skkn một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

Lý do chọn đề tài Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa một biểu thức là một trong những bài toán khó.Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các đề thi là khá cao.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa một biểu thức là một trong những bài toán khó.Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các

đề thi là khá cao Nhiều bài trong số đó quả thực làkhó, cách giải không thực sự tự nhiên, mang nhiềuyếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải) Tuynhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta cóthể khái quát thành cách giải đặc trưng Với mongmuốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộmôn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nóichung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về

“Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị

Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất.

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường

phổ thông

Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất

5 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất được giảng dạy tại trường THPT VănGiang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013

6 Giả thuyết khoa học

Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn một số hạn chế (tài liệutham khảo, giảng dạy) Nếu áp dụng SKKN của tácgiả một cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải cácbài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ caohơn

7 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp thống kê Toán học

8 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

1 Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.

Cho tam thức bậc hai f x   ax 2 bx c ; a 0  Có

2.Các tính chất của Bất đẳng thức.

a b  a c b c   0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

4 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1 Phương pháp phương trình bậc hai.

Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểuthức Af x  ; trên tập D.

Lời giải

Gọi A0 là một giá trị của biểu thức Chứng tỏ phảitồn tại x0 D sao cho f x  0 A0; điều đó chứng tỏ phương

trình f x   A0  0 có nghiệm trên D Ta đi tìm điều kiện để

phương trình f x   A0  0 có nghiệm trên D; từ đó tìmđược giá trị lớn nhất; nhỏ nhất Trong nhiều bài toánphương trình f x   A0  0 có dạng là phương trình bậc 2

Ở phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phươngtrình f x   A0  0 có dạng phương trình bậc 2 Ta xét một

Vậy min 1; axy 1

Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một

số bài sau; học sinh có thể tự ra đề cho chính mình vàcác bạn trong lớp

8 7

min 1; axy 9 1

2 Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.

Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 –2006) có đề toán:

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

Suy ra:  x 3y2  6y  1 4m 0 với  y R

Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.

Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có

thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể phân tích biểu thức A = B+ (-1)? Trong đó B  0 và B = 0 khi x = y = 1

Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:

3 Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc

trừ một hằng số.

Lời giải 2

A = x2  2x  1 y2  2y    1 x y xy  1 1

A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1

Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.

Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêmbài tập sau

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =

4 Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường tròn ; hình tròn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị

;

Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2

F  x y với điều kiện x2  y2  5

Lời giải

Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có

tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là 5 Ký hiệu hình tròn

2x y F   0 và đường tròn  C phải có điểm chung

Điều kiện đó tương đương với: d O   ;  5

0

0

5 5

5

F F



Nhận thấy khi F0  5;F0  5 ứng với hai tiếp tuyến củađường tròn lần lượt tại các tiếp điểm   2;1 ; 2; 1    .

Vậy minF  5; axF = 5M

Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng F=a.x+b.y và điều kiện là

x  y R ; ta có thể khái quát cách giải Điều kiện củabài toán có thể điều chỉnh là: x2  y2 R2 khi đó cách giảivẫn tương tự

Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  phải có điểm chung

Điều đó tương đương với: 10 0

5 5

F





0 0 0 0

   

   

Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ racác đề toán để luyện tập; tập dượt khả năng sáng tạo ởmột khía cạnh nào đó Khi đó bản thân giáo viên và họcsinh sẽ có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấyđược cần phải học Cách thay vì học Cái và tạo đượcphương pháp tự học cho các em

Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của

đầu bài có sự thay đổi; chẳng hạn điều kiện của biếnthoả mãn phương trình của một Elip Như vậy ta lại cómột loạt bài toán tương tự

Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức F  2x 3y trong đó x y; thoả mãn: 4x2  9y2  1

Lời giải

Nhận xét: Điều kiện của bài toán thoả mãn phương

trình của một Elip Tuy nhiên trong trường hợp này và

kiện đó về điều kiện của biến thoả mãn một phươngtrình đường tròn bằng các phép đổi biến.

Ta có phương trình của Elip :

Điều đó tương đương : 0 1

3 18

F





0 0

2

F F

  

Vậy minF  2; axF= 2M

Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho

x a 2  y b 2 R2 Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Chođường tròn ( ; )O R và điểm P không trùng với tâm của đường tròn đó Đường thẳng OP cắt đường tròn tại hai điểm A; B Với mọi điểm M trên đường tròn ta có:

Vậy min PA PB;  PM  max PA PB; .

Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự

Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu

5.Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân (AM-GM).

Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ đượcgiới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trungbình nhân (AM-GM) Do đó trong phương pháp này tôixin được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữatrung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớnnhất; giá trị nhỏ nhất

Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách.

Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GMviệc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, tách cần hết sứclinh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của ngườilàm toán.

Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

Bài 17 Cho x 0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi đó dấu bằng xảy ra  x y z   1 không thỏa mãn điều

kiện của đầu bài ! Do vậy phép biến đổi như vậy không

thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần hết sức chú

ý trường hợp dấu bằng xảy ra.

Bài 19 Cho a b c; ;  0;a b c   2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức:

5 5 4

5

5 5 4

Bài 22 Cho x y,  0;x y  1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: P osA1 osB1 osC1

Kỹ thuật 2 Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)

Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn

6 Phương pháp hình học, vector, toạ độ.

Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học,vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau:

;

u vr r  ur  vr

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai

; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u r r 0

Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB BC AC  Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.

Ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có AB AC BC Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.

Bài 28 Tìm giá trị lớn nhất của

Tổng số bài

Xin trân trọng cảm ơn!

Người thực hiện

ĐÀO QUANG

BÌNH

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Báo Toán học và tuổi trẻ

2 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn: Đại số10

3 Nguyễn Văn Mậu: Phương pháp giải phương trình

và bất phương trình

4 Đỗ Thanh Sơn: Một số chuyên đề Hình học phẳng