một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

Lý do chọn đề tài Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một trong những bài toán khó.. Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán họ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một trong những bài toán khó Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các đề thi là khá cao Nhiều bài trong số đó quả thực là khó, cách giải không thực sự tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải) Tuy nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có thể khái quát thành cách giải đặc trưng Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nói

chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số phương pháp

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông

Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

5 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013

6 Giả thuyết khoa học

Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn một số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy) Nếu áp dụng SKKN của tác giả một cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ cao hơn

7 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp thống kê Toán học

8 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

Mở đầu

Nội dung chính

Kết luận

Tài liệu tham khảo.

NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

Trong quá trình xử lý các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử dụng một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách…

1 Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.

Cho tam thức bậc hai f x  ax 2 bx c ; a 0 Có  b2  4ac

Nếu   0 thì a f x.      0 x R

Nếu   0 thì .   0

2

b

a

  

1 2





  

 (x1 x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai)

2 Các tính chất của Bất đẳng thức.

a b  a c b c   0

c  a b  ac bc

0

c  a b  ac bc

a b

a c b d

c d









 0 0

a b

ac bd

c d





 



2 1 2 1 *

;

n n

n n

3 3

3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)

2

a b

ab a b



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

4 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số f x  xác định trên tập D

Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f x  trên D nếu

 

  ; ax f x 

:

f x M x D

M M

D











Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  trên D nếu

 

  ; min f x 

:

f x m x D

m D









  



Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự

II Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1 Phương pháp phương trình bậc hai.

Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Af x ; trên

tập D.

Lời giải

Gọi A là một giá trị của biểu thức Chứng tỏ phải tồn tại 0 x0D sao cho

 0 0

f x A ; điều đó chứng tỏ phương trình f x   A0 0 có nghiệm trên D Ta

đi tìm điều kiện để phương trình f x   A0 0 có nghiệm trên D; từ đó tìm được giá trị lớn nhất; nhỏ nhất Trong nhiều bài toán phương trình f x   A0 0

có dạng là phương trình bậc 2 Ở phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phương trình f x   A0 0 có dạng phương trình bậc 2 Ta xét một số ví dụ sau:

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức 2

1

x y x





Lời giải

Tập xác định D R

Gọi y là một giá trị của biểu thức0

Chứng tỏ phương trình y x0 2 x y 0 0, 1  có nghiệm

phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi b2  4ac0

Phương trình  1 có nghiệm 2

x  y x  y 

Vậy min 1; axy 1

Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có thể tự ra đề cho chính mình và các bạn trong lớp

min 3 2 2; axy 3 2 2

2 2

1

x



2 Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.

Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề toán:

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 y2  x y xy 

Lời giải 1

Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

x y x y xy m

       ( ; )x y  R R

        ( ; )x y  R R

Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì:

x  y x y  y m   x R

Suy ra:  x 3y2  6y  1 4m 0 với  y R

Suy ra:   'y 12 12  m 0

1

m

Nếu m < -1 thì:   'y 0

Do đó  x 0

Suy ra A > m Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Nếu m = -1 thì A  1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.

Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu có

thể phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong đó B  0 và B = 0 khi x = y = 1

Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:

3 Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số.

Lời giải 2

A = x2  2x  1 y2  2y    1 x y xy  1 1

A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1

A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – 1

A =

Đẳng thức xảy ra  x y 1

Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.

Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm bài tập sau

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = x2 y2 xy x y 

Hướng dẫn:

Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.

2

y

B x     y  

Khi đó: min 1

3

B  khi x y 13

bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 6 Tìm max P 2 5x2  y2  4xy2 ;x maxP 3 

5

P x  xy  y  x  P 

4 Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường tròn ; hình tròn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng : f ax + by; trong đó x y; thoả mãn điều kiện cho trước a b; là các hằng số

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F 2x y với điều kiện

x  y 

Lời giải

Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ,

bán kính là 5 Ký hiệu hình tròn là  C

Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình đường thẳng

Gọi F là một giá trị của biểu thức với 0 x y; thoả mãn: x2 y2 5

Khi đó giữa đường thẳng  có phương trình 2x y F  0 0 và đường tròn  C phải có điểm chung.

Điều kiện đó tương đương với: d O   ;  5

0

0 0

5 5

5

F

F F



Nhận thấy khi F0 5;F0 5 ứng với hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại các tiếp điểm 2;1 ; 2; 1   

Vậy minF 5; axF = 5M

Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

dạng F=a.x+b.y và điều kiện là x2  y2 R2 ; ta có thể khái quát cách giải

Điều kiện của bài toán có thể điều chỉnh là: x2  y2 R2 khi đó cách giải vẫn tương tự

Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 3x4y với điều

2

2

2

3

Lời giải

Gọi F là một giá trị của biểu thức với 0 x y; thoả mãn  

2

2

2

3

Khi đó giữa đường thẳng có phương trình 3x4y F 0 0 và hình tròn

2

2

2

3

Điều đó tương đương với: 10 0

5 5

F





0 0 0 0

F F F F

Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ ra các đề toán để luyện tập; tập dượt khả năng sáng tạo ở một khía cạnh nào đó Khi đó bản thân giáo viên và học sinh sẽ có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy được cần phải học Cách thay vì học Cái và tạo được phương pháp tự học cho các em

Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của đầu bài có sự thay đổi;

chẳng hạn điều kiện của biến thoả mãn phương trình của một Elip Như vậy ta lại có một loạt bài toán tương tự

Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 2x3y trong đó

;

x y thoả mãn: 4x2 9y2 1

Lời giải

Nhận xét: Điều kiện của bài toán thoả mãn phương trình của một Elip Tuy

nhiên trong trường hợp này và các trường hợp điều kiện tương tự thì ta có thể đưa điều kiện đó về điều kiện của biến thoả mãn một phương trình đường tròn bằng các phép đổi biến

Ta có phương trình của Elip :

1

x z z Khi đó Elip biến thành đường tròn có phương trình:

9

z  y  và F 3z3y

Gọi Gọi F là một giá trị của biểu thức với 0 z y; thoả mãn: 2 2 1

9

z  y 

Chứng tỏ đường thẳng có phương trình 3z3y F 0 0 và đường tròn có

phương trình 2 2 1

9

z  y  phải có điểm chung

Điều đó tương đương : 0 1

3 18

F





0 0

2

F F

Vậy minF  2; axF= 2M

Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho là :

mx ny r m n r  thì ta có cách đổi biến : x n z

m

 và khi đó sẽ biến

Elip về đường tròn có phương trình y2 z2 r ;F a n z by

Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với những số liệu khác nhau

Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x y biết rằng

1

Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

2

F  x y biết rằng 3x2 2y2 1

Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x y biết rằng

x 22 8 y32 8

Bài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ 32 42

9

x y







có nghiệm?

Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có dạng

F x  y và điều kiện x y; thoả mãn: x a 2y b 2 R2 Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Cho đường tròn ( ; )O R và điểm P không trùng với tâm của đường tròn đó Đường thẳng OP cắt đường tròn tại hai điểm A; B Với mọi điểm

M trên đường tròn ta có: minPA PB;  PM maxPA PB; 

Chứng minh :

Giả sử P nằm trên bán kính OA, ta có :

PM OM OP OA OP PA

PM OM OP OB OP PB

Vì minPA PB;  PA PB; maxPA PB; 

Vậy minPA PB;  PM maxPA PB; .

Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự

Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x2  y2 biết x y;

thoả mãn x 22y 12 4

Lời giải

Đặt  C là đường tròn có tâm I2;1 ; R  2

Đường thẳng OI có phương trình là: x 2y0

Gọi A B; là giao điểm của đường tròn  C với đường thẳng OI

10 4 5;5 2 5 ; 10 4 5;5 2 5

Xét M x y ;    C khi đó F x2  y2 OM2 Sử dụng mệnh đề đã chứng minh ta có minOA OB2; 2 F maxOA OB2; 2

2

2

225 100 5

225 100 5

OA

OB

Vậy

 

Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường tròn khác thì sẽ có những bài toán khác nhau Việc giải các bài toán đó là tương tự

5 Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

(AM-GM).

Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) Do đó trong phương pháp này tôi xin được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất

Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách.

Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, tách cần hết sức linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người làm toán

Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

a m n m r 1 r





Bài 16 Cho x0;y 0 và x y 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

4

x y xy



Lời giải

Ta viết lại biểu thức

     

2

4

4 2

xy

x y

x y xy







Ví dụ với 1

2

x y  thì P 7

Vậy minP 7

Bài 17 Cho x 0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 3

3x 16

A

x





Lời giải

Ta có A 3x 163

x

4

4 8

Dấu bằng xảy ra  x2

Vậy minA 8

2

x y z  x y z   Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

x y z

Lời giải

Ta viết lại biểu thức:

        

1 1 1 3 9 15

x y z   P Vậy min 15

2

P 

Bình luận: Tại sao ta không sử dụng luôn việc ghép cặp:

6

      

Khi đó dấu bằng xảy ra  x y z  1 không thỏa mãn điều kiện của đầu bài !

Do vậy phép biến đổi như vậy không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần hết sức chú ý trường hợp dấu bằng xảy ra.

Bài 19 Cho ; ;a b c0;a b c  2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

b c c a a b

Lời giải

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:

2

2

2

4

4

4

a

b c

b

c a

c

a b













Cộng vế với vế ta được:

1

P

    

3

a b c    P

Vậy minP 1

Bài 20 Cho x y z, , 0;x y z  1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5 5 5

P

Lời giải.

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:

5

5 5 4

5

5 5 4

5

5 5 4

x

y

y

z

z

x

Cộng vế với vế ta được: P x y z   1

3

x y z    P Vậy minP 1

Một số bài tập vận dụng:

Bài 21 Cho x y, 0;x y 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

x y xy



Bài 22 Cho x y, 0;x y 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4

x y xy



Bài 23 Cho a b c, , 0;a2 b2 c2 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Kỹ thuật 2 Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)

Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất.

Bài 25 Cho a b c , , 0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1  1  1 

Lời giải.

Giả sử a m ax a;b;c  Khi đó ta có các đánh giá sau:

b

Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì:

   

3

3 1

1

1

1

b c

Do a

a

b c

 



 

Từ (1); (2) và (3) ta có: 1 1

1

P

b c

   

  Dấu bằng xảy ra ví dụ với a b c  1

Một số bài tập vận dụng:

Bài 26 Cho a b c; ; 0;2 ; a b c  3 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 27 Cho a b c; ; 1;3 ; a b c  6 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P a 2 b2 c2

6 Phương pháp hình học, vector, toạ độ.

Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau:

u vr r ur  vr

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng hướng

u v u v

r r r r

; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng phương

2

0

u r

; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u r r0

Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB BC AC Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.

Ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có AB AC BC Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.

Bài 28 Tìm giá trị lớn nhất của f x   x2  4x 5 x2  10x50

Lời giải.

Tập xác định D R

Ta có: f x   x 22 1 x 52 25

Đặt M x ;0 ; A2;1 ; B5;5

Suy ra f x  MA MB AB5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4

5

x 

Vậy Max f x  5

Bài 29 Cho x y z, , 0 :x2xz z 2 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của P x2  xy y 2  y2  yz z 2; minP2

Bài 30 Cho a b c d, , , 0 :a2 b2 c2 d2 5

Tìm giá trị lớn nhất của P 5 a 2b  5 c 2d  5 ac bd

7 Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả sử dụng trong giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh các lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013

Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài kiểm tra các em, qua phỏng vấn Đa số các em được hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp giải toán cực trị

Điểm

III KẾT LUẬN

Với những kết quả thu được thì nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành

Tuy nhiên bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vẫn luôn là bài toán gây những khó khăn nhất định cho thầy và trò trong quá trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán học Việc tìm hiểu các phương pháp giải toán cực trị đòi hỏi chúng ta luôn luôn cập nhật và đổi mới Những tìm hiểu của cá nhân tôi có lẽ không phủ hết được các dạng loại (ví như sử dụng tính tương giao ta

có thể mở rộng cho không gian để xét tính tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu trong bài toán cực trị) do đó rất cần sự đóng góp của các đồng chí trong

Tổ Toán – Tin để báo cáo được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Người thực hiện

ĐÀO QUANG BÌNH

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Báo Toán học và tuổi trẻ

2 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn: Đại số 10

3 Nguyễn Văn Mậu: Phương pháp giải phương trình và bất phương trình

4 Đỗ Thanh Sơn: Một số chuyên đề Hình học phẳng