Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 40 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
40
Dung lượng
1,42 MB
Nội dung
LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN Tổ Hợp – Xác Suất Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Tài liệu gửi tặng bạn học sinh 5/1/2016 https://www.facebook.com/luyendehangtuan/ 10 11 12 13 PHẦN BÀI TOÁN ĐIỂM (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có tập X tập A thoả điều kiện X chứa không chứa 2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, có sách Toán, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số phải khác 0) trường hợp sau: n số chẵn Một ba chữ số phải (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy đủ màu? (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có cách xếp để phiếu số chẵn cạnh nhau? Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có số lẻ gồm chữ số thành? Có số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ĐH Hàng hải 1999) Có cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số (ĐHQG HN khối B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ông muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách lại Hỏi có cách chọn? (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu: 1) phải có nữ Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 2) chọn tuỳ ý 14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đôi 15 (ĐH Y HN 2000) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách? 16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đôi Hỏi Có số phải có mặt chữ số 2 Có số phải có mặt hai chữ số 17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có nam người Có nam nữ người 18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số 19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng thẻ đen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu không nằm liền 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân công? 26 (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người có cán lớp 27 (HV Quân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi: Có cách xếp khác nhau? Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau? 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn? 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mạt lần 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền 34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ Có cách chọn người mà nam 35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số 36 (ĐH Huế khối ABV 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số lặp lại lần? 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn? 38 (HV Kỹ thuật quân 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đôi khác nhau? 41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? 42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) 43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa? 44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số mặt chữ số Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần 45 (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A? Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? 47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345 48 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam (ĐH Y HN 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789? (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy? (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác (ĐH khối B 2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không (ĐH khối B 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 66 (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006) Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt? 67 (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số 68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d cho điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho BÀI GIẢI (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) X A X 1 Y 1 X 2 X Y 3,4,5,6,7,8 Do số tập X số tập Y tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số tập Y {3,4,5,6,7,8} là: = 64 Vậy có 64 tập X A chứa không chứa 2 Gọi * m số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A * n số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A bắt đầu 123 * p số số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n Tính m: Lập số chẵn a5a4a3a2a1 gồm chữ số khác a1, a2, a3, a4, a5 A, có nghĩa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} có cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ số lại A có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360 Tính n: Lập số chẵn 123a2a1 bắt đầu 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2 Lấy a1 từ {4,6,8} có cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} có cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Bước 1: Đặt nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong nhóm ta thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp em vào chỗ Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 6.6!.6! = 33177600 cách (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Xem số chắn hình thức abcde (kể a = 0), có cách chọn e {0,2,4,6}, số chẵn Sau chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde Có cách chọn e, A36 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề n = abcde * Xem số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {1}: có A74 cách Như thế: có A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề * Xem số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {0,1}, số cách chọn A36 Như thế: có A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số số n thoả yêu cầu đề là: 2520 – 240 = 2280 số (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Số cách chọn bi số 15 bi là: C15 = 1365 Các trường hợp chọn bi đủ màu là: * đỏ + trắng + vàng: có C24C15C16 = 180 * đỏ + trắng + vàng: có C14C52C16 = 240 * đỏ + trắng + vàng: có C14C15C62 = 300 Do số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là: 1365 – 720 = 645 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) * Xếp phiếu số 1, 2, 3, có 4! = 24 cách * Sau xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề * Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho số chẵn 2! cách Số cách xếp cho số lẻ là: 3! cách Vậy có 2.6 = 12 cách * Tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải, nhóm lẻ bên trái Vậy: có 12 + 12 = 24 cách (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Số có chữ số khác có dạng: abcdef với a ≠ Vì số tạo thành số lẻ nên f {1, 3, 5} Do đó: f có cách chọn a có cách chọn (trừ f) b có cách chọn (trừ a f) c có cách chọn (trừ a, b, f) d có cách chọn (trừ a, b, c, f) e có cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số Vì số tạo thành số chẵn nên f {0, 2, 4} * Khi f = (a,b,c,d,e) hoán vị (1,2,3,4,5) Do có 5! số * Khi f {2, 4} thì: f có cách chọn a có cách chọn Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Do có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Gọi 11111 số a Vậy ta cần số a, 2, 3, 4, Do số có chữ số có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất việc xếp số 2, 3, 4, vào vị trí tuỳ ý vị trí (5 vị trí lại đương nhiên dành cho chữ số lặp lần) 9! Vậy: có tất A94 = 6.7.8.9 = 3024 số 5! (ĐH Hàng hải 1999) Xếp C ngồi giữa: có cách Xếp A, B, D, E vào chỗ lại: có 4! = 24 cách Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu Xếp A E ngồi hai đầu ghế: có 2! = cách Xếp B, C, D vào chỗ lại: có 3! = cách Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu 10 (HV BCVT 1999) * Số số có chữ số khác là: A10 A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số số có chữ số khác khác là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số số có chữ số khác khác là: A69 A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số số có chữ số khác có mặt là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số 11 (ĐHQG HN khối B 2000) * Trước hết ta tìm số số gồm chữ số khác nhau: Có khả chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có A34 khả chọn chữ số cuối Có A34 = 4.4! = 96 số * Tìm số số gồm chữ số khác chia hết cho 5: Nếu chữ số tận 0: có A34 = 24 số Nếu chữ số tận 5: có khả chọn chữ số hàng nghìn, có A32 = khả chọn chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Do có 24 + 18 = 42 số gồm chữ số khác chia hết cho Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm chữ số khác không chia hết cho 12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Số cách tặng số cách chọn sách từ có kể thứ tự Vậy số cách tặng A69 = 60480 Nhận xét: chọn cho hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 sách là: A12 = 665280 Số cách chọn cho không sách Văn là: A56 = 5040 Số cách chọn cho không sách Nhạc là: A64 A82 = 20160 Số cách chọn cho không sách Hoạ là: A36 A39 = 60480 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Để có nữ ta phải chọn: * nữ, nam có C15 cách C30 * nữ, nam C330 cách có C15 * nữ, nam có C15 cách C30 * nữ, nam có C15 C130 cách * nữ có C15 cách 4 C30 C330 + C15 C30 C130 + C15 Vậy: có C15 + C15 + C15 cách Nếu chọn tuỳ ý số cách chọn là: C645 14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Số chẵn gồm bốn chữ số khác có dạng: abc0 abc2 abc4 * Với số abc0 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Có 5.4.3 = 60 số * Với số abc2 abc4 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Có 4.4.3 = 48 số abc2 48 số abc4 Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn Số chia hết cho gồm ba chữ số có dạng ab0 ab5 * Với số ab0 ta có: cách chọn a, cách chọn b Có 5.4 = 20 số * Với số ab5 ta có: cách chọn a, cách chọn b Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm Gọi abc số chia hết cho gồm ba chữ số khác Khi {a,b,c} là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4} * Khi {a,b,c} = {0,4,5} số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 có số * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} số phải tìm hoán vị phần tử có 3! = số Vậy có: + + = 16 số cần tìm 15 (ĐH Y HN 2000) Số cách chọn nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C15 C13 C14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C13 C24 = 18 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C32 C14 = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn 16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5 Xếp chữ số vào năm vị trí: có cách xếp Sau xếp chữ số lại vào vị trí lại: có A54 = 120 cách Vậy có 5.120 = 600 số Xếp chữ số vào vị trí: có A52 cách Xếp chữ số lại vào vị trí lại: có A34 = 24 cách Vậy có A52 A34 = 480 số 17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Chọn nam nữ: có C10 = 5400 cách .C10 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page Có nam nữ, có kiểu chọn sau: * nam nữ: có 5400 cách * nam nữ: C10 có C10 = 5400 cách * nam nữ: có C10 C110 = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách 18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Tất có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có chữ số Trong số có chữ số này, xét số mặt chữ số 2, 3, Loại có: cách chọn chữ số hàng vạn cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số hàng trăm cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Do có 6.7.7.7.7 = 14406 số Vậy tất có: 90000 – 14406 = 75594 số có chữ số, có mặt đủ chữ số 2, 3, 19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Xét số có chữ số tuỳ ý cho a1a2a3a4 Có hai khả năng: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số chẵn lấy a5 {1, 3, 5, 7, 9} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số lẻ lấy a5 {0, 2, 4, 6, 8} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số lại sinh số có chữ số có tổng chữ số số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có: C52 cách chọn viện bi đỏ C13 cách chọn viên bi lại Vậy có: C52 C13 = 7150 cách chọn Có trường hợp xảy ra: * xanh, đỏ, vàng có C39 C35 cách * xanh, đỏ, vàng có C92 C52 C42 cách * xanh, đỏ, vàng có C19 C15 C44 cách Vậy có tất cả: C39 C35 + C92 C52 C42 + C19 C15 C44 = 3045 cách 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có khả năng: Các thẻ trắng vị trí lẻ, thẻ đen vị trí chẵn có 5!5! cách Các thẻ trắng vị trí chẵn, thẻ đen vị trí lẻ có 5!5! cách Vậy tất có: 5!5! + 5!5! cách 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có ô trống, cần chọn ô điền chữ số 2, ô điền chữ số 3, ô điền chữ số 4, ô điền chữ số Sau ô lại, cần chọn ô điền chữ số 1, cuối lại ô điền chữ số Vậy có tất có: 8.7.6.5 C24 = 10080 số thoả yêu cầu đề 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Số số có chữ số a1a2a3a4a5a6 9.105 số Với số có chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập số có chữ số a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng chữ số số chẵn Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Theo yêu cầu toán số không đứng trước số nên số có chữ số tạo thành từ số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với chữ số phân biệt T có cách xếp Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 10 k 1000 Vì vậy: Ck2001 C1000 ) 2001 ,k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức k 1001 k 999 1 C1001 và: Ck2001 ) 2001 , k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức k 1000 1 1001 Ck2001 Ck2001 C1000 2001 C2001 (đẳng thức k = 1000) (ĐHQG HN khối B 2000) Số hạng tổng quát khai triển là: k C17 x 17k Để số hạng không chứa x k x4 k C17 17 34 12 k x4 (k N, ≤ k ≤ 17) 17 34 k 0 k= 12 Vậy số hạng cần tìm số hạng thứ khai triển C17 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) x N 2 2x x N Điều kiện: x 2 x 3 x A2x A2x C3x 10 x x(x 1)(x 2) 10 2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ x 1.2.3 x2 ≤ x2 – 3x + 12 x ≤ Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = (ĐHSP HN khối A 2000) n(n 1) * Xác định n: Cnn Cnn1 Cnn2 79 + n + = 79 n 12 n 13 (loaïi) Ta có: 12 28 * Ta có: x3 x x 15 k C12 x k k 0 48 112 k Số hạng không phụ thuộc x 15 12 12k 28 x 15 12 = 48 k 15 x C12 k 112 k 0 k = 7 Vậy số hạng cần tìm là: C12 = 792 (ĐHSP HN khối BD 2000) n Ta có: (x2 + 1)n = Cknx2k (1) k 0 Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn phương trình: x12 = x2k k = n Trong (1) cho x = Ckn = 2n k 0 n Từ giả thiết Ckn = 1024 2n = 1024 n = 10 k 0 Vậy hệ số cần tìm là: C10 = 210 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 26 10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) (1 x)n1 * Ta có: I = (1 x) dx n1 *I= n 2n1 n1 (Cn0 C1nx Cnnxn )dx = Cn0 x2 xn1 = Cn0 x C1n Cnn n 1 1 n Cn Cn Cn = S n1 2n1 n1 11 (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) Vậy: S = Ta có: (1 + x)n = Cn0 C1nx Cn2x2 Cn3x3 Cn4x4 Cnnxn Lấy đạo hàm hai vế: n(1 + x)n–1 = C1n 2Cn2x 3Cn3x2 4Cn4x3 nCnnxn1 Thay x = n , ta được: 3n1 2n1 C1n 2Cn2 21 3Cn3 22 4Cn4 23 nCnn 2n1 2n1C1n 2n1Cn2 3.2n3 Cn3 4.2n4 Cn4 nCnn n.3n1 12 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 1 x x 31 40 Hệ số x 40 = 1 Ck40xk x2 k 0 k C40 với 40k 40 = Ck40x3k80 k 0 k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 k = 37 Vậy: hệ số x31 C37 40 C40 40.39.38 = 40.13.19 = 9880 1.2.3 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh phương pháp qui nạp 1 * Với n = 2, đpcm A22 A2 * Giả sử BĐT cần chứng minh với n = k (k ≥ 2), tức ta có: 1 1 k 1 k A2 A3 A4 Ak Ta cần chứng minh BĐT với n = k + 1 1 1 k 1 k 1 = Thật vậy, k (k 1)k k A2 A3 A4 Ak Ak 1 Ak 1 = (k2 1) k (k 1)k k 1 1 1 n1 Vậy: , n ≥ n A2 A3 A4 An 14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) 9 9 C11 C12 C13 C14 a9 = + C10 C12 C13 C14 = + C110 C11 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 27 = + 10 + 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10 24 120 = 3003 15 (ĐH Y Dược TPHCM 2000) (1 + x)n = Cn0 C1nx Cn2x2 Cnnxn Cho x = Cn0 C1n Cn2 Cnn = 2n 2n (1 – x)2n = C02n C12nx C22nx2 C32nx3 C2n 2nx Cho x = đpcm 16 (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) 2000 Có (x + 1)2000 = Ci2000xi (1) i0 2000 Trong (1) cho x = ta Ci2000 = 22000 i 2000 Đạo hàm vế (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)1999 = i.Ci2000xi1 i1 2000 Cho x = ta được: i.Ci2000 = 2000.21999 = 1000.22000 i1 Do đó: S = 2000 2000 i0 i1 Ci2000 i.Ci2000 = 1001.22000 17 (HV Kỹ thuật quân 2000) P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 23 k ak = C12 ak< ak+1 k < 2k ; max(ai ) a8 C12 = 126720 i1,12 18 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính I cách: * Đổi biến: t = – x2 dt = –2xdx 1 1 I = tn dt = tndt = tn1 2(n ) 2(n 1) 2 1 * Khai triển nhị thức: x(1 – x2)n = x Cn0 C1nx2 Cn2x4 Cn3x6 (1)n Cnnx2n x2 x4 x6 x8 x2n I = Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn 2n 1 1 (1)n n Cn Cn Cn Cn Cn 2(n 1) Từ suy đẳng thức cần chứng minh 19 (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Hệ số x5 khai triển biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 6! 7! là: C55 C56 C57 = + = 28 5!1! 5!2! 20 (ĐH An Ninh khối A 2001) = Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 28 Ta phải tìm số tự nhiên n > thoả mãn: xn = An4 143 a1> … > an (1) Thật vậy, ta có BĐT ak> ak+1 với ≤ k ≤ n – (2) (2n k)! (2n k)! (2n k 1)! (2n k 1)! n!(n k)! n!(n k)! n!(n k 1)! n!(n k 1)! 2n k 2n k (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1) nk nk 1 2nk + n > Ta BĐT (2) (1) n n n Do đó: ak = C2nk C2nk C2n Dấu “=” xảy k = 32 (ĐH khối A 2002) Từ Cn3 5C1n ta có n ≥ = a0 n(n 1)(n 2) n! n! 5n 5 3!(n 3)! (n 1)! n 4 (loaïi) n2 – 3n – 28 = n C37 Với n = ta có: 2 2 x 1 x 3 = 140 35.22x–2.2–x = 140 2x–2 = x = Vậy n = 7, x = 33 (ĐH khối B 2002) Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n C32n Gọi đường chéo đa giác A1A2…A2n qua tâm đường tròn (O) đường chéo lớn đa giác cho có n đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n có đường chéo hai đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo lớn đa giác A1, A2, …, A2n, tức Cn2 Theo giả thiết thì: (2n)! n! C32n 20Cn2 20 3!(2n 3)! 2!(n 2)! 2n(2n 1)(2n 2) n(n 1) 20 2n – = 15 n = 34 (ĐH khối D 2002) n Ta có: (x + 1)n = Cknxk k 0 n Cho x = ta được: 3n = Ckn 2k 3n = 243 n = k 0 35 (ĐH dự bị 2002) Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 31 n n BPT n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) 9n n - 2n - ≤ n ≤ n = n = 36 (ĐH dự bị 2002) a a a Ta có: k 1 k k 1 (1) (1 ≤ k ≤ n – 1) 24 Ckn1 Ckn Ckn1 24 n! n! n! (k 1)!(n k 1)! k!(n k)! 24 (k 1)!(n k 1)! 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k 2n k 11 2(n k 1) 9k 9(n k) 24(k 1) k 3n 11 Để tồn k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện có đủ là: 3n – = 2n + n = 10 37 (ĐH dự bị 2002) Ta có: (x + 1)10 = x10 + C110x9 C10 x C10 x C10 x 1 9 x C10 x C10 x x + (x + 1)10(x + 2) = x11 + C110x10 C10 9 x C10 x C10 x C10 x 1 + x10 C10 C110.2 x9 C10 C10 x8 = x11 + C110 x10 C10 9 C10 x2 + C10 + C10 10 C10 x + 11 10 = x + a1x + a2x + … + a11 2C10 Vậy a5 = C10 = 672 38 (ĐH khối A 2003) Ta có: Cnn14 Cnn3 7(n 3) Cnn13 Cnn3 Cnn3 7(n 3) (n 2)(n 3) = 7(n + 3) n + = 7.2! = 14 n = 12 2! Số hạng tổng quát khai triển là: Ta có: 12k 6011k k 3 k k C12 (x ) x C12x 6011k 60 11k x = x8 = k = 4 Do hệ số số hạng chứa x8 C12 12! = 495 4!(12 4)! 39 (ĐH khối B 2003) Ta có: (1 + x)n = Cn0 C1nx Cn2x2 Cnnxn 2 1 (1 x)ndx Cn0 C1nx Cn2x2 Cnnxn dx Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 32 2 x2 x3 xn1 n1 (1 x) Cn0x C1n Cn2 Cnn n1 n 1 22 1 23 2n1 n 3n1 2n1 Cn Cn Cn = n1 n1 40 (ĐH khối D 2003) Cn0 Ta có: (x2 + 1)n = Cn0x2n C1nx2n2 Cn2x2n4 Cnn (x + 2)n = Cn0xn 2C1nxn1 22 Cn2xn2 23 Cn3xn3 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = không thoả mãn điều kiện toán Với n ≥ x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1 Do hệ số x3n–3 khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n(x + 2)n là: a3n–3 = 23.Cn0 Cn3 2.C1n.C1n n 2n(2n2 3n 4) 26n a3n–3 = 26n n (loaïi) Vậy: n = 41 (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Ta có: Cn2Cnn2 2Cn2Cn3 Cn3Cnn3 = 100 Cn2 2Cn2Cn3 Cn3 Cn2 Cn3 100 100 Cn2 Cn3 10 n(n 1) n(n 1)(n 2) 10 3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60 (n2 – n)(n + 1) = 60 (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 n = 42 (CĐ Xây dựng số – 2002) Ta có khai triển: 1 2n (x + 1)2n = C02nx2n C12nx2n1 C22nx2n2 C2n 2n x C2n Cho x = –1 ta được: 2n1 2n C32n C2n C2n C2n = C02n C12n C2n 2n1 C02n C22n C2n C12n C32n C2n 2n 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) x x x Điều kiện: x N x x N x! x! = 9x2 – 14x 6 2!(x 2)! 3!(x 3)! x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x x (loaïi) x(x – 9x + 14) – x (loaïi) x = x PT x + Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 33 Cách 1: 19 20 20 * Ta có: (1 – x)20 = C020 C120x C220x2 C19 20x C20x 20 Cho x = ta có: C020 C120 C220 C19 20 C20 = 20 C20 C120 C320 C19 C020 C20 20 Đặt: A=B A = C020 C220 C20 20 ; (1) B = C120 C320 C19 20 2 19 20 20 * Ta có: (1 + x)20 = C020 C120x C20 x C19 20x C20x 20 20 Cho x = ta có: C020 C120 C20 C19 20 C20 = A + B = 220 (2) 220 Từ (1) (2) suy A = = 219 (đpcm) Cách 2: Áp dụng công thức Ckn1 Ckn1 Ckn Cn0 , ta được: 19 C120 C320 C520 C17 20 C20 = 17 18 19 = C19 C19 C19 C19 C16 19 C19 C19 C19 = (1 + 1)19 = 219 44 (CĐ khối AD 2003) Cách 1: Ta có: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] = = (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1! = (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1! = … = 2! – 1.1! = Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – Cách 2: Chứng minh qui nạp: * Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1! = 2! – Mệnh đề * Giả sử mệnh đề với n = k (k > 1), tức ta có: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – * Ta cần ch minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – = Pk+2 – (đpcm) 45 (CĐ Giao thông II 2003) Do Cn0 Cnn nên ta có: Cn0C1n Cnn C1nCn2 Cnn1 Áp dụng BĐT Côsi ta có: n1 C1nCn2 Cnn1 C1 Cn2 Cnn1 n n1 n Áp dụng khai triển (a + b)n = Cknakbnk với a = b = 1, ta có: k 0 Cn0 C1n Cn2 Cnn = 2n C1n Cn2 Cnn1 = 2n – n1 2n n1 Suy ra: CnCn Cn n1 46 (CĐ Giao thông III 2003) (đpcm) Ta có: (1 + x)n = Cn0 C1nx Cn2x2 Cn3x3 Cnnxn Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 34 Đạo hàm vế, ta được: n(1 + x)n–1 = C1n 2Cn2x 3Cn3x2 nCnnxn1 Cho x = –1 = C1n 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (1)n1nCnn Vậy S = Ta có: (1 + x)n = Cn0 C1nx Cn2x2 Cn3x3 Cnnxn 1 0 (1 x)ndx Cn0 C1nx Cn2x2 Cn3x3 Cnnxn dx (1 x)n1 n1 1 1 n n1 Cn0 x C1nx2 Cn2x3 Cnx n1 0 2n1 1 1 n Cn0 C1n Cn2 Cn n1 n1 Do đó: T = 2n1 n1 n N, n Ta có: Cnn Cnn1 Cnn2 79 n = 12 n(n 1) 1 n 79 213 13 47 (CĐ Tài kế toán IV 2003) Vậy: T = Vế trái = Ckn2 Cnk12 Ckn12 Ckn22 = Ckn1 Cnk11 = Ckn 48 (CĐ Tài kế toán IV 2003 dự bị) Điều kiện: n Z, n ≥ (2n)! (3n)! 720 (3n)! ≤ 720 BPT (n!)3 n!n! (2n)!n! Ta thấy (3n)! tăng theo n mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)! 0 n Do đó: BPT có nghiệm n Z 49 (CĐ Công nghiệp HN 2003) 2003 P(x) = (16x – 15)2003 = Ck2003 (16x)2003k (15)k k 0 2003 = Ck2003 (16)2003k (15)k x2003k k 0 Các hệ số khai triển đa thức là: a k = Ck2003 (16)2003k (15)k Vậy: S = 2003 2003 k 0 k 0 ak Ck2003 (16)2003k (15)k = (16 – 15)2003 = 50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) Điều kiện: n N, n ≥ n! n! 2 16n n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n PT (n 3)! 2!(n 2)! n n2 – 2n – 15 = n 3 (loaïi) vậy: n = Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 35 51 (CĐ Nông Lâm 2003) 15 1 Ta có: x 3 15k 15 = k 1 C15 3 k 0 k k 15 k k x C15 15 x 3 k 0 Gọi ak hệ số xk khai triển: k k ak = 15 C15 ; k = 0, 1, 2, …, 15 Xét tăng giảm dãy ak: k 1 k 1 k k 1 k ak–1< ak C15 C15 2k C15 2C15 32 , k = 0, 1, , 15 Từ đó: a0< a1< a2< … < a10 Đảo dấu BĐT ta được: 32 ak–1> ak k > a10> a11> … > a15 k< Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 = 210 210 10 C 3003 15 315 315 52 (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) Ta có: 4 1 2n1 2n x C2n C2n (1 – x)2n = C02n C12nx C22nx2 C32nx3 C2n 2n x 2nx Đạo hàm vế theo x, ta có: –2n(1 – x)2n–1 = 2n1 2n2 2n1 x 3C32nx2 4C42nx3 (2n 1)C2n x 2nC2n = C12n 2C2n 2nx Thế x = vào đẳng thức trên, ta có: 2n1 2n 3C32n 4C2n (2n 1)C2n 2nC2n = C12n 2C2n 2n1 2n 2C22n 4C42n 2nC2n Vậy: 1C12n 3C32n (2n 1)C2n 53 (ĐH khối A 2004) Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = C08 C18x2 (1 x) C82x4 (1 x)2 C38x6 (1 x)3 + + C84x8 (1 x)4 C58x10 (1 x)5 C68x12 (1 x)6 C78 x14 (1 x)7 C88x16 (1 x)8 Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Vậy x8 có số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 54 (ĐH khối D 2004) Ta có: x = x k 0 7k Ck7 x 4 k = x k 0 C38 C32; C84 C04 287k k C7 x 12 Số hạng không chứa x số hạng tương ứng với k (k Z, ≤ k ≤ 7) thoả mãn: 28 7k 0 k= 12 Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: C74 = 35 55 (ĐH khối A 2005) 2 3 2n1 2n1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C02n1 C12n1x C2n 1x C2n1x C2n1x Đạo hàm vế ta có: 1 2n (2n + 1)(1 + x)2n = C12n1 2C22n1x 3C32n1x2 (2n 1)C2n 2n1x Thay x = –2, ta có: 2 2n 2n1 C12n1 2.2C2n 1 3.2 C2n1 (2n 1)2 C2n1 = 2n + Theo giả thiết ta có: 2n + = 2005 n = 1002 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 36 56 (ĐH khối D 2005) Điều kiện: n ≥ Ta có: Cn21 2Cn2 2Cn23 Cn24 = 149 (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)! n n2 + 4n – 45 = n 9 (loaïi) Vậy: n = 57 (ĐH khối A 2005 dự bị 2) 2 3 2n1 2n1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C02n1 C12n1x C2n 1x C2n1x C2n1x 1 Cho x = ta có: 22n+1 = C02n1 C12n1 C22n1 C32n1 C2n 2n1 (1) 2n1 Cho x = –1 ta có: = C02n1 C12n1 C22n1 C32n1 C2n 1 (2) 2n1 Lấy (1) – (2) 22n+1 = C12n1 C32n1 C2n 1 2n1 = C12n1 C32n1 C2n 1 = 1024 10 k 10k Ta có: (2 – 3x)10 = (1)k C10 (3x)k k 0 2n 2n = 10 7 3 Suy hệ số x7 C10 58 (ĐH khối D 2005 dự bị 1) k k 1 C2005 C2005 (k N) Ck2005 lớn k k 1 C2005 C2005 2005! 2005! k!(2005 k)! (k 1)!(2004 k)! k 2005 k 2005! 2005! 2006 k k k!(2005 k)! (k )!(2006 k)! k 1002 1002 ≤ k ≤ 1003, k N k 1003 k = 1002 k = 1003 59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Ta có: 2Pn + An2 PnAn2 = 12 (n N, n > 1) 2n! + 6.n! n! n! n! 12 (6 n!) 2(6 n!) (n 2)! (n 2)! (n 2)! 6 n! n n! n! n(n 1) n n (n 2)! n n (vì n 2) Vậy: n = n = 60 (ĐH khối A 2006) Từ giả thiết suy ra: C02n1 C12n1 C22n1 Cn2n1 220 (1) 2n1k Vì Ck2n1 C2n 1 , k, ≤ k ≤ 2n + nên: C02n1 C12n1 C22n1 Cn2n1 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần 1 C2n1 C12n1 C22n1 C2n 2n1 (2) Page 37 Từ khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2n+1 suy ra: 2n1 2n1 C02n1 C12n1 C2n 22n1 1 C2n1 (1 1) 2n 20 từ (1), (2), (3) suy ra: = n = 10 10 Ta có: x7 x 26 Hệ số x k C10 10 k k (x4 )10k x7 C10 k 0 (3) 10 k 11k 40 x C10 k 0 với k thoả mãn: 11k–40 = 26 k = 6 Vậy hệ số x C10 = 210 61 (ĐH khối B 2006) 26 Số tập k phần tử tập hợp A Ckn Từ giả thiết suy ra: Cn4 20Cn2 n2 – 5n – 234 = n = 18 (vì n ≥ 4) Do k 1 C18 k C18 18 k C18 1 k < 9, nên: C118 C18 k 1 10 18 C18 C18 C18 Vậy số tập gồm k phần tử A lớn k = 62 (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) ĐK: x N, y N*, x ≤ y Từ phương trình thứ hai suy x = Thay vào phương trình thứ ta được: y 1(loaïi) y2 – 9y + = Vậy: x = 4; y = y 63 (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) ĐK: n N, n ≤ n!(4 n)! n!(5 n)! n!(6 n)! 1 n n n 4! 5! 6! C4 C5 C6 n 15 (loaïi) n2 – 17n + 30 = n Vậy: n = 64 (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) n N,n Cn0 C1n Cn2 211 n(n 1) 1 n 211 n N,n n = 20 n n 420 (k 1).Ckn A1k1 (k 1)Ckn Ckn (k = 1, 2, …, n) (k 1)! k! 20 Do đó: với n = 20 ta có: S = C020 C120 C20 20 = 65 (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Ckn (2)k xk Từ ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Cn0 2C1n 4Cn2 71 n N, n n N, n n=7 n(n 1) 1 2n 71 n 2n 35 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 38 Với n = 7, ta có hệ số x5 khai triển (1 – 2x)n là: a5 = C57 (2)5 = – 672 66 (CĐ Điện lực TPHCM 2006) n(n 1)(n 2) 13n Ta có: C1n Cn3 13n n n 10 n2 – 3n – 70 n 7 (loaïi) Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là: k k 205k (x2 )10k (x3 )k C10 x Tk+1 = C10 Tk+1 không chứa x 20 – 5k = k = 4 Vậy số hạng không chứa x là: T = C10 = 210 67 (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) Cách 1: 4n2 4n2 C04n2 C14n2 C4n 2 C4n2 Ta có: 4n 4n1 C04n2 C4n C4n C4n2 2 2n 4n C04n2 C4n C4n2 C4n2 Vậy có: 24n = 256 n = Cách 2: Đặt Sn = C04n2 C24n C44n C2n 4n 2 2n Thì Sn+1 = C04n6 C4n 6 C4n6 C4n6 2k Vì C2k 4n6 C4n (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1> Sn dãy (Sn) tăng C10 C10 Khi n = S2 = C10 = 256 Vậy Sn = 256 n = 68 (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 1 A = x x 20 10 1 x3 x 20 k k 0 20 10 (1)k Ck20x20k x2 = = k 1 k 0 Ck20x203k 10 10k n 3 x (1)n C10 x1n n0 n 1 n0 n 304n C10 x Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n 10 – n = 3(n – k) Vì ≤ n ≤ 10 10 – n phải bội số nên n = hay n= hay n= 10 có số hạng hai khai triển có luỹ thừa x giống Vậy sau khai triển rút gọn biểu thức A gồm: 21 + 11 – = 29 số hạng 69 (CĐ KT Y tế I 2006) 1 2n1 2n C2n Ta có: 42n = (1 + 3)2n = C02n C12n 31 C22n 32 C2n 2n 2n 2 2n1 2n1 2n C2n C2n 22n = (1 – 3)2n = C02n C12n 31 C2n 2n 2 2n 2n C2n 42n + 22n = C02n C2n + = 2.2 (2 + 1) (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 22n = 216 n = 70 (CĐ Xây dựng số 2006) Theo khai triển nhị thức Newton ta có: 2n 2n 15 16 (a + b)n = Cn0an C1nan1b Cnnbn Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 39 Với a = 3, b = – 2n = (3 – 1)n = Cn0 3n C1n 3n1 (1)n Cnn Với a = 1, b = 2n = (1 + 1)n = Cn0 C1n Cnn Vậy: Cn0 3n C1n 3n1 (1)n Cnn Cn0 C1n Cnn 71 (CĐ KT Y tế 2005) ĐK: x N, x ≥ (x 1)! x! BPT 3 20 2!(x 1)! (x 2)! x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 2x2 – x – 10 < – < x < Kết hợp điều kiện x = 72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) k (1)k x452k yk Số hạng tổng quát: C15 45 2k 29 k=8 k 8 Vậy hệ số x29y8 là: C15 = 6435 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Số hạng thứ k + khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Ckn (2)k xk Từ ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Cn0 2C1n 4Cn2 = 71 n N, n n N, n n = n(n 1) 1 2n 71 n 2n 35 Fanpage Luyện Đề Hàng Tuần Page 40