Đề thi thử THPT quốc gia, ôn thi đại học tham khảo (32)

Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số 1 tại điểm M−2 ; 5... 1, Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm cú hoành độ x=2 .2, Vi

2 3 31

1 1

x x y

=

2

11

y x

−

=+ +

VD 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

VD 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1, y= 2sin 3 cos 5x x 2, sin cos

1 tan 3

x y

Chuyên đề : toán 12 - Trờng THPT Trần Quang Khải t.h.h.l 09.06.07.05.12

VD 5. Tỡm đạo hàm của cỏc hàm số sau :

y

2 cos 2

sin 2

2 cos 2 sin

7, y=cos4 x+sin4 x 8, y= (sinx+ cosx) 3 9, y= sin 3 2xcos 3 2x

10, y=sin cos3( x) 11, y=sin cos cos32 2( x)

VD 7. Tỡm đạo hàm của cỏc hàm số sau :

1, y=3 sin( 4x+cos4x) (−2 sin6x+cos6x) 2,

cos 2cos 3 sin 2sin 3

3, y= 3 sin( 8x− cos 8x) (+ 4 cos 6x− 2sin 6x)+ 6sin 4x 4, 6sin4 63cos4 41

sin cos 3cos 1

x

x y

7, sin sin 2 sin 3 sin 4

cos cos 2 cos3 cos 4

VD 8. Cho hàm số y=xsinx chứng minh :

1, xy−2( y' sin− x) (+x 2cosx y− ) =0 2, ' tan

1, y' 0 , ≤ ∀ ∈x ¡ 2, y' 0 = có hai nghiệm phân biệt cùng âm

3, y' 0 = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 2 2

 Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 = f x( )0

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y k x x= ( − 0) +y0

 Chú ý :

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau

 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng − 1

3, Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y( 1; 1)

VD 1. Cho đường cong ( )C :y= f x( ) =x3 − 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C

1, Tại điểm M0(1 ; 2− ) 2, Tại điểm thuộc ( )C và có hoành độ x0= −1

3, Tại giao điểm của ( )C với trục hoành 4, Biết tiếp tuyến đi qua điểmA(− −1 ; 4)

VD 2.Cho đường cong ( ): 3 1

1, Viết PTTT của ( )C biết tiếp tuyến song song với ( )d x: −4y− =21 0

2, Viết PTTT của ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với ( )∆ : 2x+2y− =9 0

VD 3 1,Cho hàm số y x= +3 3x2−9x+5 ( )C Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

2, Cho hàm số y= − −x3 3x2 +9x−5 ( )C Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

VD 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 ( )1

2 3

x y x

+

= + biết tiếp tuyến

đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

VD 5.Cho ( )C là đồ thị của hàm số 2

6

y= x x− CMR tiếp tuyến tại một điểm bất kì của ( )C cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm

VD 6.Cho hàm số ( )C :y=x3 − 2x+ 3 Viết phương trình tiếp với ( )C :

1, Tại điểm có hoành độ x0 =2 2, Biết tiếp tuyến song song với:

9 0

x y− − = ;

5, Viết PTTT của ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với ( )∆ : 4x y+ − =8 0

VD 9.Cho hàm số y= 1− −x x2 ( )C Tìm phương trình tiếp tuyến với ( )C :

1, Tại điểm có hoành độ 0 1

2

x = 2, Song song với: ( )d :x+2y=0

VD 10.Cho hàm số y x= +3 3mx2+(m+1)x+1 1( ) Tìm các giá trị của mđể tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x= −1 đi qua điểm A( )1 ;2

VD 11.Cho hàm số 3 1 ( )1

1

x y x

+

= + Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm M(−2 ; 5) .

VD 12.Cho hàm số y = 3x3 +4 ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( )d : 3y x− + =6 0 góc 30 0

− Gọi I(1 ; 2) Tìm điểm M ∈( )C sao cho tiếp

tuyến của ( )C tại M vuông góc với đường thẳng IM

VD 14. Cho hàm số = 2 1 ( )

+

x

x Tìm điểm M∈( )C , biết tiếp tuyến của ( )C tại M

cắt hai trục tọa độ tại A B, và tam giác OAB có diện tích bằng 1

C x

x y

1, Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ x=2

2, Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cú tung độ y= 8

3,Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số gúc của tiếp tuyến bằng 24

Bài: Hàm số đồng biến, NGHịCH BIếN

Bài toỏn: Xột sự biến thiờn của hàm số y = f(x)

P 2: Ta cần thực hiện cỏc bước sau:

B1: Tỡm miền xỏc định của hàm số.

B2: Tớnh đạo hàm f ’(x), rồi giải phương trỡnh f ‘(x) = 0.

B3: Lập bảng biến thiờn của hàm số.

x y

−

= + +

x y

x y x

+

= +

7, y= x2−2x+5 8,y x x= 2−4 9,y x= + 2x x− 2

Bài toỏn: Xỏc định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trờn khoảng D

B1: Tỡm miền xỏc định của hàm số.

1, y = (2m + 3)sin2x + (2 – m)x ĐB / R 2, y = 2x + mcosx, tăng trên R

3, y = x + msinx, đồng biến trên R

4, y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến trên R

VD 3 Tìm a, b, c để hàm số y x= +3 ax2+ +bx c đạt cực tiểu tại x=1, y( )1 = −3 và đồ thị của hàm

số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

VD 4 Cho hàm số y= − −x3 3x2+4 Với giá trị nào của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của

hàm số tiếp xúc với đường tròn (C) : ( ) (2 )2

Chuyên đề : toán 12 - Trờng THPT Trần Quang Khải t.h.h.l 09.06.07.05.12

VD 8 Cho hàm số: y=(m−2) x3−mx−2 Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị của hàm số khụng cú điểm cực đại và điểm cực tiểu

1, Tỡm cực trị của hàm số 2, Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua cỏc điểm cực trị

VD 12 Cho hàm số y x= −3 6x2+3(m+2) x m− −6 Xỏc định m sao cho:

y= + +mxđạt cực đại và cực tiểu cú hoành độ lớn hơn m

VD 15 Cho hàm số: y= f x( ) =2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 (1) Tỡm m để (1) cú cực đại, cực tiểu

và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y= − +3x 4

− (m≠0) Tỡm m để cú giỏ trị cực đại và giỏ trị cực tiểu Viết

phương trỡnh đường thẳng đi qua cỏc điểm cực trị

VD 22 Cho hàm số y = 2x3 – ( 9m + 3 )x2 + 12m(m+1)x – m3

Tỡm m để hàm số ( 1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa x1 – x2 = 4

VD 24 Cho hàm số y = x3 – (2m – 1 )x2 + (2 – m )x + 2 (1) Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số ( 1 )

cú cực đại, cực tiểu và cỏc điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1) cú hoành độ dương

VD 25. Tỡm m để

1, Đồ thị hàm số y = x3 – (2m + 1 )x2 + (m2 – 3m + 2 )x + 4 cú cực đại, cực tiểu và điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phớa đối với trục tung

2, Đồ thị hàm số y=2x3−3x2+6mx m− cú hai điểm cực trị ở cựng một phớa đối với trục hoành

VD 26 Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3 (1) Tỡm m để (Cm) cú 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 48

VD 27 Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1 )x – 3m2 – 1 ( 1) Tỡm m để hàm số ( 1 ) cú cực đại, cực tiểu và cỏc điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1 ) cỏch đều gốc tọa độ O

Chuyên đề : toán 12 - Trờng THPT Trần Quang Khải t.h.h.l 09.06.07.05.12

VD 28 Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m+1)x + 1 (1 ) Tỡm m để hàm số ( 1 ) cú cực trị Khi đú chứng minh rằng khoảng cỏch giữa hai điểm cực trị đú khụng đổi

VD 29 Cho hàm số 3 2 2 3

y x= − mx + m − x m− +m (1) Tỡm m để hàm số (1) cú cực trị đồng thời khoảng cỏch từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gúc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cỏch từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

VD 30 Cho hàm số y = 1 3 5 2

3x − 2mx − mx− (1) Tỡm m để hàm số ( 1 ) cú cực trị tại x1, x2 thỏa biểu thức

2 2

y x= − mx +m Tỡm m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của dồ thị hàm số

nằm về hai phớa của d x: − 2y= 0

A, B, C sao cho OA BC= ; trong đú A thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cũn lại

VD 42 [ĐHA12] Tỡm m để đồ thị hàm số y x= 4−2(m+1) x2 +m2 cú ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giỏc vuụng

VD 43 Cho hàm số y x= 4 – 2mx2+2m m+ 4 (m là tham số) Tìm m đờ̉ đồ thị hàm số có cực đại và

cực tiờ̉u lọ̃p thành mụ̣t tam giác đều

VD 46 Tỡm m để đồ thị hàm số y x= 4−2mx2+ +m 1.cú 3 điểm cực trị tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng 1

Chuyên đề : toán 12 - Trờng THPT Trần Quang Khải t.h.h.l 09.06.07.05.12

VD 47 Cho hàm số y x= 4−2mx2+ −m 1 Tỡm m để đồ thị hàm số cú 3 điểm cực trị tạo thành một tam giỏc cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1

Bài: ứng dụng của đạo hàm Phần 1: Giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất.

2, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

và min ( )( ; )a b f x (nếu chỳng tồn tại).

Cỏch giải Lập bảng biến thiờn.

Bài toỏn 2. Cho hàm số y=f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] Hãy tìm max ( )[ ; ]a b f x và min ( )[ ; ]

a b f x Cách giải

1, Tìm các điờ̉m tới hạn x 1 , x 2 , …., x n của f(x) trờn đoạn [a;b].

2, Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), f(b).

x x

2 4

cos2sin

3

sin4cos

Bước 1 Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới

Bước 2 Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).

Bước 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó.

2 2 2

b a b a

12

11

)0,0(a> b>

≥+

++

≤

≤+

≤+

++

)1(1

21

11

1

)10

(1

21

11

1

ab ab

b a

ab ab

b a

3, Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:

Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x 2 + y 2 + z 2

Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx

hoặc x 2 + y 2 + z 2

Cách giải:

1 Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong hai đại

lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp hằng đẳng thức (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t.

2 Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:

x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx hoặc (x + y + z) 2 ≥ 3(xy + yz + zx) hoặc 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (x + y + z) 2

3 Quy về bài toán đơn giản

VD 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của F a44 b44 a22 b22 a b

VD 3 Cho hai số thực x, y thoã mãn: x ≥ 0, y ≥ 1 , x+y = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x

VD 4 Cho x, y, z là các số dương Tìm GTNN của biểu thức P x y z3 3 xyz

x y z xyz

VD 15 Cho y≤0, x2+ = +x y 12 Tìm GTLN, NN của: P=xy + x + 2y +17.

VD 21 Cho x, y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện 4(x2+y2+xy) 1 2(≤ + x y+ ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy= + x y x+ − −2 y2

VD 22 Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 + y2 +z2 =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx 5

VD 28 Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1 Tìm GTLN của: P=xy+yz+zx-2xyz

VD 29 Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1 Tìm GTNN của 3 3 3 15

VD 32 Cho x2+y2+z2 =1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P x y z xy yz zx= + + + + +

VD 33 Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1

Phần 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tiếp tuyến

Xét bài toán: “Cho a a a1, , , ,2 3 a n∈D thoả mãn a1+ + + +a2 a3 a n =nα, với α D∈ , cần chứng minh bất đẳng thức f a( )1 + f a( )2 + + f a( )n ≥nfα( ), đẳng thức xảy ra khi a1=a2 =a3 = = aα n = ”

VD 1. Cho bốn số dương a b c d, , , thoả a b c d+ + + =1 CMR: ( 3 3 3 3) 2 2 2 2 1

a b c+ − a c b+ − c b a+ −

2, Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)

- Đưa phương trình về dạng f(x) = A(m)

- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = A(m)

- Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0

3, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

VD 3. Cho hàm số y=2x3−3(m2+1)x2+6mx−2m

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2, Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1 Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm số tại đó

VD 4. Cho hàm số y= − +x3 3x2−4 có đồ thị (C)

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với d :y= − + 9x 7.

3, Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= − +x3 3x2−4 trên [1; 3]

VD 5. Cho hàm số y x= −3 mx2+ −m 1, m là tham số

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3

2, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d : 1 1

3, Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2

VD 7 Cho hàm số y x= 4−2x2 có đồ thị (C )

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )

2, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2

VD 8 Cho hàm số y= − +x4 3x2+1 có đồ thị (C)

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2, Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình 4 2

x − 3x + =m 0 có 4 nghiệm phân biệt

3, Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= − +x4 3x2+1 trên [0; 2]

VD 9. Cho hàm số y x= 4−mx2−(m+1) có đồ thị (Cm)

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2

2, Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4)

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2

3, Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 − 12x2 + + = 1 m 0

2, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 − 2x2 + − 6 4m= 0

3, Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu

VD 12 Cho hàm số 3 2

2

x y x

+

= +

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

x y

x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2, Tìm m để đường thẳng y mx= + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

VD 16. Cho hàm số 2 3

1

x y

x

−

=

− có đồ thị (C).

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2, Viết phương trình các đường thẳng song song với d: y= − +x 3 và tiếp xúc với đồ thị (C).

VD 17 Cho hàm số y=x3−3x+2 (C)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2, Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3 − 3x+ − = 2 m 0

3, Tìm m để phương trình x3− −3x m3+3m=0có 3 nghiệm phân biệt

4, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

3, Biện luận số nghiệm phương trình 4x3 −3x = 4m3 −3m theo m

4, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1, 4− ) .

3, Viết phương trình đường thẳng đi qua M( )2;3 và tiếp xúc với đồ thị (C)

4, Tìm m để đường thẳng ( )d2 :y mx= −1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

5, Tìm m để đường thẳng ( )d3 : y m x= ( −1) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

VD 20 Cho hàm số y =(2- x x) ( + 1)2 (C)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2, Tìm m để đồ thị (C’) y= −(2 x m) ( −2) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

3, Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )1

3

8

Chuyên đề : toán 12 - Trờng THPT Trần Quang Khải t.h.h.l 09.06.07.05.12

4, Tỡm m để đường thẳng ( )d2 :y= m x( +1) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phõn biệt

VD 21 Cho hàm số 2 3 2 2 2

2(3 1)

y= x −mx − m − x+

1, Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2, Tỡm m để hàm số cú hai điểm cực trị x1; x2 sao cho x1x2 + 2(x1 + x2 ) = 1

VD 22 Cho hàm số 2 3 2 2 1

y= x + m+ x + m + m+ x+

1, Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -3

2, Với giỏ trị nào của m hàm số cú CĐ, CT x1; x2 Tỡm GTNN của x x1 2−2(x1+x2)

1, Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2, Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số cú hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1

1, Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

2, Tỡm m để đồ thị hàm số (Cm): y x= −3 2x2+ −(1 m x m) + cắt trục Ox tại 3 điểm phõn biệt cú hoành

2, Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trỡnh x4 − 2x2 =m

3, Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cú hoành độ x=2

4, Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số gúc của tiếp tuyến bằng 24,

5, Tỡm m để y=m cắt (C) tại 4 điểm phõn biệt cú hoành độ lập thành cấp số cộng

VD 29 Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + (C)

1, Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2, Tỡm m để đường thẳng ( ) : 5 2

3

d y mx= + − m cắt (C) tại 2 điểm phõn biệt

3, Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giỏc cú chu vi min

VD 30 Cho hàm số 1

1

x y x

−

= + (C)