SỞ GD & ĐT LÀO CAI ĐỀ THI TUẦN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2015- 2016 TRƯỜNG THPT SỐ BẢO YÊN MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x +1 x −2 Câu 2(1,0 điểm).Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = x +3x −3; −1 Câu 3(1,0 điểm) a) Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực phần ảo số phức w = iz − z b) Giải phương trình: 25x − 2.5 x − 15 = Câu 4(1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( x ln x + x +4 ) dx Câu 5(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz,cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = a)Xác định tọa độ tâm tính bán kính mặt cầu (S) b)Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) điểm M(1; 1; - 1) Câu 6(1,0 điểm) a) Giải phương trình ( + sin x ) ( cos x − sin x ) = − 2sin x b) Một lớp học có 27 học sinh nữ 21 học sinh nam Cô giáo chọn học sinh để lập tốp ca chào mừng 20 - 11 Tính xác suất để tốp ca có học sinh nữ Câu 7(1,0 điểm) Cho hình chóp A.BCD có AB = a 3; BC = a Gọi M trung điểm CD Tính thể tích khối chóp A.BCD theo a khoảng cách hai đường thẳng BM, AD Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có I( 1; - )là tâm đường tròn ngoại tiếp ·AIC = 900 Hình chiếu vuông góc A BC D( - 1; - 1) Điểm K( 4; - ) thuộc đường thẳng AB Tìm tọa độ đỉnh A, C biết điểm A có tung độ dương ( ) ( 8 x − x − x − = y y − y + Câu 9(1,0 điểm) Giải hệ phương trình xy + ( y + ) ( y + x ) = 5y + 12 x − ) ( x; y ∈ ¡ ) Câu 10(1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= 3a + 3b + 25c3 + ( a + b + c) ************ Hết ************ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Đáp án • TXĐ: D = ¡ \ { 2} Điểm • Sự biến thiên - Chiều biến thiên: y′ = − 0.25 ( x − 2) < ∀x ∈ D - Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;2 ) ( 2; +∞ ) - Hàm số cho cực trị 0.25 y = ⇒ TCN : y = - Tiệm cận xlim →±∞ lim y = +∞ ; lim− y = −∞ ⇒ x = : TCÑ x →2 x →2 + • Bảng biến thiên x -∞ y' y - +∞ - +∞ -∞ 0.25 • Đồ thị 0.25 f(x) xác định liên tục −3; −1 , y ' = 3x + 6x y ' = ⇔ x = (loại)hoặc x = −2 (nhận) Câu Ta có: f ( −3) = , f ( −2 ) = , f ( −1) = Giá trị lớn giá trị nhỏ f(x) −3; −1 3a 0.25 0.25 0.25 0.25 z = − 2i w = i ( + 2i ) − ( − 2i ) = −5 + 5i 0.25 Phần thực -5 0.25 Phần ảo 25 x − 2.5 x − 15 = ⇔ ( x ) − 2.5 x − 15 = (*) Đặt t = x > t = t = −3 (loai) 3b 0.25 Pt (*) ⇔ t − 2t − 15 = ⇔ Với t = ⇔ 5x = ⇔ x = 0.25 Vậy phương trình có nghiệm: x = ( ) 2x Đặt ln ( x + ) = u ⇒ du = d ln ( x + ) = dx 0.25 x=0 u=ln4 x=1 u=ln5 0.25 x +4 ln 1 u2 ln = (ln − ln 4) ⇒ I = = ∫ udu = ln 2 ln 4 0.5 Tâm I(1; -2; 3) 0.25 R=5 0.25 r Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng là: IM = (0;3; −4) 0.25 (P): 3y – 4z – =0 0.25 ( ) 2 PT ⇔ ( sin x + cos x ) cos x − sin x = cos2 x ⇔ cos2 x ( sin x + cos x − 1) = 6a © π ª2 x = + kπ © π © ª ªx = + k π ª2 x = π + kπ ª ª ª ª ª ©cos x = ª π π ª ª ª ⇔ ªª x + = + k 2π ⇔ ªª x = k 2π ⇔ª ⇔ª ( k ∈¢) 4 ª«sin x + cos x = ªªsin x + π = ª ª π ª ª ÷ ª ª π 3π ª x = + k 2π 4 ª« ªx + = + k 2𠪫 0.25 Chọn ngẫu nhiên học sinh số 48 học sinh có: C485 = 1712304 Gọi A biến cố " chọn học sinh có học sinh nữ" A biến cố " chọn học sinh mà học sinh nữ " 0.25 ª« 6b 0.25 4 ( ) Ta có số kết thuận lợi cho A là: C = 20349 ⇒ P A = 21 ⇒ P ( A) = 1− 20349 1691955 = 1712304 1712304 C21 48 C = 20349 1712304 0.25 Gọi O tâm tam giác BCD cạnh a Do A.BCD chóp nên AO ⊥ ( BCD ) ⇒ AO đường cao hình chóp A N D B O Có S∆BCD = BC.BD.sin 60 = M I OB = 0.25 a2 a 3 Trong ∆AOB có: C AO = AB − BO = VA BCD = 2a 0.25 a3 AO.S∆BCD = ( ñvtt ) Gọi N, I, J trung điểm AC, CO, OM Có: AD / / MN ⇒ AD / / ( BMN ) ⇒ d ( BM ; AD ) = d ( AD; ( BMN ) ) ( ) ( ) ( = d D; ( BMN ) = d C; ( BMN ) = 2d I ; ( BMN ) lại có: ) 0.25 BM ⊥ IJ ⇒ BM ⊥ ( IJN ) ⇒ ( BMN ) ⊥ ( IJN ) theo giao tuyến NJ BM ⊥ NI Trong mp(IJN) kẻ IK ⊥ NJ ⇒ IK ⊥ ( BMN ) ⇒ d ( I ; ( BMN ) ) = IK * Xét ∆IJN có: 1 16 35 a 70 = + = + = 2 2 2 ⇒ IK = IK IJ IN a 2a 2a 35 Vậy d ( BM ; AD ) = 2d ( I ; ( BMN ) ) = K · ⇒ ABD = 450 nên ∆ADB vuông cân D DA = DB Lại có: IA = IB I C D 2a 70 35 ©· ·AIC = 90 ⇒ ªª ABC = 45 Do ª· ª«ABC = 1350 A 0.25 B ⇒ DI ⊥ AB Nên đường thẳng AB qua K ( 4; - ) vuông góc với DI có phương trình x − y − = Gọi A ( a;2a − ) ∈ AB , DA = 2d ( D; AB ) = 10 0.25 0.25 ⇒ ( a + 1) + ( 2a − 8) 2 = 10 ©a = © ª A ( 1; −7 ) ( loaïi ) ª ª ⇔ ⇒ ª ⇔ a − 6a + = ª«a = ªª A ( 5;1) ( t / m ) « uuur Phương trình DB qua D có VTPT AD : x + y + = 0.25 C ∈ DB ⇒ C ( c; −3c − ) Do ∆IAC vuông cân I nên uur uur IA.IC = ⇔ ( c − 1) − ( 3c + ) = ⇔ c = −2 ⇒ C ( −2;2 ) 0.25 x ≥ ĐK: Từ pt (1) ⇒ dể pt có nghiệm y ≥ ( y + ) ( y + x ) ≥ 0.25 ( ) ( ) ( ) PT ( 1) ⇔ 2 x − − 2 x − + 2 x − = y − y + y (*) 0.25 Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + 4t ( t ≥ ) có f ′ ( t ) = 3t − 4t + = 2t + ( t − ) > ∀t ≥ ( nên f(t) đồng biến ) Từ pt (*) ⇒ f 2 x − = f ( y ) ⇔ 2 x − = y 0.25 Thay vào pt ( ) ta pt y + ( y + ) y + = 3y ( y + ) Đặt z = y + ta pt ( y + z = 3yz ⇔ ( y − z ) y + yz − 2z 3 2 ) ©y = −2 z ( loaïi ) ª = ⇔ ªª ª«y = z ( t / m) 0.25 Với y = z ta y = y + ⇒ y = ⇒ x = (t / m) 10 4 - Áp dụng BĐT Cô - Si ta có: 2a + ( a + 1) ≥ 2a + 2a ≥ 4a hay 3a + ≥ 4a3 - Tương tự 3b + ≥ 4b3 ⇒ M ≥ ( a + b + c) Mà ( a − b ) ( a + b ) ≥ ⇒ ( a3 + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a + b ) + 25c ⇒M≥ ( a + b + c) 3 Đặt t = c a+b+c 0.25 4a3 + 4b3 + 25c3 3 3 3 a+b c c c = ÷ + 25 ÷ = 1 − ÷ + 25 ÷ a + b + c a + b + c a+b+c a+b+c 0.25 ( < t < 1) Xét hàm số f ( t ) = ( − t ) + 25t ( < t < 1) © ªt = ª 2 ª có: f ′ ( t ) = −3 ( − t ) − ( 5t ) , f ′ ( t ) = ⇔ ªª ªt = − ª« 0.25 Bảng biến thiên t -∞ - f'(t) 60 +∞ + f(t) 0.25 25 36 1 25 a = b = 1, c = Vậy Min f ( t ) = f ÷ = t = hay Min M = 36 36 25