Phương pháp tìm điểm qua sơ đồ tư duy 2 và 3

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz TÌM ĐIỂM LOẠI VÀ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Tìm điểm loại thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;0 , B  2;0; 1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm tọa độ điểm C  P   P  tam giác ABC có diện tích 14 cho mặt phẳng  ABC  vuông góc với mặt phẳng Giải Giả sử C  a; b; c  , nP   2;1;1 vecto pháp tuyến  P  Do C   P   2a  b  c   (1)  AB  1;1; 1 Ta có:    AB, AC    c  b  1;1  a  c; b  a   AC  a  1; b  1; c     Mặt phẳng  ABC  nhận n   c  b  1;1  a  c; b  a   vecto pháp tuyến Vì  ABC    P   n.nP   2a  3b  c   (2) Mà: SABC   AB, AC    2  c  b  1  1  a  c   b  a  2 2  14 (3) b  2a  Từ (1) (2) ta có:  c   a  a   b  2, c  7 2 Thay vào (3) ta được:  2a    3a   a  4.14  a     a  2  b  6, c  Vậy tọa độ điểm C thỏa mãn đề là: C  2; 2; 7  C  2; 6;9  Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hình vuông MNPQ có M (5;3; 1), P(2;3;  4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) : x  y  z   Giải Giả sử N ( x; y; z ) Vì N  ( )  x  y  z   (1)   MN  PN MNPQ hình vuông  MNP vuông cân N     MN PN  2 2 2  ( x  5)  ( y  3)  ( z  1)  ( x  2)  ( y  3)  ( z  4)   ( x  5)( x  2)  ( y  3)  ( z  1)( z  4)  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)  x  z 1   ( x  5)( x  2)  ( y  3)  ( z  1)( z  4)   y  2 x  Từ (1) (2) suy  z  x 1 Hình oxyz (2) (3)  x  2, y  3, z  1  N (2; 3;  1) Thay vào (3) ta x2  5x     hay   x  3, y  1, z  2  N (3; 1;  2) 5 7 Gọi I tâm hình vuông  I trung điểm MP NQ  I  ;3;   2 2 +) Nếu N (2;3  1) Q(5;3;  4) +) Nếu N (3;1;  2) Q(4;5;  3) Vậy Q(5;3;  4) Q(4;5;  3) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng ( ) Giải Giả sử M ( x; y; z ) Khi từ giả thiết ta có: MA  MB  MC  ( x  1)2  y  z  x  ( y  1)2  z  x  ( y  3)2  ( z  2)2   ( x  1)  y  z  x  ( y  1)  z    x  ( y  1)  z  x  ( y  3)  ( z  2)  ( x  1)  y  z  ( x  y  2)  x  2y  (1) (2) (3) y  x Từ (1) (2) suy  z   x  M (1;1; 2) x   Thay vào (3) ta 5(3x  8x  10)  (3x  2)     23 23 14  M  ;  x  23 ;    3 3  2 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  2  mặt phẳng  P  : x  y  z 11  Chứng minh mặt phẳng  P  tròn giao tuyến  P   S  2 cắt mặt cầu  S  Tìm tọa độ tâm H đường Giải Mặt cầu  S  có tâm I 1;1; 2  bán kính R  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  là: d  I ,  P     2.1   2   11    1 2 Hình oxyz  6  Vì d  I ,  P    R nên mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  Gọi  C  đường tròn giao tuyến mặt phẳng  P  mặt cầu  S  H hình chiếu vuông góc x  1 t  I lên mặt phẳng  P  Ta có phương trình đường thẳng IH là:  y   2t  H 1  t ;1  2t; 2  t   z  2  t  Mặt khác H   P  nên ta có:  t  1  2t    2  t   11  hay t  Vậy H  2;3; 3   P  : x  y  z 11  mặt cầu  S  : x2  y  z  2x  y  2z   Chứng minh mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  Tìm tọa độ tiếp điểm  P   S  Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng Giải Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;1 , bán kính R  14 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  là: d  I ,  P       11 14  14  R Suy mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  H ( H hình chiếu vuông góc I  P  ) Giả sử H  x; y; z  Ta có IH phương với vecto pháp tuyến n p  (2;3;1) mặt phẳng  P  nên  x   2t  x   2t   IH  t.nP   y   3t   y  2  3t z 1  t z  1 t   (thực chất phương trình IH )  H (1  2t; 2  3t;1  t ) Khi H  ( P)  2(1  2t )  3(2  3t )   t 11   t   H 3;1;2  Vậy tiếp điểm  P   S  H  3;1;  x  y 1 z 1 mặt   1 phẳng ( P) : x  y  z   Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng ( P) biết đường thẳng AM vuông góc với Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M (1;  1; 0) đường thẳng  :  khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  33 Giải Gọi (Q) mặt phẳng qua M vuông góc với   A  (Q) Khi nQ  u  (2;  1;1) vecto pháp tuyến Q , suy phương trình (Q) : x  y  z   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz Ta có nQ  (2;  1;1), nP  (1;1;1) Từ giả thiết suy A thuộc giao tuyến d (P) (Q) Khi  x   2t  ud  [nP , nQ ]  (2; 1;  3) N (1; 0; 1)  d nên phương trình d :  y  t  z   3t  1  Vì A  d suy A(1  2t; t;  3t ) Gọi H giao điểm  mặt phẳng (Q) Suy H 1;  ;  2  Ta có d ( A, )  AH  33  14t  2t  16   t  1 t   23 17  Suy A(1;  1; 4) A  ; ;   7  7 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;3; 4 , B  5;3; 1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm tọa độ điểm C  P  cho tam giác ABC vuông cân C Giải Gọi C  x; y; x  y  4   P  , suy : AC   x  2; y  3; x  y  , BC   x  5; y  3; x  y  3 Tam giác ABC vuông cân C nên  x   x  5   y  32   x  y  x  y  3   AC.BC    2 2 2 2  x     y  3   x  y    x  5   y  3   x  y  3  AC  BC  x  3; y  3x  23x  42     x  14 ; y  13  y  2x  3   14 13 11  Vậy C  3;1; 2  C  ; ;   3  3 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(1;0;1), B(1; 2; 1), C (1; 2;3) Giải Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x  y  z   y  z   Vecto pháp tuyến mp(ABC) n   AB, AC   (8; 4; 4) Suy (ABC): x  y  z    x  y  z 1  x    Giải hệ:  y  z     y  Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x  y  z    z    Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz Bán kính R  IA  (1  0)2  (0  2)2  (1  1)2  Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện OABC với A(1;2; 1), B(2; 1;3), C(2;3;3) Tính thể tích tứ diện OABC tìm tọa độ điểm D nằm mặt phẳng (Oxy) cho tứ diện ABCD có cạnh đối điện vuông góc với Giải  OA  1, 2, 1 , OB   2, 1,3 ,OC   2,3,3  20 OA, OB  OC  40  V  OA, OB  OC      Gọi D  x, y,0   mp  Oxy  theo đề ta có:   AD.BC   x  y     x  2    D   2, 1,   BD.CA   3x  y      y  1  x  y 1   CD AB   Bài 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD có A(1;1;1) , B(1;2;0), C(1;3; 1) Tìm tọa độ điểm D Giải  AB  (2;1; 1)    AB, AC   (0; 4; 4)   AB, AC không phương nên A, B, C không thẳng  AC  (0; 2;  2)   2 hàng (có thể trình bày cách    AB  k AC , suy A, B, C không thẳng hàng) 2 1 CD // AB nên chọn uCD  x   2t   AB  (2;1;  1) Suy phương trình CD :  y   t  D(1  2t;3  t; 1  t )  z  1  t  Vì ABCD hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD = BC Do đó:  D(3; 2;0) t  1   (2t )  (t  2)  (t  2)   3t  4t    t    D  ; ;     3   2 2 Để ABCD hình thang cân BD = AC Do D(3, 2, 0) không thỏa mãn ABCD hình bình  2 hành Vậy D   ; ;    3 3 Bài 11 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : x  y  z 1   Xét hình bình hành 2 2 ABCD có A(1;0;0), C (2;2;2), D  d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD Giải Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Ta có D  d : Hình oxyz x  y  z 1    D(t  ;  2t  ;  2t  1) , đó: S ABCD   S ACD  2 2 (1) Ta có AC  (1; 2; 2); AD  (t  ;  2t  ;  2t  1)  [ AC, AD]  (4;4t  7;  4t  9) Suy S ACD  1  AC , AD   16  (4t  7)2  (4t  9)  32t  128t  146   2 (2) Từ (1) (2) ta có 32t 128t  128   t  Suy D(0 ; 1;  3) Mặt khác ABCD hình bình hành nên AB  DC Suy B(3;3;5) Bài 12 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3 , D 1; 2;3 Tìm tọa độ điểm I cách điểm A, B, C, D Giải A 1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3 , D 1; 2;3 Giả sử I  x; y; z  Do I cách A, B, C, D hay IA  IB  IC  ID  IA2  IB    IA2  IC  IA2  ID    x  12  y  z  x   y  2  z x  x  y      3 2   1 2 2   x  1  y  z  x  y   z  3  2 x  z  8   y  1  I  ; 1;  2 2  4 y  z  13  2 2 2   x  1  y  z   x  1   y     z  3 z   Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;2;1 , B  0; 1;0 , C  3; 3;3 Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC tọa độ điểm D cho ABCD hình chữ nhật Giải Ta có: AB   1; 3; 1 , AC   2; 5;2  Dễ thấy vecto AB   1; 3; 1 , AC   2; 5;2  không phương nên A, B, C đỉnh tam giác Gọi G  xG ; yG ; zG  1     xG  3     4 4    G ; ;  trọng tâm tam giác ABC Ta có:  yG  3 3 3       zG  3  Ta có BA  1;3;1 , BC   3; 2;3  BA.BC  1.3   2   1.3   BA  BC  ABC tam giác vuông B Do đó, ABCD hình chữ nhật  AB  DC Gọi D  x0 ; y0 ; z0  Khi đó: AB   1; 3; 1 , DC    x0 ; 3  y0 ;3  z0  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz 1   x0  x0    AB  DC  3  3  y0   y0   D  4;0;  1   z z    Vậy D  4;0;4  điểm cần tìm Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;3;5 Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng  Oxy  , tọa độ điểm C thuộc trục Oz cho A, B, C phân biệt, thẳng AB  35 Giải  B  x; y;0    B  (Oxy )   AB   x  1; y  3; 5    Do  C  Oz  C  0;0; z    AC   1; 3; z    x   k  Ta có A, B, C thẳng  AB  k AC   y   3k  k   5  k z     Mặt khác: AB  35  ( x  1)2  ( y  3)2   5  35   k    3k   10  k  1 2  x    B  0;0;0   B  C (loại) Với k  , ta có  y     z  C  0;0;0    x   B  2;6;0   Với k  1 , ta có  y    (thỏa mãn) C 0;0;10     z  10   Vậy B  2;6;0 , C 0;0;10  Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | -