Luận văn thạc sĩ phá vỡ đối xứng trong lý thuyết su(3) biến dạng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THANH TÙNG PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TRONG LÝ THUYẾT SU(3) BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Yật lí lí thuyết Yật lí toán Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2015 Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan quan tâm bảo, tận tình hướng dẫn cô suốt trình học tập, hướng dẫn Chính quan tâm bảo tận tình cô tạo cho động lực, niềm tin cố gắng để thực luận văn LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Ban chủ nhiệm, thầy cô giáo Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm, tạo điều kiện tận tình giảng dạy, bảo suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp sát cánh, động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả Nguyễn Thanh Tùng Tôi xin cam đoan kết thu đề tài: “Phá vỡ đối xứng lý thuyết SU(3) biến dạng” kết nghiên cứu thu thập riêng hướng dẫn PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan Luận văn không trùng lặp với luận văn khác LỜI CẢM ƠN Tác giả Nguyễn Thanh Tùng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đối xứng đóng vai trò vật lý lý thuyết Ngôn ngữ toán học đối xứng lý thuyết nhóm Sau phát triển mẫu quark lý thuyết Gauge không abelian tuơng tác mạnh tuơng tác điện yếu, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt Nhóm Lie ngày trở thành công cụ chủ yếu vật lý lý thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn Trong năm gần đối xứng lượng tử mà cấu trúc toán học dựa nhóm lượng tử mở rộng nhóm Lie xâm nhập vào nhiều lĩnh vực vật lý Ý tưởng nhóm đối xứng lượng tử ý tưởng mẻ, có tính đột phá Nội dung ý tưởng đưa lý thuyết thoát khỏi phạm vi nhóm cổ điển, điều dẫn đến nhiều thống kê với hạt đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q - biến dạng (hạt quon), thống kê g - biến dạng (hạt guon), thống kê para Nhóm đối xứng lượng tử có khả đưa đến phát triển lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết hạt bản, vũ trụ học đặt vấn đề toán học lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tử Nghiên cứu nhóm đối xứng lượng tử công việc cần thiết, đại dẫn đến nhiều kết Đại số nhóm Lie xuất lâu song gần đòi hỏi ứng dụng nghiên cứu vật lý mà V.I Drinfeld lượng tử hóa đại số nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay gọi đại số lượng tử Gần nhóm lượng tử đại số chúng thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết vật lý toán quan điểm ứng dụng chúng mẫu vật lý mối liên quan với lời giải phương trình vi phân phi tuyến Chúng liên quan đến vấn đề đa dạng nghiên cứu nghiệm phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý thuyết trường Conformal hữu tỷ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số Đại số lượng tử xem biến dạng phụ thuộc vào nhiều thông số đại số Lie thông thường Đại số lượng tử xem biến dạng đại số Lie cổ điển Trong trường họp tổng quát biến dạng phụ thuộc vào nhiều thông số Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị hạt Từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc thông số nhiều thông số Sự biến dạng phụ thuộc vào thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3)q Đại số lượng tử SU(3)pq khảo sát biến dạng phụ thuộc hai thông số (pq) đại số Lie thông thường nhóm Unita SU(3), để đạt điều cần xây dựng dao dộng điều hòa biến dạng hai thông số (pq) Đại số lượng tử SU(3)q trường họp đặc biệt đại số SU(3)pq trường họp giới hạn p = q Khi thông số biến dạng tiến đến giá trị giới hạn đại số biến dạng trở đại số chưa biến dạng, đại số biến dạng tổng quát đại số chưa biến dạng Từ hy vọng đại số biến dạng mô tả tượng vật lý gần với thực nghiệm Vào khoảng 1960 số hạt phát tăng nhiều so với 30 năm trước đó, Heisenberg đề xuất ý tưởng spin đồng vị Mặt khác kết thu từ lý thuyết đối xứng đồng vị SU(2) mở ý tưởng mở rộng nhóm đối xứng rộng có chứa SU(2) nhóm Lúc ta kết hợp nhiều đa tuyến đồng vị lại với thành đa tuyến lớn thực biểu diễn nhóm đối xứng mở rộng này, nhóm đối xứng SU(3) Nếu đối xứng SU(3) xác khối lượng tất hạt đa tuyến phải Nhưng thực tế hạt đa tuyến có khối lượng khác nhau, điều có nghĩa đối xứng SU(3) không hoàn toàn xác nguồn gốc phá vỡ đối xứng Việc nghiên cứu phá vỡ đối xứng nhóm SU(3), vấn đề tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên SU(3) quan điểm khái niệm nhóm lượng tử SU(3)q khái niệm nhóm lượng tử phụ thuộc hai thông số SU(3)pq vấn đề cần thiết Từ lý trên, chọn đề tài “Phá vỡ đối xứng lý thuyết SU(3) biến dạng” Mục đích nghiên cứu 10 Nghiên cứu phá vỡ đối xứng nhóm SU(3), SU(3) biến dạng thông số, SU(3) biến dạng hai thông số Nhiệm vụ nghiên cứu 11 Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), đa tuyến, phá vỡ đối xứng SU(3) Dao động tử Boson biến dạng q, nhóm đối xứng SU(3)q, nghiên cứu phá vỡ đối xứng SU(3)q Dao động tử biến dạng pq, nhóm đối xứng SU(3)pq, nghiên cứu phá vỡ đối xứng SU(3)pq Đối tuợng phạm vi nghiên cứu 12 Nghiên cứu phá vỡ đối xứng nhóm đối xứng SU(3) chưa biến dạng, SU(3) biến dạng thông số, SU(3) biến dạng hai thông số tính hệ thức khối lượng hạt đa tuyến Phuơng pháp nghiên cứu 13 Sử dụng phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý toán Sử dụng phương pháp nhóm đối xứng đại số lượng tử Dự kiến đóng góp 14 Đưa cách nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3) phụ thuộc thông số hai thông số biến dạng, viết tài liệu tổng quan phá vỡ đối xứng SU(3) biến dạng 15 16 17 NỘI DUNG CHƯƠNG PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3) Trong chương trình bày nhóm đối xứng SU(3), phá vỡ đối xứng SU(3) hệ thức khối lượng phá vỡ đối xứng SU(3) 1.1 Nhóm đối xứng SU(3) [l], [2] 1.1.1 Nhóm đối xứng SU(3) 18 Tập họp tất ma trận 3x3 unita, có định thức thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3) 19 Bất kì phần tử SU(3) viết dạng: 20 21 Vg^SUi 3), g{ũ>) = e^ (fl = ũ) Các ma trận Ảa phải thỏa mãn điều kiện: 22 23 Các ma trận Ằa thường chọn ma trận Gell-Mann: 10 11 12 r r -ỉ 0^ °ì 13 14 15 16.17 18 19 20 21 22 023.24 25 Ậ 0 >*2 i 0 ,4 = - ? 26.27 28 29 30.31 32 33 34.35 36.37.38 ,0 0 ,0 0, 0 >4 = 0 0 0, (\ ,0 0 0 ,0 41 42 43.44 45 46 39.40 47.4r 49.50.51 r r 0 0 0 52.53 54 55.56 57 58 59 60 61 62.63.64 65.66.67 68 69 70.71 72 78.79 80 81.82 91 ¿ ( 0 > ^ 86 87 88.89.90 0^ 94 0 i0 24 25 V3 ? 73.74 75.76.77 83.84 85 92 0 93 -/ ’^6 = (1.1.2= SpẲ a 26 Các ma trận Ằa thỏa mãn hệ thức sau: 95 Ằ 96 -iỉabc-ị (a,b,c = 1,8) 98 99 101 À 102 Àe a 104 a 105 dab c22 b L 107 2’ 97 100 (1 1.3) 103 106 (1 1.4) 27 28 Trong đó, fabc số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng theo số a, b, c; dabc số hoàn toàn đối xứng theo số a, b, c 29 Dùng tính chất: 30 31 Sp(ĂM = 2ổab Ta tính được: 108 A»C=-ỊSP([4A]4) 110 [EpFj] = a!+ ^l + a2Ö2)öi ~a2 (l + öi+öi)ö2 339 = ũịũị + flj^fljfljOj - a2a2 - «2 Ö1+Ö1Ö2 = - a2 a2 = //j 340 =^[£pi;]=H1 341 2.4 Phá vỡ đối xứng SU(3)q 342 Trong phần xét toán tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên SU(3) hên quan điểm khái niệm nhóm lượng tử 344 343. _, , , _ , SU(3)q Xét toán vê tách khôi lượng nhóm tám baryon — 345 Giả sử khối lượng hạt A định nghĩa qua công thức: 346 347 ^ = - g( 1) M toán tử khối lượng xây dựng từ tổ họp hàm sinh Ea,Fa,Ha mà giới hạn cổ điển q—> tự xuất toán tử Casimir bậc hai nhóm SU(3) Nó thấy dạng tổng quát toán tử là: 348 M = a ị F t E l + F 2E 2- [ F l , F 2] [ E t , E ] + ị { H Ỉ + H Ỉ + H t H ) + H l + H (2.4.2 349 Công thức (2.4.1) (2.4.2) cho phép diễn đạt khối lượng hạt số hạng thông số a, b, c, d thông số biến dạng q 350 1+ Đầu tiên xét nhóm tám baryon SU(3), chúng biểu diễn bằng: 351 352 353 p" n z+ ^ ^ 354 355 A ^ ỉ2^2— (2.4.3) ) Bằng phép tính toán cho kết trình bày bảng 2.1 356 r 357 Bảng 2.1: Khôi lượng nhóm tám baryon — SU(3)q 242 243 a 247 248 252 253 p n 257 258 263 I+ 262 s° 2],+l 267 268 2] 273 A 244 249 [ s° 283 M 284 L J 289 358 359 2],+l 259 [2 264 [Ũ ],+í2 +1 270 275 d 2[2],-l 251 256 +- + [2],+l 276 280 285 286 V 260 + q2 265 L iq -[2] 271 [ [2W 246 255 279 2],+ [l] 403 L J pq L Apq L 404 L5 ) Nếu định nghĩa trạng thái chân không tương ứng với giá trị riêng toán tử N ị trạng thái riêng lượng tử I«, ) định nghĩa là: 398 / + \n* 401 / pq Nhờ hệ thức: Apq L Apq L Apq 405 «1 («1+ qNl, («1+ )" «1 + [n] p q («1+ )" )" = p~ n (3.1.7) 406 «2  («2+   )"   =  p~ («2+ )" «2 + [n] pq  («2+ )" 407 n   q Nl Có thểchứng minh trạng thái riêng (3.1.7) trực chuẩn Những 408 trạng thái riêng xây dựng từ toán tử flj+,«2 có thểđược mô tả bởi: 409 410 411 I\ ( < r ( « 2+ r I V = k , « 2> = ) J y J 0) p 3.2 Nhóm đối xứng SU(3)pq [9] (3.1.8) 412 Tương tự đại số biến dạng thông số đưa khái niệm nhóm lượng tử SU(3)pq mà đại số sinh toán tử E a ,F a , H a (a = 1,2) tuân theo hệ thức giao hoán: 415 416 417 413 [£«>•*«]=0 414 [«„.£,] = ( 3^-l)£, [HO,Hj9] = (a*fi) 1 = ([2]„-P3_^2’ - )£.£2* [^2’ ^1 ] ị M 'Ị = ([2]M-9P'1-1)E^ = ([2]M-9P_1-I)W, = ([2L-P3-1-I)W2 (3.2.1 418 Hệ thức (3.2.1) với p, q tổng quát, E a ,F ữ ,H ữ (a = 1,2) hàm sinh Trong trường họp giới hạn p = q [*] -> [x] đại số lượng tử 419 SU(3)pq (3.2.1) trở đại số lượng tử SU(3)q (2.2.1) 420 Dao động tử điều hòa biến dạng p, q cho đại số lượng tử SU(3)pq mở rộng dao động điều hòa biến dạng thông số đại số SU(3)q Chúng bao gồm hai loại dao động a v a ,a b v b ,b liên họp chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán lượng tử: N, (3.2.2) 421 Ni gọi toán tử số dao động định nghĩa cho: [Ni]pq=aiai~P^lbibi [Nl]qp=aia2-9P~1Kb2 [N3Ìpq=a3a3-P i ] = ~ Ai Ï N i , b i ~ \ = b A 423 L i’ jJ i ij N a a 424 Những vi tử đại số lượng tử SU(3)pq biểu diễn số hạng dao động lượng tử giống trường họp đại số lượng tử biến dạng thông số: 425 426 El = a^a2 — b2bx, 427 H p\ — ữ2ũị — bỵ b2, 1=N1~N2’ 428 E2 a2a3 -b3b2, (3.2.4) 429 P'1 — ũ3ũị — b2 b3, 430 H2=N2-N3 = 431 Sử dụng hệ thức (3.2.2) chứng minh vi tử E a ,F a ,H a (a = 1,2) biểu diễn dạng (3.2.4) thỏa mãn đại số SU(3)pq dạng (3.2.1) 432 Ví dụ chứng minh hệ thức = (a ^ ß) giao hoán 433 Ta có: 434 435 = (N,-N2)(N2-N2)-(N2-N2)(N2-N2) = N3N2 - NÌN3 - N2N2 + N2N3 - NĨNÌ + N2N2 + N3NÌ - N3N2 436 437 Vậy: (vì [Ari,ATJ]=o) 3.3 Phá vỡ đối xứng SU(3)pq [10] 439 440 438.r Xét toán vê tách khôi lượng nhóm tám baryon — cho phá vỡ đối xứng bên SU(3) quan điểm khái niệm nhóm lượng tử biến dạng hai thông số SU(3)pq 441 Khối lượng hạt A định nghĩa qua công thức: M toán tử khối lượng được(A|M|A) xây dựng từ tổ họp hàm sinh m (3.3.1 E a ,F a ,H a mà giới hạn cổ điển p,q —>1 tự xuất toán tử Casimir 442 bậc nhóm SU(3) Dạng tổng quát toán tử M là: 443 M = a \ F l E , + F E - [ F „ F ] [ E l , E } + ụ H Ĩ + H l + H l H ) + H , 2 + H ] ị + b ị E l F ỉ + E 2F 2- [ E v E 2] [ F l , F ] + ị ( H Ỉ + H 22+ H l H 2) - H l - H j ị + c ỊíiE, + F 2E - [ E „ E 2] [F,,F ] + ỉ(tf,2 + t ì + H l H 2)| 444 £2/-2-[/;,/-2][£1,£2] + i(//12 + H22+//1//2) + H2Ị 445 +d|£1/;+ (3.3.2) Công thức (3.3.1) (3.3.2) cho phép diễn đạt khối lượng hạt theo thông số a, b, c, d thông số biến dạng p, q Trong đối xứng hai thông số biểu thức khối lượng có dạng đối xứng thông số Chúng chứng minh biểu thức khối lượng tổng quát đối xứng SU(3) lượng tử có thông số 446 1+ , „ , 447 Nhóm tám baryon — biêu diên băng: 448 n r'-‘ 449 E+ ~ (3.3.3) 450 ~ A r'~' ~ I2b2 2a3b3 ) 451 -T70 a Đối với P, q sau tính toán thu kết cho bảng 3.1 sau: 350 291 296 290 295 p Bảng ĩ Khối 351 — lượng nhóm tám SU(ỉ)pq đôi với p, baryon q bât kì 293 c 294 292 b 297 [2] +[2] -1 298 [2] +[2] -1 299 a 303.4 302 300 301 n 305 + 307 306 310.311.]l l2p~ +l 2q~ -1 2p- q~ - 2q~ + 4/T + ° 316 p^ + q- I 320 [2] + \ ■% q2 326 p~ + q~ + 325.p~ l q~ l + 6p~ l + A 331 l 5p- l + q~ [2L+Í2 312 2ạ2 + 2ạ“1 + 317 p~ l + q~ l 321 r 322 308 + q 2 313 2q~ + p~ l +2p~ + ì 318 323 p~ l +q~ l J qp [2] +1 L 327.1 2ạ" + 8/T + 1 2 4/7~ [...]... CHƯƠNG 2 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)q 223 Nhóm đối xứng SU(3)q là nhóm đối xứng SU(3) biến dạng phụ thuộc vào một thông số q, là mở rộng của SU(3) thông thường Khi q—>1 thì SU(3)q 225 chứa các kết quả như SU(3) thông thường 226 227 Trong chương này chúng tôi trình bày về nhóm đối xứng SU(3) biến , , , 1 + dạng q, đông thời xét bài toán vê tách khôi lượng của nhóm tám baryon — 228 cho phá vỡ đối xứng. .. Kết luận chương 1 Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng của các hạt trong cùng một đa tuyến sẽ như nhau nhưng trong thực tế khối lượng của các hạt lại khác nhau nên đối xứng SU(3) bị phá vỡ Trong chương này chúng tôi đã trình bày về phá vỡ đối xứng của nhóm SU(3) Cụ thể đã trình bày về nhóm đối xứng SU(3) và thông qua việc áp dụng lý thuyết nhóm đối xứng để tính khối lượng của các hạt trong. .. baryon — cho phá vỡ đôi xứng bên trong SU(3) trên quan diêm của khái 368 niệm nhóm lượng tử SU(3)q, các kết quả thu được phù họp với số liệu thực nghiệm 369 CHƯƠNG 3 PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG CỦA NHÓM SU(3)pq 370 Nhóm đối xứng SU(3)pq là nhóm đối xứng SU(3) biến dạng phụ thuộc vào hai thông số p và q, là mở rộng của SU(3) biến dạng q Trong trường họp p = q thì SU(3)pq trở về SU(3)q, khi p,q —>1 thì SU(3)pq chứa... khi p,q —>1 thì SU(3)pq chứa các kết quả như SU(3) thông thường 371 Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3) biến dạng p,q đồng thời xét bài toán về tách khối lượng của nhóm 372 l+ r 373 tám baryon - cho phá vỡ đôi xứng bên trong SU(3) trên quan diêm của khái niệm nhóm lượng tử SU(3)pq 374 375 3.1 Dao động tử biến dạng p, q [6] Xét những toán tử a v a 2 liên họp... được chọn thế nào để trong tổng được chuẩn hóa 149 1.2 ’^333 + Ẽ*°H*° + Phá vỡ đối xứng SU(3) [1], [2] 150 Nếu đối xứng SU(3) là chính xác thì khối lượng các hạt trong cùng một đa tuyến sẽ như nhau Nếu gọi ự là toán tử khối lượng thì lúc đó: 151 = 0, a=lTl 152 [Ma,Ju] (1.2.1) Nhưng thực tế các hạt trong cùng một đa tuyến có khối lượng hơi khác nhau, điều này có nghĩa là đối xứng SU(3) không hoàn toàn... pháp truyền thống của đối xứng gián đoạn Hệ thức (2.4.5) phù họp với số liệu thực nghiệm với độ chính xác cao 364 Kết luận chương 2 365 Trong chương này chúng tôi đã trình bày về dao động tử Boson biến dạng q, qua đó đưa ra biểu diễn dao động của nhóm đối xứng SU(3), SU(3) biến dạng một thông số q, đồng thời xét bài toán về tách khối lượng của nhóm 366. _, _ r , _ 367 tám baryon — cho phá. .. ~a2 (l + öi+öi)ö2 339 = ũịũị + flj^fljfljOj - a2a2 - «2 Ö1+Ö1Ö2 = - a2 a2 = //j 340 =^[£pi;]=H1 341 2.4 Phá vỡ đối xứng SU(3)q 342 Trong phần này chúng ta xét bài toán về tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên trong SU(3) hên quan điểm của khái niệm nhóm lượng tử 344 343. _, , , _ , SU(3)q Xét bài toán vê tách khôi lượng của nhóm tám baryon — 345 Giả sử khối lượng của hạt A được định... tám baryon — 228 cho phá vỡ đối xứng bên trong SU(3) trên quan điểm của khái niệm nhóm lượng tử SU(3)q 229 230 2.1 Dao động tử Boson biến dạng q [5], [7] Dao động tử Boson biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a,a+ tuân theo hệ thức giao hoán sau: 231 232 233 aa+ -qa+a (2.1.= q trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động Trong phương trình (2.1.1) khi q = 1 thì... SU(3) không hoàn toàn chính xác Lúc đó: 153 M = Min +M' (1.2.2) V 154 JU' gọi là khối lượng vi phạm đối xứng 1 155 Giả sử đối xứng SU(3) vi phạm nhưng đối xứng SU(2) vẫn còn đúng và siêu tích được bảo toàn 156 Nghĩa là: 157 SU(3) SUN(2)xUy(l) (1.2.3) 158 Lúc đó / Ầ vẫn thỏa mãn các điều kiện của nhóm SU(3) tức là: 159 [M„//] = 0 (¡ = 1,3) 160 (1.2.4) [M„^] = 0 161 Muốn vậy ụ ' phải tỷ lệ với thành... Nl-N2 + N2-N3 = Nl-N3 ++ ữ”ỵ ữ~^ ữ"^ [G„G2]=//1+//2 vi tử 319 2.3 Nhóm đối xứng SU(3)q 320 Đại số lượng tử SU(3)q có các vi tử E a , F ữ , H ữ ( a = 1,2) mà chúng tuân theo các hệ thức giao hoán 321 |X.|X.£„]] = (1-3S*)([2],-322 (2.3.1) [Í; ]] = (1 -3^)([2], -2)F.F,F 2)E„E,£„’ 323 Biểu diễn dao động biến dạng q của đại số biến dạng SU(3)q được thực hiện bằng cách đưa vào hai loại dao động fl 1,fl2,fl3