến đổi LCT để biểu diễn hệ quang học có mơi trường suốt nhiều thấu kính Ví dụ, hệ quang học gồm thấu kính với tiêu cự f qua mơi trường suốt với khoảng cách z , 1 zλ 2π −2π fλ 1 − fz = −2π fλ zλ 2π , zλ −2π ta dùng biến đổi LCT với tham số {1 − fz , 2π , f λ , 1} biểu diễn hệ quang học Ta phát biểu tính chất quan trọng Tính chất ứng dụng để thảo luận tượng tạo ảnh hệ quang học Tính chất 3.1.1 (Điều kiện để hai LCT tương đương hệ quang học [29]) Ta biết a1 a2 = b1 b2 , kết biến đổi LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } {a2 , b2 , c2 , d2 }, tương ứng thỏa mãn hệ thức sau √ |F(a2 ,b2 ,c2 ,d2 ) (u)| = | σ.F(a1 ,b1 ,c1 ,d1 ) (σ.u)|, σ = a1 b1 = a2 b2 Khi đó, ta có kết luận sau a) Nếu xét cường độ hai LCT tương đương a1 = a2 , b1 = b2 b) Nếu bỏ qua hiệu số co giãn hai LCT tương đương a1 : b = a2 : b , c1 : d1 = c2 : d2 c) Nếu xét cường độ bỏ qua hiệu số co giãn hai LCT tương đương a1 : b = a2 : b Vì hệ quang học, hiệu số pha hiệu số co giãn bỏ qua với Tính chất (3.1.1) ràng buộc hệ đưa vào để giải thích tượng tạo ảnh thoải mái Do đó, hầu hết hệ quang học có thay đổi hàm đưa vào với tượng tự tạo ảnh Trường hợp ta xét 34 3.2 Giải thích tốn tạo ảnh Vì quan hệ LCT hệ quang học, ta dùng hàm riêng LCT để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học, tìm ảnh đầu vào có ảnh đầu tương ứng Nếu hệ quang học tổ hợp nhiều thấu kính mơi trường suốt từ thảo luận mục (3.1) ta biểu diễn hệ quang học LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } Vì vậy, ánh sáng đưa vào có phân bố giống hàm riêng biến đổi LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } giải thích nguyên nhân tạo ảnh hệ quang học Tuy nhiên, hệ quang học, xét cường độ ánh sáng, giải thích tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn Vì vậy, hệ quang học biểu diễn LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } hàm riêng LCT với tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } giải thích tượng tạo ảnh Từ Tính chất 3.1.1 tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } thỏa mãn a1 : b1 = a2 : b2 giải thích tượng tạo ảnh Vì vậy, thảo luận tượng tạo ảnh hệ quang học ta dùng thuật tốn sau Tìm tham số {a1 , b1 , c1 , d1 , } LCT biểu diễn hệ quang học Nêú xét hiệu số co giãn ta dùng thuật toán sau i) Chọn a = a1 , b = b1 ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b Do đó, tất tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a = a1 , b = b1 tìm thấy Hàm riêng LCT với tất tham số {a, b, c, d, } tìm ta giải thích tượng tạo ảnh Nếu bỏ qua hiệu số co giãn ta sử dụng thuật toán sau i) Chọn a = a1 σ ,b = b1 σ ii) d ∈ (−∞, +∞), c = ad−1 b tìm tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a = a1 σ ,b = b1 σ iii) d ∈ (−∞, +∞) làm lại i) ii) Như , tất tham số {a, b, c, d, } LCT thỏa mãn a : b = a1 : b1 tìm Hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } tìm giải thích tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn tỷ số co 35 giãn (tỷ số σ thỏa mãn |f0 (t)| = τ.|fi (σ.t)| fi (t) đầu vào f0 (t) đầu ra) σ= b1 a1 = a b Hình 3.1: Hệ quang học với hai thấu kính mơi trường suốt Ta đưa ví dụ sau Cho hệ quang học hình 3.1, ta biểu diễn biến đổi LCT với tham số sau: − f2π 2λ 1 zλ 2π 1 −2π f1 λ − fz1 = − f2π − f2π + 1λ 2λ 2πz f1 f2 λ zλ 2π 1− z f2 Khi đó, tất hàm riêng LCT với tham số {a, b, c, d, } a:b=1− z zλ , : f1 2π giải thích tượng tạo ảnh quang học với tỷ số co giãn σ= 1− z f1 a = zλ 2πb Khi a=1− z , f1 b= zλ , 2π (3.2) σ = hàm riêng LCT trường hợp giải tượng tạo ảnh bỏ qua hiệu số co giãn Sau ta thảo luận trường hợp σ = bỏ qua hiệu số co giãn Trước tiên ta chọn a b công thức (3.2) Giá trị a + d xác định từ hàm riêng biến đổi LCT Từ d giá trị a+d=1− z + d, f1 giá trị Giá trị d ∈ (−∞, +∞) ta tìm đầu vào hợp lý để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học hình 3.1 bỏ qua hiệu số co giãn 36 Trường hợp d = −3 + z f1 (a + d = −2) (giả sử z = 2f1 ) Trong trường hợp này, từ mục (2.1.5) ta tìm hàm sau để giải thích tượng tạo ảnh i.π((−2+z/f1 )/zλ)t2 φ(t) = e ∞ ei(t−x) /2ρ g(x)dx, −∞ ∞ g(t) = Cn cos 2πt 2n +h , zλ Cn sin 2πt 2n +h , zλ n=0 ∞ g(t) = n=0 ρ Cn tùy ý, h< zλ Ta chọn ρ = φ(t) = A.ei.π((−2+z/f1 )/zλ)t g(t) Trường hợp d = + fz1 (a + d = 2) Trong trường hợp này, từ mục (2.1.4), ta tìm hàm sau để giải thích tượng tạo ảnh ∞ ei((t−x) φ(t) = ei(π/f1 λ)t /2ρ) g(x)dx, −∞ ∞ Cn exp g(t) = i2πt n=0 2n +h zλ ∞ Dm exp + m=0 − i2πt 2m +h , zλ ρ, Cn , Dm tùy ý h< zλ Ta chọn ρ = φ(t) = ei.π.t /f1 λ g(t) Trường hợp d > + fz1 (a + d > 2) Trong trường hợp này, từ mục (2.2.2) ta tìm hàm xác định cơng thức (2.43) để giải thích tượng tạo ảnh, giá trị σ, τ, η tính từ zλ cơng thức (2.42) (2.44) phép {a, b, c, d} {1 − fz1 , 2π , c, d} 37 Vì vậy, có nhiều ảnh đầu vào để giải thích tượng tạo ảnh hệ quang học hình 3.1 Ta ý thấu kính (tiêu cự f2 ) khơng ảnh hưởng tượng tạo ảnh Ta dùng phương pháp tương tự thay đổi giá trị b, d khoảng (−∞, +∞) để tìm đầu vào mà giải thích tượng tạo ảnh xét hiệu số co giãn Trong luận văn này, ta chia hàm riêng biến đổi tắc tuyến tính (the LCT) thành trường hợp Ta có bảng hàm riêng giá trị riêng biến đổi tắc tuyến tính cho trường hợp Ta dùng hàm riêng LCT để thảo luận tượng tạo ảnh Ta tìm hàm Hermite, hàm tuần hoàn, hàm hầu tuần hoàn, hàm đồng dạng phép nhân hàm giải thích tượng tạo ảnh quang học Bên cạnh đó, ta dùng hàm riêng FRFT để thảo luận toán chọn lọc tượng cộng hưởng hệ đa, phân tích tượng cộng hưởng ứng dụng quan trọng hàm riêng LCT 38 Kết luận Luận văn trình bày biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Fourier phân thứ ứng dụng quang học Nội dung luận văn bao gồm: • Định nghĩa biến đổi tắc tuyến tính, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel, tính chất biến đổi tắc tuyến tính • Ta tìm hàm riêng giá trị riêng biến đổi LCT trường hợp |a + d| • sở kết thu hàm riêng biến đổi LCT ta ứng dụng vào giải thích tượng tạo ảnh quang học 39 Tài liệu tham khảo [1] K B Wolf, Integral transforms in science and engineering, in Canonical Transform New York: Plenum, 1979, ch.9 [2] S Abe and J T Sheridan, Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation, Opt.Lett, vol 19, no 22, pp 1801-1803, 1994 [3] L M Bernardo, ABCD matrix formalism of fractional Fourier optics, Opt Eng., vol 35, no 3, pp 732-740 Mar 1996 [4] S Abe and J T Sheridan, Almost Fourier and almost Fresnel transformation,Opt.Commun.,vol.113, pp 385-388, 1995 [5] M Moshinsky and C Quesne, Linear canonical transformations and their unitary representation, J Math Phys., vol 12, no 8, pp 1772-1783, Aug 1971 [6] S A Collins, Lens-system diffraction integral written in terms of matric optics, J Opt Soc Amer., vol 60, pp 1168-1177, Sept 1970 [7] V Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics, J.Inst Math Appl., vol 25, pp 241-265, 1980 [8] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEES Trans Signal Processing, vol 42, pp 3084-3091, Nov 1994 [9] H M Ozaktas, M A Kutay, and Z Zalevsky, The fractional Fourier transform with applications in optics and processing, New York: Wiley, 2000 40 [10] J W Goodman, Introduction to Fourier optics, 2nd ed New York: McGrawHill, 1988 [11] S C Pei and J J Ding Eigenfuntions of the canonical transform and selfimaging problems in optical system, in Proc IEE Int Conf Acoust., Speech, Signal Process., Istanbul, Turkey, June 2000, pp 73-76 [12] D F V James and G S Agarwal, The generalized Fresnel transform and its applications to optics, Opt Commun., vol 126, pp 207-212, May, 1996 [13] M J Bastiaans, Wigner distribution funtion and its application to firstorder optics, J Opt Soc Amer., vol 69, pp 1710-1716, 1979 [14] M Nazarathy and J Shamir, First-order optics–A canonical operator representation: Lossless system, J Opt Soc Amer., vol 72, pp 356-364, 1982 [15] M J Bastiaans, Propagation laws for the second-order moments of the Wigner distribution funtion in first-order optical systems, Optik, vol 82, pp 173-181, 1989 [16] J T Winthrop and C R Worthington, Theory of Fresenel images Plane periodic objects in monochromatic light, J Opt Soc Amer., vol 55, pp 373381, 1965 [17] K Paiorski, The self-imaging phenomenon and its applications, in Progess in optics, E Wolf, Ed Amsterdam, The Netherlands: North-Holland, 1989, pt 1, vol 27 [18] W Zhao and R M Rao, Discrete-time, continuous-dilation construction of self-similar signals and linear scale-invariant systems, to be published [19] G W Wornell, Signal processing with Fractals, Upper Saddler River, NJ: Prentice-Hall, 1996 [20] R N Bracewell, The Fourier integal and its applications, 3rd ed Bonston, MA: McGraw-Hill, 2000 [21] T Alieva and A M Barbe, Self-fractional Fourier funtions and selection of modes, J Phys A: Math Gen, vol 30, pp 211-215,1997 41 [22] —– Self-imaging in fractional Fourier transform systems, Opt Commun., vol 152, pp 11-15, June 1998 [23] S G Lipson and H Lipson, Optical physics, 2nd ed Cambridge, U K Cambridge Univ, Press, 1981, pp 190-192 [24] S J Leon, Linear algebra with applications, 4th ed Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994 [25] T Alieva and M J Bastiassns, Powers of transfer matrices determined by means of eigenfuntions, J Opt Soc Amer A, vol 16, no 10, pp 2413-2418, Oct, 1999 [26] H Hamam and J L de Bougrenet de la Tocnaye, Programmable joint fractional Talbot computer-generated holograms, J Opt Soc Amer., vol 12, no 2, pp 314-324, Feb 1995 [27] A W Lohmann, An arry illuminator based on the Talbot effect, Optik, vol 79, pp 41-45, 1998 [28] J Leger and G J Swanson, Efficient arry illuminator using binary-optics phase plates as fractional Talbot planes, Opt Lett., vol 15, pp 288-290, 1990 [29] T Aliva and F Agullo-Lopez, Imaging in first-order optical systems, J Opt Soc, Amer A, vol 13, no 12, pp 2375-2380, Dec 1996 42