CHỦ ĐỀ 3. HÌNH THANGBài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD AD BC có phương trình đường thẳng AB: x 2y 3 0 và đường thẳng AC: y 2 0 . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết IB M1;3 nằm trên đường thẳng BD. IA , hoành độ điểm I : xI 3 và điểm
TRN èNH C GV Chuyờn luyn thi THPT Quc Gia H gc Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Ti liu mn tng cỏc em hc sinh 12, chun b bc vo k thi THPT Quc Gia Chỳc cỏc em t kt qu cao k thi sp n A B M N D E Hu, 14/05/2016 C Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang CH HèNH THANG Bi Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD AD / /BC cú phng trỡnh ng thng AB: x 2y v ng thng AC : y Gi I l giao im ca hai ng chộo AC v BD Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thang cõn ABCD, bit IB 2IA , honh im I : x I v im M 1;3 nm trờn ng thng BD Gii Ta cú A l giao im ca AB v AC nờn A 1;2 A Ly E 0;2 AC Goi F 2a 3;a AB cho EF / /BD EF AE EF BI Khi ú EF 2AE BI AI AE AI a 2 2a a 11 a D E F M I B C Vi a thỡ EF 1; l vtcp ca ng thng BD Nờn chn vtpt ca BD l n 1; Pt BD : x y BD AC I 2;2 ,BD AB B 5; Ta cú: IB IA IB IB ID ID 2ID D 2; ID IA IA IA IC IC IC C 2;2 IC IB 11 thỡ EF ; l vtcp ca ng thng BD Nờn chn vtpt ca BD l n 1; Do ú 5 BD : x 7y 22 I 8;2 (loi) Vi a Bi Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB / / CD, CD 2AB Gi I l giao im ca hai ng chộo AC v 17 BD Gi M l im i xng ca I qua A vi M ; Bit phng trỡnh ng thng DC: x y 3 v din tớch hỡnh thang ABCD bng 12 Vit phng trỡnh ng thng BC bit im C cú honh dng Gii Ta cú: tam giỏc MDC vuụng ti D MD : x y D 2;3 MD HD MD 2 Gi AB a 3a.2 12 a 2 DC M H A B I SABCD D C c 2 C 2; Gi C c;1 c DC2 c c (loaùi) B 3;2 BC : 3x y Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Bi Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD vi hai ỏy AD, BC Bit B 2;3 v AB BC ng thng AC cú phng trỡnh x y , im M 2; nm trờn ng thng AD Vit phng trỡnh ng thng CD Gii Vỡ ABCD l hỡnh thang cõn nờn ni tip mt ng trũn M B C BC CD nờn AC l ng phõn giỏc ca gúc BAD Gi B' l im i xng ca B qua AC Khi ú B' AD H Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC Ta im H l nghim ca h phng trỡnh: B' A D M x y x H 3;2 x y y Vỡ B i xng vi B qua AC nờn H l trung im ca BB Do ú B' 4;1 ng thng AD i qua M v nhn MB' lm vec-t ch phng nờn cú phng trỡnh x 3y Vỡ x y x A 1;0 A AC AD nờn ta im A l nghim ca h phng trỡnh: x 3y y Ta cú ABCB l hỡnh bỡnh hnh nờn AB B'C Do ú C 5;4 Gi d l ng trung trc ca BC, suy d : 3x y 14 Gi I d AD , suy I l trung im ca AD Ta im I l nghim ca h: 3x y 14 43 11 38 11 I ; Do ú D ; 10 10 5 x 3y Vy, ng thng CD i qua C v nhn CD lm vec-t ch phng nờn cú phng trỡnh 9x 13y 97 Bi Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vi hai cnh ỏy l AB, CD v CD 2AB Gi H l chõn ng vuụng gúc h t D xung AC v M l trung im ca HC Bit ta nh B 5;6 , phng trỡnh ng thng DH : 2x y v DM : x 3y , tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thang ABCD Gii Tỡm c ta D 1;2 Qua B dng ng thng / /AC v ct DH ti I, ct DM ti J, ct DC ti E A DH v J l trung im ca IE 41 22 J ; E 13;2 5 B J H Phng trỡnh ng thng qua B v vuụng gúc vi DH l: x 2y 17 17 34 Ta I ; , ta 5 I M E D C Ta cú ABEC l hỡnh bỡnh hnh EC AB Do ú EC ED C 9;2 , EC BA A 1;6 Cỏch khỏc: Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Gi K l trung im ca DC Khi ú, KM vuụng gúc vi AC KM DH Chng minh c d B;AC KM , t ú suy d D;AC 2d B;AC (vi D 1;2 , B 5;6 , CA : x 2y m ), lp c pt AC, gii h tỡm c ta H, M, t ú cú ta C, A Bi Trong mt phng Oxy cho hỡnh thang ABCD cú ỏy ln CD 3AB , C 3; , trung im ca AD l M 3;1 Tỡm ta nh B bit SBCD 18 , AB 10 v nh D cú honh nguyờn dng Gii Gi n A;B l vec-t phỏp tuyn ca CD A2 B2 B A M CD : A x B y Ax By 3A 3B D C Ta cú: SBCD SACD 18 2SACD 36 10 10 d M;CD CD 5 10 3A B 3A 3B 10 6A 4B 10 A B2 2 A B d A;CD 25 36A 48AB 16B2 90 A B2 810A2 1200AB 310B2 A * A B 31B hay A 27 B : Chn B A CD : x 3y D 3d 6;d d 2 Ta cú: CD2 90 3d d 90 d d D 6;0 (nhaọn) Vaọy D 6;0 A 0;2 D 12; (loaùi) Ta cú AB DC 3; B 3;1 * A 31 B : Chn B 27 A 31 CD : 31x 27y 12 27 31d 93 31d 12 729 D d; (loi) CD d 90 d 27 169 27 Vy B 3;1 Bi Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hỡnh thang OABC OA / /BC cú din tớch bng 6, nh A 1;2 , nh B thuc ng thng d1 : x y v nh C thuc ng thng d2 : 3x y Tỡm ta cỏc nh B, C Gii x y0 2x y OA / /BC phng trỡnh ng thng BC cú dng: 2x y m (vi m ) Phng trỡnh OA : Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang x y x m B m;m Ta B l nghim ca h: 2x y m y m 3x y x m Ta C l nghim ca h: C m 2;4 3m 2x y m y 3m Din tớch hỡnh thang OABC l: S OA BC .d O,BC 12 22 2m 32 4m 2m m 12 * m 12 Phng ỏn ti u nht gii phng trỡnh ny s l phỏ du giỏ tr tuyt i - Nu m thỡ (*) thnh 2m m 12 m2 2m m Kim tra iu kin ta ch ly nghim m B - Nu m - Nu m 7; v C 7;1 thỡ (*) thnh 2m m 12 m2 2m (vụ nghim) m 3 thỡ (*) thnh 2m m 12 m2 m m Kim tra iu kin ta ch ly nghim m B 2;1 v C 1; Vy cú hai cp im B, C tha bi nh trờn Bi Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti C, D cú BC 2AD 2DC , nh C 3; , nh A nm trờn ng thng d : 3x y , phng trỡnh ng thng DM : x y vi M l im tha BC 4CM Xỏc nh ta cỏc im A, D, B Gii Vỡ A d A a;2 3a Ta cú SADM 2SDCM d A,DM 2d C,DM a A 3; a A 1;5 Do A, C nm khỏc phớa vi ng thng DM nờn A 1;5 AD CD Vỡ D DM D d;d T gi thit ta cú Gii h ta c d nờn D 5;3 AD CD Cú BC 2AD B 9;1 Bi Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D din tớch hỡnh thang bng 6, CD 2AB, B 0;4 Bit im I 3; , K 2;2 l n lt nm trờn ng thng AD v DC Vit phng trỡnh ng thng AD bit AD khụng song song vi cỏc trc ta Gii B A Vỡ AD khụng song song vi cỏc trc ta nờn gi vec-t phỏp tuyn ca AD l n 1;b , b uy phng trỡnh AD: I x b y Pt AB: bx y D Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 C K Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang SABCD SABCD AB CD 3AB 3 5b 2b AD AD d B;AD d K;AB 2 2 b2 b2 b 5b b 5b b b b b2 b2 2 b ỏp s: x y 0; 3x 5y 14 0; 7x 2 y 2 22 ; 7x 2 y 2 22 45 , ỏy ln CD cú phng trỡnh l: x 3y Bit hai ng chộo BD v AC vuụng gúc vi v ct ti Bi Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD cú din tớch bng im I 2;3 Vit phng trỡnh ng thng BC, bit im C cú honh dng Gii Ta cú ABCD l hỡnh thang cõn nờn tam giỏc ICD vuụng cõn ti I A CD 2d I;CD 10 IC 20 B i im C 3c 3;c CD I IC2 3c c 20 2 c C 6;1 ng thng BD qua im I 2;3 nhn IC lm vtpt cú phng trỡnh l: D C 2x y i D l giao im ca BD v CD D 0; t IA IB x , ta cú: 45 SABCD SIAB SICD 2SIAD x 10 2x x 2 Khi ú ID 2IB DI 2IB B 3;5 Phng trỡnh ng thng BD: 4x 3y 27 Bi 10 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) tõm I x I , (C) i qua im A 2;3 v tip x c vi ng thng d1 : x y ti im B (C) ct d : 3x 4y 16 ti C v D cho ABCD l hỡnh thang cú hai ỏy l AD v BC, hai ng chộo AC v BD vuụng gúc vi Tỡm ta cỏc im B, C, D d1 Gii B Do ABCD l hỡnh thang ni tip ng trũn nờn ABCD l hỡnh thang cõn Do hai ng chộo vuụng gúc vi ti K nờn BKC vuụng cõn ti K, suy ACB 450 AIB 900 (gúc IB AI tõm c ng chn cung AB) hay Li d1 tip x c vi (C) ti B nờn IB d1 C K I A D T ( ) v ( ) suy Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang IB d A;d1 , AI d1 a Ta cú pt AI: x y , I AI I a;1 a , IA a 1 Vy I ; x I 2 2 25 Pt ng trũn C : x y 2 2 25 x x x y Xột h: 2 y y 3x 4y 16 B l hỡnh chiu ca I lờn d1 , tớnh c B 2; Do ADBC nờn B 2; , C 4;1 , D 0;4 Bi 11 Trong mt phng Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v B ng chộo AC nm trờn ng thng d : 4x 7y 28 nh B thuc ng thng : x y , nh A cú ta nguyờn Tỡm ta A, B, C bit nh D 2;5 v BC 2AD Gii B B b;b Ta cú: d B, AC d D, AC BE BC DE AD 4b b 28 B v D 42 4.2 7.5 28 42 93 b 11b 63 30 11b 63 30 11 11b 63 30 b khỏc phớa i vi ng thng AC nờn 4x B 7yB 28 4x D 7yD 28 11b 63.30 Do ú ta c b B 3; 4a 42 4a 28 4a Ta cú A d A a; DA a 2; v BA a 3; 7 Do ú DA.BA a a 65a 385a a hay a 4a 4a 42 49 77 Vy A 0;4 13 x C 2. Ta cú BC 2AD C 7;0 yC Vy A 4;0 , B 3; v C 7;0 l im c n tỡm 45 , ỏy ln CD nm trờn ng thng x 3y Bit hai ng chộo AC, BD vuụng gúc vi ti I 2;3 Vit phng trỡnh Bi 12 Trong mt phng Oxy, cho hỡnh thang ABCD cú din tớch bng ng thng cha cnh BC, bit im C cú honh dng Gii Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Do ABCD l hỡnh thang cõn vi ỏy ln CD v hai ng chộo AC, BD vuụng gúc vi nờn tam giỏc ICD vuụng cõn ti I ng thng qua I vuụng gúc vi CD: x 3y cú phng trỡnh: x y 3x y Gi K l trung im CD ta cú ta K l nghim ca h: x 3y K 3;0 3x y H A M KI KC KD nờn C, D l giao im ca ng thng CD v B I ng trũn tõm K bỏn kớnh KI 10 x 3y Do ú ta ca ch ng l nghim ca h: 2 x y 10 C 6;1 ; D 0; C cú honh dng D C K Gi H l trung im AB ta cú: 45 SABCD AB CD HK IH IK HK IH 10 2 ID IK DI 2IB B 3;5 BC 3; M IB IH IH 10 Vy ng thng BC cú phng trỡnh x y 4x 3y 27 Bi 13 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D cú AB AD CD , im B 1;2 , ng thng BD cú phng trỡnh y Bit rng ng thng d : 7x y 25 l n lt ct cỏc on thng AD v CD theo th t ti M v N cho BM BC v tia BN l tia phõn giỏc ca gúc MBC Tỡm ta nh D (vi honh ca D l s dng) Gii K BH CD ABHD l hỡnh vuụng v CBN MBN 450 CBN MBN Vy d B;CD d B;MN m d B;MN BH 25 50 B A d BD BH M im D thuc BD nờn D x ;2 v BD C x0 Ta cú x 16 x H N D Theo gi thit x Vy D 5;2 Bi 14 Trong mt phng Oxy, cho hỡnh thang vuụng ABCD ( BAD ADC 900 ) Bit BC CD 2AB ; trung im ca BC l M 1;0 , ng thng cha cnh AD cú phng trỡnh x 2y Tỡm ta A Gii K BE CD, E CD Vỡ DE AB CD nờn E l trung im CD, ú BCD cõn M BC CD nờn BCD u Suy DM BE AD Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Gi N l trung im AD, ta cú MN AD B A 2x y uy phng trỡnh MN: Ta N l nghim ca h: x 2x y 2 hay N ; x 2y y 3 A AD : x 2y A M N 2 2a;a D 2a; a 3 2 2 2 DM AD a a 2a 2a 3 D E C 3 a 15 a 2a 3 a 6 6 ; ; Vy ta A , A 9 Bi 15 Trong mt phng vi h ta Oxy cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A 2;3 v B, iao im ca hai ng chộo AC v BD l I ;3 Tỡm ta cỏc nh B, C, D bit nh D cú honh nguyờn nm trờn ng thng d: 3x y AB AD BC Gii Ta cú AI Theo nh lý Talet: D A IA AD 10 IC 2.AI ;0 IC BC Gi s C x ; y0 IC x ; y0 I B C 10 x x C 3;3 3 y0 y Ta cú AC 3.AI p dng h thc Pytago: AC2 AB2 BC2 5AD2 25 AD Vỡ D d D t;4 3t ; AD t 2 3t t 10t 2t t Vi t D 0;4 AD 2;1 , cú BC 2AD B 1;1 Vi t 17 D ; (loi) 5 Vy B 1;1 , C 3;3 , D 0;4 Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Bi 16 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD cú AD v BC l hai ỏy, AB BC Bit rng im E 2;1 thuc cnh AB, im F 2; thuc cnh AD v phng trỡnh ng thng AC l x 3y Tỡm ta cỏc nh A, B (Trớch Trng THPT Chuyờn Quc Hc Hu ln 2014) Gii Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn nú l mt t giỏc ni tip Mt khỏc, vỡ AC cú vec-t ch phng l u AC 3;1 E Gi H 3t 3; t l hỡnh chiu ca E trờn AC Ta cú EH 3t 1;t EH u AC 3t t t M F A AB BC CD nờn AC l phõn giỏc gúc BAD H D I 12 H ; 5 B C Gi M l im i xng ca E qua AC thỡ M thuc AD Ta cú 14 M ; 5 24 18 ng thng AD i qua im F 2; cú vec-t ch phng FM ; , cú vec-t phỏp tuyn 5 n AD 3; nờn cú phng trỡnh AD: 3x 4y 14 A l giao im ca AD v AC nờn suy A 6;1 Bi 17 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho t giỏc ABCD cú A 3;0 , C 4;1 , AD 2AB 2BC v DAB ABC 900 Tỡm ta cỏc im B, D Gii Gi s B x; y T gi thit ta cú AB BC, AB.CB ta cú h B C A M phng trỡnh: x 32 y x y 12 x x y y y 7x x 0, y x x x 1, y D Vy B 0;4 hoc B 1; Gi M l trung im ca AD T gi thit ta suy t giỏc ABCM l hỡnh vuụng T ú: Vi B 0;4 thỡ t AB MC ta tỡm c M 1; D 5; Tng t vi B 1; ta tỡm c M 0;4 D 3;8 Bi 18 Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh thang OABC OA / /BC cú din tớch bng 6, nh A 1;2 , nh B thuc ng thng d1 : x y v nh C thuc ng thng d2 : 3x y Tỡm ta cỏc nh B, C Gii x y0 2x y OA / /BC Phng trỡnh ng thng BC cú dng: Phng trỡnh OA: Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang 2x y m (vi m ) A O Ta B l nghim ca h: d1 x y x m B m;m 2x y m y m Ta C l nghim ca h: C 3x y x m C m 2;4 3m 2x y m y 3m Din tớch hỡnh thang OABC l: S B d2 OA BC .d O;BC 12 22 2m 32 4m m 22 12 2m m 12 * Phng ỏn ti u nht gii phng trỡnh ny s l phỏ du giỏ tr tuyt i! Nu m thỡ (*) tr thnh: 2m m 12 m2 2m m Kim tra iu kin ta ch ly nghim m , B Nu m Nu m 7; v C 7;1 thỡ (*) thnh: 2m m 12 m2 2m , vụ nghim thỡ (*) thnh: 2m 1.m 12 m2 m m hoc m Kim tra iu kin ta ch ly nghim m B 2;1 v C 1; Vy cú hai cp im B, C tha bi nh trờn Bi 19 Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng ti A v D cú ỏy ln l CD, ng thng AD cú phng trỡnh 3x y , ng thng BD cú phng trỡnh x 2y , gúc to b i hai ng thng BC v AB bng 450 Vit phng trỡnh ng thng BC bit din tớch hỡnh thang bng v im B cú honh dng Gii Ta im D l nghim ca h: 3x y x D 0;0 O x 2y y A B 450 Vec-t phỏp tuyn ca ng thng AD v BD l n lt l n1 3; , n 1; cos ADB ADB 450 D C AD AB Vỡ gúc gia ng thng BC v AB bng 450 BCD 450 BCD vuụng cõn ti B DC 2AB Theo bi ta cú: SABCD 3AB2 24 AB BD AB CD .AD 2 x Gi ta im B x B ; B , iu kin x B Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 10 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang 10 (loaùi) xB x BD x 2B B 10 (thoỷa maừn) xB 10 10 ; Ta im B Vec-t phỏp tuyn ca BC l n BC 2;1 phng trỡnh ng thng BC l: 2x y 10 Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 11 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 12 [...]... Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 10 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang 8 10 (loaùi) xB x 5 BD x 2B B 4 2 2 8 10 (thoỷa maừn) xB 5 2 8 10 4 10 ; Ta im B 5 5 Vec-t phỏp tuyn ca BC l n BC 2;1 phng trỡnh ng thng BC l: 2x y 4 10 0 Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 11 Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang Trn ỡnh C Gv THPT Gia Hi ST: 01234332133 12 ...Chuyờn : Hỡnh hc phng Oxy Ch 3: Hỡnh Thang 2x y m 0 (vi m 0 ) A O Ta B l nghim ca h: d1 x y 1 0 x 1 m B 1 m;m 2 2x y m 0 y m 2 Ta C l nghim ca h: C 3x y 2 0 x m 2 C m 2;4 3m 2x y m 0 y 4 3m Din tớch hỡnh thang OABC l: S 1 2 B d2 1 OA BC .d O;BC 2 12 22 2m 32 4m 6 2 m 22 12... iu kin ta ch ly nghim m 3 B 2;1 v C 1; 5 Vy cú hai cp im B, C tha món bi nh trờn Bi 19 Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng ti A v D cú ỏy ln l CD, ng thng AD cú phng trỡnh 3x y 0 , ng thng BD cú phng trỡnh x 2y 0 , gúc to b i hai ng thng BC v AB bng 450 Vit phng trỡnh ng thng BC bit din tớch hỡnh thang bng 4 v im B cú honh dng Gii Ta im D l nghim ca h: 3x y 0 x 0 D 0;0 O x 2y 0 y