Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức toán khó Trong năm gần tần suất xuất đề thi cao Nhiều số thực khó, cách giải không thực tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người đề nắm cách giải) Tuy nhiên bên cạnh có nhiều dạng, loại mà ta khái quát thành cách giải đặc trưng Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán học nói riêng chất lượng giáo dục nói chung; tiến hành nghiên cứu tìm hiểu “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp 10, 11” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học môn Toán trường phổ thông Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2011-2012; 20122013 Giả thuyết khoa học Hiện việc tiếp cận phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy) Nếu áp dụng SKKN tác giả cách linh hoạt, phù hợp hiệu giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cao Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Tài liệu tham khảo NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trong trình xử lý toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ta cần sử dụng số kiến thức: định lý dấu tam thức bậc hai, tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách… Định lý thuận dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c;  a  0 Có   b  4ac Nếu   a f  x   x  R Nếu   a f  x   x   b 2a  a f  x   x   ; x1    x2 ;   ( x1  x2 hai nghiệm  a f  x   x   x1; x2  Nếu    tam thức bậc hai) Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a b  ac bc Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang c0 a  b  ac  bc c0 a  b  ac  bc a  b  ac bd  c  d 0  a  b  ac  bd  0  c  d a  b  a n 1  b2 n 1 ; n  N *  a  b  a 2n  b2n ; n  N * 0ab a  b ab a  b Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) ab  ab ; a, b  Đẳng thức xảy a  b Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số f  x  xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số f  x  D  f  x   M x  D   x  D : f x  M       ; M  Max f x D Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số f  x  D  f  x   m x  D  ; m  f x  D x  D : f x  m       Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự II Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp phương trình bậc hai Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Xét toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A  f  x  ; tập D Lời giải Gọi A0 giá trị biểu thức Chứng tỏ phải tồn x0  D cho f  x0   A0 ; điều chứng tỏ phương trình f  x   A0  có nghiệm D Ta tìm điều kiện để phương trình f  x   A0  có nghiệm D; từ tìm giá trị lớn nhất; nhỏ Trong nhiều toán phương trình f  x   A0  có dạng phương trình bậc Ở phương pháp ta phải hạn chế phương trình f  x   A0  có dạng phương trình bậc Ta xét số ví dụ sau: Bài Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ biểu thức y  x x 1 Lời giải Tập xác định D  R Gọi y0 giá trị biểu thức Chứng tỏ phương trình y0 x  x  y0  0, 1 có nghiệm Nhận xét: Đối với phương trình ax  bx  c  có điều kiện a  b2  phương trình có nghiệm b  4ac  1 Phương trình 1 có nghiệm   y02     y0  2 1 Nhận thấy x   y  ; x  1  y   2 1 Vậy y   ; Maxy  2 Với cách làm tương tự ta vận dụng vào số sau; học sinh tự đề cho bạn lớp Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang x2  x  Bài Tìm min; max y  x  2x   y   x2  8x  Bài Tìm min; max y  x2   y  1; maxy   2; maxy   2  Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai Trong báo Toán học tuổi trẻ số 347 (tháng – 2006) có đề toán: Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x  y  x  y  xy Lời giải Giả sử m giá trị nhỏ biểu thức  x  y  x  y  xy  m ( x; y )  R  R  x  ( y  1) x  y  y  m  ( x; y )  R  R Nhìn vế trái tam thức bậc hai với ẩn x thì: x  ( y  1) x  y  y  m  x  R Suy ra:  x  3 y  y   4m  với y  R Suy ra: 'y  12  12m   m  1 Nếu m < -1 thì: 'y  Do  x  Suy A > m Vậy giá trị nhỏ biểu thức A Nếu m = -1 A  1 Dấu xảy x = y = Kết luận: minA = -1 x = y = Nhận xét : Từ kết tìm theo lời giải ta đặt câu hỏi: Liệu phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong B  B = x = y = Với suy nghĩ ta có phương pháp thứ sau: Phân tích thành tổng bình phương cộng trừ số Lời giải A = x  x   y  y   x  y  xy   Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1 A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – y   3( y  1)   1 A =  x       Đẳng thức xảy  x  y  Kết luận: minA = -1 x = y = Với cách làm tương tự ta xử lý thêm tập sau Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = x  y  xy  x  y Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai 3y 1   y    3 Cách 2: Xét biểu thức B   3x       Khi đó: B   x  y  3 Bình luận: Bất đẳng thức a  a  R vận dụng nhiều toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài Tìm max P   x  y  xy  x;  maxP  3 9  Bài Tìm P  x  xy  y  12 x  45;  P   5  Sử dụng tính tương giao đường thẳng đường tròn ; hình tròn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng : f  ax + by; x; y thoả mãn điều kiện cho trước a; b số Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ F  x  y với điều kiện x2  y  Lời giải Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Nhận xét: Điều kiện cho đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ, Ký hiệu hình tròn  C  bán kính Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có dạng phương trình đường thẳng Gọi F0 giá trị biểu thức với x; y thoả mãn: x  y  Khi đường thẳng  có phương trình x  y  F0  đường tròn  C  phải có điểm chung Điều kiện tương đương với: d  O;      F0  5  F0   5  F0  Nhận thấy F0  5; F0  ứng với hai tiếp tuyến đường tròn tiếp điểm  2;1 ;  2; 1 Vậy F  5; MaxF = Bình luận: Như với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng F=a.x+b.y điều kiện x  y  R ; ta khái quát cách giải Điều kiện toán điều chỉnh là: x  y  R cách giải tương tự Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F  3x  y với điều 2  kiện  x     y    25 3  Lời giải 2  Gọi F0 giá trị biểu thức với x; y thoả mãn  x     y    25 3  Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Khi đường thẳng có phương trình x  y  F0  hình tròn 2   x     y    25 phải có điểm chung 3  Điều tương đương với: 10  F0 5  10  F0  25  25  10  F0  25  35   F0  15  15  F0  35 Vậy F  15; MaxF=35 Với tư tương tự học sinh tự nghĩ đề toán để luyện tập; tập dượt khả sáng tạo khía cạnh Khi thân giáo viên học sinh có niềm vui nho nhỏ! Các em thấy cần phải học Cách thay học Cái tạo phương pháp tự học cho em Trong Bài ; Bài điều kiện cho đầu có thay đổi; chẳng hạn điều kiện biến thoả mãn phương trình Elip Như ta lại có loạt toán tương tự Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F  x  y x; y thoả mãn: x  y  Lời giải Nhận xét: Điều kiện toán thoả mãn phương trình Elip Tuy nhiên trường hợp trường hợp điều kiện tương tự ta đưa điều kiện điều kiện biến thoả mãn phương trình đường tròn phép đổi biến Ta có phương trình Elip : x2 y  1 1 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Đặt x  z2  y2  z  z Khi Elip biến thành đường tròn có phương trình: F  3z  y Gọi Gọi F0 giá trị biểu thức với z; y thoả mãn: z  y  Chứng tỏ đường thẳng có phương trình z  y  F0  đường tròn có phương trình z  y  phải có điểm chung Điều tương đương :  F0  18   F0     F0  Vậy F   2; MaxF= Trong trường hợp tổng quát điều kiện mx  ny  r ;  m, n, r   ta có cách đổi biến : x  Elip đường tròn có phương trình y  z  đầu cho : n z biến m r n ;F a z  by n m Với tư tương tự ta có nhiều toán với số liệu khác Bài 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết x2 y   Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  3x  y  x  y biết Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết  x  2   y  3  3 x  y  m Bài 14 Tìm giá trị nhỏ m để hệ  có nghiệm? x  y   Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có dạng F  x  y điều kiện x; y thoả mãn:  x  a    y  b   R Khi cần sử 2 dụng mệnh đề sau: Cho đường tròn (O; R) điểm P không trùng với tâm đường tròn Đường thẳng OP cắt đường tròn hai điểm A; B Với điểm M đường tròn ta có:  PA; PB   PM  max PA; PB  Chứng minh : Giả sử P nằm bán kính OA, ta có : PM  OM  OP  OA  OP  PA PM  OM  OP  OB  OP  PB Vì  PA; PB   PA; PB  max  PA; PB  Vậy  PA; PB   PM  max  PA; PB  Các trường hợp lại chứng minh tương tự Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết x; y thoả mãn  x     y  1  2 Lời giải Đặt  C  đường tròn có tâm I  2;1; R  Đường thẳng OI có phương trình là: x  y  Gọi A; B giao điểm đường tròn  C  với đường thẳng OI     A 10  5;5  ; B 10  5;5  10  Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Xét M  x; y    C  F  x  y  OM Sử dụng mệnh đề chứng minh ta có  OA2 ; OB   F  max  OA2 ; OB  OA2  225  100 OB  225  100 Vậy  5;  x  10   5 F  225  100 5; x  10  5; y   max F  225  100 5; y   Tới ta việc thay điều kiện đường tròn khác có toán khác Việc giải toán tương tự Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AMGM) Trong chương trình phổ thông học sinh giới thiệu bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Do phương pháp xin giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ Kỹ thuật Thêm, bớt, tách Trong trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng kỹ thuật thêm, bớt, tách cần linh hoạt, thể vận dụng khéo léo người làm toán Ta có số biến đổi kỹ thuật sau: a m nm a  a t t  b  a  a  a r a1r  b n n Bài 16 Cho x  0; y  x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Lời giải 11 1   xy x y xy Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Ta viết lại biểu thức     P     xy    2 xy  xy  xy x y  2   x2  y  xy  x  y    x  y Ví dụ với x  y   x  y 2 xy xy 22  x  y ;  AM  GM  257 P  Vậy P  3x  16 Bài 17 Cho x  tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x3 Lời giải Ta có A  x  16 x3  A x x x 16 16 x.x.x  8 x3 x3 Dấu xảy  x  Vậy A  Bài 18 Cho x; y; z  0; x  y  z  P Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1   x yz x y z Lời giải Ta viết lại biểu thức:  1 1  1  P    x     y     z   3 x  y  z  x  y   z 12 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 2 1 15 4x  y  z       x y z 2 15 15 Ví dụ với x  y  z  ; P  Vậy P  2 Bình luận: Tại ta không sử dụng việc ghép cặp: 1  1  1  P x y z  6 ? x  y  z  Khi dấu xảy  x  y  z  không thỏa mãn điều kiện đầu ! Do phép biến đổi không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần ý trường hợp dấu xảy Bài 19 Cho a; b; c  0; a  b  c  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 P   bc ca ab Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá sau: a2 bc  a bc b2 ca  b ca c2 ab  c ab Cộng vế với vế ta được: P 1 a  b  c   P 1 Giả sử với a  b  c   P 1 Vậy P  Bài 20 Cho x, y, z  0; x  y  z  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: 13 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang x5 y z P   y z x Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá sau: x5  y  y  y  y  5 x5  5x y y5  z  z  z  z  5 y5  y z z5  x  x  x  x  5 z  5z x Cộng vế với vế ta được: P  x  y  z  1 Ví dụ x  y  z   P  Vậy P  Một số tập vận dụng: Bài 21 Cho x, y  0; x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1  x y xy Bài 22 Cho x, y  0; x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   xy x  y xy Bài 23 Cho a, b, c  0; a2  b2  c2  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b c   2 b c c a a  b2 Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1   cosA cosB cosC Kỹ thuật Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội) Nhận xét: Trong tập hữu hạn số tồn số lớn số nhỏ Bài 25 Cho a, b, c  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: 14 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang P a b c    1  a 1  b 1  c  b  c 1 c  a 1 a  b 1 Lời giải Giả sử a  max a;b;c Khi ta có đánh giá sau: b b  ; 1 a+c+1 b  c  c c  ; 2 a  b 1 b  c 1 Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì: 1 b 1 c  b  c 1 1  b 1  c  b  c  1    1    1  b 1  c   b  c 1 Do  a  1 a  1  a 1  b 1  c   ;  3 b  c 1 Từ (1); (2) (3) ta có: P  a  b  c 1 a 1 b  c 1 Dấu xảy ví dụ với a  b  c  Một số tập vận dụng: Bài 26 Cho a; b; c  0;2; a  b  c  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b2  c2 Q  a  b3  c Bài 27 Cho a; b; c  1;3; a  b  c  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b2  c Phương pháp hình học, vector, toạ độ Trong trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần ý sử dụng đánh giá sau: r r r r u  v  u  v ; Dấu xảy hai vector hướng 15 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang rr r r u.v  u v ; Dấu xảy hai vector phương r2 r r u  ; Dấu xảy u  Ba điểm A, B, C ta có: AB  BC  AC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A C Ba điểm A, B, C ta có AB  AC  BC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A, C C nằm A B Bài 28 Tìm giá trị lớn f  x   x  x   x  10 x  50 Lời giải Tập xác định D  R Ta có: f  x    x  2 1   x  5  25 Đặt M  x;0  ; A  2;1 ; B  5;5  Suy f  x   MA  MB  AB  Dấu xảy x  Vậy Max f  x   Bài 29 Cho x, y, z  : x  xz  z  Tìm giá trị nhỏ P  x  xy  y  y  yz  z ;  P   Bài 30 Cho a, b, c, d  : a  b2  c  d  Tìm giá trị lớn P   a  2b   c  2d   ac  bd Kết vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tác giả sử dụng giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013 16 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Kết thu thông qua kết đánh giá kiểm tra em, qua vấn Đa số em hỏi có tự tin, có hệ thống phương pháp giải toán cực trị Điểm 10 Tổng số 10A 6 10 12 44 11M 5 10 0 37 Lớp 17 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang III KẾT LUẬN Với kết thu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài hoàn thành Tuy nhiên toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán gây khó khăn định cho thầy trò trình giảng dạy học tập môn Toán học Việc tìm hiểu phương pháp giải toán cực trị đòi hỏi luôn cập nhật đổi Những tìm hiểu cá nhân có lẽ không phủ hết dạng loại (ví sử dụng tính tương giao ta mở rộng cho không gian để xét tính tương giao mặt phẳng mặt cầu toán cực trị) cần đóng góp đồng chí Tổ Toán – Tin để báo cáo hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Người thực ĐÀO QUANG BÌNH IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán học tuổi trẻ Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn: Đại số 10 Nguyễn Văn Mậu: Phương pháp giải phương trình bất phương trình Đỗ Thanh Sơn: Một số chuyên đề Hình học phẳng 18 [...]... Max f  x   5 Bài 29 Cho x, y, z  0 : x 2  xz  z 2  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2 ;  min P  2  Bài 30 Cho a, b, c, d  0 : a 2  b2  c 2  d 2  5 Tìm giá trị lớn nhất của P  5  a  2b  5  c  2d  5  ac  bd 7 Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả... bài tập vận dụng: Bài 21 Cho x, y  0; x  y  1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1  2 x y xy 2 Bài 22 Cho x, y  0; x  y  1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3 2   4 xy x 2  y 2 xy Bài 23 Cho a, b, c  0; a2  b2  c2  1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b c  2  2 2 2 b c c a a  b2 2 Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:... Một số bài tập vận dụng: Bài 26 Cho a; b; c  0;2; a  b  c  3 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a 2  b2  c2 Q  a 3  b3  c 3 Bài 27 Cho a; b; c  1;3; a  b  c  6 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a 2  b2  c 2 6 Phương pháp hình học, vector, toạ độ Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau: r r r r u  v  u  v... 4 xy 5 22  x  y 2 ;  AM  GM  257 1 thì P  7 2 Vậy min P  7 3x 4  16 Bài 17 Cho x  0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x3 Lời giải Ta có A  3 x  16 x3  A x x x 16 16 4 x.x.x  4 8 x3 x3 Dấu bằng xảy ra  x  2 Vậy min A  8 Bài 18 Cho x; y; z  0; x  y  z  P 3 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 1 1 1   x yz x y z Lời giải Ta viết lại biểu thức:  1... số bài 10A 6 6 5 10 12 5 0 44 11M 8 5 5 9 10 0 0 37 Lớp 17 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang III KẾT LUẬN Với những kết quả thu được thì nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành Tuy nhiên bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vẫn luôn là bài toán gây những khó khăn nhất định cho thầy và trò trong quá trình... Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) Do đó trong phương pháp này tôi xin được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, tách cần hết... Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất Bài 25 Cho a, b, c  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 14 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang P a b c    1  a 1  b 1  c  b  c 1 c  a 1 a  b 1 Lời giải Giả sử a  max a;b;c Khi đó ta có các đánh giá sau: b b  ; 1 a+c+1 b  c  1 c... giảng dạy chuyên đề “Cực trị cho học sinh các lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013 16 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài kiểm tra các em, qua phỏng vấn Đa số các em được hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp giải toán cực trị Điểm 4 5 6 7 8 9 10 Tổng... Khi làm toán cực trị cần hết sức chú ý trường hợp dấu bằng xảy ra Bài 19 Cho a; b; c  0; a  b  c  2 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 b2 c2 P   bc ca ab Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau: a2 bc  a bc 4 b2 ca  b ca 4 c2 ab  c ab 4 Cộng vế với vế ta được: P 1 a  b  c  2  P 1 Giả sử với a  b  c  2  P 1 3 Vậy min P  1 Bài 20 Cho x, y, z ... trong quá trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán học Việc tìm hiểu các phương pháp giải toán cực trị đòi hỏi chúng ta luôn luôn cập nhật và đổi mới Những tìm hiểu của cá nhân tôi có lẽ không phủ hết được các dạng loại (ví như sử dụng tính tương giao ta có thể mở rộng cho không gian để xét tính tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu trong bài toán cực trị) do đó rất cần sự đóng góp của các đồng chí trong