ĐỀ 8 và đáp án THI học SINH GIỎI môn TOÁN cấp HUYỆN mới

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) _ ĐỀ SỐ Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P= x5 +x +1 + x +x +x x a) Rút gọn P; b) Tìm x nguyên để P nguyên; c) Tìm giá trị nhỏ P x dương Bài 2: (1,5 điểm) Cho đa thức f(x) khác đa thức không thoả mãn (x+2)f(x) = xf(x+1) a) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm; b) Tìm đa thức f(x) biết f(1) = f(x) có bậc hữu hạn Bài 3: (2,5 điểm) a) Hai người xe máy lúc, người thứ từ A đến B người thứ hai từ B đến A, với vận tốc gấp hai lần người thứ Sau bốn hai người gặp Tính thời gian người hết quãng đường AB 1 b) Chứng minh + =1 xy = x +1 y +1 Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD; tia đối tia BA lấy E, tia đối CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân; b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c số không âm thoả mãn a+b+c ≤ , Chứng minh ≤ (a-1)2 +(b-1)2 -c ≤ 2 HẾT -(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh rằng: UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp Bài 1: (2,0 điểm) Ý/Phần a) Đáp án P= (x3 -x+1)(x +x+1) + x x(x +x+1) x3 -x+1 + x x x3 -x+2 P= x x3 -x+2 2 P= = x + -1; P nguyên x ∈ U(2) x x ⇒ x ∈{-1; 1; -2; 2} x3 -x+2 2 P= = x + -1=x + 1+ -2 ≥ 2(x+ )-2 x x x x P ≥ 2(x+ ) - ≥ ( x dương) x P= b) c) Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2: (1,5 điểm) Ý/Phần a) b) Đáp án Cho x= f(0) = x=0 nghiệm pt f(x) = Cho x = -2 f(-1) = x = -1 nghiệm pt f(x)=0 Vậy phương trình có hai nghiệm x=0; x=-1 Vì pt có hai nghiệm x=0, x=1 nên f(x) = x(x+1)p(x), f(x+1) = (x+1)(x+2)p(x+1) Suy p(x) = p(x+1), bậc f(x) hữu hạn nên p(x) hữu hạn, Suy p(x) = a (hằng số) Vậy f(x) =ax(x+1), f (1)=2 nên a=1 suy f(x)=x(x+1) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (2,5 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Gọi x vận tốc người thứ x > 0, x(km/h) Vận tốc người hai 2x(km/h) Quãng đường AB =4x+8x=12x(km) Điểm 0,25 0,25 Thời gian người thứ 12(h) Thời gian người thứ hai 4(h) Điều kiện đủ 1 y2 xy =1 ⇔ x = ⇒ = y x +1 y2 +1 b) 0,25 0,25 0,25 1 y2 Nên + = + = x +1 y +1 y +1 y +1 0,25 Điều kiện cần 1 1 y2 t= + =1⇒ = y≠ Đặt y x +1 y2 +1 x +1 y2 +1 0,25  x=t t2 = ⇒ x +1 t +1  x=-t 0,25   x= y    x=y  0,25 xy =1 (đpcm) 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần a) Đáp án E 0,5 I B C O A Điểm D F GT KL Cho hình vng ABCD; tia đối tia BA lấy E, tia đối CB lấy F cho AE = CF, O giao điểm hai đường chéo, I trung điểm EF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân; b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Chứng minh ∆ EDF vng cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) 0,5 ∆ EDF cân D Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ Eˆ ⇒ = Fˆ2 = 900 ⇒ Fˆ2 + Eˆ + Fˆ1 = 900 ⇒ EDF = 900 Vậy ∆ EDF vng cân Theo tính chất đường chéo hình vng ⇒ CO trung trực BD Mà b) 0,25 Eˆ + Eˆ + Fˆ1 Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 ⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Do a, b, c không âm a+b +c ≤ suy Điểm 0,25 ≤ a+b ≤ 1;0≤ c ≤ 1-a-b Suy (a-1)2 + (b-1)2 – c ≤ (1-a-b)2 + 1- c ≤ Ta có (a-1)2 + (b-1)2 – c ≤ (1-a-b)2 + 1- c ≥ a2 –a + b2 –b + a2 –a + b2 –b + 1=(a-1/2)2 + (b-1/2)2 +1/2≥1/2 suy ra( ĐPCM) UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề ĐỀ SỐ Bài 1: (2điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x3 – 5x2 + 8x – Bài (2 điểm)  − x3  − x2   − x : Cho biểu thức A =   − x − x + x với x ≠ -1 x ≠ 1 − x   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = −1 c) Tìm giá trị x để A < Bài 3: (1,5điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + a b c x y z x2 y z + + = + + = b) Cho x y z Chứng minh : + + = a b c a b c Bài (1,5 điểm): Giải phương trình a) x − 30x + 31x − 30 = x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 b) 17 19 21 23 Bài (3điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a) Chứng minh OM = ON b) Chứng minh 1 + = AB CD MN c) Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Hết -(Đề thi gồm có trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ;Số báo danh UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn Lớp Bài 1: (2điểm) Ý/Phần đáp án x5 +x4 + a) = x + x + x − ( x − 1) 0,25 = x ( x + x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) 0,25 = ( x + x + 1)( x − x + 1) b) c) Điểm 0,25 x + = ( x + x + 4) − x = ( x + 2) − (2 x) = ( x − x + 2)( x + x + 2) 0,25 0,25 x3– 5x2 + 8x – = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4) 0,25 0,25 0,25 = (x – 1)(x – 2)2 Bài 2: (2điểm) Ý/ Phần đáp án Điểm a) Với x ≠ -1 x ≠ 1thì : − x3 − x + x (1 − x)(1 + x) : A= 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x ) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x )(1 − x) với x ≠ -1 x ≠ Tại x = − = − (TMĐK) A = 3 2    1 + (− )  − 1 − ( − )  25 34 272 )(1 + ) = = = 10 9 27 27 Với x khác -1 A < (1 + x )(1 − x) < (1) = (1 + c) 0,25 2 = (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x ) : (1 − x) b) 0,25 Vì + x > với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (1,5 điểm) đáp án Ý/ Phần a) Điểm Biến đổi để có A = a (a + 2) − 2a(a + 2) + (a + 2) + = (a + 2)(a − 2a + 1) + = (a + 2)(a − 1) + 0,25 Vì a + > ∀a (a − 1) ≥ 0∀a nên (a + 2)(a − 1) ≥ 0∀a 0,25 (a + 2)(a − 1) + ≥ 3∀a 2 Dấu = xảy a − = ⇔ a = KL Từ : Ta có : b) 0,25 a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ = ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z xyz 0,25 x y z x y z x2 y z xy xz yz + + = ⇔ ( + + ) = ⇔ + + + 2( + + ) = a b c a b c a b c ab ac bc 0,25 ⇔ x2 y2 z cxy + bxz + ayz + + +2 =1 a b c abc x2 y z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,25 Bài 4: (1,5 điểm) Giải phương trình Ý/ Phần a) đáp án x − 30x + 31x − 30 = ( x − x + 1) ( x − ) ( x + ) = ) + >0 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 ⇔ −1+ −2+ − 3+ −4=0 17 19 21 23 Vì b) Điểm x2 - x + = (x - x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23  1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ = ⇔ x = 258  17 19 21 23  ⇔ Bài 5: (3điểm) Ý/ Phần O 0,25 Điểm N C D OM OD ON OC = = , AB BD AB AC OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON ⇒ ⇒ OM = ON = AB AB Lập luận để có b) Xét ∆ABD để có 0,5 B A a) 0,25 0,25 đáp án M 0,25 OM DM = AB AD (1), xét ∆ADC để có 0, 0,25 0,25 OM AM = (2) DC AD 0,25 1 AM + DM AD + = =1 )= AB CD AD AD 1 ) =1 Chứng minh tương tự: ON ( + AB CD 1 1 )=2 ⇒ + = từ có (OM + ON) ( + AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S S = = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB S DOC = S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Từ (1) (2) ⇒ OM( Chứng minh S AOD = S BOC c) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 0,25 Do SABCD = 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,25 - UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giaođề) ĐỀ SỐ Bài 1: (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 c) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức : +x 4x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Bài 3: (2,0 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Bài 4: (3,0 điểm) ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT UBND HUYỆN Năm học 2015 - 2016 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn thi: Tốn - Lớp: Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  x − 3x   − x x −3 x −2  P = 1 − − − ÷:  ÷ x − x + x − − x x+3    a) Rút gọn P b) Tìm x để P > c) Với x > 2, x ≠ Tìm GTLN biểu thức P(x+1) Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x − 30x + 31x − 30 = 2 ( 2015 − x ) + ( 2015 − x ) ( x − 2016 ) + ( x − 2016 ) = 19 b) 2 ( 2015 − x ) − ( 2015 − x ) ( x − 2016 ) + ( x − 2016 ) 49 Bài 3: (1,0 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) 2 Chứng minh a = b = c Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường trung tuyến AM Gọi D E theo thứ tự hình chiếu H AB AC a, Chứng minh AD.AB = AE.AC b, Chứng minh AM vng góc với DE c, Tam giác ABC phải có điều kiện để diện tích tứ giác ADHE nửa diện tích tam giác ABC Bài 5: (2,0 điểm) a) Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tính: a2011 + b2011 1 + + ≥9 a b c HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi:Tốn - Lớp:8 Bài 1: (2,0 điểm) Ý/Phần a) Đáp án ĐK: x ≠ ±3; x ≠ 2 x2 − − x2 + 3x − x + x − − ( x − 2) P= : x2 − ( x − ) ( x + 3) Điểm 0,25 − ( x − 2) 3x − P= : x − ( x − ) ( x + 3) P= ( x − 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − 3) ( x + ) − ( x − ) P= x+3 x + − ( x − 2) −3 = x−2 2− x P>0 ⇔ > ⇔ − x > ( > 0) 2− x ⇔x P= b) c) −3 ( x + 1) −3 ( x − + ) P ( x + 1) = ( x + 1) = x − = x − 2− x     P ( x + 1) = −3 ( x + ) + = −3  ( x − ) + + 4  x − 2 x−2      P ( x + 1) = −3 ( x − ) + − 12 x −   Vì x > Áp dụng BĐT Cơ si ta có: x−2+ ≥2 x−2 ⇒ P ( x + 1) ≤ −6 − 12 0,5 0,5 0,25 Dấu “=” xảy ⇔ x = + (tmđk) Vậy P ( x + 1) max = −6 − 12 x = + 0,25 0,25 Bài 2: (2,0 điểm) Ý/Phần a) Đáp án x − 30x + 31x − 30 = Điểm ( 0,5 ) ⇔ x − x + ( x − 5) ( x + ) = ⇔ ( x − 5) ( x + ) = 0  (Vì x2 - x + = (x - )2 + > 0) x − = x = ⇔  x + = x = − b) 0,5 ( 2015 − x ) + ( 2015 − x ) ( x − 2016 ) + ( x − 2016 ) = 19 2 ( 2015 − x ) − ( 2015 − x ) ( x − 2016 ) + ( x − 2016 ) 49 2 ĐKXĐ: x ≠ 2015; x ≠ 2016 Đặt a = x – 2016 (a ≠ 0), ta có hệ thức: ( a + 1) − ( a + 1) a + a = 19 a + a + 19 ⇔ = ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 3a + 3a + 49 0,5 ⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 = ⇔ ( 2a + 1) − 42 = ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + ) =  a =  ⇔ (TMĐK) a = −  4035 4027 Suy x = x = (TMĐK) 2 4035 4027 Vậy x = ;x= giá trị cần tìm 2 0,5 Bài 3: (1,0 điểm) Ý/Phần ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) 2 Đáp án = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) Điểm 0,5 ⇔ a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac 2 2 2 = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc ⇔ (a + b − 2ab) + (b + c − 2bc) + (a + c − 2ac) = ⇔ (a − b)2 + (b − c) + (a − c) = ( *) Vì (a − b) ≥ ; (b − c) ≥ ; (a − c) ≥ ; với a, b, c nên (*) xảy (a − b) = ; (b − c) = (a − c) = 0,5 Từ suy a = b = c Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án a) Điểm A 0,25 E K D 1 B b) H M C ¶ =H ¶ =C µ µ µ µ 900 ⇒ AEHD hình chữ nhật ⇒ D A=D=E= 1 AD AE ⇒ ∆ADE : ∆ACB( g g ) ⇒ = ⇒ AD AB = AE AC AC AB 0,25 ả =à ), D ¶ + DAK · · A1 (= C =µ A1 + DAK = 900 Ta có D 1 0,5 ⇒ ·AKD = 900 ⇒ AM ⊥ DE c) S ADHE 1 = S ABC ⇔ S ADE = S ACB (vì S ADE = S ADHE ) 2 S 1  DE  ⇔ ADE = ⇔  (vì ∆ADE : ∆ACB ) ÷ = S ACB 4  BC  DE 1 = ⇔ DE = AM (vì AM = BC) BC 2 0,5 0,5 0,5 ⇔ AH = AM ( DE = AH) ⇔ AH, AM trùng ⇔ Tam giác ABC vuông cân A 0,5 Bài 5: (2,0 điểm) Ý/Phần a) Từ: a + b + c = ⇒ Đáp án b c 1 = + + a a a  a c 1  = 1+ + b b b a b 1  c = 1+ c + c  1 a b a c b c + + = + + ÷+  + ÷+  + ÷ a b c b a c a c b ≥3+2+2+2=9 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = 2001 2001 2000 (a + b ).(a+ b) - (a + b2000).ab = a2002 + b2002 Điểm 0,5 ⇒ b) 0,5 0,5 ⇒ (a+ b) – ab = ⇒ (a – 1).(b – 1) = ⇒ a = b = Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,5 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn Lớp: Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề) ĐỀ 11 (16 − a ) a + 2a − 3a a −1   + − : Bài (2 điểm) Cho biểu thức A = a −  2−a a +  a + 4a + 4a  a −4 a) Tìm điều kiện a để biểu thức A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A đạt giá trị nguyên Bài (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + x + 12 b) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − c) a10 + a + Bài 3( điểm) : Giải phương trình sau: a) x − x + x − x + = b) + + =− x − x + x − x + 15 x − 13 x + 40 Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM c) Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Bài ( điểm) Cho x, y, a, b số thực thoả mãn: x2 + y = Chứng minh: x4 y x2 + y + = a b a+b x 2016 y 2016 + 1008 = 1008 1008 a b ( a + b) Hết -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ;Số báo danh UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài (2 điểm) Ý/ phần Nội dung a) Điều kiện xác định a : a ≠ ± ; a ≠ ; a ≠ b) Với a ≠ ± ; a ≠ ; a ≠ ta có : A c) 16a − a − (3 + 2a)(a + 2) − (2 − 3a )(a − 2) a ( a + 2) : (a − 2)(a + 2) a −1 2 16a − a − 3a − − 2a − 4a − 2a + + 3a − a a(a + 2) =a(a − 2)( a + 2) a −1 a−2 a (a + 2) =a(a − 2)( a + 2) a − a (a + 2) =aa −1 3a a − a − a − 2a −3a = = = a −1 1− a a −1 0.2 =a- 0.2 0.2 0.2 Với a ≠ ± ; a ≠ ; a ≠ ta có A đạt giá trị nguyên 3a 3a − + −3(1 − a ) + 3 = = = −3 + đạt giá trị nguyên 1− a 1− a 1− a 1− a ⇔ nguyên ⇔ – a ∈ Ư( ) = { ±1 ; ±3 } 1− a +) – a = ⇔ a = ( Không thoả mãn điều kiện xác định a ) +) – a = -1 ⇔ a = ( Không thoả mãn điều kiện xác định a ) +) – a = ⇔ a = -2 ( Không thoả mãn điều kiện xác định a ) +) – a = -3 ⇔ a = ∈Z thoả mãn điều kiện xác định a Vậy với a = A đạt giá trị nguyên Bài 2( điểm) Ý/ phần a x + x + 12 = x + x + x + 12 Nội dung = x( x + 3) + 4( x + 3) = ( x + 3)( x + 4) b Đi 0.5 0.2 0.2 0.2 Đi 0.2 0.2 0.2 ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − = (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3 = [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 0.2 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 0.2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] 0.2 = (x2+5x +3)(x2+5x +7) c a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1- (a9+a8+a7)- (a6 + a5 +a4)- (a3+a2+a) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Bài (2 điểm) Ý/ phần Nội dung 0.2 0.2 Đi a (1) x8 − x + + x − x + =  ( x4 − 1) + ( x − 1) = 0.5  ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) + 1 = 2 2 x =  0.2 ( x + 1) ( x + 1) + = (2) Có ( x + 1) ( x + 1) + ≥ > ∀x => ( 2) vô nghiệm Vậy nghiệm pt cho x=1 b Đk: 2 0.2 x ∉ { 2,3,5,8} Phương trình cho trở thành + + =− ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 5) ( x − 5)( x − 8) 1 − =− x −8 x −  x = 3(loai ) 1 ⇒ = − ⇒ ( x − 8)( x − 2) = −5 ⇔ ( x − 3)( x − 7) = ⇔  ( x − 8)( x − 2)  x = 7(tm) ⇒ 0.2 0.2 0.2 0.2 Vậy nghiệm pt x=7 Bài ( điểm) Ý/ phần a) Nội dung Đi 0.2 0.5 + Hai tam giác ADC BEC có: µ chung Góc C 0.5 CD CA = (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) CE CB Do đó, chúng đồng dạng (c.g.c) b) c) BM BE AD = × = × (do ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH nên (do ∆ABH : ∆CBA ) = × = × = = BC AC AC AB BE · · Do ∆BHM : ∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 ⇒ ·AHM = 450 0.2 Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC 0.2 Ta có: GB AB AB ED AH HD = = Suy ra: , mà ( ∆ABC : ∆DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = Do đó: GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 Bài 5( điểm) Ý/ phần Nội dung Đi Từ giả thiết => x4 y4 (x + y ) + = a b a+ b  b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 =  bx2 - ay2 = 0  x 2016 y 2016 = a1008 b1008  (bx4 + ay4)(a + b) = ab(x2 + y2)2  (bx2 - ay2)2 = x2 y2 x + y2 = = = a b a+b a+b 2016 x y 2016 = + =  (Điều phải cm) 1008 1008 1008 ( a + b) a b (a + b)1008 0.5 0.2 0.2 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ 12 Bài 1: (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2016 x + 2015 x + 2016  x2 − x   x2 − − − ÷ 2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  Rút gọn biểu thức sau: A =  Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x + x − 2016) + 4( x − x − 2015) = 4(2 x + x − 2016)( x − x − 2015) Cho biểu thức A = 15n2 - 16n - 15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A số nguyên tố Bài 3: (2,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn: abc = 2016 Rút gọn biểu thức: M = 2016a b c + + ab + 2016a + 2016 bc + b + 2016 ac + c + Cho x, y, z số khác đôi khác thỏa mãn: 1 + + =0 x y z Tính giá trị biểu thức: A = yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Bài 5: (1,0 điểm) Cho a , b số dương thỏa mãn: a + b3 = a + b5 Chứng minh rằng: a + b ≤ + ab Hết - (Đề thi gồm: 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : .; Số báo danh : UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Toán - Lớp Bài 1: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Ta có x + 2016 x + 2015 x + 2016 = ( x − x ) + 2016 x + 2016 x + 2016 (1.0 điểm) 0,25 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2016 ( x + x + 1) 0,25 = ( x + x + 1) ( x − x + 2016 ) 0,25 2 Kết luận x + 2016 x + 2015 x + 2016 = ( x + x + 1) ( x − x + 2016 ) x ≠ x ≠ 0.25 ĐK:  (1.0 điểm)  x2 − x 0.25  2x2   1− − ÷ Ta có A =  − ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x   x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)   0.25  x2 − 2x   ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) + x   ( x + 1)( x − 2)  2x2 = − ÷ ÷ ÷=  ÷ 2 x2 x2   2( x − 2)( x + 4)     2( x + 4) ( x + 4)(2 − x)   x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x ≠ x +1 Vậy A = với  2x x ≠ = 0,25 0.25 Bài 2: (2,0 điểm) Ý/Phần (1.0 điểm) Đáp án  a = x + x − 2016 Đặt:  b = x − x − 2015 Phương trình cho trở thành: a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Khi đó, ta có: Điểm 0.25 0.25 x + x − 2016 = 2( x − x − 2015) ⇔ x + x − 2016 = x − 10 x − 4030 −2014 ⇔ 11x = −2014 ⇔ x = 11 2014 Vậy phương trình có nghiệm x = − 11 (1.0 điểm) Ta có: A = 15n2 - 16n - 15 = 15n2 - 25n + 9n - 15 = 5n(3n - 5) + 3(3n - 5)= (5n +3)(3n - 5) Do n ∈ N, 15n2 - 16n - 15 số nguyên tố 5n + > nên 3n - >0 Vì n ≥ 3n - < 5n + Do để 15n2 - 16n - 15 số nguyên tố số nhỏ phải Hay 3n - = ⇒ n = Với n = suy ra: A = 15n2 - 16n - 15 = 15.22 - 16.2 -15 = 13 số nguyên tố KL : Vậy n = giá trị biểu thức A số nguyên tố 0,25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần (1.0 Đáp án Điểm Thay 2016 = abc vào biểu thức M ta được: 0.25 M= a bc b c + + ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + 0.25 M= ac c + + + ac + c c + + ac ac + c + 0.25 ac + c + =1 ac + c + 1 1 yz + xz + xy = ⇒ yz + xz + xy = Từ giả thiết: + + = ⇒ x y z xyz M= 0.25 (vì x, y, z > 0) (1.0 điểm) ⇒ yz = − xy − xz ⇒ x + yz = x + yz − xy − xz = ( x − z ) ( x − y ) Tương tự ta có: z + xy = ( z − x ) ( z − y ) y + xz = ( y − z ) ( y − x ) yz xz xy Khi đó: A = ( x − z ) ( x − y ) + ( y − z ) ( y − x ) + ( z − x ) ( z − y ) 0.25 = = zy ( y − z ) + xz ( z − x ) + xy ( x − y ) ( x − z) ( x − y) ( y − z) yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy ( x − z ) − ( y − z )  0,25 ( x − z) ( x − y) ( y − z) yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy ( x − z ) − xy ( y − z ) = ( x − z) ( x − y) ( y − z) x( x − z) ( y − z) − y ( y − z) ( x − z) = ( x − z) ( x − y) ( y − z) ( x − z) ( x − y) ( y − z) = = ( x − z) ( x − y) ( y − z) 0,25 KL: Vậy A = 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án E A Hình vẽ Điểm B H F 0.25 0.25 D C M N (1.0 điểm) · · · Ta có DAM (cùng phụ BAH ) = ABF AB = AD ( gt) ·BAF = ADM · = 900 (ABCD hình vuông) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành · Mặt khác DAE = 900 (gt) 0.5 0.25 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) => AB BH BC BH = = hay ( AB = BC, AE = AF) AF AH AE AH · · · Lại có HAB (cùng phụ ABH ) = HBC (1.0 điểm) ⇒ ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 SΔCBH SΔCBH  BC   BC  = ⇒ = (gt) ⇒  ÷ = nên BC2 = ÷ , mà S SΔEAH  AE  ΔEAH  AE  0.25 0.25 (2AE)2 ⇒ BC = 2AE ⇒ AB = 2AE nên E trung điểm AB, Suy F trung điểm AD 0.25 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ (0.75điểm) 0.25 AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ 0.25 MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 2 AD   AD   CN   CM  CN + CM MN ⇒  + = + = = =1 ÷  ÷  ÷  ÷ MN MN  AM   AN   MN   MN  (Pytago) 2 1 AD   AD  ⇒  ÷ + ÷ = => AM + AN = AD  AM   AN  (đpcm) 0.25 Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a + b ≤ + ab 2 ⇔ a + b − ab ≤ ⇔ ( a + b ) ( a + b − ab ) ≤ ( a + b ) 2 0.25 ⇔ a + b3 ≤ a + b 1.0 điểm ⇔ ( a + b3 ) ( a + b3 ) ≤ ( a + b ) ( a + b5 ) ⇔ 2a b ≤ ab + a b 3 0.25 0.25 ⇔ ab ( a − 2a 2b + b ) ≥ ⇔ ab ( a − b ) ≥ ∀ a, b > Vậy ta có điều phải chứng minh Điểm tồn 0.25 (10 điểm) Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm