Đề thi thử THPT quốc gia, ôn thi đại học tham khảo (46)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI ĐỀ KSCL HSG NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (4 điểm) −x +1 ( H) 2x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H ) hàm số Chứng minh với a , đường thẳng d : y = x + a cắt đồ thị hàm số (H ) hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( H ) A B Tìm a để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Câu II (4 điểm) Giải phương trình: cos x + sin x cos x + = sin x + cos x Cho hàm số y = ( )  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 ( x, y ∈ R ) Giải hệ phương trình:   y x + + ( y + ) x + 10 = y + x Câu III (4 điểm) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm thực thuộc đoạn [-1; 1] − 3x2 − x3 + x + ≥ m Cho số thực a, b, c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = 3abc − 2014a − b − c Câu IV (4 điểm) n * Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thức P(x) = (5x - 3) (n ∈ N ) , k 2n+1 20 biết C 2n+1 + 2C 2n+1 + 3C 2n+1 + + kC 2n+1 + + (2n+1)C 2n+1 = 21.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D; AB = AD, CD = AD Đường thẳng BD có phương trình x − y + = , đường thẳng AC qua điểm M ( 4;2 ) Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hoành độ nhỏ Câu V (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC · H trung điểm AM Biết HB = HC = a , HBC = 300 ; góc mặt phẳng ( SHC ) mặt phẳng ( HBC ) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng ( SHC ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt Oy, Oz B ( 0; b;0 ) , C( 0;0;c ) với b > 0, c > Chứng minh rằng: b + c = Từ đó, tìm b, c cho diện tích tam giác ABC nhỏ …………………Hết………………… bc HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN GV : Nguyễn Thị Hà CÂU I.1 NỘI DUNG ĐIỂM 0.5 1  Tập xác định: D = R \   2 • Sự biến thiên: Giới hạn tiệm cận: 1 lim y = − , lim y = − , tiệm cận ngang: y =-1/2, x→+∞ x →−∞ lim y = +∞, lim y = −∞ ; tiệm cận đứng: x = 1/ • x →1/2− Chiều biến thiên: y ' = x →1/2+ −1 ( x − 1) 0.5 < 0, ∀x ∈ D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1/ ) ( 1/ 2; +∞ ) I.2 Phương trình hoành độ giao điểm d ( H ) : 0.25  −x +1 x ≠ = x+a ⇔  2x −1 2 x + 2ax − a − = ( *)  Đặt g ( x ) = x + 2ax − a − 0.25 ∆′g = a + 2a + > 0, ∀a  Vì    nên ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với  g  ÷ = − ≠ 0, ∀a  2 a Vậy d cắt ( H ) hai điểm phân biệt A, B với a 0.25 Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 hai nghiệm ( *) Theo định lý Vi-ét ta có 0.25 −a − x1 + x2 = −a , x1 x2 = 0.5 −1 −1 ; k2 = Tiếp tuyến A B có hệ số góc k1 = 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1) Ta có k1 + k2 = −1 ( x1 − 1) + −1 ( x2 − 1)  ( x1 − 1) + ( x2 − 1)  = − 2   ( x1 − 1) ( x2 − 1)  = −  ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) +  ( ( x1 − 1)   2 ( x2 − 1) = 1) 0.5 = −4 ( a + 1) − ≤ −2, ∀a Dấu xẩy ⇔ a = −1 II.1 ( ) Giải phương trình: cos x + sin x cos x + = sin x + cos x Phương trình ⇔ cos x + sin x + = ⇔ ( cos x + sin x ) ) 0.5   cos x + sin x + =  cos x + sin x ÷ ÷ 2   π π π π     ⇔ cos  x − ÷+ = 3cos  x − ÷ ⇔ cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷ 3 6 6 6       π cos  x − ÷ = π π 2π   ⇔ ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ )   π cos  x − ÷ = ( loai ) 6   II.2 0.5 0.5 3  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 ( x − 1) + ( x − 1) = ( y − ) + ( y − ) ⇔  2 y x + + y + x + 10 = y + x ( )   y x + + ( y + ) x + 10 = y + x ( 1) ( 2) 0.5  x ≥ −3 Điều kiện  y∈¡ Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , ∀t ∈ ¡ , f ′ ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Vậy hàm số f ( t ) đồng 0.25 biến ¡ Từ ( 1) ta có f ( x − 1) = f ( y − ) ⇔ x − = y − ⇔ y = x + ( 3) Thay ( 3) vào ( ) ta phương trình: ( x + 1) x + + ( x + ) x + 10 = x + x + Phương trình ( ) ⇔ ( x + 1) ⇔ ( x + 1) × ( x − 6) x+3 +3 ( ) 0.25 ( 4) x + − + ( x + 7) + ( x + 7) × ( x − 6) x + 10 + ( ) x + 10 − = x − x − 30 0.25 = ( x + 5) ( x − )  x − = ( 5) ⇔  x + x+7 + = x + ( 6)  x + + x + 10 + • • ( ) Từ ( ) : x − = ⇒ x = → y = ⇒ ( x; y ) = ( 6;7 ) nghiệm hpt 0.25 x +1 x+3 x+7 x+7 − + − = ( ) phương trình vô Từ ( ) : 2 x+3 +3 x + 10 + 3 nghiệm 1 1   VT ( ) < ( x + 3) × − ÷+ ( x + ) × − ÷ < = VP ( )  x+3 +3 2  x + 10 +  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 6;7 ) 0.5 0.5 IV.1 2) Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thức P(x) = (5x - 3) (n ∈ N ) , 2n+1 + 3C32n+1 + + kC k2n+1 + + (2n+1)C 2n+1 = 21.2 20 (*) biết C12n+1 + 2C 2n+1 n * Xét (1 + x) n+1 = C20n+1 + C21n+1 x + C22n +1 x + + C22nn++11 x k + + C22nn++11 x n+1∀x(1) đạo hàm vế (1) ta có 0.5 (2n + 1)(1 + x) n = C21n+1 + 2C22n+1 x + + kC22nn++11 x k −1 + + (2n + 1)C22nn++11 x n (2) 0.5 0.5 Chọn x=1 thay vào (2) ta có (2n + 1)22 n = C21n+1 + 2C22n+1 + + kC22nn++11 + + (2n + 1)C22nn++11 (*) ⇔ (2n + 1)22 n = 21.2 20 (3) Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại tương tự 0 0, ∀a  Vì    nên ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với  g  ÷ = − ≠ 0, ∀a  2 a Vậy d cắt ( H ) hai điểm phân biệt A, B với a 0.25 Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 hai nghiệm ( *) Theo định lý Vi-ét ta có 0.25 −a − x1 + x2 = −a , x1 x2 = 0.5 −1 −1 ; k2 = Tiếp tuyến A B có hệ số góc k1 = 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1) Ta có k1 + k2 = −1 ( x1 − 1) + −1 ( x2 − 1)  ( x1 − 1) + ( x2 − 1)  = − 2   ( x1 − 1) ( x2 − 1)  = −  ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) +  ( ( x1 − 1)   2 ( x2 − 1) = 1) 0.5 = −4 ( a + 1) − ≤ −2, ∀a Dấu xẩy ⇔ a = −1 II.1 ( ) Giải phương trình: cos x + sin x cos x + = sin x + cos x Phương trình ⇔ cos x + sin x + = ⇔ ( cos x + sin x ) ) 0.5   cos x + sin x + =  cos x + sin x ÷ ÷ 2   π π π π     ⇔ cos  x − ÷+ = 3cos  x − ÷ ⇔ cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷ 3 6 6 6       π cos  x − ÷ = π π 2π   ⇔ ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ )   π cos  x − ÷ = ( loai ) 6   II.2 0.5 0.5 3  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 ( x − 1) + ( x − 1) = ( y − ) + ( y − ) ⇔  2 y x + + y + x + 10 = y + x ( )   y x + + ( y + ) x + 10 = y + x ( 1) ( 2) 0.5  x ≥ −3 Điều kiện  y∈¡ Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , ∀t ∈ ¡ , f ′ ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Vậy hàm số f ( t ) đồng 0.25 biến ¡ Từ ( 1) ta có f ( x − 1) = f ( y − ) ⇔ x − = y − ⇔ y = x + ( 3) Thay ( 3) vào ( ) ta phương trình: ( x + 1) x + + ( x + ) x + 10 = x + x + Phương trình ( ) ⇔ ( x + 1) ⇔ ( x + 1) × ( x − 6) x+3 +3 ( ) 0.25 ( 4) x + − + ( x + 7) + ( x + 7) × ( x − 6) x + 10 + ( ) x + 10 − = x − x − 30 0.25 = ( x + 5) ( x − )  x − = ( 5) ⇔  x + x+7 + = x + ( 6)  x + + x + 10 + • • ( ) Từ ( ) : x − = ⇒ x = → y = ⇒ ( x; y ) = ( 6;7 ) nghiệm hpt 0.25 x +1 x+3 x+7 x+7 − + − = ( ) phương trình vô Từ ( ) : 2 x+3 +3 x + 10 + 3 nghiệm 1 1   VT ( ) < ( x + 3) × − ÷+ ( x + ) × − ÷ < = VP ( )  x+3 +3 2  x + 10 +  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 6;7 ) 0.5 0.5 IV.1 2) Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thức P(x) = (5x - 3) (n ∈ N ) , 2n+1 + 3C32n+1 + + kC k2n+1 + + (2n+1)C 2n+1 = 21.2 20 (*) biết C12n+1 + 2C 2n+1 n * Xét (1 + x) n+1 = C20n+1 + C21n+1 x + C22n +1 x + + C22nn++11 x k + + C22nn++11 x n+1∀x(1) đạo hàm vế (1) ta có 0.5 (2n + 1)(1 + x) n = C21n+1 + 2C22n+1 x + + kC22nn++11 x k −1 + + (2n + 1)C22nn++11 x n (2) 0.5 0.5 Chọn x=1 thay vào (2) ta có (2n + 1)22 n = C21n+1 + 2C22n+1 + + kC22nn++11 + + (2n + 1)C22nn++11 (*) ⇔ (2n + 1)22 n = 21.2 20 (3) Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại tương tự 0 0, ∀x ∈ [−1;1] x3 + x + f ( x) = Ta có f ( −1) = − 7; f (0) = 2; f (1) = −3 ⇒ xmax ∈[ −1;1] pt f '( x ) = ⇔ x = 0, 2 2 2 2 2 2 Ta có a ≤ b ≤ c ⇒ ( a − b ) ( a − c ) ≥ ⇒ b c ≥ a ( b + c − a ) = a ( − 2a ) Suy bc ≥ a − 2a ( a + b + c) ≤ ( a + b2 + c2 ) = ⇒ a + b + c ≤ ⇒ P ≥ 3abc − 2013a − ≥ 3a − 2a − 2013a − Xét hàm f (a ) = 3a − 2a − 2013a − 3; a ∈ [ 0;1] Ta có  2a f '(a) =  2a − 2a − a − 2a  Ta có a ( − a 0.5 ) 2 18a ( − a )  − 2013 ≤ 18a ( − a ) − 2013  − 2013 = − 2a   2a + − a + − a  2 = 2a ( − a ) ( − a ) ≤  ÷ = 2  27 Suy a ( − a ) ≤ 3 ⇒ f '(a ) ≤ 18 3 − 2013 ≤ − 2013 < 0.5 0.5 Suy f ( a) nghịch biến đoạn [ 0;1] Do f ( a) ≥ f (1) = −2013 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P −2013 a = b = c = HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CÂU I.1 • • GV : Nguyễn Thị Hà NỘI DUNG 1  Tập xác định: D = R \   2 Sự biến thiên: ĐIỂM 0.5 Giới hạn tiệm cận: 1 lim y = − , lim y = − , tiệm cận ngang: y =-1/2, x→+∞ x →−∞ lim y = +∞, lim y = −∞ ; tiệm cận đứng: x = 1/ x →1/2− Chiều biến thiên: y ' = x →1/2+ −1 ( x − 1) 0.5 < 0, ∀x ∈ D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1/ ) ( 1/ 2; +∞ ) I.2 Phương trình hoành độ giao điểm d ( H ) : 0.5  −x +1 x ≠ = x+a ⇔  2x −1 2 x + 2ax − a − = ( *)  Đặt g ( x ) = x + 2ax − a − ∆′g = a + 2a + > 0, ∀a  Vì    nên ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với a  g  ÷ = − ≠ 0, ∀a  2 0.5 Vậy d cắt ( H ) hai điểm phân biệt A, B với a Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 hai nghiệm ( *) Theo định lý Vi-ét ta có 0.5 −a − x1 + x2 = −a , x1 x2 = −1 −1 ; k2 = Tiếp tuyến A B có hệ số góc k1 = 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1) Ta có k1 + k2 = −1 ( x1 − 1) + −1 ( x2 − 1)  ( x1 − 1) + ( x2 − 1)  = − 2   ( x1 − 1) ( x2 − 1)  = −  ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) +  ( ( x1 − 1)   = −4 ( a + 1) − ≤ −2, ∀a Dấu xẩy ⇔ a = −1 ( x2 − 1) 0.5 = 1) ( ) Giải phương trình: cos x + sin x cos x + = sin x + cos x II.1 Phương trình ⇔ cos x + sin x + = ⇔ ( cos x + sin x ) ) 0.5   cos x + sin x + =  cos x + sin x ÷ ÷ 2   π π π π     ⇔ cos  x − ÷+ = 3cos  x − ÷ ⇔ cos  x − ÷ = 3cos  x − ÷ 3 6 6 6       π cos  x − ÷ = π π 2π   ⇔ ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ )   π cos  x − ÷ = ( loai ) 6   II.2 3  x − y − x + y = −6 x + 15 y − 10 ( x − 1) + ( x − 1) = ( y − ) + ( y − ) ⇔  2 y x + + y + x + 10 = y + x ( )   y x + + ( y + ) x + 10 = y + x 0.5 ( 1) ( 2) 0.5  x ≥ −3 Điều kiện  y∈¡ Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , ∀t ∈ ¡ , f ′ ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Vậy hàm số f ( t ) đồng 0.25 biến ¡ Từ ( 1) ta có f ( x − 1) = f ( y − ) ⇔ x − = y − ⇔ y = x + ( 3) Thay ( 3) vào ( ) ta phương trình: ( x + 1) x + + ( x + ) x + 10 = x + x + Phương trình ( ) ⇔ ( x + 1) ⇔ ( x + 1) × ( x − 6) x+3 +3 ( ) x + − + ( x + 7) + ( x + 7) × ( x − 6) x + 10 + ( ( 4) 0.25 ) x + 10 − = x − x − 30 0.5 = ( x + 5) ( x − )  x − = ( 5) ⇔  x + x+7 + = x + ( 6)  x + + x + 10 + ( ) Từ ( ) : x − = ⇒ x = → y = ⇒ ( x; y ) = ( 6;7 ) nghiệm hpt 0.5 x +1 x+3 x+7 x+7 − + − = ( ) phương trình vô nghiệm Từ ( ) : 2 x+3 +3 x + 10 + 3 • 1 1   VT ( ) < ( x + 3) × − ÷+ ( x + ) × − ÷ < = VP ( )  x+3 +3 2  x + 10 +  Vậy hệ phương trình có nghiệm III.1 ( x; y ) = ( 6;7 ) Hàm số f ( x ) = − x − x + x + liên tục [-1; 1] f '( x ) = ( −6 x ) − 3x −  = −x + 2 x + 4x +  − 3x 2(3x + x) 3x + − 3x + 3x + x3 + x + > 0, ∀x ∈ [−1;1] f ( x) = Ta có f ( −1) = − 7; f (0) = 2; f (1) = −3 ⇒ xmax ∈[ −1;1] III.2 0.5 0.5 Trên [-1; 1], pt f '( x ) = ⇔ x = 0,  ÷ x3 + x +  0.5 2 2 2 2 2 2 Ta có a ≤ b ≤ c ⇒ ( a − b ) ( a − c ) ≥ ⇒ b c ≥ a ( b + c − a ) = a ( − 2a ) 0.5 0.5 Suy bc ≥ a − 2a ( a + b + c) ≤ ( a + b2 + c2 ) = ⇒ a + b + c ≤ ⇒ P ≥ 3abc − 2013a − ≥ 3a − 2a − 2013a − 0.5 0.5 Xét hàm f (a ) = 3a − 2a − 2013a − 3; a ∈ [ 0;1] Ta có  2a f '(a) =  2a − 2a − a − 2a  Ta có a ( − a ) 2 18a ( − a )  − 2013 ≤ 18a ( − a ) − 2013  − 2013 = − 2a  1  2a + − a + − a  = 2a ( − a ) ( − a ) ≤  ÷ = 2  27 Suy a ( − a ) ≤ 2 − 2013 ≤ − 2013 < 3 Suy f ( a) nghịch biến đoạn [ 0;1] Do f ( a) ≥ f (1) = −2013 3 ⇒ f '(a ) ≤ 18 0.5 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P −2013 a = b = c = IV.1 2) Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thức P(x) = (5x - 3) n (n ∈ N* ) , 2n+1 + 3C32n+1 + + kC k2n+1 + + (2n+1)C 2n+1 = 21.2 20 (*) biết C12n+1 + 2C 2n+1 Xét (1 + x) n+1 = C20n+1 + C21n+1 x + C22n +1 x + + C22nn++11 x k + + C22nn++11 x n+1∀x(1) đạo hàm vế (1) ta có 0.5 (2n + 1)(1 + x) n = C21n+1 + 2C22n+1 x + + kC22nn++11 x k −1 + + (2n + 1)C22nn++11 x n (2) 0.5 Chọn x=1 thay vào (2) ta có 0.5 (2n + 1)2 = C 2n n +1 + 2C 2 n +1 + + kC n +1 n +1 + + (2n + 1)C n +1 n +1 (*) ⇔ (2n + 1)22 n = 21.2 20 (3) Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại tương tự 0[...]...Giới hạn và tiệm cận: 1 1 lim y = − , lim y = − , tiệm cận ngang: y =-1/2, 2 x→+∞ 2 x →−∞ lim y = +∞, lim y = −∞ ; tiệm cận đứng: x = 1/ 2 x →1/2− Chiều biến thi n: y ' = x →1/2+ −1 ( 2 x − 1) 2 0.5 < 0, ∀x ∈ D Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1/ 2 ) và ( 1/ 2; +∞ ) I.2 Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( H ) : 0.5 1  −x +1 x ≠ 2 = x+a ⇔ ... 2ax − a − 1 = 0 ( *)  2 Đặt g ( x ) = 2 x + 2ax − a − 1 ∆′g = a 2 + 2a + 2 > 0, ∀a 1  Vì   1  nên ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với mọi a 1 2  g  ÷ = − ≠ 0, ∀a 2  2 0.5 Vậy d luôn cắt ( H ) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi a Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của ( *) Theo định lý Vi-ét ta có 0.5 −a − 1 x1 + x2 = −a , x1 x2 = 2 −1 −1 ; k2 = Tiếp... cos 45 = 2 2 a +b 5 1 Chọn b=1 ta được a = ; a = −3 3 Từ đó suy ra phương trình AC là x + 3 y − 10 = 0 hoặc 3 x − y − 10 = 0 V.1 S HBC = 0.5 0.5 0.25 1 a2 3 HB.HC.sin1200 = 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC 0.25 a a 3 ⇒ AK = AH sin 600 = 2 4 3a · = 600 ⇒ SA = AK tan 600 = Góc giữa (SHC) và (ABC) là SKA 4 Ta có AH = HM = HB sin 300 = 0.25 1 1 3a a 2 3 3a 3 Vậy VS HBC = SA.S HBC = ... của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là BCB ' 0.25 Gọi I là hình chiếu của A trên SK ⇒ AI ⊥ ( SHC ) Ta có BB ' = d ( B, ( SHC )) = 2d ( M , ( SHC )) = 2d ( A, ( SHC )) = 2 AI Trong tam giác vuông SAK, ta có AI = · Do đó sin BCB '= AK 2 + AS 2 = 3 3a 2 2 3a 3a = ⇒ BB ' = 16 a 3 8 4 0.25 0.25 BB ' 3a 3a 3 = = = 0 BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 4 · Vậy cos BCB ' = 1− V.2 AK AS 0.25 3 13 = 16 4 Mặt