Luận văn phá vỡ đối xứng trong lý thuyết su(3) biến dạng

Nhóm đối xứng lượng tử có khả năng đưa đến một phát triển mới ừong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ học và đặt ra những vấn đề toán học như lý thuyết biểu diễn

NGUYỄN THANH TÙNG

PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TRONG

LÝ THUYẾT SU(3) BIẾN DẠNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

LUẨN V ĂN THAC SĨ K H O A HOC VẨT CHẮT • • • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS-TS

Nguyễn Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô

ừong suốt quá trình học tập, hướng dẫn Chính sự quan tâm chỉ bảo tận tình của cô đã tạo cho tôi động lực, niềm tin và cố gắng để thực hiện luận văn này

Tôi xin chân ừọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học và Ban chủ nhiệm, các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo điều kiện và tận tình giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp

đã luôn sát cánh, động viên tôi ừong suốt thời gian học tập và nghiên cứu hoàn thiện luận văn này

Tác giả

Nguyễn Thanh Tùng

Tôi xin cam đoan các kết quả thu được ừong đề tài: “Phá vỡ đối xứng

trong lý thuyết SU(3) biến dạng” là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng

tôi dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan Luận văn này không trùng lặp vói các luận văn khác

Tác giả

Nguyễn Thanh Tùng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Dự kiến đóng góp m ớ i 3

NỘI DUNG ■ CHƯƠNG 1 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3) 4

1.1 Nhóm đối xứng SU(3) 4

1.1.1 Nhóm đối xứng SU(3) 4

1.1.2 Nhóm biến đổi SU(3) 6

1.1.3 Đa tuyến của nhóm đối xứng SU(3) 6

1.2 Phá vỡ đối xứng SU(3) 13

CHƯƠNG 2 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)q 18

2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 18

2.2 Biểu diễn dao động của nhóm đối xứng SU(3) 20

2.3 Nhóm đối xứng SU(3)q .24

2.4 Phá vỡ đối xứng SU(3)q .26

CHƯƠNG 3 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)pq 29

3.1 Dao động tử biến dạng p, q 29

3.2 Nhóm đối xứng SU(3)pq 31

3.3 Phá vỡ đối xứng SU(3)pq 34

KẾT L U Ậ N 41■

TÀI LIỆU THAM KHẢO .42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản ừong vật lý lý thuyết Ngôn ngữ toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm Sau sự phát triển của mẫu quark

và lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu,

sự hiểu biết những nhóm Lie đã ừở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản Nhóm Lie ngày càng ừở thành công cụ chủ yếu của vật lý

lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô h ạ n

Trong những năm gần đây đối xứng lượng tử mà cấu trúc toán học của

nó dựa ừên nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào nhiều lĩnh vực của vật lý Ý tưởng về nhóm đối xứng lượng tử là một ý tưởng mới mẻ, có tính đột phá Nội dung của ý tưởng này là đưa lý thuyết thoát khỏi phạm vi các nhóm cổ điển, điều này dẫn đến nhiều thống kê mới với các hạt được đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q - biến dạng (hạt quon), thống kê g - biến dạng (hạt guon), thống kê para Nhóm đối xứng lượng tử có khả năng đưa đến một phát triển mới ừong lý thuyết trường lượng

tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ học và đặt ra những vấn đề toán học như lý thuyết biểu diễn của những nhóm lượng tử Nghiên cứu nhóm đối xứng lượng

tử là một công việc cần thiết, hiện đại và có thể dẫn đến nhiều kết quả mói

Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó trong nghiên cứu vật lý mà V.I Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chứng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chứng trong các mẫu vật lý và ừong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyến Chứng liên quan đến những vấn đề đa

dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý thuyết trường Conformal hữu tỷ, lý thuyết trường hai chiều với những thống

kê phân số Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số của đại số Lie thông thường

Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ điển Trong trường hợp tổng quát sự biến dạng này có thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng Spin đồng vị của các hạt cơ bản Từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc một thông số hoặc nhiều thông số Sự biến dạng phụ thuộc vào một thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3)q Đại số lượng tử SU(3)pq được khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thông số (pq) của đại số Lie thông thường của nhóm Unita SU(3), để đạt được điều này cần xây dựng dao dộng điều hòa biến dạng hai thông số (pq) Đại số lượng tử SU(3)q là một trường hợp đặc biệt của đại số SU(3)pq ừong trường hợp giói hạn p = q Khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị giới hạn nào đó thì đại số biến dạng sẽ trở về đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tổng quát hơn đại số chưa biến dạng Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gần với thực nghiệm hơn

Vào khoảng 1960 số hạt cơ bản phát hiện được đã tăng rất nhiều so với

30 năm trước đó, khi Heisenberg đề xuất ý tưởng về Spin đồng vị Mặt khác những kết quả thu được từ lý thuyết đối xứng đồng vị SU(2) đã mở ra ý tưởng

mở rộng nhóm đối xứng rộng hơn có chứa SU(2) như một nhóm con Lúc đó

ta có thể kết hợp nhiều đa tuyến đồng vị lại với nhau thành một đa tuyến lớn hơn thực hiện biểu diễn của nhóm đối xứng mở rộng này, đó chính là nhóm đối xứng SU(3) Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng tất cả các hạt ừong cùng một đa tuyến phải bằng nhau Nhưng thực tế các hạt ừong cùng một đa tuyến có khối lượng hơi khác nhau, điều này có nghĩa là đối

xứng SU(3) không hoàn toàn chính xác và đây là nguồn gốc của sự phá vỡ đối xứng Việc nghiên cứu phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3), vấn đề tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên ừong SU(3) trên quan điểm của khái niệm nhóm lượng tử SU(3)q và khái niệm nhóm lượng tử phụ thuộc hai thông số SU(3)pq là một vấn đề mới và cần thiết.

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Phả vỡ đổi xứng trong lý thuyết

SU(3) biến dạng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3), SU(3) biến dạng một thông số, SU(3) biến dạng hai thông số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), các đa tuyến, phá vỡ đối xứng SU(3) Dao động tử Boson biến dạng q, nhóm đối xứng SU(3)q, nghiên cứu phá vỡ đối xứng SU(3)q Dao động tử biến dạng pq, nhóm đối xứng SU(3)pq, nghiên cứu phá vỡ đối xứng SU(3)pq

4 Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu phá vỡ đối xứng của nhóm đối xứng SU(3) chưa biến dạng, SU(3) biến dạng một thông số, SU(3) biến dạng hai thông số và tính hệ thức khối lượng của các hạt trong các đa tuyến

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán Sử dụng các phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tử

6 Dự kiến đóng góp mói

Đưa ra một cách nghiên cứu về nhóm đối xứng SU(3) phụ thuộc một thông số và hai thông số biến dạng, viết một tài liệu tổng quan về sự phá vỡ đối xứng SU(3) biến dạng

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về nhóm đối xứng SU(3), phá

vỡ đối xứng SU(3) và các hệ thức khối lượng trong phá vỡ đối xứng SU(3)

1.1 Nhóm đối xứng SU(3) [l],[2]

1.1.1 Nhổm đối xứng SU(3)

Tập hợp tất cả các ma trận 3x3 unita, có định thức bằng 1 thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3)

Bất kì một phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:

Các ma trận Ảa thỏa mãn hệ thức sau:

1.1.2 Nhóm biến đổi SU(3)

Đó là nhóm các toán tử unita phụ thuộc vào 8 thông số:

Nếu ta có n hạt mà các toán tử trường tương ứng của chúng là

ụ/ị (i - 1, n) biến đổi theo quy luật sau dưói tác dụng của nhóm biến đổi SU(3)

a Các vi tử M15M2,M3 liên hệ với nhau bởi hệ thức:

[m ,,, M j ] = isijtM t i , j , k = 1,2,3 ( f llk= £tJk )

Các vi tử này tạo thành một đại số Lie đối với nhóm SU(2) Vì thế

M1,M2,M3 được đồng nhất vói toán tử spin đồng vị

b M8 giao hoán với M1,M2,M3 (thấy được từ giá trị của hằng số cấu trúc nhóm) điều đó cho phép ta đồng nhất M8 vói siêu tích Y (ừong một đa

tuyến SU(2), giá trị siêu tích không đổi nên toán tử siêu tích giao hoán vói

ị* : p , n X \ ĩ ° , ĩ : , A , E \ E

+/ Hàm sóng ^3 và w% ứng với hạt có /3 bằng 0

_ 1

+/ Hàm sóng y/A ± ỉự5 ứng với hạt có /3 bằng +

+/ Hàm sóng y/6 ± iy/n ứng với hạt có /3 bằng - —

Muốn gán các hàm sóng này cho các hạt ta phải tìm trị riêng của Y ứng

Sử dụng cách biểu diễn các hạt trong đa tuyến của biểu diễn chính quy vào ma trận có số chiều bằng chiều của ma trận ừong biểu diễn cơ sở:

Các ma trận o , y/ thỏa mãn các điều kiện của Ảa , chẳng hạn

Spụ/ = SpQ> = 0

Quy luật biến đổi của nó:

vào ba chỉ số hoàn toàn đối xứng: y/ịljk}, i, j , k =1,3

Quy tắc tính số thành phần độc lập của một tenxơ hoàn toàn đối xứng

hạng p y/ị^ị J I ừong đó mỗi chỉ số nhận n giá trị số thành phần độc lập cần

tìm chính là số cách phân phối n — 1 dấu phẩy giữa p vị ừí tương đương với

số cách chọn n — 1 vị trí từ p + n - 1 vị trí:

Khi p = 3, n = 3, thì:

y/ y/' = ei(°aMa\ựe iWhMh —e a 2 xựe ^ 2

Trong phép biến đổi vô cùng bé:

Quy luật biến đổi của chúng:

Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng các hạt ừong cùng một

đa tuyến sẽ như nhau Nếu gọi ỊẤ là toán tử khối lượng thì lúc đó:

[Ma9fỉ] = 0, a = ĩ s (1.2.1)Nhưng thực tế các hạt ừong cùng một đa tuyến có khối lượng hơi khác nhau, điều này có nghĩa là đối xứng SU(3) không hoàn toàn chính xác Lúc đó:

/LI' gọi là khối lượng vi phạm đối xứng

Muốn vậy ụ! phải tỷ lệ với thành phần thứ tám của bát tuyến ỵ a Bát

tuyến này thực hiện biểu diễn chính quy:

[M a’Zb] = ifabcZc = 1,8)

Za = ^ S p ( Ẳ aỵ )

' 1 +

Xét khôi lượng các hạt ừong đa tuyên - , trường mô tả các hạt này là ự

CÓ thể chứng minh rằng các vô hướng sau:

Sp (ụ/Ẳaụ/) biến đổi như x a

Sp {ỹ/y/Ằa) biến đổi như Xa

Cụ thể là chúng thỏa mãn:

[M iR, Sp {ỹ/Ậ,ự)] = ifabcSp (ỹ/Ắcự ) [M a, Sp (ỹ/y/Ậ, )] = ifahcSp (ỹ7y/Ắc)

Dạng bất biến duy nhất thỏa mãn điều kiện (1.2.4):

JU = mQSpy/y/ + nựyly/™ + m2y/™y/l

Tính khối lượng của proton, hàm sóng của p: wl

ỊU = m^ỹ/ịy/Ị + m ^ ịy /Ị

Từ đó suy ra công thức Gell-Mann-Okubo nổi tiếng:

m„ + ms = 2(3mA+m z)

Hệ thức này phù hợp với các giá trị thực nghiệm với độ chính xác khoảng 1%.

Trường hợp vói tuyến 0“ lưu ý rằng đối với các meson thì n được hiểu

là toán tử bình phương của khối lượng Tính toán tương tự, ta thu được:

2 , 2 _ 1/<5 2 , 2 \

K + - }mn+mn)

Do: ml = m f} hệ thức trên ừở thành:

mỉ = ị ( 3mỉ +m *)4

Hệ thức này phù hợp với thực nghiệm với độ chính xác khoảng 5%

Áp dụng cho tuyến tám meson r , ta thu được hệ thức:

mr = 4 ( 3mổ»+mỉ )

Hệ thức này sai số cỡ 14%, nguyên nhân là do ngoài các hạt

K*+’K*°, ,O0 còn có hạt co° giống hạt <D°, cho nên trên thực tế có sự pha

ừộn ( các hạt co° và <D° không phải là các trạng thái vật lý bỏi vì yếu tố

ma trận không chéo ( cũ ° JU2 <D0^ của toán tử ụ 1 khác không).

Các trạng thái vật lý, ký hiệu là <D và Cữ mà đối với chứng yếu tố ma

trận không chéo của toán tử ỊẦ1 bằng không.

(<D I Ị Ỉ I co) = ico\ Ị Ỉ I <D) = 0 Các hàm sóng của các trạng thái o và co là tổ hợp tuyến tính trực chuẩn của các hàm sóng trạng thái <D° và G)ữ

0 = O°cos ỡ+(Oữ sin 0

= sin Ỡtìp + cos 6ĩ>°

Cữ = coữcos Ỡ—<Ị}° sin 6

Bởi vậy: ụ = mnS i':*ì Dm +

Tính toán ta thu được:

1

mN* = m0’ms* =m () + ~ mí

2

m„, = ra0 + — m1, mn_ = ra0 + ra1

Từ đây ta thu được công thức khoảng cách (cách đều) như sau:

về phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3) Cụ thể đã trình bày về nhóm đối xứng SU(3) và thông qua việc áp dụng lý thuyết nhóm đối xứng để tính khối lượng của các hạt ừong một đa tuyến đưa đến kết quả phù hợp với thực nghiệm

CHƯƠNG 2 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)q

Nhóm đối xứng SU(3)q là nhóm đối xứng SU(3) biến dạng phụ thuộc vào một thông số q, là mở rộng của SU(3) thông thường Khi q—>1 thì SU(3)q chứa các kết quả như SU(3) thông thường

Trong chương này chúng tôi trình bày về nhóm đối xứng SU(3) biến

2.1 Dao động tử Boson biến dạng q [5],[7 ]

Dao động tử Boson biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh

dao động tử a,a+ tuân theo hệ thức giao hoán sau:

trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động

Trong phương trình (2.1.1) khi q = 1 thì ừở về hệ thức dao động tà điềuhòa:

Liên hệ giữa các toán tử sinh, hủy dao động tử a+,a và toán tử số dao

động N, được biểu diễn bởi các hệ thức:

a+a = [Af]?

aa =[N + lị

Các toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p được biểu diễn theo các

toán tử sinh và hủy dao động tử biến dạng q a+,a như sau:

2.2 Biểu diễn dao động của nhóm đôi xứng SU(3)

Giả sử có các toán tử Boson dị (i = 1,2,3) thỏa mãn các hệ thức giao

hoán:

] — àịp

Ta hãy định nghĩa toán tử số hạt:

N ị = aỊ dị [ N „ N ^ = 0

Trong đó: Ầa là những ma trận Gell-Mann,

=> / 2 = “^“(Ö1 й2 — а2а ^

Tính toán tương tự ta tìm được các vi tử có dạng:

/ I = ^ (ữi 4 + ữ24 ) 5

^2 2 (й! 02 ữ2ữl)’

/ 3= ì ( ứ 1+ứ1+ứ2 +ứ2),

74 = ! ( * l 4 + *34)>

75 = у ( « 1 Ч - 0 з Ч ) / 6 = ^ ( < 0 з + 0 з Ч )

Ta sẽ tìm được các hệ thức giao hoán của

2.3 Nhóm đối xứng SU(3)q

Đại số lượng tử SU(3)q có các vi tử Ea,Fa,H ữ(a = 1,2) mà chúng tuân

theo các hệ thức giao hoán

Biểu diễn dao động biến dạng q của đại số biến dạng SU(3)q được thực

hiện bằng cách đưa vào hai loại dao động av a2,a3 và bv b2,b2 cùng với những

liên hợp héc mít của chứng, thỏa mãn những hệ thức giao hoán:

Ở đây Ni được gọi là toán tử số dao động và được định nghĩa từ

ai 1 ai 1 bị ■ > К như sau:

[N i]q = aî ai ~ b?bi’

=> 0^2 = 1+^2^2

=> <2^2 = a2a{

SU(3)q Xét bài toán vê tách khôi lượng của nhóm tám baryon —

Giả sử khối lượng của hạt A được định nghĩa qua công thức:

(2.4.1)

Ở đây M là toán tử khối lượng được xây dựng từ tổ hợp của những hàm

sinh Ea,Fa,H a mà ừong giới hạn cổ điển q —> 1 nó tự xuất hiện như là toán

tử Casimir bậc hai của nhóm SU(3) Nó có thể thấy ở trên dạng tổng quát nhất của toán tử như vậy là:

Công thức (2.4.1) và (2.4.2) cho phép diễn đạt những khối lượng của các hạt ừong những số hạng của thông số a, b, c, d và thông số biến dạng q.

Bằng những phép tính toán đã cho kết quả được trình bày như bảng 2.1

Bảng 2.1: Khối lượng nhóm tám baryon 2 của SU(3)q