Hàm biến phức và phép biến đổi laplace 3 2016

giáo trình laplace của thầy Ngô Hữu Tâm biên soạn rất chính xác mang tính tham khảo cao trong quá trình học và thi.................................................... ............................................................................................................................

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN GIÁO TRÌNH Biên soạn : Ngô Hữu Tâm ( Lưu hành nội bộ-3/2016) Lời mở đầu Giáo trình “Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace” biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình gồm chương: Chương : Số phức mặt phẳng phức Chương : Hàm biến phức Chương 3: Đạo hàm hàm biến phức Chương 4: Tích phân hàm biến phức Chương 5: Chuỗi hàm biến phức Chương 6: Thặng dư ứng dụng Chương 7: Phép biến đổi Laplace ứng dụng Với nội dung mà thời lượng dành cho môn học có 30 tiết eo hẹp Do đó, tác giả cố gắng đưa vào giáo trình khoảng 40%-50% tập dạng trắc nghiệm để giáo viên cần thời gian mà giúp bạn sinh viên nắm vững nội dung phong phú môn học Phần tập trắc nghiệm tách riêng để thuận tiện cho việc sử dụng Trước chương tác giả nêu nội dung, kiến thức mà sinh viên cần phải đạt Dựa vào mà bạn sinh viên biết phải học gì, cần phải hiểu rõ khái niệm nào, nội dung cần phải nắm vững toán dạng phải làm Trong chương, tác giả đưa vào nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ khái niệm vừa trình bày Sau chương có phần tập chọn lọc phù hợp để sinh viên tự luyện tập nhằm đạt hiểu biết sâu rộng khái niệm đọc qua thấy ứng dụng rộng rãi kiến thức vào thực tế Tuy có nhiều cố gắng công tác biên soạn, chắn giáo trình nhiều thiếu sót Chúng xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp bạn đọc đồng nghiệp để giáo trình ngày hoàn thiện Thư góp ý xin gửi : Ngô Hữu Tâm Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa học Cơ Bộ môn Toán Email: tamnh@hcmute.edu.vn huutamngo@yahoo.com.vn Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang Chương SỐ PHỨC VÀ MẶT PHẲNG PHỨC Trong chương , bạn học: ♦ Khái niệm tập số phức, tập số phức mở rộng tập số thực ♦ Các dạng số phức: Hình học, đại số, lượng giác, mũ ♦ Các phép toán số phức: Cộng , trừ, nhân , chia, lũy thừa , khai căn, quan hệ ♦ Mặt phẳng phức , số khái niệm mặt phẳng phức …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… §1 SỐ PHỨC Bạn đọc quen thuộc tập số thực R với phép toán cộng, trừ, nhân, chia,… tính chúng giao hoán, kết hợp, phân phối…… Về mặt hình học, tập số thực biểu diễn điểm đường thẳng, gọi trục số thực ( trục 0x) hình vẽ sau Với a∈R, a biểu diễn tương ứng với điểm trục 0x cách gốc đoạn a , nằm phía bên phải gốc a > 0, nằm phía bên trái gốc a< Mỗi số thực tương ứng với điểm trục 0x ngược lại Lấy trục số thực 0x đặt vào mặt phẳng với hệ trục tọa Đề-các Oxy cho trục thực 0x trùng với trục 0x mặt phẳng Oxy (cách làm gọi phép nhúng) y b (a,b) a x Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang Bây giờ, xét mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy số thực a tương ứng với điểm có tọa độ (a,0) nằm trục 0x Sau đây, mở rộng tập số thực ( trục 0x) sang tập số phức ( mặt phẳng 0xy) Định nghóa số phức ( complex numbers) Trên tập hợp C := {z= (a,b) | a∈R, b∈R}≡ R2 mà quan hệ nhau, phép cộng, phép nhân, phép đồng cặp số đặc biệt với số thực định nghóa sau: ∀(a,b), (c,d)∈ C ⎧a = c i) Quan heä baèng nhau: (a,b) = (c,d) ⇔ ⎨ ⎩b = d ii) Phép cộng : (a,b) + (c,d) = (a+c , b+d) iii) Phép nhân : (a,b).(c,d) = (ac-bd, ad+bc) iv) Phép đồng : (a, 0) ≡ a ( số nằm trục thực 0x xem số thực) Tập C với phép toán định nghóa tạo thành trường số gọi trường số phức Trong trường số phức C, ta có: ♦ Phần tử đối z = (a, b) , ký hiệu –z, –z = (-a,-b) ♦ Phần tử zêro (0,0) ≡ ( sử dụng dấu “=” thay cho daáu “≡” ) −b ⎞ ⎛ a , ♦ Phần tử nghịch đảo z = (a,b) ≠ 0, ký hiệu z-1, z-1 = ⎜ ⎟ ⎝ a + b a + b2 ⎠ ♦ Phần tử đơn vị thực (1,0) = ♦ Phần tử đơn vị ảo, ký hiệu i, i = (0,1) ; ta i2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1 i = (0,1) i = −1 (1.1) Mỗi số phức z = (a,b) xem điểm hay véctơ có tọa độ (a,b) mặt phẳng 0xy Các tính chất phép toán số phức hoàn toàn tương tự tính chất phép toán số thực Dạng đại số số phức Mọi số phức z = (a, b) viết dạng z = a+ib, gọi dạng đại số số phức Thật vậy, z = (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (0,1)(b,0) = a+ ib ♦ a goïi phần thực số phức z, ký hiệu Rez ♦ b gọi phần ảo số phức z, ký hiệu Imz Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang Vaäy z = (a, b) = a+ib = Rez +i Imz (1.2) Các phép toán số phức viết dạng đại số Với z1 = a +ib, z2 = c +id ∈ C i) Phép cộng: z1 + z2 = (a+ c) +i(b + d) ii) Phép trừ: z1- z2 = (a- c) +i(b - d) iii) Phép nhân: z1 z2 = (ac –bd ) + i(ad +bc) iv) Pheùp chia: z1 a + ib (a + ib)(c − id ) −1 = z1 z , với z2 ≠ = = 2 z c + id c +d ⎧a = c ⎩b = d v) Quan heä nhau: z1 = z2 ⇔ ⎨ ? Nhận xét: ♦ Khi cộng (trừ) hai số phức dạng đại số, ta cộng ( trừ) phần thực với phần thực phần ảo với phần ảo ♦ Khi nhân hai số phức dạng đại số, ta áp dụng tính phân phối bình thường số thực nhớ thay i2 = -1 ♦ Khi chia hai số phức dạng đại số, ta nhân tử mẫu với lượng liên hiệp mẫu số Ví dụ 1.1 Tìm phần thực phần ảo số phức: z = + 2i + + 6i − 3i Giải Ta có z= (1 + 2i )(2 + 3i ) 2 − 32 i Vaäy Rez = + 6i + 7i ⎛−4 ⎞ ⎛7 ⎞ 48 85 + + 6i = ⎜ + ⎟ + i⎜ + ⎟ = +i + + 6i = 13 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13 13 48 85 , Imz = 13 13 ¡ Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a + ib , ký hiệu z , định nghóa sau z := a - ib (1.3) ? Một số tính chất: Với z1, z2 , z ∈ C i) z1 + z = z1 + z ii) z1 z = z1 z ; z1 − z = z1 − z ( )k , k ∈ Z ; zk = z Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang ⎛z ⎞ z iii) ⎜⎜ ⎟⎟ = , với z2 ≠ ⎝ z2 ⎠ z2 iv) α = α , ∀α∈ R v) z = z Ví dụ 1.2 Cho đa thức bậc n hệ số thực f(z) = anzn + an-1zn-1+ +a1z + ao Tức ak∈R, k = 0,1,2, ,n an ≠ Giả sử f(zo) = a+ib, tính f( z o ) Giải Ta có an z on + an-1 z on−1 + +a1zo + ao = f(zo) = a+ib ( )n +a (z o )n−1 +….+ a f( z o ) = an z o n-1 zo + ao = an z on + a n−1 z on −1 +….+ a1 z o + a0 (do tính chất (ii) (iv) ) = a n z on + a n −1 z on −1 +…+ a1 z o + a0 (do tính chất (ii) ) = a n z on + a n −1 z on −1 + + a1 z o + a o = a + ib = a – ib (do(i) giả thiết) ¡ ? Nhận xét Cho phương trình bậc n hệ số thực anzn + an-1zn-1+ +a1z + ao = (1) , an ≠ ♦ Khi a + ib = a − ib = Do đó, z o nghiệm phương trình (1) z o nghiệm phương trình (1) ♦ Nếu n lẻ phương trình (1) có nghiệm thực - Dạng lượng giác số phức y rsinϕ =b (a,b) = a+ib = z r ϕ a= rcosϕ x Chúng ta thấy số phức z = a+ib = (a,b) tương ứng với vectơ có gốc gốc tọa độ điểm có tọa độ (a,b) Để đơn giản ta gọi véctơ Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang vectơ z Gọi r môđun véctơ z ϕ góc trục 0x véctơ z Từ nhận xét thiết lập dạng lượng giác (dạng cực) số phức sau 5.1- Mô-đun số phức Cho số phức z = a + ib Mô-đun z, ký hiệu |z| định nghóa |z| := (1.4) a2 + b2 = r Ví dụ 1.3 Với z = – 3i |z| = = + (−3) = ¡ ? Một số tính chất: ∀z, z1, z2 ∈ C iv) i) |z| ≥ ; |z| = ⇔ z = ii) |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2| (BĐT tam giác) iii) |z1| - |z2| ≤ |z1 ± z2| v) |z1.z2| = |z1|.|z2| z1 z1 , z2 ≠ = z2 z2 5.2- Argument số phức Cho số phức z = a + ib ≠ 0, r= |z| ♦ Giá trị argument số phức z góc ϕ (-π < ϕ ≤ π) thoûa z = r(cosϕ + isinϕ), ký hiệu Argz Cụ thể Argz tính sau: b ⎧ ⎪arctg a ⎪ b ⎪π + arctg a ⎪ ⎪ b Arg z = ⎨− π + arctg a ⎪ π ⎪ ⎪2 ⎪ π ⎪− ⎩ a > 0, ∀b ∈ R a < vaø b ≥ a < vaø b < (1.5) a = vaø b > a = vaø b < ♦ Argument z, ký hiệu argz: argz := Argz + k2π, k ∈ Z (1.6) ? Chú ý • Một số tài liệu dùng argz để ký hiệu giá trị Argz để ký hiệu argument • Có thể qui định giá trị argument khoảng [0; 2π) Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang 5.3 - Dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + ib ≠ ♦ ϕ = argz (hay ϕ = Argz) y ♦ a = rcosϕ ♦ b = rsinϕ rsinϕ= b z = a + ib ϕ a= rcosϕ Khi x z = r ( cosϕ + i sinϕ ) (1.7) gọi dạng lượng giác số phức ª ? Chú ý Chúng ta thường tìm dạng lượng giác số phức z = a + ib ≠ qua hai bước sau: Bước Tính r = a + b = z a ⎧ ⎪cos ϕ = r Bước Tìm góc ϕ thỏa ⎨ b ⎪ sin ϕ = r ⎩ Khi dạng lượng giác z laø : z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) Ví dụ 1.4 Viết số phức z = 1+i đưới dạng lượng giác Giải Modun r = z = 12 + ( ) = ⎧ ⎪⎪ cos ϕ = π → chọn ϕ = ⎨ ⎪sin ϕ = ⎪⎩ Vaäy z = 2(cos π + isin π ) ¡ Lũy thừa bậc n số phức- Công thức Moivre Cho số phức Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang z1 = r1(cosϕ1+ isinϕ1); z2 = r2(cosϕ2+isinϕ2),…, zn = rn(cosϕn +isinϕn) Khi z1z2 = r1.r2[(cosϕ1 cosϕ2 - sinϕ1sinϕ2) + i(sinϕ1 cosϕ2+ cosϕ1 sinϕ2)] = r1.r2[cos(ϕ1+ϕ2) +isin(ϕ1+ϕ2)] Tương tự z1 r1 = [cos(ϕ1-ϕ2) +isin(ϕ1-ϕ2)] , với z2 ≠ z r2 ? Suy : z1z2 …zn = r1r2…rn[cos(ϕ1+ϕ2 +…+ϕn) + isin(ϕ1+ϕ2 +…+ϕn)] Neáu z1 = z2 = … = zn = z = r( cosϕ + i sinϕ ) ta công thức lũy thừa bậc n số phức z n = [r(cosϕ + isinϕ )]n = rn( cosnϕ + i sinnϕ ) , ∀n∈ Z (1.8) Khi r = ta có Công thức Moivre (cosϕ + isinϕ ) n = cosnϕ + i sinnϕ , ∀n∈Z (1.9) Ví dụ 1.5 Tính viết kết dạng đại số phức (1+i )2017 Giải Ñaët z = 1+i = 2(cos π + isin π ) Khi 2017π 2017π ⎞ + i sin ⎟ = ⎠ ⎛1 3⎞ π π⎞ ⎛ = 22017 ⎜ cos + i sin ⎟ = 22017 ⎜⎜ + i ⎟⎟ = 22016(1+i ) ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝2 ⎛ ⎝ (1+i )2017 = z2017 = 22017 ⎜ cos ¡ - Khai bậc n số phức Căn bậc n số phức z , ký hiệu n z , số phức w thỏa mãn w n = z Dễ thấy n = Đặt số phức z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ 0, w = ρ(cosθ + isinθ) Ta coù ρn(cosnθ + isinnθ) = [ρ(cosθ + isinθ)]n = wn = z = r(cosϕ + isinϕ) ⎧ρ n = r ⎧ρ n = r ⎪ ⇒ ⎨ ϕ + 2kπ ⇒⎨ , với k ∈ Z ⎩nθ = ϕ + 2kπ, với k ∈ Z ⎪⎩θ = n Nếu gọi n r bậc n (dương) số thực dương r, ta được: ϕ + k 2π ϕ + k 2π n ϕ k 2π ϕ k 2π n + i sin ] = r [cos( + ) + i sin( + )] , k ∈ Z z = w = n r [cos n n n n n n Do hàm cos, sin tuần hoàn chu kỳ 2π nên ta Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang n z = n r (cos ϕ + k 2π n + i sin ϕ + k 2π ); k = 0,1,2, , n-1; n ∈ N+ n (1.10) (chỉ cần lấy n giá trị nguyên liên tiếp k) ? Nhận xét Căn bậc n số phức z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ có tất n giá trị, chúng có biểu diễn hình học n đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn tâm bán kính n r Ví dụ 1.6 Khai bậc số phức z = -1 + i biểu diễn kết lên mặt phẳng phức Giải Mun r = z = (−1) + ( ) = , Argz = π + arctg(- ) = π- π = ⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π + kπ ⎟ ⎜ ⎜ ⎢ 2π 2π 4 ⎜ ⎟ + isin ) ⇒ z = ⎢cos Suy z = 2(cos + i sin⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ với k = 0, 1, 2, Biểu diễn hình học kết sau: 2π + kπ ⎞⎤ ⎟⎥ đặt ⎟⎥ = z k , ⎟⎥ ⎟ ⎠⎥⎦ ¡ - Công thức Euler- Dạng mũ số phức ? Công thức Euler: cosϕ + isinϕ = eiϕ (1.11) ? Dạng mũ số phức: z = r(cosϕ + isinϕ) = reiϕ (1.12) Cho z1 = r1 e Khi iϕ , z2 = r2 e z1 z = r1 r2 e i (ϕ1 +ϕ2 ) ; iϕ z1 r1 i (ϕ1 −ϕ ) = e z r2 Hàm biến phức phép biến đổi Laplace …… …………………………………….… … Trang m B) Neáu a cực điểm hàm f(z) lim(z − a) f (z) = A với (A ≠ 0, A ≠ ∞ ) a z →a cực điểm cấp m hàm f(z) C) z = cực điểm cấp hàm f(z) = sin(z − 1) (z − 1) D) z = cực điểm cấp hàm f(z) = ze z (z − 1) Câu 17 Khẳng định sau sai? A) Nếu a cực điểm cấp m hàm f(z) khai triển Laurent f(z) quanh điểm a có dạng : f (z) = a −m (z − a) m + a −m +1 (z − a) m −1 + + +∞ a −1 + ∑ a n (z − a) n với a-m ≠ z − a n=0 B) Nếu khai triển Laurent f(z) quanh điểm a có dạng +∞ a −m a −m +1 a −1 f (z) = + + + + a n (z − a) n với a-m ≠ a cực điểm ∑ m m −1 − z a (z − a) (z − a) n =0 cấp m hàm f(z) sin z có cực điểm đơn z = C) Hàm f(z) = z D) Hàm f(z) = có cực điểm z = 0, z = i, z = -i z(z + 1)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG Chương TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu Nếu a điểm bất thường bỏ hàm f(z) Re s[f (z ), a] = Câu Nếu a cực điểm cấp m (m > 1) hàm f(z) Re s[f (z ), a] ≠ Câu Nếu a điểm bất thường cốt yếu hàm f(z) Re s[f (z ), a] ≠ Câu Nếu a cực điểm cấp hàm f(z) Re s[f (z), a] ≠ Câu Nếu a cực điểm cấp m hàm f(z) Re s[f (z), a] ≠ PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN ( Chọn câu : A, B, C, D ) Câu Giả sử a cực điểm cấp k hàm f(z) Khẳng định sau sai? A) lim f ( z ) = ∞ , lim( z − a ) k f ( z ) = A (với ≠ A ≠ ∞ ) z →a z →a B) Re s[ f ( z ), a ] = C) z = a điểm bất thường bỏ hàm g ( z ) = f ( z ) ( z − a ) k Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 127 D) Khai triển Laurent f(z) quanh a có dạng +∞ a− k a− k +1 a−1 f ( z) = + + + + ∑ an ( z − a) n với a ≠0 k k −1 -k ( z − a) ( z − a) z − a n =0 Câu Khẳng định sau sai? z A) z = điểm bất thường cốt yếu hàm f (z) = ze ⎡ ⎤ B) Re s⎢ze z ,0⎥ = ⎣⎢ ⎦⎥ C) z = cực điểm cấp hàm f (z) = (z − 1)e z −1 ⎡ ⎤ z D) Re s⎢(z − 1)e −1 ,1⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ Caâu Khẳng định sau sai? 1 ⎡ ⎤ B) ∫ ze z dz = A) ∫ ze z dz = 2πi Re s⎢ze z ,0⎥ z =1 z − =1 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎛ ⎡ e iz ⎤⎞ ⎡ e iz ⎤ cos xdx +∞ sin xdx ⎜ + − π i Re s , i Re s , i = i + ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎢ ⎥ ∫ x2 + ∫ x2 + 2 ⎜ + z + z −∞ −∞ ⎣ ⎦⎠ ⎣ ⎦ ⎝ +∞ ⎡ e iz ⎤ cos xdx , i⎥ = πi Re s⎢ D) ∫ −∞ x + ⎣z + ⎦ Câu Khẳng định sau đúng? +∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 dx ,−2i⎥ + πi Re s⎢ ,1⎥ A) ∫ = 2πi Re s⎢ 2 ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ − ∞ ( x − 1)( x + 4) +∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 dx ,−2i⎥ 2πi Re s⎢ ,2i ⎥ + 2πi Re s⎢ B) ∫ = 2 ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ − ∞ ( x − 1)( x + 4) ⎡ ⎤ ,1⎥ πi Re s⎢ ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ +∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 dx , − i i Re s , i Re s π π = + C) ∫ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ − ∞ ( x − 1)( x + 4) +∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 dx i Re s , π π i Re s , i D) ∫ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ ⎣ (z − 1)(z + 4) ⎦ − ∞ ( x − 1)( x + 4) +∞ cos xdx C) ∫ = −∞ x + +∞ Câu 10 Đặt A = ∫ ⎛⎜ ⎞⎟ e⎝ z + ⎠ dz Khi z =2 A)A = B)A = 2π C)A = 2πi D)A = Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 128 + Caâu 11 Cho hàm f(z) = z2 e z Khẳng định sau sai? C)z = điểm bất thường cốt yếu 33 34 + + A) f(z) = z2+ 3z + + f(z) 2! z.3! z 4! B) ∫z e z dz = 9iπ z − 2i =5 z − 2i =5 Caâu 12 2 ∫ z e z dz = Re s[ z e z ,0] D) Khẳng định sau sai? m A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) vaø lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) Nếu a cực điểm cấp hai hàm f (z ) Re s[ f ( z ), a ] ≠ z + 3e z ( z − 5i) C) z = 5i cực điểm cấp haøm f(z) = D) ⎡ z + 3e z ⎤ z + 3e z =2 π i ,5i ⎥ = 2πi (1 + 3e 5i ) Re s dz ⎢ ∫ ⎣ ( z − 5i ) ⎦ 3i − z =8 ( z − 5i ) Caâu 13 Khẳng định sau sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng +∞ f (z) = ∑ a n (z − a) n Re s[f (z ), a] = a −1 n = −∞ ez = 23 24 + + z = điểm bất thường cốt yếu f(z) 3! z 4! ⎡ 2z ⎤ 4π z C) ∫ z e dz = = 2πi Re s ⎢ z e ,0⎥ = z − i =5 ⎣ ⎦ ∞ 1 (−1) n D) Haøm f(z)=(z+i) cos = nên thặng dư ∑ (2n)! ( z + i )2 n −1 z+i n=0 1 ⎡ ⎤ Re s ⎢( z + i ) cos ,−i ⎥ = − z +i ⎦ ⎣ B) f(z) = z Câu 14 Khẳng định sau sai? z + 2z + 2z + m A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) vaø lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) e 2z B) z = cực điểm cấp haøm f(z) = ( z − 4) ⎡ e 2z ⎤ e 2z dz Re ,2⎥ =4 πi e4 s =2 π i ⎢ ∫ 2 ⎢⎣ ( z − 2) ⎥⎦ z − = ( z − 2) Câu 15 Khẳng định sau sai? C) D) ⎡ ez ⎤ ez = Re s ,3⎥ dz π i ⎢ ∫ z − − z ⎣ ⎦ z − 3i = Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 129 A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng +∞ f (z) = ∑ a n (z − a) n Re s[f (z ), a] = a −1 n = −∞ ∞ 1 B) Haøm f(z)=(z+1) cos = ∑ (−1) n nên thặng dư (2n)! ( z + 1)2 n −1 z +1 n=0 ⎡ ⎤ Re s ⎢( z + 1) cos ,−1⎥ = z +1 ⎦ ⎣ 23 24 + + vaø z = điểm bất thường cốt yếu f(z) C) f(z) = z e z = z + z + z + 3! z 4! 2 ⎡ ⎤ 4πi D) ∫ (e z + z e z )dz = ∫ e z dz + ∫ z e z dz = 2πi Re s ⎢ z e z ,0⎥ = z −1 = z −1 = z −1 = ⎣ ⎦ Câu 16 Cho hàm f(z) = z e z Khẳng định sau ñaây sai? 22 23 24 + + + A)f(z) = z+ + 2! z z 3! z 4! B) z = điểm bất thường cốt yếu f(z) C) ∫ ze z dz = z −10 =1 D) ∫ ze z dz = Re s[ f ( z ),0] z − 2i =5 Câu 17 Khẳng định sau sai? m A)Nếu a điểm bất thường cô lập haøm f(z) vaø lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) f (z) = A z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) − cos z B)z = cực điểm cấp hàm f(z) = z4 z →a ez C) ∫ dz = πi e2 z − i =8 ( z − 2) ⎡ ez ⎤ e2 ez D)z = laø cực điểm cấp hàm f(z) = Re s ⎢ ,2⎥ = ( z − 2) ⎣ ( z − 2) ⎦ Caâu 18 Cho hàm f(z) = z2 e z Khẳng định sau sai? C)z = điểm bất thường cốt yếu 53 54 + + A) f(z) = z2+ 5z + + f(z) 2! z.3! z 4! 5 iπ iπ z z D) ∫ z e dz = B) ∫ z e dz = 3! z + 3i = z − 3i = Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 130 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRAÉC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu Nếu hàm f(t) liên tục khúc toàn trục t có bậc mũ hàm u(t)f(t) hàm gốc g(t) = Câu Nếu f(t) hàm gốc với số tăng so hàm F(p) = L [f(t)] xác định giải tích miền Re(p) > so Câu Nếu f(t) , g(t) hai hàm gốc a, b số af(t) + bg(t) hàm gốc Câu Nếu F(P) , G(P) hai hàm ảnh a, b số hàm ảnh aF(p) + bG(p) Câu Nếu f(t) hàm gốc a > số f(at) hàm gốc Câu Nếu f(t) , g(t) hai hàm gốc tích f(t)g(t) hàm gốc Câu Nếu f(t), g(t) hai hàm gốc có số tăng s1, s2 f(t)*g(t) hàm gốc có số tăng laø max {s1, s2 } ⎧0 , t < a ⎪ Câu Hàm f(t) = ⎨1 , a < t < b , với < a < b, viết lại sau ⎪0 , t > b ⎩ f(t) = u(t-a) – u(t- b) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (chọn câu: A, B, C, D ) Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) , L [g(t)] = G(p) vaø a , b số Khẳng định sau sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) C) L [f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p), a > B) L [f(t) g(t)] = F(p) G(p) D) L [f(t) *g(t)] = F(p) G(p) ⎧ , 0≤t D) L [t f(t)] = -F’(p) ⎡ ⎛ p ⎞⎤ B) L -1 ⎢ F ⎜ ⎟⎥ = f(αt) , α > ⎣ ⎝ α ⎠⎦ Câu 14 Giả sử L [f(t)] = F(p) , L [g(t)] = G(p), L [h(t)] = H(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L [ f(t) *g(t)] = F(p) G(p) -1 t B) L [ F(p) G(p)] = ∫ f (u ).g(t − u)du C) L-1[aF(p)+bG(p)–H(p)]=af(t)+bg(t)–h(t) D) L -1 t [ F(p) G(p)] = ∫ g (u ) f (u − t )du Câu 15 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) -1 ⎡ ⎤ −2 t C) L ⎢ ⎥ = 2e *sin 2t + + p p ( 2)( 4) ⎣ ⎦ B) L [2 + t + sh3t ] = ⎡ 2 p + 3+ p p p −9 ⎤ p−2 2t D) L ⎣ p − p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t -1 ⎢ Câu 16 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 132 B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) C) L [6 + t e − 2t ⎡ p + 18 ⎤ D) L ⎣ p − 81⎥⎦ = 7ch9t + sh9t 3! − sh5t ] = + − p ( p − 2) p − 25 -1 ⎢ Câu 17 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) C) L [8t + t e − 2t + cos 5t ] = p 3! + + 2 p ( p − 2) p + 25 ⎡ p − 18 ⎤ D) L -1 ⎢⎣ p − 81⎥⎦ = 6ch9t − sh9t Câu 18 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? B) L [2 + t + sh3t ] = A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) ⎛ p ⎞ ⎟⎟ C) L [t cos t ] = − ⎜⎜ ⎝ p + 4⎠ 2 + 3+ p p p +9 ⎡ ⎤ p−2 2t D) L ⎣ p − p + 20 ⎥⎦ = e cos 4t ' -1 ⎢ Câu 19 Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡ t 3u ⎤ B) L ⎢ ∫ e sin udu ⎥ = p(( p − 3) + 1) ⎣0 ⎦ ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = ⎧ ⎩sin 3t D) Neáu f (t ) = ⎨ < t < π vaø f(t+2π) = f(t) π < t < 2π L [f(t)] = − e− 2πp 2π 1 − e− Tp T ∫e − pt f (t ) dt − pt sin 3tdt ∫e Caâu 20 Khẳng định sau sai? A) L [f(t)* g(t)] = L [ f(t)] L [g(t)] B) L -1 [F(p)G(p)] = L -1 [F(p)]* L -1 [G(p)] C) L[5 te t +e2t*cos3t] = D) L -1[ + ( p − 1) ( p − 2)( p + 9) ] = e −2t + et *sin4t + p + ( p − 1)( p + 16) Câu 21 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau SAI? Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 133 ⎡ p +1 ⎤ = e − t cos 2t B) L -1 ⎢ ⎥ ⎣ p + p + 5⎦ A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) ⎛ ⎞ C) L [t sin 2t ] = − ⎜ ⎟ ⎝ p +4⎠ ' 2p D) L ⎡⎣1 + t − 2t sin t ⎤⎦ = + + p p p +1 ( ) Câu 22 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? B) L [2 + t e 3t + ch3t ] = A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) ⎛ ⎞ ⎟⎟ C) L [t sin t ]= − ⎜⎜ ⎝ p + 4⎠ ''' 2 p + + p ( p − 3) p −9 ⎡ ⎤ p+2 −2t D) L ⎣ p + p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t -1 ⎢ Câu 23 Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡ t 5u ⎤ p−5 e ch udu = ⎢ ⎥ ∫ B) L ⎣0 ⎦ p ( p − 5) − 36 ⎡t ⎤ F ( p) D) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = < t < π ⎧0 f(t+2π)= f(t) L [f(t)] = ⎩sin 9t π < t < 2π D) Neáu f (t ) = ⎨ 1 − e− Tp 1 − e−πp ) T ∫e − pt f (t ) dt 2π − pt sin 9tdt ∫e π Câu 24 Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡ t 5u ⎤ p−5 B) L ⎢ ∫ e ch4udu ⎥ = p ( p − 5) + 16 ⎣0 ⎦ ⎡t ⎤ F ( p) A)L ⎢ ∫ f (u ) du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C)Neáu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp ⎧cos 6t D)Neáu f (t ) = ⎨ ⎩0 T ∫e ) − pt f (t ) dt < t < π f(t+2π) = f(t) π < t < 2π L [f(t)] = − e− 2πp π − pt cos 6tdt ∫e Câu 25 Cho L [f(t)] = F(p) , L [g(t)] = G(p) , L [h(t)] = H(p) Khẳng định sau ñaây sai? A) L -1[ F(p) ± G(p)H(p)] = f(t) ± (h(t ) * g(t )) ⎛ p ⎞ B) L [t f(t)] = -F’(p), L [t cost] = - ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p +1⎠ '' Caâu 26 Để tìm gốc hàm ảnh F(p) = e p − − C) L [f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p), a > p D) L [u(t-2) cos(3t-6)] = e-2p p + ta làm sau: p Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 134 ∞ ∞ 1 − 1− =∑ n p n = n! p n n = n! p ♦ Khai triển Laurent hàm F(p) ta : F(p) = ∑ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được: f(t) = L –1[F(p)]= t n −1 -1 ⎡ ⎤ ∞ L = ⎢ n⎥ ∑ ∑ n = n! ⎣ p ⎦ n = n! (n − 1)! ∞ Khẳng định sau đúng? A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu 27 Để tìm gốc hàm ảnh F(p) = e ♦ ♦ p2 − ta làm sau: ∞ Khai triển Laurent hàm F(p) ta : F(p) = ∑ 2n n =1 n! p Bieán đổi Laplace ngược hai vế ta được: ∞ ⎡ ⎤ ∞ t n−1 f(t) = L –1[F(p)]= ∑ L -1 ⎢ ⎥ = ∑ 2n n =1 n! ⎣⎢ p ⎦⎥ n=1 n!(2n − 1)! Khẳng định sau đúng? A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai C) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai ⎛ 1⎞ Câu 28 Để tìm gốc hàm ảnh F(p) = ln⎜⎜ + ⎟⎟ − ta làm sau: p⎠ p ⎝ ♦ ∞ Khai triển Laurent hàm F(p) ta : F(p) = ∑ (-1) n +1 n=2 ♦ npn Bieán đổi Laplace ngược hai vế ta được: n +1 n −1 n +1 ⎡ 1⎤ ∞ ⎡ ⎤ ∞ (-1) t f(t) = L –1[F(p)]= L -1 ⎢ln(1 + ) − ⎥ = ∑ (-1) L -1 ⎢ ⎥ = ∑ n p p ⎦ n=2 n ⎣ ⎣ p ⎦ n = n(n - 1)! A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai t Câu 29 Để giải phương trình tích phân: y(t) = e2t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta làm sau: 2t ♦ Phương trình tương đương với : y(t) = e +5y(t)*cos2t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta 1 p Y= + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = +5Y p−2 p−2 p +4 Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 135 ♦ ♦ p2 + ( p − 1)( p − 2)( p − 4) A B C Phaân tích thành phân thức đơn giản: Y = + + (với A, B, C = const) p −1 p − p − Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 2t + Ce 4t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai t Câu 30 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e −7 t +10 ∫ y (u ) cos 3(t − u )du ta làm sau: ♦ p dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = e −7 t +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L [y(t)] = L [ 2e −7 t ] +10 L [y(t)*cos3t] ♦ p dụng công thức Borel ta p 2 Y= + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = +10Y p+7 p+7 p +9 ♦ ♦ 2( p + 9) ( p − 1)( p − 9)( p + 7) A B C Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= + + (với A, B, C = const mà chưa tìm) p −1 p − p + Giải phương trình với Y ẩn ta được: Y = ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ae t + Be 9t + Ce −7t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai 3t t Câu 31 Để giải phương trình tích phân: y(t)= e +2 ∫ y (u ) cos(t − u )du ta làm sau: 3t ♦ Phương trình tương đương với : y(t) = e +2y(t)*cost ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta 1 p Y= + 2L [y(t)] L [cost] ⇔ Y = +2Y p−3 p−3 p +1 ♦ ♦ ( p + 1) Giaûi phương trình với Y ẩn ta được: Y = ( p − 1) ( p − 3) B C A Phân tích thành phân thức đơn giản: Y = + + (với A, B, C = const) p −1 p − ( p − 1) ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = Ate t + Be t + Ce 3t A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 136 Caâu 32 Cho phương trình vi phân y’’ + y’-2y = e3t với điều kiện ban đầu y(0) = 0, y’(0) = Để giải phương trình ta làm sau: ♦ Đặt Y = Y(P) = L [y(t )] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được: p2Y +pY - 2Y = (*) p−3 ( p − 1)( p − 3)( p + 2) Phân tích thành phân thức đơn giản ta được: Y = + p − p −1 p + ♦ Giải phương trình (*) với Y ẩn số ta được: Y = ♦ ♦ Biếi đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm : y(t) = 5e3t+6et - e-2t Khẳng định sau đúng? A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai p2 + Câu 33 Để tìm gốc hàm ảnh Y = ta làm sau: (P − 4)(P − 5)(p + 4) ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= (*) A B p2 + Cp + 2D = + + với A, B, C, D số p−4 p−5 (P − 4)(P − 5)(p + 4) p +4 ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta L -1[Y] = A e t + Be 5t + C cos t + D sin 2t ♦ Các số A, B, C, D xác định từ đẳng thức (*).(ở ta không tính toán để tìm A, B, C, D) Khẳng định sau đúng? A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai B) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu 34 Cho phương trình vi phân y’’ - 9y’+20y = sin2t với điều kiện ban đầu y(0) = 0, y’(0) = Để giải phương trình ta làm sau: ♦ Đặt Y = Y(P) = L [y(t )] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được: p2Y -9pY + 20Y = +1 (*) p +4 p2 + Y= ♦ Giải phương trình (*) với Y ẩn số ta được: (P − 4)(P − 5)(p + 4) ♦ Biếi đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm phương trình là: y(t) = e4t – e5t + sin2t Khẳng định sau đúng? A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 137 B) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai 2p − Câu 35 Để tìm gốc hàm ảnh Y = ta làm sau: (p + 1)( p − 2)(P − 3) ♦ ♦ Phân tích thành cácc phân thức đơn giản: (*) A B C 2p − + + = với A, B, C số Y= (p + 1)( p − 2)(P − 3) p +1 p − p − −1 −4 Từ đẳng thức (*) tính A = ,B = , C = Suy Y= ♦ − 1/ / / − + p +1 p − p − Biến đổi Laplace ngược hai vế ta L -1[Y] = Khẳng định sau đúng? − − t t 3t e − e + e A) Caùch làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu 36 Để tìm gốc hàm ảnh Y= ♦ p + 2p + ta làm sau: (p + p + 2)(p + p + 5) Phân tích thành phân thức đơn giản: Y = A(p + 1) + B C(p + 1) + D (P + 1) + + (P + 1) + p + 2p + (p + p + 2)(p + p + 5) (*) = với A, B, C, D số ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta L -1[Y] = Ae-tcost +Be-tsint +Ce-tsin2t+De-tcos2t ♦ Các số A, B, C, D xác định từ đẳng thức (*) cách cho p =0, p =-1, p=-2, p =1 ta hệ phương trình ⎧ A+B C+D ⎪ 10 = + ⎪ D ⎪ = B+ ⎪ ⎨ − A + B − C + D (ở ta không tính toán để tìm A, B, C, D) ⎪ = + ⎪10 A B C + +D ⎪ = + ⎪⎩ 20 Khẳng định sau đúng? A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 138 B) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai C) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết ⎧ x' = −3 y , với điều kiện x(0) = 1, y(0) = ⎩ y '+ x + y = Câu 37 Để giải hệ phương trình vi phân: ⎨ ta làm sau: ♦ Đặt X = L [x ], Y = L [y ] biến đổi Laplace hai vế ta được: ♦ P−4 ⎧ ⎪⎪X = (P − 1)(P + 3) Giải hệ phương trình với X, Y ẩn ta ⎨ ⎪ Y = 2P − ⎪⎩ P + 2P − ♦ ♦ ⎧ ⎪X = Phân tích thành phân thức đơn giản ta ⎨ ⎪Y = ⎩ số mà ta không tìm A + P −1 C + P −1 ⎧ XP + 3Y = ⎨ ⎩X + (P + )Y = B P + với A, B, C, D D P+3 ⎧x = Ae t + Be −3t Bieán đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm ⎨ t −3 t ⎩y = Ce + De Khẳng định sau đúng? A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai D) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai Câu 38 Cho phương trình vi phân: y’-3y = u(t-5) e (t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 16 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: e −5 p pY-3Y = +16 p−2 e −5 p 16 ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta được: Y= + ( p − 2)( p − 3) p−3 (2) (3) ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: ⎛ 16 ⎞ ⎟⎟ + − ⎝ p −3 p − 2⎠ p −3 Y = e −5 p ⎜⎜ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e 3(t −5) − e 2(t −5 )u (t − 5) +16 e 3t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 139 B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai sai Câu 39 Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) e (t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1) ta được: pY+6Y = ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta được: Y= e −5 p +14 p−2 e −5 p 14 + ( p − 2)( p + 6) p + (2) (3) ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y= 14 −5 p ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ + − e ⎜⎜ ⎝ p − p + 6⎠ p +6 ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y= ( ) ( t −5) e − e −6 (t −5 u (t − 5) +14 e −6t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu 40 Cho phương trình vi phân: y’-10y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-10Y = e −πp (2) p −1 e −πp Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= ( p − 1)( p − 10) (3) Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) B) C) D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Cách làm sai, tính toán sai, kết sai Cách làm đúng, tính toán đúng, kết ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎝ p − 10 p − ⎠ 10 ( t −π ) (e − e (t −π ) )u (t − π ) Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………………….……Trang 140 MỤC LỤC Chương 1: Số phức mặt phẳng phức Chương 2: Hàm biến phức 14 Chương 3: Đạo hàm hàm biến phức 24 Chương 4: Tích phân hàm biến phức 34 Chương 5: Chuỗi hàm biến phức 46 Chương 6: Thặng dư ứng dụng 61 Chương 7: Phép biến đổi Laplace ứng dụng 72 §1 Phép biến đổi Laplace 72 §2 Tích chập ảnh tích chập 82 §2 Ứng dụng phép biến đổi Laplace 91 Bài tập phần trắc nghiệp 113 Mục lục- Tài liệu tham khảo 141 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Murray R Spiegel, Theory and problems of Complex variables, Schaum’s Outline Series McGraw-Hill, Inc, 1964 [2] Murray R Spiegel, Laplace transforms, Schaum’s Outline Series McGraw-Hill , Inc 1965 [3] Stephen W.Goode , An Introduction to diffential and linear algebra, Prentice-Hall International Editions [4] Nguyễn Kim Đính, Hàm phức ứng dụng , Trường Đại học Kỹ thuật Tp.Hồ Chí Minh 1998 [5] Nguyễn Kim Đính, Phép biến đổi Laplace, Trường Đại học Kỹ thuật Tp.Hồ Chí Minh 1998 [6] Võ Đăng Thảo, Hàm phức toán tử Laplace, Trường Đại học Kỹ thuật Tp.Hồ Chí Minh 2000 [7] Phan Bá Ngọc, Hàm biến phức phép biến đổi Laplace, NXB Giáo dục 1996 [8] Đậu Thế Cấp, Hàm biến phức, NXB Giáo dục 2000 Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace………………………………………….……Trang 141