CI DAI CUONG VE XAC SUAT

TẬP HỢP Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó.. b Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.. CHỈNH HỢP Chỉnh hợp chập k của

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY VÀ HỌC TẬP

1. Đậu Thế Cấp, Xác Suất Thống Kê Lí thuyết và các bài tập, NXBGD,2008.

2. PGS.TS Đặng Hấn, Xác Suất Thống Kê, NXB Thống kê, 1996.

3. PGS.TS Đặng Hấn, Bài tập Xác Suất Thống Kê, NXB Thống kê, 1996.

4. Đinh Văn Gắng, Xác Suất Và Thống Kê Toán, NXB Thống kê.

NỘI DUNG

Chương 1 Đại cương về xác suất.

Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên.

Chương 3 Lý thuyết mẫu.

Chương 4 Ước lượng tham số của tổng thể

Chương 5 Kiểm định giả thuyết.

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

I. Ôn tập về giải tích tổ hợp.

II. Biến cố và các phép toán trên biến cố.

III. Các định nghĩa của xác suất.

IV. Các công thức tính xác suất.

I ÔN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1 TẬP HỢP

Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó

Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.

Ví dụ:

- Tập hợp sinh viên trong lớp 9A

- Tập hợp N mọi số tự nhiên.

- Tập hợp R mọi số thực.

1 TẬP HỢP

Có 2 cách xác định một tập hợp:

a) Liệt kê mọi phần tử của tập hợp

b) Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn Còn tập hợp có số phần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn.

 Tập hợp vô hạn đếm được

 Tập hợp vô hạn không đếm được

2 QUY TẮC NHÂN

Giả sử một công việc nào đó được chia làm k giai đoạn

Nếu có n 1 cách hoàn thành giai đoạn thứ I,

Nếu có n 2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II

3 CHỈNH HỢP

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là:

)!

(

!

k n

−

5 HOÁN VỊ

Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho.

Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là

!

! 0

! )!

(

!

n

n n

n

n A

−

=

=

Ví dụ

Một bàn có 4 học sinh ngồi Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?

Ta thấy mỗi cách xếp chỗ cho 4 học sinh là một hoán vị của 4 phần tử Do đó số cách sắp xếp là:

6 TỔ HỢP

Tổ chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.

Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là ( k n ≤ )

Ví dụ

Có 10 đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt (tức 2 đội bất kỳ trong 10 đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận) Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

Các tính chất của tổ hợp

n C

C C

C C

C

C C

n

n n n

k n

k n

k n

k

n n

k n

1 1 1

; 1

; 1

n n

n n

n n

n C a C a b C ab C b b

BÀI TẬP PHẦN I

1. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?

2. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

3. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

4. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả 2 đều là số chẵn?

5. Lớp học có 10 chỗ ngồi dành cho 10 học sinh Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh đó?

?

BÀI TẬP PHẦN I

6 Cho tập hợp Hỏi có bao

nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số của tập hợp A ?

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện đã đặt ra để quan sát một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó được gọi là

một phép thử

Mỗi kết quả của phép thử được gọi là

biến cố.

1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Bắn một phát súng vào bia thì việc bắn súng là phép thử còn viên đạn trúng bia (hay trật bia) là biến cố.

Ví dụ 3

2 CÁC LOẠI BIẾN CỐ

b) Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử Biến cố không thể có được ký hiệu là

Ví dụ:

a Khi tung một con xúc xắc Biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể.

b Biến cố “nước sôi ở nhiệt độ 50 0 C” là biến cố không thể.

φ

Khi tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố “xuất hiện mặt 6 chấm“, B là biến cố “xuất hiện mặt chẵn lớn hơn 4“

Ta thấy nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra Vậy A = B

Ví dụ

Tung một con xúc xắc.

Gọi A i là biến cố được i nút

B là biến cố được số nút chia hết cho 3.

C là biến cố được số nút chẵn

P 2 là biến cố được số nút nguyên tố chẵn.

( i = 1,6 )

3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ

Do mỗi biến cố là tập con của không gian mẫu nên bằng các phép toán tập hợp, với

2 biến cố ta có thể thành lập các biến cố sau:

,

Ω

3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ

chỉ biến cố “A và B cũng xảy ra”

Khi

ta nói A và B là hai biến cố xung khắc (A và

B không bao giờ cùng xảy ra)

C = ∩ ≡ A B AB

A B ∩ = φ

Ví dụ 1

Xét phép chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên

trong lớp Gọi A là biến cố “sinh viên được

chọn là nam ” và B là biến cố “sinh viên được chọn là nữ”

thì A và B là hai biến cố xung khắc.

Ví dụ 3

Khi tung một con xúc xắc Gọi A là biến cố

“xuất hiện mặt chẵn“,” B là biến cố “xuất hiện

mặt lẻ“

Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau.

3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ

Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B là độc lập nếu việc xảy ra biến cố này hay không không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.

Cho A, B, C là các biến cố ta có:

( ) ( ) ( )

Nhóm đầy đủ biến cố

 Dãy biến cố A 1 , A 2 , …, A n là dãy đầy

đủ biến cố nếu trong chúng đôi một xung khắc và tổng của chúng là biến cố chắc chắn

VÍ DỤ 2

 {A, B} là dãy đầy đủ biến cố?

III CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra khách quan của biến cố đó.

Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A), có thể được định nghĩa bằng nhiều cách.

1.1 Định nghĩa xác suất cổ điển

Giả sử phép thử có n( Ω ) khả năng đồng xảy ra, trong đó có n(A) khả năng thuận lợi cho biến cố A

Khi đó gọi xác suất của biến cố A là tỷ số:

) n(

n(A) P(A)

Ω

=

Ví dụ 3

Hộp có 4 bi xanh, 6 bi đỏ

 Phép thử : Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 bi

 Biến cố: A =“được 1 bi xanh và 2 bi đỏ”

 Xác suất:

5

0 2

1 C

1

=

Ví dụ 6

Bộ bài có 52 lá Rút ngẫu nhiên 3 lá bài, tính xác

suất để trong 3 lá bài rút ra có:

C P

C

=

Một thùng đựng 30 bóng đèn trong đó có 10 bóng100W,

10 bóng 75W và 10 bóng 40W Lấy ngẫu nhiên từ thùng ra

3 bóng đèn Tính xác suất để trong 3 bóng lấy ra :

lần trong điều kiện giống nhau Nếu trong

n lần thực hiện phép thử mà biến cố A xảy

Người ta chứng minh được rằng, khi n đủ lớn, tần suất của biến cố A sẽ dao động xung

quanh một giá trị nào đó mà ta gọi là xác suất

của A, ký hiệu P(A)

Trong thực tế, với n đủ lớn, người ta lấy

tần suất của A làm giá trị gần đúng cho xác suất của biến cố A,

1.2 Định nghĩa xác suất bằng tần suất

k P

n

=

Thống kê trên 10.000 người dân thành phố cho thấy có 51 người bị bệnh cao huyết áp

Ta nói xác suất của biến cố "bị bệnh cao huyết áp" là

Ví dụ 1

51

0.005

10000 ≈

Một nhà máy gồm ba phân xưởng A, B,

C Kiểm tra một lô hàng của nhà máy gồm

1000 sản phẩm, người ta thấy có 252 sản phẩm của phân xưởng A, 349 của phân xưởng B và 399 của phân xưởng C

 Nhận được sản phẩm từ phân xưởng B là

 Nhận được sản phẩm từ phân xưởng C là

 Ta còn nói, các phân xưởng A, B, C tương ứng làm ra 25%, 35% và 40% tổng sản

Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh viên người

ta phát hiện ra 5 sinh viên giỏi Nếu gọi A là

biến cố “xuất hiện sinh viên giỏi” thì tần suất

xuất hiện sinh viên giỏi trong số 40 SV được khảo sát là:

Ví dụ 3

( ) 5 1 12.5%

40 8

Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên cùng quê ở Đà Nẵng, 4 sinh viên cùng quê Tiền Giang và 5 bạn còn lại ở TP.HCM Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 SV Tìm xác suất để:

a/ A:”Cả 3 sinh viên đều cùng quê”

b/ B: “Có đúng 2 sinh viên cùng quê”.

c/ C: “Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê”.

d/ D: “Không có sinh viên nào là đồng hương”.

Ví dụ 4

?

0.075 455

0.6615 455

P(A+B+C) = P(A) + P(B)+P(C) – P(A.B)

– P(BC) – P(AC) – P(ABC)

Do {A i ; i =1, 2,…,6} đôi một xung khắc, nên

P(A 1 + A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Ví dụ 1

Thùng hàng có 20 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại 1, có 7 sản phẩm loại 2 và có 5 sản phẩm loại 3 Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong thùng hàng Tính xác suất để :

Ví dụ 3

Hộp đựng 6 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp đồng thời 2 bi Tính xác suất để 2 bi lấy ra:

a) Cùng màu

b) Khác màu.

?

2.2 Quy tắc nhân xác suất

Xác suất để biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra:

với

(Công thức xác suất có điều kiện)

Từ đó ta có công thức nhân xác suất

2.2 Quy tắc nhân xác suất

Ta có công thức nhân xác suất tổng quát,

2.2 Quy tắc nhân xác suất

Tương tự, nếu là họ các biến cố độc lập (nghĩa là một biến cố xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến việc xảy ra một hay nhiều biến cố khác), thì ta có:

1 , , , 2 n

Ví dụ 1

Hộp có 20 bi gồm 12 bi xanh và 8 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lần lượt từng bi) Tính xác suất để cả hai bi lấy ra là bi đỏ.

Giải

A =“Bi lấy lần 1 là bi đỏ” ⇒ P(A) =8/20

B =“Bi lấy lần 2 là bi đỏ” ⇒ P(B/A) = 7/19

A.B =“Cả hai bi lấy ra là bi đỏ”

( ) ( ) ( / ) 8 7 0,1474

20 19

P AB = P A P B A = =

Ví dụ 2

Một lô hàng 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm đến khi gặp gặp đủ 3 phế phẩm thì dừng lại

Tính xác suất để dừng lại ở lần kiểm thứ 3.

10 9 8

3 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Đặc biệt, với hai biến cố A, B ta có:

Ví dụ 1

Có 20 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm

Trong đó có:

8 kiện loại 1, mỗi kiện có 1 phế phẩm;

7 kiện loại 2, mỗi kiện có 3 phế phẩm;

5 kiện loại 3, mỗi kiện có 5 phế phẩm

Lấy ngẫu nhiên 1 kiện rồi từ kiện này lấy ra 1 sản phẩm.

a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm

b/ Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất để kiện lấy ra là kiện loại 2.

Giải

Gọi A i = “kiện lấy ra loại i” (i =1,2,3) Khi đó A 1 , A 2 , A 3 là dãy đầy đủ các biến cố.

Gọi B =“sản phẩm lấy ra từ kiện là phế phẩm”.

a) Theo công thức xác suất đầy đủ:

a) Tính xác suất để lấy được bi xanh.

b) Giả sử lấy được bi xanh, tính xác suất để bi lấy

ra từ hộp I

Giải

Đặt: A i = “ Lấy được hộp thứ i”; i =1,2

A 1 , A 2 là dãy đầy đủ biến cố.

Đặt B = “ Bi lấy ra bi là bi xanh”.

a/ Theo công thức xác suất đầy đủ thì

P(B) = P(A 1 ).P(B/A 1 ) + P(A 2 ).P(B/A 2 )

= 0.5 *(4/10) + 0.5 *(5/10) = 0.45

Ví dụ 1

Trong đề thi trắc nghiệm có 40 câu hỏi Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và trong đó có 1 phương án trả lời đúng

Một học sinh do không học bài nên khi thi đã chọn hú hoạ phương án trả lời cho mỗi câu hỏi Tính

a/ Xác suất để học sinh này đạt điểm 5 (chọn câu trả lời đúng ở 20 câu hỏi).

b/ Xác suất để HS đạt điểm 10.

Ví dụ 2

Sản phẩm X bán ở thị trường do một nhà máy gồm 2 phân xưởng sản xuất Sản lượng của phân xưởng I chiếm 60%, phân xưởng II chiếm 40% Tỷ lệ phế phẩm do hai phân xưởng sản xuất lần lượt là 5% và 7%

1/ Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X trên thị trường.

a/ Tính xác suất để mua được phế phẩm.

b/ Giả sử đã mua phải phế phẩm, theo bạn có bao nhiêu % khả năng phế phẩm ấy do phân xưởng thứ I sản xuất.

a) Theo công thức xác suất đầy đủ thì:

P(B) = P(A 1 ).P(B/A 1 ) + P(A 2 ).P(B/A 2 )

= 0.6*0.05 + 0.4*0.07 = 0.058

Giải

1b) Theo công thức bayès:

P(A 1 /F) = 0.6*0.05/0.058 = 0.5172

Giải

2/ Với giả thiết hàng hóa trên thị trường rất nhiều ta cần hiểu tỷ lệ trong đề bài đã cho không đổi sau khi đã mua một sản phẩm.

100 lần mua là thực hiện 100 phép thử Becnuolli với xác suất thành công (mua được phế phẩm) là p=0.058 (câu a)

P 100 (k=0,1,2; 0.058) =

= P 100 (0; 0.058) + P 100 (1; 0.058) + P 100 (2; 0.058)

=

Bài tập

1/ Xác suất bắn trúng đích của một người là 0,7 Người đó bắn 10 phát, tính xác suất để có 6 lần trúng đích.

2/ Hàng trong kho có 20% phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm này có:

a/ 2 phế phẩm.

b/ ít nhất 1 phế phẩm.

?

Bài tập

3/ Tung con xúc xắc 3 lần,

a/ Tính xác suất để có 2 lần xuất hiện mặt số nguyên tố.

b/ Xác suất để có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt số nguyên tố

?

Bài tập

4/ Một hộp gồm ba bi xanh,bốn bi trắng và năm bi đỏ.Từ hộp lấy ngẫu nhiên, lần lượt, không hoàn lại từng bi cho đến khi gặp được

bi đỏ thì dừng.Tìm xác suất để:

a) Có hai bi trắng và một bi xanh được lấy ra.

b) Không có bi trắng nào được lấy ra.

Bài tập

5/ Một thí sinh đi thi chỉ thuộc 18 trong số 25 câu hỏi Đề thi có 3 câu Tính xác suất để thí sinh này:

a) Trả lời được cả 3 câu.

b) Trả lời được ít nhất hai câu

Bài tập

6/ Túi bài thi có 20 bài, trong đó có 5 bài đạt loại giỏi, 8 bài đạt loại khá, 7 bài đạt loại trung bình Rút ngẫu nhiên từ túi ra 3 bài Tính xác suất để:

a) Cả 3 bài đều đạt loại giỏi.

b) 3 bài thuộc ba loại khác nhau.

c) 3 bài thuộc cùng một loại.

Bài tập

8/ Giờ bài tập cô giáo ra một bài toán Lớp có 30 học sinh nhưng chỉ có 6 bạn giải được bài này Cô giáo gọi ngẫu nhiên từng học sinh cho đến khi có một học sinh giải được thì không gọi nữa Tính xác suất để cô giáo gọi đến học sinh thứ tư.

Bài tập

9/ Tung hai con xúc xắc

Tính xác suất để tổng số nút trên hai con không nhỏ hơn 10, biết rằng có ít nhất 1 con xuất hiện 5 nút.

Bài tập

11/ Trong 1 thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người.Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá.

Bài tập

14/ Lập ngẫu nhiên một hội đồng 5 người từ nhóm gồm 6 ông, 12 bà Tính xác suất lập được hội đồng có 3 ông, 2 bà

Bài tập

15/ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm có 6% là phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 6 sản phẩm không hoàn lại

Nếu có ít nhất một phế phẩm thì không mua hàng.Tìm xác suất lô hàng được mua